Science infuse. Dossier mathématique n 1 Niveau 4. Faculté des Sciences. Francis Borceux. L art de débusquer et même de corriger les erreurs

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1 Science infuse Dossier mathématique n 1 Niveau 4 L art de débusquer et même de corriger les erreurs Faculté des Sciences Francis Borceux Document téléchargeable

2 L art de débusquer... et même de corriger les erreurs Francis Borceux Un dossier de Scienceinfuse à Louvain-la-Neuve 1 La preuve par 9 Prenons un calcul tel que = C est la bonne réponse, si, si, je vous l assure! Avouez que si vous ne disposez pas d une machine à calculer capable de faire un tel calcul, vous préférez me croire sur parole plutôt que vérifier le résultat à la main. Comme je vous comprends... Je vais vous faire un aveu: je n ai pas calculé cela à la main non plus, j ai demandé à mon ordinateur de faire le travail pour moi. Et a priori, je lui fais confiance. Imaginez maintenant qu en recopiant le résultat, j aie commis une erreur. Par exemple j ai écrit = Vous voyez, le onzième chiffre du produit est devenu un 3 au lieu d un 2. Et bien cette fois, sans beaucoup vous fatiguer, sans aucune machine, par un simple calcul mental, vous pouvez m apporter la preuve irréfutable que je me suis trompé. La preuve? Oui, la preuve par 9 comme on l appelle. Une technique que beaucoup de gens connaissent... enfin connaissaient, car il semble que les calculatrices électroniques la font peu à peu sombrer dans l oubli. borceux@math.ucl.ac.be, fax: scienceinfuse@afps.ucl.ac.be, tél

3 1.1 Le principe de la preuve par 9 Rappelons le principe de la preuve par 9, en prenant pour exemple le calcul faux ci-dessus. Première étape: on remplace les deux nombres à multiplier par la somme de leurs chiffres, puis cette somme elle-même par la somme de ses chiffres, et ainsi de suite jusqu à ce que chaque nombre ait été réduit à un seul chiffre. Allons-y: = = = 4; = = = 5. Deuxième étape: on refait le calcul demandé, mais en remplaçant les deux facteurs initiaux par leur réduction à un seul chiffre, réduction calculée comme indiqué ci-dessus. Donc on calcule 4 5 = 20. Appelons cela la multiplication réduite. Troisième étape: on réduit cette fois à un seul chiffre le résultat de la multiplication initiale, puis on réduit de même à un seul chiffre le résultat de la multiplication réduite, toujours par la technique d addition des chiffres. On trouve donc = = 3 et pour la multiplication réduite: = 2. Quatrième étape On compare les deux valeurs réduites ainsi obtenues: la valeur réduite du résultat de la multiplication initiale et la valeur réduite du résultat de la multiplication réduite; dans le cas présent 3 et 2. 2

4 Ce n est pas la même valeur, donc le résultat est faux! C est certain à 100%! Et si on trouvait la même valeur me direz-vous? Alors, il y a de bonnes chances que le résultat soit correct, mais ce n est pas certain. La preuve par 9 détecte pas mal d erreurs, mais pas toutes. Refaisons cette fois le travail avec le résultat correct. Puisque les deux nombres que l on multiplie restent les mêmes, et donc aussi le résultat de la multiplication réduite, il reste à calculer la valeur réduite du résultat de la multiplication initiale: = = 2 Cette fois la multiplication initiale et la multiplication réduite fournissent toutes deux la même valeur réduite du produit: 2. C est une indication que le résultat est sans doute bon. On ne peut rien dire de plus. En effet. Imaginez maintenant qu en recopiant le résultat, j aie commis l erreur d intervertir le onzième et le douzième chiffre, un 2 et un 3: = Refaites votre preuve par 9, du moins à nouveau la partie concernant le second résultat faux de la multiplication initiale: = = 2 La multiplication initiale et la multiplication réduite fournissent toujours la même valeur réduite du produit: 2. Pourtant le résultat est faux. Comment diable est-ce possible? Tout simplement parce que quand vous permutez deux chiffres dans un nombre, la somme des chiffres ne change pas. Donc la valeur réduite de ce nombre reste la même et la preuve par 9 ne détecte rien. 1.2 Et la preuve par 9 de l addition? Voilà! Je vous ai rappelé comment on fait la preuve par 9 d une multiplication. Oui, oui, j ai bien perçu la question qui vous traverse l esprit. Est-ce que ça marche aussi pour les autres opérations? 3

