Informatique CPP 1A CM6 : Tri simple, introduction à la récursivité

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1 Informatique CPP 1A CM6 : Tri simple, introduction à la récursivité Matthieu Moy et Frédéric Devernay CPP, Grenoble INP mars - mai 2017 Moy & Devernay (CPP) Informatique CPP mars - mai 2017 < 1 / 29 >

2 Sommaire 1 Algorithmes de tri simple 2 Récursivité : forme générale, factorielle, puissance, puissance rapide ( 5.3) 3 Tri par sélection sur place (bonus) 4 Pour la prochaine fois Moy & Devernay (CPP) Informatique CPP mars - mai 2017 < 2 / 29 >

4 Comment trier? Comment trier par ordre alphabétique une centaine de copies d examen? Comment trier une main de cartes au tarot? Moy & Devernay (CPP) Informatique CPP mars - mai 2017 < 4 / 29 >

5 Tri simple Tri par insertion : on prend le premier élément de la pile non triée on le met à sa place dans la pile triée jusqu à ce que la pile non triée soit vide Tri par sélection : on prend le plus petit (ou le plus grand) élément de la pile non triée on le met au-dessus de la pile triée jusqu à ce que la pile non triée soit vide Moy & Devernay (CPP) Informatique CPP mars - mai 2017 < 5 / 29 >

6 Tri simple Tri par insertion : on prend le premier élément de la liste non triée... facile on le met à sa place dans la liste triée... trouver la bonne place boucle jusqu à ce que la liste non triée soit vide... boucle principale D autres idées d algos de tri? Tri par sélection : on prend le plus petit (ou le plus grand) élément de la liste non triée... trouver où il se trouve, le supprimer boucle on le met au-dessus de la liste triée... facile jusqu à ce que la liste non triée soit vide... boucle principale Moy & Devernay (CPP) Informatique CPP mars - mai 2017 < 6 / 29 >

7 Tri simple Tri par insertion : Tri par sélection : Moy & Devernay (CPP) Informatique CPP mars - mai 2017 < 7 / 29 >

8 Tri par insertion sur place 13.1 On met la liste non triée et la liste triée dans une unique liste, dont la taille ne change pas À l itération principale i, le tableau a est constitué de deux parties : les éléments non triés à la fin du tableau (de l index i à l index n 1) les éléments triés au début du tableau (de l index 0 à l index i 1) Itération principale : insérer l élément v = a[i] à sa place dans la partie du tableau déjà triée a[0...i-1] On note qu on commence en i = 1 : le premier élément a[0], pris seul, est déjà un tableau trié. Par exemple, en partant d un tableau non trié a = [5, 2, 3, 1, 4] : La partie triée est constituée du premier élément, a = [5, 2, 3, 1, 4] On insère 2 dans a[0..0] a = [2, 5, 3, 1, 4] On insère 3 dans a[0..1] a = [2, 3, 5, 1, 4] On insère 1 dans a[0..2] a = [1, 2, 3, 5, 4] On insère 4 dans a[0..3] a = [1, 2, 3, 4, 5] Moy & Devernay (CPP) Informatique CPP mars - mai 2017 < 8 / 29 >

9 Tri par insertion sur place Au début de chaque itération, on a (invariant de boucle) : Partie triée a[i] Partie non-triée j i i + 1 La fonction ressemblera donc à (on commence en i = 1) : def tri_insertion ( a): for i in range (1, len (a )): # invariant : les élé ments 0 à i -1 du tableau sont tri és # it é ration : ins é rer l' élé ment i à sa place ( indice j) Moy & Devernay (CPP) Informatique CPP mars - mai 2017 < 9 / 29 >

10 Tri par insertion sur place : itération Pour insérer l élément i à sa place, il faut le comparer avec le précédent, et tant qu il est inférieur au précédent (tri croissant) il faut l échanger avec le précédent. Mais il n est pas nécessaire d échanger. Il suffit de décaler l élément vers la droite et de conserver la valeur à insérer, puis de la mettre à sa place finale une fois tous les éléments décalés. # ité ration : ins é rer l' élé ment i à sa place v = a[i] # la valeur à ins é rer j = i while 0 < j and v < a[j -1]: # dé caler l' élé ment a[j -1] en j a[j] = a[j -1] j = j -1 # j contient l' index o ù mettre v a[j] = v démo : tri_insertion.py Moy & Devernay (CPP) Informatique CPP mars - mai 2017 < 10 / 29 >

