S E S S I O N 1 : R É P O N S E S V. N I E S S N O V E M B R E

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1 UFR Sciences et Technologies 1 er pas en Matlab 1 S E S S I O N 1 : R É P O N S E S V. N I E S S N O V E M B R E

2 Exercice 1 : les nombres heureux Les nombres 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28 et 31 sont heureux. Un nombre malheureux génère une séquence périodique de nombres, par conséquent également malheureux. Par exemple en partant du nombre 2 on obtient la séquence: 2, 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, 2 La séquence de nombres ainsi obtenue se répète donc à l infini. On en déduit que les nombres 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42 et 20 sont également malheureux.

3 Exercice 2:le nombre d or Vous pouvez utiliser le code suivant, par exemple: >> phi = 1 >> phi = 1 + 1/phi (itération 1) >> phi = 1 + 1/phi (itération 2) >> phi = 1 + 1/phi (itération n) >> (1+sqrt(5))/2 3 Les touches et du clavier permettent de naviguer dans l historique des commandes. Cela vous permet, notamment, de rappeler la dernière instruction sans avoir à la retaper. L initialisation de phi à la valeur 1 est arbitraire. Vous pouvez utiliser n importe qu elle autre valeur. La convergence de la série étant d autant plus rapide que vous partez d une valeur proche de la valeur vraie de f. Pour phi initialisé à 1, on obtient le 3 ème chiffre significatif de f en 9 itérations.

4 Exercice 2b: retour sur le nombre d or 4 La séquence de commandes suivantes construit un tableau phi de taille croissante, contenant les différents termes de la série, selon: >> phi = 1 >> phi = [phi, 1+1/phi(end)] (itération 1) >> phi = [phi, 1+1/phi(end)] (itération 2) >> phi = [phi, 1+1/phi(end)] (itération n) >> epsilon=phi/((1+sqrt(5))/2)-1 >> 100*epsilon(7) >> 100*epsilon(8) On atteint une précision relative de 1/1000 en 7 itérations. On notera que le 1er élément du tableau phi est une initialisation et n est pas comptée comme une itération.

5 Exercice 3: calcul de p A partir du vecteur d indices k on construit un vecteur contenant les 5 1 er termes des séries. Les fonction `sum` et `prod` permettent de sommer ou multiplier ces termes. Soit par exemple: >> k = [0, 1, 2, 3, 4] >> Leibnitz = 4*sum((-1).^k./(2*k+1)) >> Madhava = sqrt(12)*sum((-1/3).^k./(2*k+1)) >> k = k+1 >> Wallis = 2*prod((2*k).^2./((2*k).^2-1)) >> 100*(Leibnitz/pi-1) >> 100*(Madhava/pi-1) >> 100*(Wallis/pi-1) 5 La série de Madhava a la convergence la plus rapide. En 5 itérations on approche p avec une précision relative de 3/10,000. Pour la série de Leibniz et le produit de Wallis les erreurs relative sont de 6% et 4%.

6 Exercice 1b : retour sur les nombres heureux Le résultat de est un tableau contenant les nombres réels de 0 a 9: >> ' '-'0' ans = Pour calculer la somme des carrés des chiffres d un nombre on commence par le convertir en chaine de caractères, avec la fonction num2str. Puis on soustrait le caractère 0 pour obtenir un tableau de réels contenant les chiffres. Il suffit ensuite d utiliser l opérateur.^ et la fonction `sum` vue précédemment. Ainsi: >> x = >> x = sum((num2str(x)-'0').^2) >> x = sum((num2str(x)-'0').^2) >> x = sum((num2str(x)-'0').^2) 6 On obtient la séquence suivante: 261, 41 et 17. Or 17 est malheureux d après les résultats de l exercice 1. Par conséquent est aussi malheureux.