5 Pour l addition, sans aucun problème = Oui, je l avoue, j ai repris les mêmes nombres que pour la multiplication cidessus, histoire d épargner quelques calculs. On est paresseux ou on ne l est pas! Première étape: on réduit les deux nombres à additionner: = = = 4; = = = 5. Deuxième étape: on refait le calcul demandé, mais en remplaçant les deux nombres initiaux par leur réduction à un seul chiffre: Appelons cela l addition réduite = 9. Troisième étape: on réduit cette fois à un seul chiffre le résultat de l addition initiale, puis on réduit de même à un seul chiffre le résultat de l addition réduite = = 9 et pour l addition réduite... il n y a plus rien à réduire: Quatrième étape: On compare les deux valeurs réduites ainsi obtenues: la valeur réduite du résultat de l addition initiale et la valeur réduite du résultat de l addition réduite; dans le cas présent 9 et 9. C est la même valeur, donc il y a de bonnes chances que le résultat soit correct. Si les résultats avaient été différents, à coup sûr, il y aurait eu une erreur. 4 9.

6 Mais enfin, dans le cas de l addition, tout cela n est pas très utile. Dans la preuve par 9 de notre addition, comptez un peu le nombre de fois que nous avons dû ajouter un chiffre à un autre ou à un résultat antérieur: 41 fois. Faites maintenant l addition à la main ; voici le calcul, la ligne supérieure indiquant les divers reports : Comptez, reports compris, le nombre de fois que vous avez dû additionner un chiffre à un autre ou à un résultat antérieur: 20 fois. Cela va donc deux fois plus vite de refaire l addition que de faire sa preuve par 9. Qui plus est une preuve qui, quand elle tombe juste comme on dit chez nous, ne nous assure toujours pas que le résultat est correct. Voilà pourquoi on ne vous a jamais appris à faire la preuve par 9 d une addition. La preuve par 9 de la soustraction fonctionne aussi, avec quelques astuces supplémentaires pour tenir compte d éventuelles valeurs négatives... mais elle est de toute manière aussi inutile que la preuve par 9 de l addition. Quant à la preuve par 9 de la division, cela ne marche tout simplement pas. Les divisions ça ne tombe pas toujours juste. (Je sens que votre professeur de Français va me tomber dessus.) 1.3 Pourquoi Preuve par 9? La preuve par 9, c est donc un outil bien pratique pour tenter de détecter des erreurs dans une multiplication, même si on ne peut pas détecter toutes les erreurs. Mais il reste un mystère à éclaircir: pourquoi diable ce procédé s appelle-t-il la preuve par 9... alors qu on ne se sert jamais du nombre 9 pour la réaliser? Troublant, en effet. Voici la réponse. Théorème 1 Soit A un nombre entier positif et soit a la valeur de A réduite à un seul chiffre, par le procédé d addition des chiffres. Dans ce cas le nombre A est de la forme A = 9k + a où k est un nombre entier. Preuve. Plutôt que d écrire les choses de manière formelle, commençons la preuve sur un exemple, histoire de bien la comprendre. Prenons pour exemple 5

7 le nombre A = On peut réécrire A sous la forme A = = ( ) + (3 1000) + (6 100) + (5 10) + 8 Observons maintenant que = (9 1111) = (9 111) = (9 11) = (9 1) + 1 Reportant ces expressions dans la valeur de A, nous obtenons A = (7 ( (9 1111) + 1 )) + (3 ( (9 111) + 1 )) + (6 ( (9 11) + 1 )) + (5 ( (9 1) + 1 )) + 8 ( ((7 ) ) = 1111) + (3 111) + (6 11) + (5 1) 9 + ( ) = 9k 1 + A 1 où l on a bien sûr posé k 1 = (7 1111) + (3 111) + (6 11) + (5 1) A 1 = Nous venons d observer que le nombre A peut se réécrire sous la forme A = 9k 1 + A 1 6

