Terminale ES BAC blanc N 1 ( janvier 2014) Epreuve de mathématiques N anonymat :... Durée : 3 heures Calculatrice autorisée Exercice 1 ( pour tous les candidats ) Cet exercice est un QCM Une seule bonne réponse par question, la cocher. Un bonne réponse rapporte 1 point, pas de réponse ou réponse fausse enlève : 0 point Cette feuille est à compléter et à rendre avec la copie La dérivée de la fonction f définie par f(x) = fonction f définie par.. est la Lors d une expérience aléatoire, on considère 2 évènements A et B dont les probabilités sont respectivement p(a) = 0,2 et p(b) = 0,5. On sait de plus que la probabilité de l événement «A et B» est de 0,1 p( = 0,7 (A) = A et B sont indépendants ( ) est croissante Soit la suite ( ) définie par : = et = = 6 48 % Dans un pays fictif, le taux d inflation est de 4 % par an.de combien aura augmenté le prix du pain en 10 ans? 40% 148 % Dans une expérience aléatoire, la probabilité que l événement A se réalise est de 0,4. On reproduit 5 fois de suite cette expérience de manière indépendante. La probabilité que A se réalise au moins 3 fois est de. 0,2304 0,91296 0,31744 Page 1 sur 5
Exercice 2 ( pour tous les candidats ) Suite à une panne technique, un distributeur de boissons ne tient aucun compte de la commande faite par le client. Cette machine distribue soit un expresso ( what else?), soit du chocolat, soit du thé en suivant une programmation erronée aléatoire. Chaque boisson peut être sucrée ou non. La probabilité d'obtenir un expresso est. La probabilité d'obtenir un thé sucré est. Si l'on obtient un expresso, la probabilité qu'il soit sucré est. Si l'on obtient un chocolat, la probabilité qu'il soit sucré est. La probabilité d'obtenir une boisson sucrée est On pourra considérer les évènements suivants : T : «On a obtenu un thé». E : «On a obtenu un expresso». C : «On a obtenu un chocolat». S : «La boisson obtenue est sucrée». 1. Traduire les 5 hypothèses et construire un arbre probabiliste modélisant la situation. 2. Calculer la probabilité d'obtenir un expresso sucré. 3. Démontrer que la probabilité d'obtenir un chocolat sucré est. 4. En déduire la probabilité d'obtenir un chocolat. 5. Une personne obtient une boisson sucrée. Quelle est la probabilité que cette boisson soit un thé? 6. Quatre personnes se font servir successivement une boisson : a. Quelle est la probabilité qu aucune n ait une boisson sucrée? b. Quelle est la probabilité qu au moins une ait une boisson sucrée? Exercice 3 ( pour tous les candidats ) ( 5 points) La fonction f est définie sur [ 10 ;10] par f(x) = 1. Etudier le signe de f(x) 2. En déduire la position de la courbe ( ) représentative de la fonction f par rapport à l axe des abscisses du repère. 3. Montrer que 4. Justifier les différents éléments du tableau de variation de f donné ci-dessous x 10 + On rappelle que : f 19 21 = 5. Justifier que l équation f(x) = 1 admet 1 solution dans [ 10 ;10]. Page 2 sur 5
6. Donner une valeur approchée de à prés. Exercice 4 (réservé aux candidats ayant suivi la spécialité mathématiques ) En Grolandie septentrionale la fraude fiscale est un sport national. Le gouvernement de cet état incite chaque année ses concitoyens au civisme par des campagnes de sensibilisation et de répression. Les experts estiment que, chaque année, 5 % des fraudeurs ( de l année précédente ) deviennent des citoyens honnêtes mais, par contre, 2 % des citoyens honnêtes ( de l année précédente ) deviennent des fraudeurs. En 2010, la part de fraudeurs dans la population totale des contribuables était estimée à 40 %. Les services fiscaux choisissent au hasard un contribuable. On note la probabilité qu il soit fraudeur l année 2010 + n et la probabilité qu il soit un honnête citoyen l année 2010 + n. ( on a donc + = 1 ). On note l événement «la personne est un fraudeur l année 2010 + n» et = l événement «la personne est un honnête citoyen l année 2010 + n». La matrice ligne ( ) Est appelée matrice de l état à l année 2010 + n. 1. Donner. 2. Reproduire et compléter l arbre de probabilité suivant : 3. Justifier que = 0.95 + 0.02 4. Justifier que l on a = M avec M 5. Calculer. 6. Donner la matrice N telle que = N et en déduire 7. On admet que = a. Calculer. b. Quelle sera la proportion de fraudeurs en 2030? ( pourcentage à prés) Page 3 sur 5
Exercice 4 (réservé aux candidats n ayant pas suivi la spécialité mathématiques ) En Grolandie septentrionale la fraude fiscale est un sport national. Le gouvernement de cet état incite chaque année ses concitoyens au civisme par des campagnes de sensibilisation et de répression. Les experts estiment que, chaque année, 5 % des fraudeurs ( de l année précédente ) deviennent des citoyens honnêtes mais, par contre, 2 % des citoyens honnêtes ( de l année précédente ) deviennent des fraudeurs. En 2010, la part de fraudeurs dans la population totale des contribuables était estimée à 40 %. Les services fiscaux choisissent au hasard un contribuable. On note la probabilité qu il soit fraudeur l année 2010 + n et la probabilité qu il soit un honnête citoyen l année 2010 + n. ( on a donc + = 1 ). On note l événement «la personne est un fraudeur l année 2010 + n» et = l événement «la personne est un honnête citoyen l année 2010 + n». 1. Donner la valeur de. 2. Reproduire et compléter l arbre de probabilité suivant : 3. Justifier que = 0.95 + 0.02 4. justifier que = 0.93 + 0.02 5. On étudie de la suite ( de la manière suivante : On définit la suite ( ) par : pour tout n de IN = a. Montrer que ( ) est une suite géométrique de raison 0.93 b. Calculer c. Montrer que = + Page 4 sur 5
d. Donner la limite de ( et interpréter concrètement pour le problème. Page 5 sur 5