Pr ZEGOUR DJAMEL EDDINE Ecole Supérieure d Informatique (ESI)

Transcription

1 17/2/212 r ZEOUR JMEL EINE Ecole Supérieure d Informatique (ESI) d_zegour@esi.dz Les arbres VL rbres VL Un arbre VLest un arbre de recherche binaire équilibré rofondeur(fg(n) ) rofondeur(fd(n)) <= 1 jouter un champ balance (facteur d'équilibrage ) au niveau de chaque noeud 1

2 17/2/212 Les arbres VL rbres VL (as de déséquilibre) Les arbres VL rbres VL (as de déséquilibre)

3 17/2/212 Les arbres VL rbres VL (Techniques d'équilibrage ) Examinons un sous arbre de racine le plus jeune antécédent qui devient non équilibré suite à une insertion T1 T2 T3 as où le facteur d'équilibrage est Le nouveau nœud est inséré dans le sous arbre gauche de. onc f() devient 1 et f() devient 2 Les arbres VL rbres VL (Techniques d'équilibrage ) Examinons un sous arbre de racine le plus jeune antécédent qui devient non équilibré suite à une insertion T1 T4 as où le facteur d'équilibrage est T2 T3 Le nouveau nœud est inséré dans le sous arbre droit de. f() devient et f() devient 2. 3

4 17/2/212 Les arbres VL rbres VL (Techniques d'équilibrage ) Transformer l'arbre de telle sorte que l'inordre soit préservé l'arbre transformé soit équilibré Les arbres VL rbres VL (Techniques d'équilibrage ) (a) rotation droite du nœud T3 T1 T1 T2 T2 T3 4

5 17/2/212 Les arbres VL rbres VL (Techniques d'équilibrage ) (b) rotation gauche du nœud suivie par une rotation droite du nœud T4 T1 T1 T2 T3 T4 T2 T3 Les arbres VL rbres VL (lgorithme d'insertion) La première partie de l'algorithme consiste à insérer la clé dans l'arbre sans tenir compte du facteur d'équilibrage Elle garde aussi la trace du plus jeune antécédent, soit Y qui devient non équilibré La deuxième partie fait la transformation à partir de Y 5

6 17/2/212 Les arbres VL rbres VL (Rotation gauche) N Rotation gauche(n) N _(N, ) _(, N)) _(arent, ) Les arbres VL rbres VL (Rotation droite) N Rotation droite (N) N _(N, ) _(, N)) _(arent, ) 6

7 17/2/212 Les arbres VL rbres VL (Exemples) Insérons la séquence :,,, L, M,,, E, H, R, dans un arbre VL. Insertion,, Les arbres VL rbres VL (Exemples) Insérons la séquence :,,, L, M,,, E, H, R, dans un arbre VL. Insertion L, M M L L M 7

8 17/2/212 Les arbres VL rbres VL (Exemples) Insérons la séquence :,,, L, M,,, E, H, R, dans un arbre VL. Insertion L M M L Les arbres VL rbres VL (Exemples) Insérons la séquence :,,, L, M,,, E, H, R, dans un arbre VL. Insertion, E L L M M E E 8

9 17/2/212 Les arbres VL rbres VL (Exemples) Insérons la séquence :,,, L, M,,, E, H, R, dans un arbre VL. Insertion H, R, L R M E H Les arbres VL rbres VL (Suppression) Étape 1 : comme dans un arbre de recherche binaire ordinaire Étape 2 : mettre à jour les balances as où la balance d un nœud devient Le fils gauche de doit exister Les cas suivants peuvent se présenter a) a une balance égale à + 1 b) a une balance égale à 1 c) a une balance égale à Même traitement symétrique dans le cas où la balance d un nœud devient -2 Traitement peut continuer en cascade 9

10 17/2/212 Les arbres VL rbres VL (Suppression) a une balance égale à + 1 n n n n n n Les arbres VL rbres VL (Suppression) a une balance égale à as alance ()= n n n n n a donc un fils à sa droite, soit. n n 1

11 17/2/212 Les arbres VL rbres VL (Suppression) a une balance égale à, son fils droit avec alance()= n n n n n n n n Les arbres VL rbres VL (Suppression) a une balance égale à alance ()= n n n n n a donc un fils à sa droite, soit. n n-2 11

12 17/2/212 Les arbres VL rbres VL (Suppression) a une balance égale à, son fils droit avec alance()= n n n n n-2 n n n-2 Les arbres VL rbres VL (Suppression) a une balance égale à alance ()= n n n n n n-2 n a donc un fils à sa droite, soit. 12