8 où A 1 est la somme des chiffres de A. Notre argument est évidemment valable pour n importe quel nombre, pas seulement pour 73658: je vous laisse le soin d expliciter cela formellement. L argument est donc en particulier valable pour le nombre A 1. Ce nombre A 1 peut dès lors s écrire sous la forme A 1 = 9k 2 + A 2 où k 2 est un certain nombre entier et A 2 est la somme des chiffres de A 1. Reportant cette valeur dans l expression de A, on trouve A = 9k 1 + 9k 2 + A 2 = 9(k 1 + k 2 ) + A 2. Si le nombre A 2 comporte encore plusieurs chiffres, on répète le processus: A 2 = 9k 3 + A 3 où A 3 est la somme des chiffres de A 2. Donc A = 9(k 1 + k 2 + k 3 ) + A 3. Et ainsi de suite. Les nombres successifs A, A 1, A 2, A 3,... sont chacun la somme des chiffres du précédent. Donc quand on est arrivé à un nombre d un seul chiffre, on a en fait obtenu la réduction du nombre A à un seul chiffre: c est le nombre a de l énoncé. Et l on a donc bien A = 9k + a où k est la somme des k i successifs. Cela conclut la preuve. Dans l exemple de départ, le nombre A = 73658, nous avons obtenu Répétons le processus A = 9k 1 + A 1, A 1 = = 29. A 1 = 9k 2 + (2 + 9), k 2 = 2, A 2 = = 11. Le nombre A 2 possède toujours deux chiffres, donc il faut à nouveau répéter le procédé: Cette fois nous y sommes: A 2 = 9k 3 + (1 + 1), k 3 = 1, A 3 = = 2. A = 9(k 1 + k 2 + k 3 ) + 2 où 2 est effectivement la réduction de A à un seul chiffre par le procédé d addition des chiffres. 7

9 Observons davantage l énoncé de notre théorème 1. Et rappelons un peu ce qu est une division. Oui je sais, à l ère des calculatrices électroniques, 41 : 7 = Mais pour beaucoup de raisonnements mathématiques, comme ceux développés dans le présent dossier, il est beaucoup plus éclairant d observer que 41 = (7 5) + 6 ce que l on exprime en disant que lors de la division de 41 par 7 le quotient est égal à 5; le reste est égal à 6. De manière plus générale, le théorème de la division euclidienne nous précise que Étant donné un nombre entier D (le dividende ) et un nombre entier non nul d (le diviseur ), il existe un seul nombre entier q (le quotient ) et un seul nombre entier r (le reste ) tels que D = dq + r, 0 r < d. Cela, c est un vrai théorème de mathématique, pas seulement du calcul. Donc dans le cas du théorème 1, observons que si a 9, alors a est le reste de la division de A par 9; si a = 9, alors A est un multiple de 9. La première affirmation est simplement le théorème de la division euclidienne; la seconde affirmation est banale: A = 9k + 9 = 9(k + 1) = 9(k + 1) + 0 est bien un multiple de 9. Dans ce second cas, le reste de la division est donc 0. Pour parler rapidement, réduire un nombre A à un seul chiffre par le procédé d addition des chiffres, c est calculer le reste de la division de ce nombre A par 9... à ceci près que si ce reste est nul, on écrit 9 au lieu de 0. Cette fois, le théorème 1 souligne parfaitement le rôle essentiel joué par le nombre 9 dans le processus de réduction d un nombre quelconque à un nombre d un seul chiffre. La réduction a du nombre A à un seul chiffre s appelle d ailleurs aussi, de manière plus précise, réduction modulo 9. 8

