PIFFRET LES GRANDEURS SINUSOIDALES Elec Objectif terminal : Connaître et définir les grandeurs caractéristiques d'un signal sinusoïdal.

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1 PIFFRET JBS LES GRANDEURS SINUSOIDALES Elec Objectif terminal : Connaître et définir les grandeurs caractéristiques d'un signal sinusoïdal. Domaine : S0.2, grandeurs fondamentales d'un courant sinusoïdal monophasé. COURS 3 T CAP E 1. RAPPEL Qu'est ce qu'un courant variable? C'est un courant dont la grandeur varie dans le temps. Il existe 4 sortes de courants variables : - Courant unidirectionnel, lorsqu'il ne change jamais de polarité. - Courant bidirectionnel, lorsqu'il change de polarité. - Courant périodique, lorsqu'il se répètent dans le temps. - Courant alternatif sinusoïdal, lorsqu'il est à la fois bidirectionnel, périodique et sinusoïdal (EDF). 2. GRANDEURS CARACTERISTIQUES a. La période ou cycle C'est le temps que met la grandeur périodique à se reproduire identiquement. Elle se caractérise par T et s'exprime en secondes (s). U T 0 t -U La période se mesure à l'oscilloscope. T = Base de temps x Nb de carreaux à l'horizontal 1

2 b. La fréquence C'est le nombre de périodes par seconde. Elle se caractérise par f et s'exprime en Hertz (Hz). f = 1 T T durée d'une période en seconde (s). f fréquence en Hertz (Hz). c. La pulsation C'est la vitesse angulaire d'une grandeur sinusoïdale. Elle se caractérise par ω et s'exprime en radian par seconde (rad/s). ω = 2. π. f ou ω = 2. π T Remarque : Pour convertir des degrés en radians : 1 = π rad 180 d. Valeur maximale, valeur crête ou amplitude C'est la valeur la plus grande rencontrée durant une période. Elle se caractérise par Û ou Î et s'exprime en volts (V) ou en ampères (A). Û U 0 t -Û -U La valeur crête se mesure à l'oscilloscope. Û = Calibre tension x Nb de carreaux à la verticale 2

3 e. Valeur efficace La valeur efficace est très importante car c'est toujours elle qui est précisée sur tous les appareils électriques. La valeur efficace d'une tension sinusoïdale est équivalente à la valeur d'une tension continue qui créerait un même effet joule (thermique). Elle se caractérise par U ou I et s'exprime en volts (V) ou en ampère (A). U = _Û _ 2 I = _Î_ 2 Elle se mesure avec un appareil analogique de type ferromagnétique ou de type magnéto-électrique avec redresseur. Elle se mesure aussi avec un appareil numérique sur la position AC. f. Valeur moyenne La valeur moyenne d'une tension alternative est équivalente à la valeur d'une tension continue qui créerait la même aire durant une période T. Elle se caractérise par U ou I et s'exprime en volts (V) ou en ampère (A). Exemple : - Tension alternative réelle - Tension moyenne U U t 0 T 0 T t Elle se mesure avec un appareil analogique de type magnéto-électrique ou avec un appareil numérique sur la position DC. Remarque : Une grandeur alternative sinusoïdale a une valeur moyenne nulle. 3

4 g. Valeur instantanée Une valeur instantanée est une valeur prise à l'instant t d'une période. Elle se caractérise par u ou i et s'exprime en volts (V) ou en ampère (A). L'équation d'une grandeur sinusoïdale est : i (t) = Î sin (ωt + ϕ) u (t) = Û sin (ωt + ϕ) ω pulsation en rad/s ϕ angle de déphasage par rapport à l'origine en radian (rad) 3. EXERCICES Soit l'oscillogramme suivant : Y = 2V/div. X = 0,5 ms/div. a. Déterminer la valeur de la période : T = 6 x 0,0005 = 3 ms b. Calculer la fréquence : f = 1 / 0,003 = 333Hz c. Calculer la pulsation : ω = 2 π 333 = 2094 rad/s 4

5 d. Calculer la valeur maximale de cette tension : Û = 4 x 2 = 8V e. Calculer la valeur efficace de cette tension : U = 8 / 2 = 5,66 V f. Calculer la valeur moyenne : _ U = 0 V g. Donner l'équation de cette tension : u (t) = 8 sin (2094 t) h. Déterminer les valeurs instantanées pour les instants suivant : - t 1 = T/3 : - t 2 = T / 4 : - t 3 = T / 2 : t 1 = 0,003 / 3 = 0,001 s u 1 (t) = 8 sin (2094 x 0,001) = 6,9 V t 2 = 0,003 / 4 = 0,00075 s u 2 (t) = 8 sin (2094 x 0,00075) = 8 V t 3 = 0,003 / 2 = 0,0015 s u 3 (t) = 8 sin (2094 x 0,0015) = 0 V - t 4 = 3T / 4 : t 4 = 3 x 0,003 / 4 = 0,00225 s u 4 (t) = 8 sin (2094 x 0,00225) = -8 V 5