13 17/2/212 Les arbres VL rbres VL (Suppression) a une balance égale à, son fils droit avec alance()= n n n n-2 n n n-2 n Les arbres VL rbres VL (Suppression) a une balance égale à n n n n n n 13

14 17/2/212 Les arbres VL rbres VL (nalyse théorique) la profondeur maximale d'un arbre binaire équilibré est 1.44*Log 2 n La recherche dans un tel arbre n'exige jamais plus de 44% de plus de comparaisons que pour un arbre binaire complet Operations de maintenance : - Restructuration = 1 rotation ou double rotation -Insertion : au plus 1 restructuration - suppression : au plus Log2 (N) restructurations rbre rbre rouge et noir

15 17/2/212 rbres Red lack Un arbre rouge et noir (R-tree) est un arbre binaire de recherche où chaque nœud est de couleur rouge ou noire. e plus, toutes les branches issues de tout nœud : 1. Ne possèdent pas deux nœuds rouges consécutifs. 2. ossèdent le même nombre de nœuds noirs La racine est noir -Nœuds noirs : équilibrage parfait -Nœuds rouges : tolérer légèrement le déséquilibre ire des cas: lternance entre les nœuds rouges et noirs. rbres Red lack (Insertion) Insertion comme dans un arbre de recherche binaire. Le nœud inséré est toujours une feuille On lui attribue la couleur rouge Si son père est aussi rouge, un algorithme de maintenance est appliqué 15

16 17/2/212 rbres Red lack(insertion) S 1: le frère de est rouge : nœud introduit Les nœuds et deviennent noirs et leur père devient rouge. Le processus continue en cascade rbres Red lack(insertion) S 2: le frère de est noir et est le fils gauche de. Rotation droite du nœud. devient noir et rouge. Le processus se termine 16

17 17/2/212 rbres Red lack(insertion) S 3: le frère de est noir et est le fils droit de. Rotation gauche du nœud + rotation droite du nœud. devient noir et rouge. Le processus se termine rbres Red lack(insertion) S 4: le nœud père est la racine de l'arbre Le nœud père devient noir 'est le seul cas où la hauteur noire de l'arbre augmente. Le processus se termine 17

18 17/2/212 rbres Red lack (Exemple) Insérer 13 Insérer Insérer ouleur du frère de = noir Et = fg() 1 1 Rotation rbres Redlack(exemple) Insérer 2 1 ouleur du frère de = rouge 1 oloration oloration

19 17/2/212 rbres Red lack (exemple) Insérer ouleur du frère de = noir ET = fd() ET =() ouble rotation rbres Red lack (Suppression) Suppression comme dans un arbre de recherche binaire. Si le nœud physiquement supprimé est noir, un algorithme de maintenance est appliqué. On considère que le nœud qui remplace le nœud supprimé porte une couleur noire en plus. eci signifie qu'il devient noir s'il est rouge et qu'il devient doublement noir s'il est déjà noir. L algorithme de maintenance a donc pour rôle de supprimer ce nœud doublement noir. 19

20 17/2/212 rbres Red lack (Suppression) S 1: Le frere de est noir et a deux fils noirs Soit le noeud doublement noir (Supposé ici comme un fils gauche) et son père Transformer en un noeud rouge Si le parent est noir, le processus continue en remontant dans l arbre. devient le nouveau noeud doublement noir. rbres Red lack (Suppression) S 2: Le frère du noeud est noir et a un fils droit rouge () Rotation gauche de Recolorer : et deviennent noirs et la couleur de est celle de avant la transformation. Le processus se termine 2

21 17/2/212 rbres Red lack (Suppression) S 3: si le frere du noeud est noir et a un fils gauche rouge() Rotation droite () + rotation gauche (). Recolorer : devient noir et la couleur de est celle de avant la transformation. Le processus se termine rbres Red lack (Suppression) S 4: Le frère de est rouge S S Rotation droite() Le processus continue selon le cas 1, 2 ou 3 21

22 17/2/212 rbres Red lack (Suppression) S : est la racine de l arbre Soit le noeud doublement noir devient simplement un noeud noir. est le seul cas ou la hauteur de l arbre diminue. Le processus se termine. rbres Red-lack (nalyse théorique) Operations de maintenance : - Restructuration et coloration. -Insertion : au plus 1 restructuration et au plus Log 2 (n) colorations. -suppression : au plus 2 restructurationset au plus Log 2 (n) colorations. N : nombre d élements insérés. la profondeur maximale d'un arbre binaire équilibré est 2*Log 2 (n) Recherche, insertion et suppression : O(Log 2 (n)) 22