10 1.4 La preuve de la preuve... Le théorème 1 nous permet aussi de justifier la validité de la preuve par 9: Théorème 2 Considérons un nombre entier A et sa réduction a à un seul chiffre; un nombre entier B et sa réduction b à un seul chiffre. Dans ces conditions, les nombres AB et ab possèdent la même réduction à un seul chiffre. Preuve. En vertu du théorème 1, nous pouvons écrire A = 9k + a, B = 9l + b avec k et l deux nombres entiers. Écrivons encore c pour la réduction de AB à un seul chiffre; d pour la réduction de ab à un seul chiffre. Nous devons démontrer que c = d. Toujours en vertu du théorème 1, il existe des entiers n et m tels que Calculons tout d abord: AB = 9n + c, ab = 9m + d. 9n + c = AB = (9k + a)(9l + b) = 81kl + 9kb + 9la + ab = 9(9kl + kb + la) + 9m + d = 9(9kl + kb + la + m) + d où c et d sont rappelons-le deux nombres entiers compris entre 1 et 9. Il en résulte aisément que c = d. En effet, si c = 9, d = (9n + 9) 9(9kl + kb + la + m) = 9(n + 1 kl kb la m) 9

11 et d est aussi un multiple de 9. Comme d est un nombre compris entre 1 et 9, d = 9 et donc d = c. De manière analogue si d = 9, c = 9(9kl + kb + la + m) 9n = 9(9kl + kb + la + m n) et c est également un multiple de 9, d où c = 9 et c = d. Finalement si c et d sont tous deux inférieurs à 9, les égalités 9n + c = AB = 9(9kl + kb + la + m) + d montrent que c et d sont tous deux le reste de la division de AB par 9: donc à nouveau, c = d. Cela conclut la preuve. Le théorème 2 nous dit bien que lors de la multiplication de deux nombres A et B, la valeur réduite du produit AB et la valeur réduite de la multiplication réduite ab doivent être les mêmes. Si donc on trouve des valeurs différentes, c est qu il y a une erreur quelque part! Le théorème 2 établit ainsi la validité de la preuve par 9... dans le cas où celle-ci détecte une erreur. Pour parler belge encore une fois: si la preuve par 9 ne tombe pas juste, il y a une erreur dans le calcul. 2 Les secrets de mon compte en banque Cette fois, c est du concret! Rends-toi à un guichet automatique de ta banque et essaye de verser un EURO sur le compte Ça ne marche pas: numéro incorrect te répond la machine. Ne te décourage pas, essaye maintenant de verser mille EUROS sur le compte Eurêka! Cela fonctionne! Et je te remercie infiniment pour le généreux versement que tu viens de me faire. Comment diable l ordinateur de ta banque a-t-il pu savoir que tu avais commis une erreur la première fois? Ce n est sans doute pas parce que cet ordinateur a une affection particulière pour moi et qu il n aurait jamais voulu que tu fasses un cadeau à quelqu un d autre. Ce n est sans doute pas non plus parce que l ordinateur a pris le temps de comparer le numéro introduit avec tous les numéros de compte existant en Belgique: ce serait fastidieux. Non, non, c est beaucoup plus simple que cela! En quelque sorte, l ordinateur a fait...la preuve par 97! 10

