Théorie des nombres. Alexandre SIMON 6/05/2009

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1 Théorie des nombres Alexandre SIMON 6/05/2009 Table des matières 1 Equations diophantienne : Joseph H. Silverman, arithmetic of Elliptic Curve Equation diophantienne linéaire Equation diophantienne quadratique Hasse-Minkowski Theorem Equations diophantienne : Number Theory, Borevitch, Shafarevich congruences rôle des nombres p-adiques Introduction aux équations diophantienne : Number Theory, H.Cohen Exemples de problèmes diophantiens Méthodes locales Annexes/rappels Congruences et classes de résidues Théorème de Fermat

2 - Rational integer = Entier relatif = integer = Z - Rational number = nombre rationnel = Q - Coprime = nombres premiers entre eux, par exemple, 6 et 35 sont premiers entre eux, mais 6 et 27 ne le sont pas parce qu ils sont tous les deux divisibles par 3. (Wikipédia) In mathematics, a Diophantine equation is an indeterminate polynomial equation that allows the variables to be integers only. Diophantine problems have fewer equations than unknown variables and involve finding integers that work correctly for all equations. In more technical language, they define an algebraic curve, algebraic surface or more general object, and ask about the lattice points on it. 1 Equations diophantienne : Joseph H. Silverman, arithmetic of Elliptic Curve Equation diophantienne : Solution de polynome en nombres entiers ou rationnels. Géométrie diophantienne : Etude des équations diophantienne avec une combinaison de techniques issues de la théorie des nombres et de la géométrie. On the one hand, the problem of finding integer and rational solutions to polynomial equations calls into play the tools of algebraic number theory, which describes the rings and fields wherein those solutions lie. On the other hand, such a system of polynomial equations describes an algebraic variety, which is a geometric object. It is the interplay between these two points of view which is the subject of Diophantine geometry. 1.1 Equation diophantienne linéaire ax + by = c, a, b, c Z a or b 0 Ces équations ont toujours des solutions rationnelles et des solutions en entiers si et seulement si le plus grand diviseur commun de a et b divise c. Dans ce cas toutes les solutions peuvent être trouvées à l aide de l algorithme d Euclide. 1.2 Equation diophantienne quadratique ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 a,..., f Z, a, b, or c 0. C est équations décrivent des sections coniques et par un changement de coordonnées appropriés avec des coéfficients rationnels il est possible de transformer ces équations en l une des suivantes : AX 2 + BY 2 = C AX 2 BY 2 = C AX + BY 2 = 0 ellipse hyperbola parabola. Pour les équations quadratique il existe le puissant théorème suivant : 2

3 1.2.1 Hasse-Minkowski Theorem Soit f(x, Y ) Q[X, Y ] un polynome quadratique, alors l équation f(x, Y ) = 0 a une solution (x, y) Q 2 si et seulement si : - Elle a des solutions (x, y) R 2 - Et une solution (x, y) Q 2 p pour chaque nombre premier p (Ici Q p est le corps des nombres p-adic). En d autre terme, un polynome quadratique à une solution sur Q si et seulement s il a une solution dans chaque dans chaque completion de Q. Déterminer s il existe des solutions dans Q p sera à l aide du lemme de Hensel, est plus ou moins la même chose que dans le corps fini Z/pZ. Et cela est facilement accompli en utilisant la réciprocité quadratique. Résumé des étapes qui permettent l analyse des équations quadratiques. A) Analyse des équations sur des corps fini. [Réciprocité quadratique]. B) Utilisation de ces informations sur des corps locaux complets Q p.[lemme de Hensel] (Il faut également les analyser sur R). C) Rassembler les informations locales afin d obtenir des résultats pour le corps global Q [Principe de Hasse]. Ou la géométrie apparait-elle? Les équations linéaires et quadratiques à deux variables définissent une courbes de genre 0 (genus 0), l arithmétique des courbes de genre 0 est relativement bien maitrisée. Le prochain cas le plus simple, l arithmétique des courbes de genre 1 qui sont données par des équations cubiques à deux variables sont des courbes elliptique. Les courbes elliptiques permettent également l étude de courbes de genres supérieur et des variétées abélienne de dimension supérieure. 2 Equations diophantienne : Number Theory, Borevitch, Shafarevich 2.1 congruences La connection entre la théorie des congruences et les équations à plusieurs variables est basée sur la simple remarque que si l équation F (x 1,..., x n ) = 0, (1) avec F polynôme avec des coefficients entier a des solutions en entiers alors la congruence est soluble pour n importe quelle valeur modulo m. F (x 1,..., x n ) 0 (mod m) (2) L assertion qui dit qu une équation est solvable si et seulement si elle est solvable par congruence modulo m est en générale faux sauf pour certaines classes d équations comme les formes quadratiques qui nécessittent comme solution supplémentaire d être solvable en nombres réels rôle des nombres p-adiques De la théorie élémentaire des nombres on sait que si la congruence F (x 1,..., x n ) 0 (mod p i ) k i (3) 3

