Cours de Probabilités et statistiques L Maths-PC-SVT

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1 Cours de Probabilités et statistiques L Maths-PC-SVT Université d Avignon Fichier dispo sur

2 Une étude statistique dans la population montre que le Q.I. est réparti de la manière suivante:

3 Les billes qui tombent sur la planche de Galton s amassent en faisant un curieux dessin...

4 Le lien entre ces deux phénomènes sans rapport semble être cette courbe en cloche :

5 La courbe en cloche, encore appelée Gaussienne, est une découverte du mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss ( ). On lui doit beaucoup de travaux sur les probabilités, notamment sur le Théorème Central Limite qui est le sujet principal de ce cours...

6 Combinatoire et dénombrements Faire des calculs de probabilités, c est d abord compter...le but de ce court chapitre est de faire quelques rappels de combinatoire. Soit E un ensemble fini, par exemple E = {1, 2,..., n}. On appelle cardinal de E le nombre d éléments de E, noté Card(E). Ici on a Card(E) = n.

7 Arrangements avec répétition. C est le nombre de facons de choisir k objets, ordonnés, que l on peut répéter, parmi un ensemble E de n objets. C est aussi Card(E } E {{... E } ) et c est n k. k fois Exemple 1: le nombre de mots de 5 lettres pris dans un alphabet de 26 c est 26 5 = Ici E = {a, b, c, d,..., x, y, z}. Exemple 2: On jette un dé à 6 faces 3 fois, il y a 6 3 = 108 possibilités. Ici E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

8 Arrangements sans répétition. C est le nombre de facons de choisir k objets, ordonnés, sans répétition, parmi un ensemble E de n objets. on le note A k n et on a A k n = n(n 1)(n 2)... (n k + 1). En utilisant la notation factorielle, n! = n(n 1)(n 2) , on a aussi A k n = n! (n k)!. Exemple: le nombre de tiercés possibles: 20 chevaux au départ, il y a A 3 20 = = 6840 possibilités. E = {1, 2,..., 20}.

9 Permutations. C est le nombre de facons d ordonner un ensemble à n éléments, et c est n!. C est aussi le nombre de bijections E E. Exemple: le nombre de facons d attribuer des chaises à 10 convives autour d une table est 10! = La fonction n! croit très vite. Une bonne approximation est la formule de Stirling: n! ( n ) n 2πn. e

10 Combinaisons. C est le nombre de facons de choisir k éléments, sans répétitions et sans ordre parmi n éléments. On le note Cn k et on a Cn k n! = k!(n k)!. Exemple 1: au loto il y a C49 6 tirages possibles, C 6 49 = = Exemple 2: le nombre de facons de choisir 3 boules dans une urne (sans remise et sans ordre) en comprenant 6 est C 3 6 = 20.

11 Les coefficients C k n sont aussi appelés coefficients binomiaux. Ils vérifient la formule de récurrence C k 1 n + C k n = C k n+1. Cette formule sert à remplir le Triangle de Pascal :

12 Formule du binome de Newton. Les coefficients C k n interviennent dans le développement de (a + b) n. On a la formule dite du Binome: (a + b) n = n Cn k a k b n k k=0 = b n + C 1 nab n 1 + C 2 na 2 b n C n 1 n a n 1 b + a n. Par exemple en lisant le triangle de Pascal on a (a + b) 4 = b 4 + 4ab 3 + 6a 2 b 2 + 4a 3 b + a 4.

13 Probabilités Pour faire des probabilités il faut commencer par décrire l ensemble des événements ou espace fondamental Ω. Si ω Ω, on dit que ω est un événement élémentaire ou atome. Un événement A est une partie de Ω, A Ω. Exemple: On lance un dé a six faces. L espace fondamental décrit l ensemble des lancés possibles: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A = {1, 2} Ω est l événement "obtenir 1 ou 2".

14 Opérations sur les événements. Si A Ω est un événement, on note A le complémentaire dans Ω de A: A = {ω Ω : ω A}. Si A, B sont des événements, A B est l union de A et B. A B = {ω Ω : ω A ou B}. Si A, B sont des événements, A B est l intersection de A et B. A B = {ω Ω : ω A et B}.

15 Mesure de probabilité. Une mesure de probabilité est une application P qui à un événement A Ω associe un réel P(A) [0, 1], appelé probabilité de A. On impose qu elle vérifie: P(Ω) = 1. Pour tout A, B Ω avec A B =, P(A B) = P(A) + P(B). Par conséquent, on a toujours P(A) = 1 P(A), et donc P( ) = 0. On dit que deux événements A et B sont indépendants si P(A B) = P(A)P(B).