12 2.1 Le code détecteur d erreur En effet. Un numéro de compte en banque belge a toujours la structure trois chiffres sept chiffres deux chiffres. Et bien les deux derniers chiffres sont toujours le reste de la division par 97 du nombre formé par les dix premiers chiffres. Reprends mon numéro de compte correct et effectue la division: = ( ) Le reste de la division est bien le nombre 52: les deux derniers chiffres de mon compte en banque. Reprends maintenant le numéro erroné que tu avais frappé (enfin, soit disant frappé...) = ( ) Le reste est cette fois 62: il est différent des deux derniers chiffres de mon numéro de compte, donc le numéro de compte introduit n existe pas. Très bien! L ordinateur de la banque est capable de détecter la présence d une erreur dans un numéro de compte. C est rassurant, non? Oui, enfin...comme tout code détecteur d erreur, il ne va pas détecter toutes les erreurs. Par exemple si tu ajoutes 97 aux dix premiers chiffres de mon numéro de compte = et qu ensuite tu introduis le numéro (je t en prie, verse dix centimes, pas plus), l ordinateur de la banque n y verra que du feu et effectuera le paiement. En effet, le nouveau nombre s écrit cette fois = ( ) et il passe parfaitement bien le test par 97. Tu as tout simplement versé dix centimes à quelqu un d autre. Bon, d accord. On vient de voir que l ordinateur de la banque accepte que l on verse de l argent à quelqu un d autre que moi: c est dommage, mais c est comme cela. Par contre si c était vraiment à moi que tu voulais verser les 11

13 dix centimes (je ne peux pas le croire, tu aurais versé plus), si donc vraiment il s agissait d une erreur en introduisant le numéro de compte, il faut avouer que l erreur était fameuse: à la fin du groupe central de sept chiffres, tu aurais frappé 325 au lieu de 228; comme distraction, ce n est pas mal! Deux chiffres erronés! 2.2 Quelles sont les erreurs détectées La qualité que l on attend d un code détecteur d erreur, c est de pouvoir rapidement et simplement détecter toutes les erreurs les plus courantes qui risquent de se produire. Et quelles sont-elles, dans le cas d un numéro de compte en banque? L expérience montre que les deux erreurs les plus courantes sont se tromper dans l un des chiffres: frapper par exemple 223 au lieu de 233; permuter deux chiffres: frapper par exemple 47 au lieu de 74, ou bien 374 au lieu de 473. Et bien si tu commets l une de ces deux erreurs, le test par 97 la détectera à coup sûr. Essayons de comprendre pourquoi. Tout d abord, remarque que 97 est un nombre premier: il n est divisible que par 1 et par 97. C est en fait le plus grand nombre premier de deux chiffres. Et je te rappelle que tout nombre peut se décomposer, d une manière unique d ailleurs, en un produit de nombres premiers. Commençons par évacuer le cas trivial où l erreur a précisément été commise dans les deux derniers chiffres du compte en banque. Dans ce cas les dix premiers chiffres sont corrects, mais les deux derniers chiffres de contrôle ne sont plus le reste de la division du nombre de dix chiffres par 97. Donc l ordinateur de la banque conclut à une erreur. Intéressons-nous dès lors au cas où l erreur est commise dans les dix premiers chiffres, qui constituent le véritable numéro de compte. Cernons bien le problème. Étant donné un numéro de compte en banque, on considère la partie A formée des dix premiers chiffres, on la divise par 97 et on prend le reste A = 97q + r, 0 r < 97. Imaginons maintenant avoir fait une erreur en introduisant le nombre A et appelons A le nombre introduit par erreur. L ordinateur de la banque fait 12

14 le test par 97 A = 97q + r, 0 r < 97. L ordinateur ne détectera pas l erreur si et seulement si r = r, c est-à-dire si et seulement si A 97q = A 97q. Remarquons que cela implique aussitôt A A = 97q 97q = 97(q q ) donc A A est un multiple de 97. Réciproquement si A A est un multiple de 97, disons A A = 97l alors on a aussitôt A = A + 97l = 97q + r + 97l = 97(q + l) + r, 0 r < 97. Cette égalité montre que r est le reste de la division de A par 97, c est-à-dire, r = r. Nous venons de démontrer que Deux nombres A et A fournissent le même reste lors du test par 97 si et seulement si A A est divisible Un chiffre erroné Commençons par le cas d un chiffre erroné: un seul, puisque nous avons déjà observé qu à partir du moment où l on comment deux erreurs (comme 325 et 228 dans l exemple plus haut), le test par 97 peut très bien ne rien détecter du tout. Comme dans le cas de la preuve par 9, commençons par écrire un nombre quelconque sous la forme = = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ). Donc un nombre A de dix chiffres A = c 9 c 8 c 7 c 6 c 5 c 4 c 3 c 2 c 1 c 0 s écrit sous la forme A = c c c c c c c c c c