6 4. REPRESENTATION DE FRESNEL C'est la représentation graphique d'une grandeur sinusoïdale par l'intermédiaire d'un vecteur de Fresnel. La norme de ce vecteur représente la valeur efficace de la grandeur associée. 5. LE DEPHASAGE a. Généralités Le déphasage entre deux grandeurs sinusoïdales de même fréquence est le décalage entres les deux courbes en secondes et est représenté par un angle en radian ou en degré qui sépare les deux vecteurs représentatifs de ces grandeurs. U 1 ϕ 0 U 2 Origine 2 π rad = 360 Le déphasage est calculé à partir des phases à l'origine (axe horizontal X). Le déphasage entre deux grandeurs sinusoïdales s'obtient à partir de leur visualisation sur l'oscilloscope. b. Formule du déphasage Pour déterminer le déphasage entre deux tensions, il suffit d'utiliser la formule suivante : Angle en Radians Angle en Degrés ϕ = 2. π. t 0 ϕ = 360. t 0 T T t 0 Décalage entre les deux courbes en secondes (s). T Période des deux tensions en secondes (s). ϕ Déphasage en radians (rad) ou en degrés ( ). Remarque : En alternatif sinusoïdal, les grandeurs ne peuvent s'additionner algébriquement, sauf sous forme vectorielle. Cette forme tient compte du déphasage. 6

7 c. Les différents déphasages possibles - Retard : t o est positif donc ϕ est positif. I 2 est en retard par rapport à I 1. - Avance : t o est négatif donc ϕ est négatif. I 2 est en avance par rapport à I 1. 7

8 - En phase : t o est nul donc ϕ est nul. Il n'y a pas de décalage entre les deux grandeurs. - En opposition de phase : t o vaut T/2 donc ϕ = 180 = π rad. Les deux grandeur sont opposées, quand I 1 est à son maximum, I 2 est a son minimum. 8

9 6. EXERCICES Ex 1 : a. Calculer Û 1 et Û 2 : Û 1 = 10 x 3,2 = 32 V Û 2 = 5 x 2,2 = 11 V b. Calculer U 1 et U 2 : U 1 = Û 1 / 2 =32 / 2 = 22,6 V U 2 = Û 2 / 2 =11 / 2 = 7,78 V c. Calculer la période : T = 10 x = 10 ms d. Calculer la fréquence : f = 1 / = 100 Hz e. Calculer la pulsation : ω = 2. π. 100 = 628 rad/s f. Calculer le déphasage : t 0 = 2,5 x = 2,5 ms ϕ = 2. π. t 0 = 2. π. 2, = 1,57 rad soit π / 2 rad = 90 T g. Ecrire les équations de u 1 ( t ) et u 2 (t ) : U 1 ( t ) = 22,6. 2. sin (628. t) U 2 ( t ) = 7, sin (628. t + π / 2 ) 9

10 Ex 2 : On a : i ( t ) = 8 sin ( 120 π t ) a. Calculer l'intensité efficace : I = 8 / 2 = 5,66 A b. Calculer la fréquence et la période : ω = 2 π f f = ω / 2 π = 120 π / 2 π = 60 Hz T = 1 / 60 = 16,67 ms c. Calculer i à l'instant t = 7/500 s : i ( t ) = 8. sin ( 120. π. 7/500 ) = -6,75 A Ex 3 : Soit l'oscillogramme suivant : u1 Y1 = 100 V/div Y2 = 50V / div X = 2 ms / div u2 a. Calculer Û 1 et Û 2 : Û 1 = 4 x 100 = 400 V Û 2 = 3 x 50 = 150 V 10

11 b. Calculer U 1 et U 2 : U 1 = Û 1 / 2 =400 / 2 = 283 V U 2 = Û 2 / 2 =150 / 2 = 106 V c. Calculer la période : T = 12 x = 24 ms d. Calculer la fréquence : f = 1 / = 41,67 Hz e. Calculer la pulsation : ω = 2. π. 41,67 = 261,8 rad/s f. Calculer le déphasage : t 0 = 2 x = 4 ms ϕ = 2. π. t 0 = 2. π = 1,047 rad π / 3 rad = 60 T g. Ecrire les équations de u 1 ( t ) et u 2 (t ) : Ex 4 U 1 ( t ) = 400. sin (261,8. t) = sin (261,8. t) U 2 ( t ) = 150. sin (261,8. t + π / 3 ) = sin (261,8. t + π / 3 ) Soit l'oscillogramme suivant : Y = 100V/div. X = 5 ms/div. 11

12 a. Déterminer la valeur de la période : T = 4 x 0,005 = 20 ms b. Calculer la fréquence : f = 1 / 0,02 = 50Hz c. Calculer la pulsation : ω = 2 π 50 = 314 rad/s d. Calculer la valeur max. de la tension : Û = 3 x 100 = 300V e. Calculer la valeur efficace de la tension : U = 300 / 2 = 212 V f. Calculer la valeur moyenne : _ U = 0 V g. Donner l'équation de la tension : u (t) = 300 sin (314 t) h. Déterminer les valeurs instantanées pour les instants suivant : - t 1 = T / 6 : t 1 = 0,02 / 6 = 3,33 ms u 1 (t) = 300 sin (314 x 0,00333) = 260 V - t 2 = T / 2 : t 2 = 0,02 / 2 = 10 ms u 2 (t) = 300 sin (314 x 0,01) = 0 V - t 3 = 3T / 2 : t 3 = 3 x 0,02 / 2 = 30 ms u 3 (t) = 300 sin (314 x 0,03) = 0 V - t 4 = 3T / 4 : t 4 = 3 x 0,02 / 4 = 15 ms u 4 (t) = 300 sin (314 x 0,015) = V 12

13 i. Placer sur l'oscillogramme, ces coordonnées. Y = 100V/div. X = 5 ms/div. 13

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