ARBRES. Arbres. Arbres binaires. Traversées d arbres. Patron de conception: gabarit de méthode (template method pattern)

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1 ARBRES binaires Traversées d arbres Patron de conception: gabarit de méthode (template method pattern) Structures de données pour arbres 5.1

2 un arbre représente une hiérarchie - structure organisationnelle d une corporation Electronics R Us R&D Sales Purchasing Manufacturing Domestic International TV CD Tuner Canada S. America Overseas Africa Europe Asia - table des matières d un livre Australia student guide overview grading environment programming support code exams homeworks programs 5.2

3 Un autre exemple Système de fichier de Unix ou de DOS/Windows /user/rt/courses/ cs016/ cs252/ grades homeworks/ programs/ projects/ grades hw1 hw2 hw3 pr1 pr2 pr3 papers/ demos/ buylow sellhigh market 5.3

4 Terminologie A est le nœud racine. B est le parent (ou père) de D et E. C est le frère (sibling) de B. D et E sont les enfants (ou descendants) de B. D, E, F, G, I sont des nœuds extérieurs, ou feuilles. A, B, C, H sont des nœuds intérieurs. La profondeur (niveau) de E est 2 La hauteur de l arbre est 3. Le degré (nombre d enfants) du nœud B est 2. A B C D E F G H I Propriété: (# liens) = (#nœuds) 1 5.4

5 binaires Arbre ordonné: les enfants de chaque nœud sont ordonnés. Arbre binaire: arbre ordonné où tous les nœuds intérieurs sont de degré 2. Définition récursive d un arbre binaire: Un arbre binaire est - un nœud extérieur (feuille), ou - un nœud intérieur (la racine) et deux arbres binaires (sous-arbre gauche et sous-arbre droit) 5.5

6 Exemples d arbres binaires expression arithmétique rivière ((((3 (1 + (4 + 6))) + (2 + 8)) 5) + ( 4 (7 + 2))) 5.6

7 Exemples d arbres binaires arbres de décision Want a fast meal? YES How about coffee? NO Are you willing to splurge? YES Starbucks NO Do you like free samples? YES Al Forno NO Cafe Paragon YES East Side Pockets NO Spike s 5.7

8 Propriétés des arbres binaires (# nœuds extérieurs ) = (# nœuds intérieurs) + 1 (# nœuds au niveau i) 2 i (# nœuds extérieurs) 2 (hauteur) (hauteur) log 2 (# nœuds extérieurs) (hauteur) log 2 (# nœuds) 1 (hauteur) (# nœuds intérieurs) = ((# nœuds) 1)/2 Niveau

9 Le TAD (Trees) méthodes génériques de contenant - size(), isempty(), elements() méthodes positionnelles de contenant - positions(), swapelements(p,q), replaceelement(p,e) méthodes de requête - isroot(p), isinternal(p), isexternal(p) méthodes accessoires - root(), parent(p), children(p) méthodes de mise à jour - spécifiques à l application InspectableContainer InspectablePositionalContainer InspectableVector PositionalContainer InspectableTree InspectableList Tree 5.9

10 TADs pour Binaires méthodes accessoires - leftchild(p), rightchild(p), sibling(p) méthodes de mise à jour - expandexternal(p), removeaboveexternal(p) - autres méthodes spécifiques à l application InspectableContainer InspectablePositionalContainer PositionalContainer InspectableTree Tree InspectableBinaryTree BinaryTree 5.10

11 Traversée d arbres traversée en pré-ordre Algorithm preorder(v) visit node v for each child w of v do recursively perform preorder(w) comme lire un document du début à la fin Article Titre Résumé Références

12 traversée en post-ordre Traversée d arbres Algorithm postorder(v) for each child w of v do recursively perform postorder(w) visit node v commande Unix du (disk usage) 249K cs016/ 2K 5124K /user/rt/courses/ 1K 4874K cs252/ 1K grades 8K 10K 229K 4870K homeworks/ programs/ projects/ 1K 1K 1K grades 3K hw1 3K hw2 2K hw3 4K pr1 57K pr2 97K pr3 74K 82K papers/ 1K 4787K demos/ 1K buylow 26K sellhigh 55K market 4786K 5.12

13 Évaluation d expressions arithmétiques spécialisation d une traversée post-ordre Algorithm evaluateexpression(v) if v is an external node return the variable stored at v else let o be the operator stored at v x evaluateexpression(leftchild(v)) y evaluateexpression(rightchild(v)) return x o y /

14 Traversée d arbres binaires traversée in-ordre Algorithm inorder(v) recursively perform inorder(leftchild(v)) visit node v recursively perform inorder(rightchild(v)) afficher une expression arithmétique - spécialisation d une traversée in-ordre - afficher ( avant la traversée du sous-arbre gauche - afficher ) après la traversée du sous-arbre droit ((((3 (1 + (4 + 6))) + (2 + 8)) 5) + ( 4 (7 + 2))) 5.14

15 Traversée par tour d Euler traversée générique d un arbre binaire les traversées pré-ordre, in-ordre et post-ordre sont des cas spéciaux de la traversée par tour d Euler marche autour de l arbre et visite de chacun des nœuds à trois reprises: - à la gauche - par-dessous - à la droite /

16 Gabarit de méthode (Template Method Pattern) mécanisme de calcul générique qui peut être spécialisé en redéfinissant certaines étapes (un autre patron de conception) réalisation en utilisant une classe abstraite Java avec des méthodes qui peuvent être redéfinies par ses sousclasses. public abstract class BinaryTreeTraversal { protected BinaryTree tree;... protected Object traversenode(position p) { TraversalResult r = initresult(); if (tree.isexternal(p)) { external(p, r); } else { left(p, r); r.leftresult = traversenode(tree.leftchild(p)); below(p, r); r.rightresult = traversenode(tree.rightchild(p)); right(p, r); } return result(r); } 5.16

17 Spécialisation de la traversée générique d arbres binaires affichage d une expression arithmétique public class PrintExpressionTraversal extends BinaryTreeTraversal {... } protected void external(position p, TraversalResult r) { System.out.print(p.element()); } protected void left(position p, TraversalResult r) { System.out.print("("); } protected void below(position p, TraversalResult r) { System.out.print(p.element()); } protected void right(position p, TraversalResult r) { System.out.print(")"); } 5.17

18 Structure de données chaînée pour arbres binaires root 5 size Baltimore Chicago New York Providence Seattle 5.18

19 Représentation d arbres généraux arbre T A B C D E F G arbre binaire T' représentant T A B E C F D G 5.19