4 est solvable pour i = 1,..., r ou p 1,..., p r sont des nombres premiers distincts, alors la congruence (2) est solvable modulo m avec m = p k 1 1,..., pkr r. On fixe un nombre premier p et on se pose la question de savoir si la congruence F (x 1,..., x n ) 0 (mod p) k (4) est solvable pour tous les entiers naturels k. C est en connection avec ce problème que Hensel à construit pour chaque nombre premier p un nouveau type de nombre, les nombres p-adiques. Il démontra que la solvabilité de (3) pour tous les entiers k était équivalent à la solvabilité de (1) en nombre p-adiques. Donc on peut dire que la solvabilité de la congruence (2) pour tous les m est équivalent à la sovabilité de (1) en nombre p-adique pour tous les p premiers. Si F (x 1,..., x n ) est une forme quadratique avec des coéfficients intégraux, alors, (1) est soluble en entier si et seuelement si (1) est solvable en nombre p-adiques et en nombres réels. ( théorème de Hasse-Minkowski). 3 Introduction aux équations diophantienne : Number Theory, H.Cohen L étude des équations diophantienne est l étude des solutions d équations polynomiales ou systèmes d équations polynômiales en entiers ou nombres rationnels ou parfois d anneaux de nombres plus généraux. 3.1 Exemples de problèmes diophantiens Dernier théorème de Fermat :, pour n 3, la courbe x n + y n = 1 n a pas de points rationnels autres que x ou y égal à 0. Conjecture de Catalan :, quand n et m 2, les seules solutions en entiers différents de 0 de l équation x m + y n = 1 viennent de l égalité = 1. Problème des nombres congruents : Le problème est de trouver tous les entiers n (appelés nombres congruents) qui sont égaux à la surface d un triangle à angle droit qui à ces trois cotés rationnel. Une simple transformation algébrique met en évidence que n est congruent si et seulement si l équation diophantienne y 2 = x 3 n 2 x à une solution que celle avec y = 0 Conjecture de Weil : Nombre de solutions d équation diophantienne dans des corps finis. En effet il est essentiel de commencer l etude de ces équations dans des corps finis. Problem de Waring : Soit un entier k 2 trouver le plus petit entier g(k) tel que chaque entiers non négatifs peut être représenté comme une somme de g(k) exposant k non négatif. 3.2 Méthodes locales Il est essentiel d étudier d abord les équations diophantiennes de façon locale, c est à dire nombre premier par nombre premier. Soit p un nombre premier et soit F p Z/pZ un corps premier fini à p éléments... Considéront l équation x 2 + y 2 = 3 à être solutionné avec des nombres rationnels, ( ou x 2 + y 2 = 3z 2 à être solutionnée en entiers rationnels). 4

5 (Wikipédia) In number theory one may study a Diophantine equation, for example, modulo p for all primes p, looking for constraints on solutions. The next step is to look modulo prime powers, and then for solutions in the p-adic field. This kind of local analysis provides conditions for solution that are necessary. In cases where local analysis (plus the condition that there are real solutions) provides also sufficient conditions, one says that the Hasse principle holds : this is the best possible situation. It does for quadratic forms, but certainly not in general (for example for elliptic curves). The point of view that one would like to understand what extra conditions are needed has been very influential, for example for cubic forms. Some form of local analysis underlies both the standard applications of the Hardy-Littlewood circle method in analytic number theory, and the use of adele rings, making this one of the unifying principles across number theory. 4 Annexes/rappels 4.1 Congruences et classes de résidues Si m est un diviseur de x a on dit que x est congruent a a modulo m et l on écrit x a (mod m) -a est appelé un résidue de x modulo m - Une classe de résidue (mod m) est la classe de tous les nombres à un résidue donné modulo m. 4.2 Théorème de Fermat Si p est un nombre premier a p a (mod p) Si p est un nombre premier et p ne divise pas a Théorème Fermat-Euler. Si (a, m) = 1 a p 1 1 (mod p) a φ(m) 1 (mod m) 5