Exercices de simulation 1

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1 Licence MIA 2ème année Année universitaire Simulation stochastique C. Léonard Exercices de simulation 1 Les simulations qui suivent sont à effectuer avec Scilab. Le générateur aléatoire de Scilab. Représentations graphiques associées L instruction rand de Scilab permet de simuler une loi aléatoire uniforme sur [0, 1]. Par ailleurs, l histogramme d un échantillon peut être tracé avec l instruction histplot. Exercice 1 (a) Effectuer la simulation de N réalisations indépendantes d une loi uniforme avec l instruction rand. (b) Avec l instruction plot2d, proposer une visualisation permettant de s assurer expérimentalement que les couples choisis parcourent à peu près uniformément le segment [0, 1]. (c) Tracer l histogramme en K classes de cet échantillon avec l instruction histplot et le comparer avec la répartition théorique parfaite. On s assurera pour cela de choisir convenablement K etn. Exercice 2 Simulation d un nombre tiré au hasard uniformément sur un intervalle. (a) Écrire une fonction Scilab uniforme(n,a,b) dont les arguments sont l entier N et les réels a, b et qui donne en sortie une ligne de taille N dont les coefficients simulent des variables aléatoires indépendantes de loi de probabilité uniforme U([a, b]). (b) Visualiser pour un certain choix de N, a et b, un échantillon de N tirages indépendants de loi de probabilité U([a, b]) sur un histogramme. (c) Superposer à l histogramme la courbe représentant la densité de probabilité U([a, b]). Exercice 3 Écrire un programme permettant de simuler une loi uniforme sur le carré unité [0, 1] [0, 1]. Avec l instruction plot2d, proposer une visualisation permettant de s assurer expérimentalement que les couples choisis parcourent à peu près uniformément le carré [0, 1] [0, 1]. 1. Certains exercices de cette feuille ont été conçus par Laurent Dumas : dumas.

2 Lancers de dé L instruction rand permet également de générer des lois discrètes comme les lois de pile ou face ou de lancer d un dé. Exercice 4 Écrire en utilisant les instructions rand et int (partie entière) une fonction simulant le résultat d un lancer d un dé honnête à six faces. Vérifier la validité de cette fonction à l aide d un histogramme. Le paradoxe du chevalier de Méré. Est-il avantageux, lorsqu on joue au dé, de parier sur l apparition d un 6 en lançant 4 fois le dé? Est-il avantageux de parier sur l apparition d un double-six, quand on lance 24 fois deux dés? Le chevalier de Méré, qui était très joueur, avait remarqué que le premier jeu était avantageux. Se laissant abuser par un soi-disant argument d homothétie, le chevalier considérait que le deuxième pari était aussi avantageux : en lançant un dé, il y a 6 issues ; en lançant deux 2 dés, il y en a 36, soit 6 fois plus. Puisqu il est avantageux de parier sur l apparition d un 6 en lançant le dé 4 fois de suite, il doit être avantageux de miser sur l apparition d un double-six en lançant un dé 24 = 4 6 fois de suite. Malheureusement pour le chevalier, les règles des probabilités sont plus complexes, et c est Pascal qui calcula la vraie probabilité, très légèrement inférieure à 1/2. Le deuxième jeu n est pas avantageux. Exercice 5 Le paradoxe du chevalier de Méré. (a) Calculer les probabilités de succès de chacun des deux jeux. (b) À l aide de boucles emboîtées, retrouver la probabilité de succès du premier jeu. (c) En effectuant un grand nombre N de simulations, vérifier approximativement que le premier jeu est avantageux. (d) En effectuant un grand nombre N de simulations, vérifier approximativement que le second jeu n est pas avantageux. Remarque. Pour bien faire, il faudrait calculer des intervalles de confiance. Nous y reviendrons plus tard. Exercice 6 Simulation d un dé quelconque. (a) Écrire une fonction Scilab de2(n,p1,p2,p3,p4,p5) dont les arguments sont le paramètre entier N ainsi que les probabilités d occurence 0 < p 1, p 2, p 3, p 4, p 5 < 1 des faces numérotées de 1 à 5 et qui donne en sortie une matrice 1 N dont les coefficients simulent une série de N lancers indépendants de ce dé pipé. (b) Visualiser un échantillon de N lancers indépendants de ce dé à l aide d un diagramme en barres. (c) Le visualiser aussi à l aide d un histogramme. (d) Superposer à l histogramme un diagramme en barres représentant la distribution théorique. (e) Faire varier la valeur de N.