15 Imaginons maintenant que nous ayons fait une erreur dans l un des chiffres et appelons A le nombre erroné ainsi obtenu. Nous pouvons bien entendu répéter la même opération avec A. Le nombre s écrit sous la forme A = c 9c 8c 7c 6c 5c 4c 3c 2c 1c 0 A = c c c c c c c c c c Pour que l erreur ne soit pas détectée, il faudrait, comme nous l avons vu, que A A soit divisible par 97. Calculons donc A A. En fait c est très facile puisque tous les chiffres c i de A sont les mêmes que les chiffres c i de A... sauf un seul! Disons que ce sont les chiffres c n et c n qui sont différents: c est là que l erreur a été commise. Lors de la différence A A tous les termes des deux sommes sont égaux deux à deux, sauf les termes d indice n. On trouve donc A A = c n 10 n c n 10n = (c n c n )10n. Et cette différence ne contient certainement pas le facteur premier 97: c n c n est la différence de deux nombres d un seul chiffre, donc c est un nombre d un seul chiffre (positif ou négatif): il n est certainement pas divisible par 97; 10 = 2 5, donc 10 n ne possède que des facteurs premiers 2 et 5: à nouveau, pas de 97. C est gagné: A A n est pas divisible par 97 et à chaque coup, le test par 97 va détecter l erreur Une permutation de deux chiffres Venons-en maintenant à l erreur consistant à permuter deux chiffres, deux chiffres consécutifs comme dans 74 et 47, ou deux chiffres non consécutifs comme dans 374 et 473, ou encore comme dans 3774 et 4773, etc. Disons que ce sont les chiffres d indices n et m qui ont été permutés pour passer de A à A. Quand nous calculons la soustraction A A, à nouveau la plupart 14

16 des termes sont deux à deux égaux et se simplifient, sauf les termes d indices n et m. Et pour ces deux termes-là, on a une permutation c n = c m, c m = c n. Pour fixer les idées, disons que n > m; on ferait un raisonnement analogue dans l autre cas. La différence est donc A A = (c n 10 n + c m 10 m ) (c n 10n + c m 10m ) = (c n 10 n + c m 10 m ) (c m 10 n + c n 10 m ) = c n (10 n 10 m ) + c m (10 m 10 n ) = (c n c m )(10 n 10 m ) = 10 m (c n c m )(10 n m 1). A nouveau, l erreur sera détectée dès que A A n est pas divisible par 97. Il suffit donc de nous assurer que le produit obtenu dans la dernière ligne de ces égalités ne contient aucun facteur 97. Comme plus haut, nous observons d emblée que: 10 m ne contient que des facteurs premiers 2 et 5, donc pas de 97; c n c m est la différence de deux nombres d un seul chiffre, donc c est un nombre d un seul chiffre (positif ou négatif) et il n est certainement pas divisible par 97. Mais il reste le cas du facteur 10 n m 1. Puisque n et m peuvent prendre les valeurs de 0 à 9, tout en restant distincts, n m peut prendre toutes les valeurs de 1 à 9. Il faut donc étudier les facteurs premiers des nombres = = = = = = = = =