7 Exercice 3b: calcul de p par Monte-Carlo Pour générer des couples de valeurs (x, y) dans [0;1] [0;1] on utilise la fonction`rand`. On définit ensuite une variable logique qui teste si un point est inscrit ou non dans le cercle de rayon unité. Soit, par exemple: >> N = 10^4 >> x=1-rand(1, N); >> y=1-rand(1, N); >> r = x.^2 + y.^2; >> dedans = (r <= 1); >> m = length(find(dedans)) ou >> m = size(r(dedans), 2) >> pi_mc = 4*m/N >> sigma_mc = 2*sqrt(m*(N-m)/(N^3)) Notez l utilisation du point virgule pour éviter d afficher les grands tableaux à l écran, ce qui prend beaucoup de temps pour N= On obtient les résultats suivants: N = 10 4 : pi = 3.16 ± N= 10 5 : pi = 3.15 ± N = 10 6 : pi = ± Soit une précision relative de 2/10,000 pour N=10 6, comparable à ce que l on obtient avec la série de Madhava mais en seulement 5 itérations pour cette dernière! Aussi, dans ce cas de figure la méthode Monte-Carlo est bien moins performante que l approximation par une série.

8 Exercice 4 : faire du ménage en musique La commande `clear all` nettoie l espace de travail. La commande `ls` ou `dir` permet d inspecter le contenu du répertoire courant. En particulier pour vérifier que vous avez bien sauvé vos variables sur le disque. >> save( variables ) >> ls ou >> dir >>clear all Le fichier de données handel réside dans un répertoire interne de Matlab. Vous n avez pas besoin de spécifier de chemin pour le charger. Il contient 2 variables `y` et `Fs`. `y` est un tableau de réels codant une amplitude sonore. `Fs` et la fréquence d échantillonnage de `y` en Hz. La commande `sound` permet d envoyer ces données vers le haut parleur. Vous pouvez modifier la fréquence d échantillonnage pour écouter comment le son se déforme. >> load( handel ) >> whos >> sound(y, Fs) ou >> sound(y, 1.5*Fs) Pour rechargez votre espace de travail utilisez la commande `load`, selon: >> load( variables ) 8

9 Réponses aux questions Mais c est quoi Matlab? Il fallait répondre 2 et 3. Matlab n a pas de rapport avec le film Matrix. Variables et affectation `ans*2` renvoie 4. En l absence d affectation explicite, le résultat est sauvé dans `ans` de nouveau. Donc `ans` vaut 4 maintenant. Définition explicite d un tableau `[v, M]` donne une erreur de concaténation car v et M n ont pas le même nombre de lignes. Accès à un élément d un tableau 9 `size(size(m))` renvoie le tableau `[1, 2]`. Le 1er appel à la fonction `size` renvoie le nombre de lignes et de colonnes de M sous la forme d un tableau 1 2. Par conséquent le second appel renvoie `[1, 2]`. Des appels successifs continueront de renvoyer [1, 2].

10 Réponses aux questions Arithmétique avec des tableaux 10 `sqrt([1, 4, 9])` donne le tableau `[1, 2, 3]`. La racine carrée est appliquée à chaque élément du tableau de départ. Types de données et chaines de caractères ` 1 +1` renvoie le nombre 50 car le code ASCII correspondant au caractère 1 est 49. Par contre char( 1 +1) renvoie le caractère de code ASCII 50, soit le caractère 2. Les caractères 0, 1, a 9 se suivent. Il en est de même pour les caractères de l alphabet. Accès multiples à un tableau `v([1, end])` renvoie le 1er et le dernier élément du vecteur v alors que `v(1:end)` renvoie tous les éléments de v. Sauf pour un vecteur de 2 éléments le résultat est différent. Propositions logiques et indexation Le résultat de `1:3 == 2*ones(1, 3)` est le tableau logique [0, 1, 0]. Seul le 2 ème élément est le même dans les deux tableaux comparés. `any([1, 2]==[2, 1])` renvoie `0` car les éléments des deux tableaux diffèrent tous, membre à membre. Par conséquent `all([1, 2]==[2, 1])` renvoie aussi `0`. any(1:3 == 3:-1:1) renvoie `1` car le 2 ème élément est le même dans les deux tableaux. Par contre `all(any(1:3 == 3:- 1:1)` renvoie `0` car les autres éléments diffèrent.