3 Simulation d une loi exponentielle Nous appliquons maintenant la méthode d inversion de la fonction de répartition pour simuler un échantillon de loi exponentielle à l aide de rand. On rappelle que la fonction de répartition de la loi exponentielle de paramètre λ > 0, notée E(λ), est donnée par { 1 e λt si t 0 F (t) = 0 si t < 0 Exercice 7 (a) Écrire un script permettant de simuler un échantillon de taille M de la loi E(λ) à l aide de la méthode d inversion de la fonction de répartition. (b) Tracer l histogramme en K classes de cet échantillon. (c) Calculer la densité de probabilité de E(λ). (d) Superposer à cet histogramme la densité que vous venez de calculer. Simulation d une loi normale L instruction rand avec le troisième argument n permet de simuler une loi normale standard, notée N (0, 1), dont la densité de probabilité est donnée par φ(x) = 1 2π e x2 /2, x R. (1) Exercice 8 (a) Effectuer la simulation de M réalisations indépendantes d une loi gaussienne avec l instruction rand. (b) Tracer l histogramme en K classes de cet échantillon avec l instruction histplot et comparer-le avec la répartition théorique. On peut aussi montrer que si X et Y sont deux variables indépendantes de loi N (0, 1), en passant en coordonnées polaires, l angle Θ [0, 2π[ et le rayon R > 0 définis par { X = R cos Θ Y = R sin Θ sont des variables aléatoires indépendantes telles que Θ U([0, 2π[) et R 2 E(1/2). Exercice 9 (a) En déduire qu avec U et V deux réalisations indépendantes de U([0, 1]), { X := 2 ln U cos(2πv ) Y := 2 ln U sin(2πv ) définit un couple de variables aléatoires indépendantes de loi N (0, 1).

4 (b) À l aide de la question précédente, écrire un programme qui permet de simuler un échantillon de taille 2M de la loi N (0, 1). (c) Tracer un histogramme en K classes de cet échantillon et le comparer avec la répartition théorique. (d) Représenter graphiquement un échantillon de M points aléatoires indépendants de coordonnées (X, Y ). (e) Tracer un histogramme en 3D de ce nuage de points. Exercices divers Exercice 10 Le problème des anniversaires. Soit une assemblée de n individus dont aucun n est né un 29 Février. (a) En effectuant un grand nombre M d expériences avec l instruction rand, donner une valeur approchée de la probabilité que dans cette assemblée, au moins deux individus soient nés le même jour. (b) Calculer cette probabilité pour n = 24, n = 35 et commenter. (c) On pourra représenter graphiquement l évolution au cours du calcul de l approximation de cette probabilité obtenue en fonction du nombre d expériences déjà réalisées. Exercice 11 Urne de Polya. On s intéresse à l expérience aléatoire suivante dite de l urne de Polya. On considère une urne contenant initialement 1 boule rouge et 1 boule verte. On effectue n tirages successifs se déroulant de la manière suivante. On tire une des boules de l urne puis on la remet dans l urne avec une nouvelle boule de la même couleur (on dispose d un stock infini de boules). On note X n la proportion de boules rouges après ces n tirages. (a) Proposer un script permettant de simuler M expériences indépendantes de l urne de Polya à n tirages. (b) Vérifier (pour n = 10 par exemple) que la valeur moyenne des X n obtenus est proche de la valeur théorique 1/2. (c) En traçant un histogramme, vérifier également que la répartition observée de X n est proche de sa valeur théorique qui est la probabilité uniforme sur l ensemble de valeurs {1/(n + 2),..., (n + 1)/(n + 2)}. Exercice 12 Simulation d un tir aléatoire. (a) Écrire une fonction Scilab tir(n,d) qui prend comme entrées les paramètres entiers N et réel d > 0 et qui donne en sortie une ligne de N valeurs simulant une série de tirs indépendants sur un mur à distance d avec un angle choisi au hasard uniformément dans ] π/2, π/2[. (b) Visualiser un grand échantillon de tirs indépendants à l aide d un histogramme. (c) On fera varier d pour analyser son influence. (d) Superposer à l histogramme la courbe représentant la densité de probabilité de Cauchy f X (x) = d 1 π d 2 + x. 2