11 Tri par insertion sur place : coût l opération coûteuse est l insertion d un élément à sa place, qui se fait en moyenne avec i/2 comparaisons et affectations, donc au total et en moyenne : C(n) = n 1 i=1 i 2 = 1 n 1 2 i=1 i = 1 (n 1)n = n2 1 4 n Le terme dominant de C quand n est grand est en n 2 : C(n) O(n 2 ). On parle de complexité quadratique. Moy & Devernay (CPP) Informatique CPP mars - mai 2017 < 11 / 29 >

12 Tri par insertion sur place : questions 1 Quelle est la complexité dans le pire des cas? A quelle configuration de tableau correspond-elle? 2 Quelle est la complexité dans le meilleur des cas? 3 Ce tri fonctionne-t-il avec autre chose que des listes d entiers? Moy & Devernay (CPP) Informatique CPP mars - mai 2017 < 12 / 29 >

13 Tri par insertion sur place : réponses 1 n 2 /2 comparaisons et affectations. tableau trié à l envers. 2 n comparaisons et affectations seulement - tableau trié 3 Oui, avec toute liste de types qu on peut affecter et comparer. On verra au cours suivant un algorithme bien plus efficace pour le tri de grands tableaux, le tri fusion. Moy & Devernay (CPP) Informatique CPP mars - mai 2017 < 13 / 29 >

15 Fonction récursive La conception d une fonction récursive est assez proche de la démonstration par récurrence en mathématiques : Au rang 0, le résultat de la fonction est trivial Le résultat au rang n est obtenu à partir du résultat au rang n 1 def f(n): if n == 0: return... else : return... f(n -1)... Moy & Devernay (CPP) Informatique CPP mars - mai 2017 < 15 / 29 >

16 Exemple Version récursive de la factorielle : def factorielle (n): assert n >= 0 if n == 0 or n == 1: return 1 else : return n * factorielle ( n - 1) Demo avec PythonTutor Moy & Devernay (CPP) Informatique CPP mars - mai 2017 < 16 / 29 >

17 Arguments La fonction récursive peut avoir plusieurs arguments : def puissance (x, n): if n == 0: return 1 elif n == 1: return x else : return x * puissance ( x, n - 1) Moy & Devernay (CPP) Informatique CPP mars - mai 2017 < 17 / 29 >

18 Puissance rapide Mais faut-il vraiment 7 multiplications pour calculer x 8? Non, 3 suffisent : x2 = x * x x4 = x2 * x2 x8 = x4 * x4 Comment exploiter cette optimisation pour calculer de manière rapide puissance(x,n)? On remarque : Pour n = 2k (pair), x n = x 2k = (x k ) 2 Pour n = 2k + 1 (impair), x n = x 2k+1 = x(x k ) 2 Moy & Devernay (CPP) Informatique CPP mars - mai 2017 < 18 / 29 >

19 Puissance rapide : implémentation Rappels : pour tester si n est pair, if n % 2 == 0: division euclidienne, k = n // 2 Moy & Devernay (CPP) Informatique CPP mars - mai 2017 < 19 / 29 >

20 Puissance rapide : implémentation Rappels : pour tester si n est pair, if n % 2 == 0: division euclidienne, k = n // 2 def puissance_rapide (x, n): assert n >= 0 if n == 0: return 1 elif n == 1: return x else : r = puissance_ rapide ( x, n // 2) if n % 2 == 0: return r * r else : return x * r * r Moy & Devernay (CPP) Informatique CPP mars - mai 2017 < 19 / 29 >

21 Puissance rapide : implémentation Rappels : pour tester si n est pair, if n % 2 == 0: division euclidienne, k = n // 2 def puissance_rapide (x, n): assert n >= 0 if n == 0: return 1 elif n == 1: return x else : r = puissance_ rapide ( x, n // 2) if n % 2 == 0: return r * r else : return x * r * r Ici encore, n est strictement décroissant et positif à chaque appel récursif : c est une condition suffisante pour montrer la terminaison. Moy & Devernay (CPP) Informatique CPP mars - mai 2017 < 19 / 29 >

22 Puissance rapide : complexité Meilleur cas : n = 2 k, k appels imbriqués, 1 multiplication par appel, au total C(n) = log 2 (n). Pire cas : n = 2 k 1, k 1 appels imbriqués, 2 multiplications par appel, au total C(n) = 2(log 2 (n + 1) 1). Que ce soit dans le meilleur cas ou dans le pire cas, la complexité est toujours logarithmique, donc en moyenne aussi. Moy & Devernay (CPP) Informatique CPP mars - mai 2017 < 20 / 29 >