16 Probabilité combinatoire. Si l espace fondamental Ω est fini: Ω = {ω 1, ω 2,..., ω N }, on peut définir une mesure de probabilité sur Ω en posant P(A) := Card(A) Card(Ω) Nombre de cas favorables =. Nombre total de cas Exemple 1: On lance un dé à six faces. Quelle est la probabilité d avoir un chiffre pair? On a Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, et donc P( chiffre pair ) = Card({2, 4, 6}) Card(Ω) = 1 2.

17 Exemple 2: On choisit 4 cartes dans un jeu de 52. Quelle est la probabilité d avoir au moins un roi? Ici Ω est l ensemble des tirages de 4 cartes parmi 52. On a Card(Ω) = C Pour calculer P( au moins un roi ), on passe à l événement complémentaire: P( au moins un roi ) = 1 P( Aucun roi ) = 1 C4 48 C 4 52 = = 0,

18 Probabilités conditionnelles. Soit P une mesure de probabilité sur un espace fondamental Ω. Soient A, B des événements. On appelle probabilité conditionnelle de A sachant B, noté P(A B) la quantité: P(A B) = P(A B). P(B) Bien sur on suppose que P(B) 0.

19 Exemple: On jette deux dés. Quelle est la probabilité que la somme fasse 5 sachant que l un des deux marque 3? On pose A = la somme fait 5, B = un des dés marque 3. On a Ω = {1,..., 6} {1,..., 6}, A = {(1, 4); (2, 3); (3, 2); (4, 1)}, B = {(3, 1); (3, 2);... ; (3, 6)} {(1, 3); (2, 3);... ; (6, 3)}, Ainsi on a A B = {(2, 3); (3, 2)}. P(A B) = P(A B) P(B) = Card(A B) Card(B) = 2 = 0,

20 Formule de Bayes. Soient A, B deux événements de probabilités non nulles. On a alors P(A B) = P(B A) P(A) P(B). Ceci permet de calculer P(A B) connaissant P(B A) ou vice-versa.

21 Exemple: Un test de dépistage T est effectué sur une population dont 15% présente une affection A non apparente. Le test donne 20% de résultats positifs. On sait que ce test donne 95% de résultats positifs sur les personnes présentant A. Quelle est la probabilité d être atteint si T est positif? Posons A = les malades, T + = Test positif. On écrit: P(A T + ) = P(T + A) P(A) P(T + ) = = 0, 7125.

22 Formule des probabilités totales. Si Ω = N i=1 A i et A i A j = pour tout i j, on dit que la famille d événements (A i ) 1 i N forme une partition de Ω. Pour tout événement B Ω on a la formule: P(B) = N P(A i )P(B A i ) i=1 = P(A 1 )P(B A 1 ) + P(A 2 )P(B A 2 ) +... P(A N )P(B A N ). Cas particulier: si A Ω, on a Ω = A A et P(B) = P(A)P(B A) + P(A)P(B A).

23 Variables aléatoires Soit Ω un espace fondamental équipé d une mesure de probabilité P. On appelle variable aléatoire X toute application X : Ω R. Exemples : La somme des chiffres dans le lancer de deux dés. La température d une molécule dans un gaz. Le nombre de "pile" obtenus dans n lancers d une pièce. Rappel: si I R, et X : Ω R est une variable aléatoire, on note X 1 (I) l ensemble X 1 (I) = {ω Ω : X(ω) I}. C est "l image réciproque de I par X".

24 Notations : Si x R, P(X = x) := P(X 1 ({x})). Si I R, P(X I) := P(X 1 (I)). Un exemple. On lance deux dés. Soit X la variable aléatoire "somme des valeurs obtenues". Calculer P(X = 3). On a Ω = {1,..., 6} {1,..., 6}, X 1 ({3}) = {(1, 2); (2, 1)}, d où P(X = 3) = 2 36 = 1 18 = 0,

25 Variables discrètes Une variable aléatoire X est dite discrète si son image X(Ω) est finie ou infini dénombrable: X(Ω) = {x 1, x 2,..., x n,...}. La loi de probabilité de X est la donnée de P(X = x 1 ), P(X = x 2 ),..., P(X = x n ). On a toujours P(X = x 1 ) P(X = x n ) = 1. La fonction de répartition de X est par définition: F(x) := P(X x) = x j x P(X = x j ).