5 Tirages de Bernoulli en grand nombre Exercice 13 Simulation de tirages de Bernoulli. (a) Écrire une fonction Scilab bernoulli(p,n,m) qui prend comme entrées les paramètres entiers N, M et le réel 0 < p < 1 et qui donne en sortie une matrice N M dont les coefficients simulent des variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi de probabilité B(p) de Bernoulli de paramètre p. Indication. On utilisera la commande bool2s appliquée à function B=bernoulli(p,N,M) B=(rand(N,M)<p); (b) Visualiser dans trois fenêtres graphiques séparées, pour p = 0.5, p = 0.2 et p = 0.8, un grand échantillon de tirages indépendants de loi de probabilité B(p) sur un diagramme en barres. On désigne par S n (comme somme ou bien succès) la réalisation d une loi binomiale de paramètres n et 0 < p < 1, notée B(n, p). On rappelle qu on peut représenter S par S n = n X i, i=1 qui est le nombre de 1 obtenus à l issue de n tirages indépendants de variables de Bernoulli (X i ) 1 i n de paramètre p. Si par exemple X i vaut 0 en cas d échec et 1 en cas de succès à la ième occurence d un jeu répété, que ses répétitons sont indépendantes et qu à chaque fois votre probabilité de succès est de p, alors S n est le nombre de vos succès à l issue de n parties. Exercice 14 Loi binomiale. (a) Calculer l espérance et la variance de S n. (b) Écrire une fonction Scilab binomiale(n,p,m) dont les arguments sont les paramètres n et p ainsi qu un entier M, et qui donne en sortie un vecteur ligne de longueur M dont les coefficients sont indépendants et suivent la loi B(n, p). (c) Visualiser à l aide d un histogramme ces simulations pour différentes valeurs de n, p et M. (d) Visualiser aussi vos simulations sur un diagramme en barres. (e) Calculer la moyenne et la variance empiriques des échantillons et les comparer aux valeurs théoriques. Loi des grands nombres C est un théorème de la théorie des probabilités qui énonce que lorsque X 1,..., X n,... est une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi que la variable X, alors si X est telle que E X <, nous avons X 1 + X n n EX n

6 en un certain sens qui vous sera préciser dans les prochains mois. Ce qui est remarquable, c est qu à gauche la moyenne observée (X 1 + X n )/n est une variable aléatoire alors qu à droite EX est un nombre qui n a rien d aléatoire. Lors d un grand nombre n d observations X 1,... X n, la moyenne empirique (X 1 + X n )/n de ces observations est proche de la moyenne théorique EX. On souhaite maintenant étudier le comportement lorsque n tend vers l infini de la proportion empirique de succès S n /n où S n suit une loi B(n, p). Exercice 15 Un fichier de commandes (ou script) est un fichier texte d extension.sce qui contient une suite d instructions qui sont exécutées par la commande exec("nomfich.sce"). Le fichier de commandes lgn_bernoulli suivant trace pour 10 expériences successives l évolution de la proportion de succès obtenus lors de n tirages de Bernoulli de paramètre p pour n variant de 1 a 300. p=input("entrer le parametre p ="); "appuyer sur entree pour la simulation suivante..." for i=1:10, B=bernoulli(p,1,300); S=cumsum(B); n=1:300; P=S./n; clf; plot2d(p); pp=p*ones(1,300); plot2d(pp); halt(); end; (a) Tester le fichier lgn_bernoulli. (b) Le modifier pour qu il permette de choisir le nombre M de simulations et la longueur n de la séquence de jeux répétés effectuée au cours de chaque simulation, trace la valeur de p en rouge, et trace les courbes dans la même fenêtre graphique (commande subplot). On vient de voir une illustration d un théorème fondamental : la loi des grands nombres. Théorème central limite Nous allons montrer dans le prochain exercice que la variable S n /n p est d espérance nulle et de variance p(1 p)/n et en déduire que Z n := n (S n /n p) = S n np n est de variance Var(Z n ) = p(1 p). Le théorème central limite énonce que lorsque n tend vers l infini, la variable aléatoire Z n se comporte de plus en plus comme une variable aléatoire Z de loi N (0, σ 2 ) normale centrée de même variance σ 2 = p(1 p) que Z n. La densité de la loi N (0, σ 2 ) est f Z (z) = 1 2πσ exp ( z2 2σ 2 ), z R. (2)