17 Voici ce que cela donne: 9 = 9 99 = = = = = = = = En effet, il n y a jamais de facteur 97. Donc le test par 97 détecte toujours une permutation de deux chiffres. Rappelez-vous, la preuve par 9 ne le faisait pas. Ah oui! Pour conclure je devrais quand même vous avouer une chose. Je vous ai menti: les deux derniers chiffres d un numéro de compte en banque... ce n est pas toujours le reste de la division par 97 du nombre qui précède. Pour une raison que seuls les psychanalystes pourraient expliquer, quand ce reste est nul... les banquiers écrivent 97 au lieu de 00. La peur d être nuls peut-être. Allez, soyons bon princes et laissons-leur le bénéfice du doute: disons que c est par analogie avec le cas de la preuve par 9. Ce choix d écrire 97 au lieu de 00 pour un reste nul ne change évidemment rien aux raisonnements qui précèdent: il suffit de le dire une fois pour toutes à l ordinateur de la banque. 3 L art de corriger les erreurs Et oui, cette fois nous faisons de plus en plus fort! Non contents de vouloir détecter les erreurs, nous voudrions maintenant que notre système les corrige lui-même automatiquement... plutôt que de nous avertir de l erreur pour que nous prenions les dispositions utiles! Génial non? De telles procédures existent et sont largement utilisées. Elles permettent d assurer une fiabilité accrue de la transmission de l information, pour autant que celle-ci soit numérisée. Cela peut aller des transmissions par Internet, à la téléphonie sans fil et au stockage d un morceau de musique sur un CD. 16

18 Et de multiples autres applications. Ici, les procédés mathématiques sousjacents sont beaucoup plus élaborés le simple calcul du reste d une division. Néanmoins, il existe déjà des processus simples de détection et correction d erreur... processus qui bien sûr ne s appliquent qu à des situations ellesmême simples. Prenons un exemple. 3.1 Posons bien le problème! Une information numérisée est donc stockée dans un certain nombre de bits (acronyme de l anglais binary digit; l Académie Française suggère que vous appeliez cela un binon; vous voyez que j aime bien votre professeur de Français). Chaque bit peut donc prendre deux valeurs, que l on note conventionnellement 0 et 1. Transmettre une information numérisée revient dès lors à transmettre une suite en général très longue de valeurs 0 et 1. L idée des codes correcteurs d erreur est de transmettre cette information par paquets, en ajoutant à chaque paquet un certain nombre de bits de contrôle qui ont la capacité de détecter une erreur dans la transmission du paquet et même de corriger cette erreur. Je prendrai ici l exemple de petits paquets de quatre bits. Bon. Fixons les règles du jeu. On suppose bien entendu que l on utilise un système raisonnablement fiable de transmission de l information. Si vous utilisez un système qui se plante à chaque bit, que ce soit un bit d information ou un bit de contrôle, il ne faut bien entendu pas espérer pouvoir récupérer quelque information fiable que ce soit à l arrivée. Nous faisons donc l hypothèse raisonnable que notre système commet peu d erreurs: disons, au plus une erreur dans la transmission de chaque paquet de bits, le paquet comprenant à la fois les bits d information et les bits de contrôle. Et bien quels bits de contrôle pensez-vous qu il faudrait ajouter à un paquet initial de quatre bits afin de pouvoir, à l arrivée, corriger une éventuelle erreur de transmission? Élémentaire me direz-vous: il suffit d envoyer le même paquet deux fois. Puisque l on suppose qu il y aura au plus une erreur dans l envoi du paquet de huit bits, au moins un des deux paquets de quatre bits sera correct. C est vrai... mais lequel? Si à l arrivée on détecte une différence entre ces deux paquets de quatre bits qui au départ étaient les mêmes, comment savoir dans lequel des deux paquets se trouve l erreur, lequel des deux paquets est le bon? Oui, c est vrai. Bon, ben, pas de problème. Envoyez trois fois chaque paquet. Comme on suppose toujours qu il y aura au plus une erreur de transmission dans le paquet de douze bits, 17

