Bac Blanc Terminale ES - Février 2014 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) L attention des candidats est attirée sur le fait que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entrent pour une part importante dans l appréciation des copies. Aucun échange de matériel ou de calculatrice n'est autorisé entre les candidats. Seule la dernière feuille contenant les annexes est à rendre avec la copie. Exercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l'indice des prix à la consommation en Allemagne sur la période 2005-2012. Année 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 Indice des prix à la consommation 100 101,58 103,91 106,64 106,98 108,16 110,40 112,62 Source : Perspectives Monde 1. a) Indiquer en combien d'années, à compter de 2005, l'indice des prix à la consommation en Allemagne a augmenté de 10 %. b) Montrer que le taux d évolution annuel moyen de l'indice des prix à la consommation en Allemagne entre 2005 et 2012 est 1,71 % arrondi au centième. On suppose, pour toute la suite de l exercice, que l'indice des prix à la consommation en Allemagne continue à augmenter de 1,71 % par an à partir de 2012. 2. Pour prévoir l'indice des prix à la consommation en Allemagne, on modélise la situation par une suite. On note u 0 l'indice en 2012 et u n l'indice en 2012+n. a) Justifier que ( u n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison. b) Exprimer u n en fonction de n pour tout entier naturel n. c) Avec ce modèle, quel indice peut-on prévoir pour l'indice des prix à la consommation en Allemagne en 2020? (On arrondira le résultat à 10 2 près.) 3. On considère l algorithme suivant : Initialisation : Affecter la valeur 0 à la variable N {initialisation} Affecter la valeur 112,62 à U {initialisation} Traitement : Tant que U 140 Affecter la valeur N 1 à N Affecter la valeur 1,0171 U à U Fin de Tant que Affecter la valeur N 2012 à N Sortie Afficher N a) Qu obtient-on en sortie par cet algorithme? Interpréter ce résultat. b) On cherche à déterminer l'année où l'indice des prix à la consommation en Allemagne atteindra une valeur donnée I. Proposer une modification de l algorithme précédent permettant de répondre à la question. c) Utiliser ce nouvel algorithme pour trouver à quelle date cet indice aura doublé par rapport à 2005. 1/6
Exercice 1 (5 points) pour les candidats ayant choisi la spécialité MATH La question 3 peut être traitée indépendamment des questions précédentes. On considère un produit de consommation distribué exclusivement par trois circuits concurrents A, B et C. Le volume total distribué est supposé constant d'un mois à l'autre mais sa répartition change selon la demande d'un mois au suivant de la façon suivante : A perd 10 % de son volume distribué le mois précédent au profit de B et 20 % au profit de C ; B perd 15 % de son volume distribué le mois précédent au profit de A et 10 % au profit de C ; C perd 10 % de son volume distribué le mois précédent au profit de A et 10 % au profit de B. Au départ, A distribue 50 % du marché, B distribue 20 % et C le reste. 1. Pour tout entier naturel n, on note a n, b n et c n les pourcentages du volume total distribués respectivement par les circuits A, B et C au bout de n mois. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : a n 1 0,7a n 0,15b n 0,1c n. 2. On définit la suite ( ) a) Vérifier que U 0 20 30. b) Montrer que U n 1 M U n avec M a n b n U n par U n c pour tout entier naturel n. n 50 0,7 0,15 0,1 0,1 0,75 0,1. 0,2 0,1 0,8 c) Justifier que U n M n U 0 pour tout entier naturel n. d) Quelle est la répartition de la distribution entre les différents circuits au bout d'un mois? de trois mois? de deux ans? de dix ans? Que peut-on conjecturer? (on arrondira les résultats à 10 1 près) 3. On cherche une matrice colonne U coefficients soit égale à 100. x y z x y z 100 On admet que ce problème revient à résoudre le système : 6x 3y 2z 0 2x 5y 2z 0 a) Résoudre le système donné à l'aide d'un calcul matriciel que l on précisera. b) Que semble représenter la matrice U pour la suite ( U n )? Argumenter. vérifiant U M U et telle que la somme de ses 2/6