7 Exercice 16 (a) Montrer que E[(S n np)/n] = 0 et Var[(S n np)/n] = p(1 p)/n. (b) En déduire que Var(Z n ) = p(1 p). (c) Écrire une procédure tcl_bernoulli qui demande la valeur des paramètres p et n ainsi que le nombre M de répétitions de l expériences ; classe dans un histogramme dont les classes sont centrées aux points -4:delta:4 où delta est choisi en fonction du nombre M de réalisations aléatoires indépendantes de Z n ; affiche en surimpression sur l histogramme la courbe de la densité f Z normale centrée de variance σ 2 = p(1 p). Exercice 17 Évolution de S n en fonction de n. (a) Effectuer N tirages de pile (+1) ou face (-1) avec p = 1/2. (b) Tracer l évolution de votre gain S n en fonction de n variant de n = 0 à n = N. Par convention S 0 = 0. (c) Superposer à ce graphique la courbe nulle ainsi que les courbes de ± n et ±2 n. Grand échantillon de loi exponentielle La loi des grands nombres et le théorème central limite sont satisfaits pour toute loi admettant une variance finie. L exercice qui suit les met en situation avec un échantillon de loi exponentielle. Exercice 18 Un grand échantillon de loi exponentielle. Soit T une variable aléatoire de loi exponentielle E(λ). On définit la variable aléatoire Z n := S n n/λ n/λ 2 où S n = T T n est la somme des valeurs d un échantillon T 1,..., T n de taille n de la loi E(λ). (a) Montrer que ET = 1/λ et Var(T ) = 1/λ 2. En déduire que EZ n = 0 et Var(Z n ) = 1. (b) Simuler un échantillon de taille M de la variable S n /n. (c) En modifiant le script obtenu lors de l exercice sur la loi des grands nombres pour les tirages de Bernoulli, mettre en évidence la loi des grands nombres pour S n /n. (d) Simuler un échantillon de taille M de la variable Z n. (e) Représenter ces M valeurs de Z n à l aide d un histogramme à K classes partitionnant le segment [ 4, 4]. (f) Superposer à l histogramme la densité φ d une variable normale centrée de variance 1 donnée en (1) lors des exercices de simulation de la loi normale ainsi qu en (2) un peu plus haut. (g) Faire varier la valeur n.

8 Mouvement brownien Reprenons le jeu de pile ou face. Après k 1 lancers, votre gain S k a la même loi que 2 S k k où S k suit une loi binomiale B(k, 1/2). Son espérance et sa variance valent ES k = 0 et VarS k = k. Fixons un nombre entier n grand et supposons que pendant une unité de temps vous jouiez n fois à pile ou face. À l instant t 0 vous aurez joué nt fois, en notant u la partie entière de du nombre réel u 0. Par exemple avec n = 100, à l instant t = 0.5 vous avez joué 50 fois et à l instant t = vous avez joué 345 fois. Votre gain à l instant t est donc S nt, t 0. Or, l écart-type de S nt vaut nt de sorte que celui de := S nt, t 0 n B (n) t est proche de t. Nous avons donc pour tout t 0, EB (n) t = 0 et σ(b (n) t ) t. D autre part, on peut interpréter B (n) t comme la position d une particule à l instant t qui est issue de B (n) 0 = 0 à l instant t = 0 et qui a sauté de ±1/ n, n fois par unité de temps sur la base d un jeu de pile ou face équilibré. Lorsque n est grand la particule saute très souvent (avec la fréquence 1/n) en faisant de très petit sauts (d une amplitude 1/ n.) Remarquons que si tous les sauts étaient positifs, c est-à-dire s ils valaient tous +1/ n, à l instant t la particule se trouverait à la position n/ n = n qui tend vers l infini avec n. Mais la probabilité de cet événement est de 2 nt ce qui est extrêmemnt petit. Par exemple, avec n = 100 et t = 1, En fait, lorsque n est grand, la loi des grands nombres nous dit qu il y a essentiellement la même proportion de sauts positifs et négatifs. C est cette compensation qui fait que B (n) t n explose pas, dans la plupart des cas, lorsque n tend vers l infini. Nous allons maintenant simuler expérimentalement avec n assez grand, la trajectoire aléatoire t [0, T ] B (n) t R. Exercice 19 Mouvement brownien unidimensionnel. (a) Effectuer N tirages de pile (+1) ou face (-1) avec p = 1/2. (b) Fixer un pas de temps 1/n et un instant maximal T ; par exemple n = 100 et T = 5. Tracer l évolution de votre gain B (n) t en fonction de t [0, T ]. (c) Superposer à ce graphique la courbe nulle ainsi que les courbes de ± t et ±2 t. Lorsque n tend vers l infini, on peu donner un sens à lim n B (n) t := B t, 0 t T. La trajectoire aléatoire limite B = (B t ) 0 t T est appelée le mouvement brownien. Le mouvement brownien en d dimension est la trajectoire aléatoire qui à tout t [0, T ] associe B(t) = (B 1 (t),..., B d (t)) R d où B 1,..., B d sont des mouvements browniens indépendants. Exercice 20 Mouvement brownien en dimension 2 et 3. (a) Simuler un mouvement brownien en dimension 2 et tracer son chemin sur R 2. (b) Simuler un mouvement brownien en dimension 3 et tracer son chemin sur R 3. Utiliser pour cela l instruction param3d.