26 Exemple. On joue trois fois à pile ou face. Soit X la variable aléatoire "nombre de pile obtenus". Ici Ω = {0, 1} 3, et donc X(Ω) = {0, 1, 2, 3}. On a Card(Ω) = 2 3 = 8. On a de plus P(X = 0) = 1 8, P(X = 1) = 3 8, P(X = 2) = C2 3 8 = 3 8, P(X = 3) = 1 8. La fonction de répartition de X est donc donnée par: 0 0 < x 1/8 0 x < 1 F(x) = 1/2 1 x < 2 7/8 2 x < x

27 1,5 Fonction de répartition F(x) 1 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5-0,5

28 Espérance. Soit X une v.a. discrète, on note X(Ω) = {x 1,..., x n }. L espérance de X, notée E(X) est par définition E(X) := n x i P(X = x i ) i=1 = x 1 P(X = x 1 ) + x 2 P(X = x 2 ) x n P(X = x n ). C est la valeur "moyenne" de la variable X. Exemple. On joue 3 fois à pile ou face. Soit X = nombre de pile. Quelle est l espérance de X? On a X(Ω) = {0, 1, 2, 3} et donc E(X) = = 1, 5.

29 Ecart type. Soit X une v.a. discrète, on note X(Ω) = {x 1,..., x n }. La variance de X, notée V(X) est par définition ( V(X) := E (X E(X)) 2) = n (x i E(X)) 2 P(X = x i ) i=1 = (x 1 E(X)) 2 P(X = x 1 ) + (x 2 E(X)) 2 P(X = x 2 ) (x n E(X)) 2 P(X = x n ). L écart type σ(x) est par définition σ(x) := V(X). C est une mesure de la "dispersion" de la variable X autour de sa moyenne E(X).

30 Exemple. On joue 3 fois à pile ou face. Soit X = nombre de pile. Calculer l écart type σ(x)? On rappelle que l on a X(Ω) = {0, 1, 2, 3} et E(X) = 1, 5. V(X) = (1.5) (1 1, 5) (2 1, 5) (3 1, 5)2 1 8 = 3 4, d où σ(x) = 3 2 = 0,

31 Variables continues Une variable aléatoire X est dite continue si son image X(Ω) est un intervalle de R, borné ou non. X(Ω) = I R. On dit que cette variable X est à densité si sa loi de probabilité est donné par une fonction densité f. Autrement dit, la fonction de répartition F(x) := P(X x) se calcule suivant la formule F(x) = P(X x) = x f (t)dt, où la densité f est une fonction continue par morceaux, positive.

32 Formules et remarques. On a P(X [a, b]) = b a f (t)dt. On a toujours la condition de "normalisation" P(Ω) = P(X R) = + f (t)dt = 1. Pour tout a R, on a P(X = a) = 0. On a toujours P(X < a) = P(X a). On a aussi lim x + F(x) = 1 et lim x F (x) = 0. La fonction de répartition x F(x) est croissante.

33 Espérance et écart type. Soit X une v.a. continue, de loi donnée par une densité f. L espérance de X, notée E(X) est par définition E(X) := + uf (u)du. C est la valeur "moyenne" de la variable X. La variance V(X) est par définition ( V(X) := E (X E(X)) 2) = L écart type σ(x) est par définition + σ(x) := V(X). (u E(X)) 2 f (u)du.

34 Un exemple. Lors d une alerte, une population de canards quitte la surface de l étang. A t = 0, l étang est vide. On note X la variable aléatoire X = temps mis par un canard pour revenir. Une étude empirique montre que X a pour densité f (u) = 2e u 2e 2u, pour u 0 et 0 si u 0. Ainsi P(X t) = t 0 ( 2e u 2e 2u) du.

35 Densité f (u) 2 1,5 1 0,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5-0,5

36 Fonction de répartition F(t) := P(X t) 1,5 1 0,5-0,4 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4-0,5-1

37 Le calcul de l espérance donne: E(X) = La variance est donc V(X) = d où l écart type u(2e u 2e 2u )du = 3 2. (u 3/2) 2 (2e u 2e 2u )du = 5 4, σ(x) = V(X) = 5 2 1,

38 Encore des Formules... Soient a, b R, et X une v.a. discrète ou continue. On a les formules suivantes. E(aX + b = ae(x) + b. V(aX + b) = a 2 V(X). Si X 1, X 2,..., X n sont n variables, on a toujours E(X 1 + X X n ) = E(X 1 ) + E(X 2 ) E(X n ). Par contre, en général, on a V(X 1 + X X n ) V(X 1 ) + V(X 2 ) V(X n ).

39 Soient X 1, X 2,..., X n, n variables aléatoires. On dit qu elles sont indépendantes si pour tout I 1, I 2,..., I n intervalles de R on a P((X 1 I 1 ) (X 2 I 2 )... (X n I n )) = P(X 1 I 1 ) P(X 2 I 2 )... P(X n I n ). Si X 1, X 2,..., X n, sont indépendantes, on a la formule remarquable V(X 1 + X X n ) = V(X 1 ) + V(X 2 ) V(X n ), ainsi on a σ(x X n ) = V(X 1 ) V(X n ).