24 Tri par sélection sur place On met la liste non triée et la liste triée dans une unique liste, dont la taille ne change pas À l itération principale i, le tableau a est constitué de deux parties : les éléments non triés à la fin du tableau (de l index i à l index n 1) les éléments triés à leur place définitive au début (de l index 0 à i 1) Itération principale : selectionner le plus petit élément v = a[j] de la partie non triée, décaler vers la droite les éléments de j 1 à i (si j 1 i), mettre l élément v à la position i Par exemple, en partant d un tableau non trié a = [5, 2, 3, 1, 4] : On sélectionne a[3] = 1, et on le place à l index 0. a = [1, 5, 2, 3, 4] On sélectionne a[2] = 2, et on le place à l index 1. a = [1, 2, 5, 3, 4] On sélectionne a[3] = 3, et on le place à l index 2. a = [1, 2, 3, 5, 4] On sélectionne a[4] = 4, et on le place à l index 3. a = [1, 2, 3, 4, 5] Le dernier élément est forcément à sa place. a = [1, 2, 3, 4, 5] Moy & Devernay (CPP) Informatique CPP mars - mai 2017 < 22 / 29 >

25 Tri par sélection sur place Au début de chaque itération, on a (invariant de boucle) : Partie triée ( X) X Partie non-triée ( X) La fonction ressemblera donc à (dernière itération, i=len[a]-2) : def i tri_selection ( a): for i in range (0, len (a ) -1): # invariant : # les élé ments 0 à i -1 du tableau sont tri és et à leur place # it é ration : # - chercher l' index j du plus petit élé ment de # la partie non tri ée et sa valeur v # - dé caler vers la droite les élé ments j -1 à i # ( parcours dé croissant ) # - mettre v à la position i j Moy & Devernay (CPP) Informatique CPP mars - mai 2017 < 23 / 29 >

26 Tri par sélection sur place : itération On a donc deux boucles, une pour trouver la position du min, l autre pour décaler. # - chercher l' index j du plus petit é l é ment de # la partie non tri é e et sa valeur v v = a[i] j = i for k in range (i+1, len (a )): if a[k] < v: v = a[k] j = k # - dé caler vers la droite les élé ments j -1 à i # ( parcours dé croissant ) for k in range (j -1, i -1, -1): a[k +1] = a[k] # - mettre v à la position i a[i] = v démo Moy :& tri_selecion.py Devernay (CPP) Informatique CPP mars - mai 2017 < 24 / 29 >

27 Tri par selection sur place : coût les opérations coûteuses sont la recherche du minimum (n i comparaisons) et le décalage des éléments (en moyenne n i 2 affectations), donc au total et en moyenne : n 1 n C(n) = n i = k = i=0 k=1 (n 1)n 2 = 1 2 n2 1 2 n Le terme dominant de C quand n est grand est en n 2 : C(n) O(n 2 ). On parle de complexité quadratique. Moy & Devernay (CPP) Informatique CPP mars - mai 2017 < 25 / 29 >

28 Tri par sélection sur place : questions 1 Quelle est la complexité dans le pire des cas? A quelle configuration de tableau correspond-elle? 2 Quelle est la complexité dans le meilleur des cas? 3 Ce tri fonctionne-t-il avec autre chose que des listes d entiers? Moy & Devernay (CPP) Informatique CPP mars - mai 2017 < 26 / 29 >

29 Tri par sélection sur place : réponses 1 La recherche du minimum oblige à toujours parcourir le tableau non trié, donc la complexité est en O(n 2 ) dans tous les cas. 2 Il y a moins d affectations si le tableau est déjà trié (zéro itérations dans la deuxième boucle), mais le terme dominant reste la première boucle. 3 Oui, avec toute liste de types qu on peut affecter et comparer. On verra au cours suivant un algorithme bien plus efficace pour le tri de grands tableaux, le tri fusion. Moy & Devernay (CPP) Informatique CPP mars - mai 2017 < 27 / 29 >

31 Pour la prochaine fois Tri par insertion : lire 13.1 du livre Récursivité : lire introduction du 5.3, s arrêter avant Attention, il y a des compléments non vus en cours et au programme de l examen. Faire le QCM 6 sur Chamilo. Moy & Devernay (CPP) Informatique CPP mars - mai 2017 < 29 / 29 >