19 si jamais il y a une erreur, deux des trois paquets de quatre bits sont restés les mêmes: c est la bonne valeur. Donc, en envoyant douze bits au lieu de quatre, nous venons de mettre au point un système correcteur d erreur. C est pas mal, en effet, et cela prouve en tout cas que le problème posé n est pas si idiot que cela: nous venons déjà de concocter une solution. Mais une solution assez lourde avouez-le: on envoie trois fois l information! Et bien figurez-vous qu il n y a vraiment pas besoin de ces huit bits de contrôle: trois suffisent. Oui vous avez bien lu: trois bits de contrôle suffisent pour corriger une éventuelle erreur dans la transmissions d une information qui comporte quatre bits. Voyons le principe. 3.2 Un exemple de code correcteur d erreur Nous allons représenter par a, b, c, d les valeurs des quatre bits d information à transmettre et par x, y, z les valeurs des trois bits de contrôle. Donc ces sept lettres représentent toutes l une des deux valeurs 0 ou 1. L idée est de considérer le diagramme suivant que vous connaissez-bien et de recopier en fait les valeurs des sept bits à l endroit indiqué. z b y c a d x Mais quelles valeurs me direz-vous, car je ne vous ai toujours pas expliqué comment déterminer les bits de contrôle. En effet. Vous disposez donc d un paquet d informations (a, b, c, d) à transmettre: chaque lettre représente la valeur d un bit, donc vaut 0 ou 1. Et bien reportez déjà ces quatre valeurs dans le graphique. Il reste trois zones à remplir: une dans chaque cercle. Choisissez simplement les valeurs de (x, y, z) de sorte que dans chaque cercle, il y ait un nombre pair de valeurs 1. C est-à-dire, 18

20 dans chaque cercle, il doit y avoir 0, 2 ou 4 valeurs 1. Par exemple partons de (a, b, c, d) = (1, 0, 1, 1). Reportant dans le graphique on doit donc choisir (x, y, z) = (1, 0, 0) pour obtenir un nombre pair de valeurs 1 dans chaque cercle: 2 ou 4 selon le cas. Imaginez maintenant qu une erreur ait été commise: qu un bit ait changé inopinément de valeur lors du transfert. Il nous reste à constater que l on peut sans difficulté déterminer de quel bit il s agit et donc corriger l erreur en modifiant sa valeur. Il suffit d envisager les sept cas possibles. Si le bit a s est trouvé altéré, on a augmenté ou diminué d une unité le nombre de valeurs 1 dans chacun des trois cercles, puisque a se trouve dans les trois cercles à la fois. L ordinateur qui reçoit l information constate donc qu il y a un nombre impair de valeurs 1 dans chacun des trois cercles; donc il y a une erreur dans chaque cercle. Comme nous avons l hypothèse qu il n y a qu une seule erreur au total, c est que l erreur a été commise sur le seul élément qui se trouve dans les trois cercles à la fois: l élément a. Il suffit de modifier la valeur de a pour récupérer l information correcte. Si le bit b s est trouvé altéré, on a augmenté ou diminué d une unité le nombre de valeurs 1 dans les cercles où b se trouve, c est-à-dire les deux cercles supérieurs. L ordinateur qui reçoit l information constate 19

21 que ces deux cercles contiennent un nombre impair de valeurs 1, donc l erreur se situe dans chacun de ces deux cercles: soit en a, soit en b. Mais l erreur n est pas en a, puisque le cercle du bas contient toujours un nombre pair de chiffres 1. Donc l erreur est en b et il suffit de modifier cette valeur. Les cas où c est le bit c ou le bit d qui se trouve altéré sont parfaitement analogues au cas du bit b. Si cette fois c est le bit x qui est altéré dans le transfert, seul le cercle du bas est altéré, puisque c est le seul cercle dans lequel x se trouve. L ordinateur qui reçoit l information constate donc que seul le cercle du bas contient un nombre impair de valeurs 1. Donc l erreur est dans le cercle du bas, mais dans aucun des cercles du haut. C est-à-dire que l erreur est fatalement en x. Les cas des bits y et z sont à nouveau parfaitement analogues au cas du bit x. En conclusion, partant de l hypothèse que le système de transmission est suffisamment fiable pour qu il n y ait jamais plus d une erreur dans chaque paquet de sept bits, nous venons de constater qu en effet si une erreur s est glissée dans la transmission d un paquet, l ordinateur qui réceptionne l information détectera l erreur et pourra la corriger. Vous ne trouvez pas que Belgacom ferait bien d adopter un système analogue pour les numéros de téléphone? C est fou ce que c est irritant d être réveillé la nuit par quelqu un qui a composé un mauvais numéro! 20