Exercice 2 (5 points) pour tous les candidats On interroge des français de plus de 16 ans sur le nombre de langues étrangères qu'ils parlent «bien», c'est-à-dire qu'ils parlent suffisamment bien pour participer à une conversation. A l'issue du sondage, on observe que l'échantillon des personnes interrogées est partagé en trois catégories : 41 % des personnes interrogées ne parlent «bien» aucune langue étrangère ; 30 % des personnes interrogées parlent «bien» une seule langue étrangère ; 29 % des personnes interrogées parlent «bien» au moins deux langues étrangères. De plus : 58 % des personnes parlant une seule langue citent l'anglais comme la langue qu'elle parle «bien» ; 82 % des personnes parlant au moins deux langues citent l'anglais comme une des langues qu'elle parle «bien». On choisit de manière aléatoire une personne de cet échantillon et on note : E 0 l'événement «la personne ne parle bien aucune langue étrangère» ; E 1 l'événement «la personne parle bien une seule langue étrangère» ; E 2+ l'événement «la personne parle bien au moins deux langues étrangères» ; A l'événement «la personne parle bien l'anglais» ; A l'événement contraire de A. 1. Recopier l'arbre pondéré suivant, justifier les valeurs données et le compléter pour qu'il traduise l'énoncé. Dans la suite de l'exercice, les résultats seront arrondis au centième. 2. Calculer la probabilité que la personne parle bien au moins deux langues et qu'elle ne parle pas «bien» l'anglais. 3. Calculer la probabilité que la personne ne parle pas «bien» l'anglais. 4. Calculer la probabilité que la personne parle bien une seule langue sachant qu'elle parle «bien» l'anglais. 5. On admet dans cette question que 59 % des français de moins de 16 ans ne parlent pas «bien» l'anglais. On interroge successivement au hasard et de manière indépendante cinq français de moins de 16 ans. a) Calculer la probabilité que trois personnes exactement sur les cinq parlent «bien» l'anglais. b) Calculer la probabilité qu' au moins deux personnes sur les cinq parlent «bien» l'anglais. 3/6
Exercice 3 (5 points) pour tous les candidats Pour chaque question, il n y a qu une réponse juste. Vous indiquerez sur votre copie la réponse juste et vous justifierez votre choix. Une réponse exacte et justifiée rapporte 1 point, une réponse fausse, une réponse non justifiée ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Question 1 : L expression ( e x 1 )( e x 2 ) est positive ou nulle sur : ] 0] [0 [ [ 2 1] Question 2 : Soit ( u n ) la suite géométrique de premier terme u 0 2 et de raison 2,05. La valeur arrondie à l unité de la somme S u 0 u 1... u 12 est : 8 395 10 491 16 792 21 508 Question 3 : Soit la fonction f définie sur par : f ( x) ( x 3) e x. La courbe C f de la fonction f admet comme point d'inflexion le point de coordonnées : ( 3 0) ( 4 e 4 ) ( 5 2e 5 ) (0 3) Question 4 : On considère la suite ( u n ) définie par u 0 2 et pour tout n, u 3 n 1 4 u n 503,5. lim n u n est égale à : 2014 2014 503,5 + Indication : On pourra montrer que la suite ( v n ) définie pour tout n par v n u n 2014 est géométrique. Question 5 : On considère la fonction f définie sur par f(x) xe x. La tangente à la courbe représentative C f de f au point d abscisse 0 a pour équation : y ex e y x 1 y ex y x 4/6
Exercice 4 (5 points) pour tous les candidats Un dépôt de gaz a été étudié de telle sorte que, en cas d'accident du réservoir, l'évolution du taux de gaz dans l'air du dépôt soit modélisée par une fonction f définie sur l'intervalle [0 10]. Le but de l exercice est de savoir pendant combien de temps, en cas de problème (fuite de gaz...), le mélange air-gaz reste explosif. PARTIE A 1. La représentation graphique de la fonction f est donnée en annexe 1. Par lecture graphique, déterminer le taux maximal de gaz dans l air à 0,1 près. 2. Une des trois courbes données en annexe 2 est la représentation graphique de la fonction dérivée f de la fonction f. Préciser laquelle en justifiant la réponse. 3. Suivant le taux de gaz dans l'air, le mélange peut présenter un danger d'explosion. La limite inférieure d'explosivité (L.I.E.) est de 0,2. En dessous de cette valeur, le mélange air-gaz est trop pauvre pour exploser. La limite supérieure d'explosivité (L.S.E.) est de 0,4. Au dessus de cette valeur, le mélange air-gaz est trop riche pour exploser. Estimer par lecture graphique au bout de combien de temps après l accident et pendant quelle durée le mélange air-gaz est explosif. (On complètera la figure donnée en annexe 1 pour faire apparaitre la méthode utilisée) PARTIE B La fonction f est définie sur [0 10] par : f(x) 2,5xe x où x désigne le nombre de minutes écoulées après l'accident et f(x) le taux de gaz dans l air. 1. Calculer f(10), arrondi à 0,001 près. 2. Établir que, pour tout nombre réel x de l'intervalle [0 10], on a : f (x) 2,5(1 x)e x. 3. En déduire le tableau de variations complet de la fonction f sur l'intervalle [0 10]. 4. a) Montrer que les équations f(x) 0,2 et f(x) 0,4 admettent chacune une solution unique sur l'intervalle [1 10]. b) A l'aide de la calculatrice, donner l arrondi à 0,01 près de chacune de ces deux solutions. c) En déduire une estimation, en cas d accident, de la durée d'explosivité après que le taux maximal a été atteint. 5/6
Nom : Classe : Annexe 1 Annexe 2 Courbe A Courbe B Courbe C 6/6