Cours Algorithmique, 2ème partie AS IUT

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1 Cours Algorithmique, 2ème partie AS IUT B-Arbres Anne Vilnat

2 Des ABR aux B-arbres Pourquoi aller plus loin que les ABR? Dans un ABR : l examen de la valeur d un sommet permet d éviter de parcourir un des deux sous-arbres Si l ABR est équilibré, l espace de recherche est divisé par deux Si le sommet portait deux valeurs c1 < c2, on aurait trois sous-arbres division par trois S il en portait m 1, division de l espace de recherche par m

3 Des ABR aux B-arbres Mais pas si simple... Comparer à (m 1) valeurs coûte plus cher Si les (m 1) cases sont peu remplies, perte de place importante D où deux problèmes : 1 m doit rester raisonnable 2 essayer d avoir un arbre équilibré : Si les données sont fréquemment modifiées, beaucoup de réorganisations sont nécessaires

4 Difficultés et solutions... Difficultés générales À la suite d insertions ou de retraits, un arbre peut devenir peu fourni Si on veut garantir un accès en O(logn), on doit avoir des arbres équilibrés et épais Les meilleurs sont les arbres pleins, mais...

5 Difficultés et solutions... Solutions Equilibre en poids (nombre de sommets dans les sous-arbres) : arbresbb[alpha] Equilibre en hauteur : Arbres AVL (a,b)-arbres Arbres rouge et noir B-arbres Arbres randomisés Arbres déployés, arbres à auto-ajustement

6 B-Arbres Principe Ils se développent à partir des feuilles Une feuille peut contenir au plus (m 1) données Si une nouvelle donnée doit être rajoutée, la feuille donne naissance à une nouvelle feuille, et les deux se partagent équitablement les données Un sommet est créé au-dessus des deux, qui permettra de savoir dans laquelle on devra chercher

7 Exemple de B-Arbre Sommet vide Sommet portant les clés 10, 20, 30, 40 On ajoute 35

8 Remarques Les clés sont en nombre k, avec k au plus égal à (m 1) On a (k + 1) fils, correspondant aux k + 1 intervalles, et qui signifient : dans ce sommet se trouvent des valeurs situées dans l intervalle Tout sommet (autre que la racine) comporte dès sa naissance au moins la moitié des données qu il peut contenir

9 Ajout dans un B-Arbre Algorithme général 1 Recherche de la feuille où l information doit être ajoutée 2 Si la feuille n est pas pleine, on inscrit l information 3 Si elle est pleine : on crée une nouvelle feuille au même niveau, et on partage : (m 1) plus petites, (m 1) plus grandes On tente d inscrire la valeur médiane dans le sommet supérieur, accompagné des fils Si cela est possible, terminé S il n y a pas de sommet supérieur, on le crée, il devient la racine Si le sommet supérieur est plein, on l éclate comme on l a fait pour la feuille à l étape (3)

10 Remarques Problèmes L ajout d une donnée peut provoquer l éclatement d une feuille, puis d un sommet au-dessus, puis encore d un autre, et même la création d une nouvelle racine Le retrait de données est plus délicat, lorsque cette donnée se trouve dans une feuille à moitié vide, ou qu elle se trouve dans un sommet non terminal (pivot). Il peut être plus efficace parfois de reconstruire entièrement l arbre Problèmes également si les clés ne sont pas uniques...

11 Avantages : un peu de théorie... Propriétés B-arbre d ordre m Un sommet peut avoir au plus m enfants et (m 1) clés Tous les sommets autres que la racine doivent avoir au moins m/2 clés Arbre de hauteur maximale à n sommets externes de hauteur 1 + log m (n/2) racine binaire, autres sommets internes de degré m Plus petit arbre à n sommets de hauteur 1 + log (2m 1) n les sommets internes sont de degré (2m 1) Hauteur Θ(logn) pour n données

12 Exemple Dans un B-arbre d ordre 5, ajouter successivement des données de clés : 3, 14, 7, 1, 8, 5, 11, 17, 13, 6, 23, 12, 20, 26, 4, 16, 18, 24, 25, 19 Retirer ensuite successivement les données correspondant aux clés : 8, 20, 18, et 5

13 Exemple... Insérer 3, 14, 7, 1 : Insérer 8 :

14 Exemple... Insérer 5, 11, 17 : Insérer 13 :

15 Exemple... Insérer 6, 23, 12, 20 : Insérer 26 :

16 Exemple... Insérer 4 : Insérer 16, 18, 24, 25 :

17 Exemple... Insérer 19 :

18 En pratique : Quelques propriétés Si la taille d un sommet correspond à une unité de stockage physique (secteur, granule) accessible en une seule lecture Utilisés pour stocker des fichiers sur disque (en particulier les fichiers séquentiels indexés, où les données sont accessibles à partir d une clé), ou les index pour Oracle Valeur typique m > 200 : Minimum de feuilles pour 4 niveaux : = Maximum de feuilles pour 4 niveaux : = On peut conserver les trois premiers niveaux en mémoire centrale, soit au plus = sommets Une recherche demande au plus deux accès disque