40 Exemple. On lance une pièce non truquée n fois. Soit X i la variable aléatoire "résultat du lancé numéro i". On a X i (Ω) = {0, 1}, E(X i ) = 1 2 et V(X i) = 1 4. Supposons les lancés indépendants, considérons la variable Y n = "moyenne du nombre de pile", Y n = X X n. n D après les formules précédentes on a E (Y n ) = 1 2, V (Y n) = 1 4n, σ(y n) = 1 2 n. On constate que σ(y n ) tend vers 0 quand n tend vers l infini. C est la "loi des grands nombres".

41 L inégalité de Tchebychev Soit X une variable aléatoire (discrète ou continue) sur un espace fondamental Ω. On note E(X) et V(X) l espérance et la variance. Pour tout ɛ > 0, on a l inégalité suivante. P( X E(X) ɛ) V(X) ɛ 2. Cette formule montre quantitativement que "plus l écart type est faible, plus la probabilité de s écarter de la moyenne est faible".

42 Lois de probabilité usuelles La loi de Bernoulli. C est la plus simple des lois de probabilité. Une variable aléatoire X est dite de Bernoulli si X(Ω) = {0, 1}. On note p := P(X = 1); q = 1 p = P(X = 0). L espérance d une variable de Bernoulli est E(X) = p. La variance est V(X) = pq = p(1 p) et l écart type est σ(x) = pq. Exemple. Le jeu de pile ou face (non truqué, p = 0.5, truqué, p 0.5).

43 La loi Binomiale. Une variable aléatoire S suit une loi binomiale si S(Ω) = {0, 1, 2,..., n}, et pour 0 k n, on a où p [0, 1], q = 1 p. P(S = k) = C k n p k q n k, L espérance d une variable binomiale est E(S) = np. La variance est V(S) = npq et l écart type est σ(s) = npq. C est la loi d une somme de n variables X i de Bernoulli, indépendantes et de même paramètre p.

44 Exemple. On joue n fois à pile ou face avec une pièce non truquée. On suppose les lancés indépendants. Soit S la variable "nombre de pile obtenus". Si on note X i la variable définie par X i = 1 si "pile" au i-ème lancé, on a S = X 1 + X X n. Les variables X i sont de Bernoulli, indépendantes, et S suit une loi Binomiale de paramètre p = 1/2.

45 La loi hypergéométrique. Une variable aléatoire S suit une loi hypergéométrique si S(Ω) = {0, 1, 2,..., n}, et pour 0 k K, on a P(S = k) = Ck K Cn k N K CN n, où 0 K N sont des entiers, avec n N. L espérance d une variable hypergéométrique est E(S) = n K N. La variance est V(S) = n N n ( K ) ( N K ) N 1 N N. Exemple. Une urne contient N boules avec K blanches et N K noires. On tire n N boules sans remise. Alors la variable S = "nombre de boules blanches" suit une loi hypergéométrique.

46 La loi de Poisson. Une variable X suit une loi de Poisson si X(Ω) = {0, 1, 2,..., n,..., + } et on a pour k = 0, 1,..., + P(X = k) = µk k! e µ, où µ > 0 est le paramètre de la loi. L espérance d une variable de Poisson est E(X) = µ. La variance est aussi V(X) = µ. Exemple type. Le nombre de pannes d un systême mécanique durant une période donnée: µ est le taux moyen de pannes la durée de la période.

47 La loi uniforme. Une v.a. X continue suit une loi uniforme si sa fonction de répartition a pour densité f où { 1/h si µ h/2 < u < µ + h/2 f (u) = 0 sinon, avec µ R, h > 0. L espérance d une variable uniforme est E(X) = µ. La variance est V(X) = h2 12. L écart type est σ(x) = h 2 3.

48 Densité uniforme f (u) avec h = µ = ,5-0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5-0,5

49 La loi exponentielle. Une v.a. X continue suit une loi exponentielle si sa fonction de répartition a pour densité f où avec λ > 0. { f (u) = 0 si u < 0 λe λu si u 0, L espérance d une variable exponentielle est E(X) = 1 λ. La variance est V(X) = 1 λ 2. L écart type est σ(x) = 1 λ. Exemple. Le temps τ de désintégration d un noyau radioactif dans un échantillon d uranium.

50 Densité exponentielle f (u) avec λ = ,5-0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5-0,5

51 La loi normale. Une v.a. X continue suit une loi normale N (µ, σ) si sa fonction de répartition a pour densité f où avec µ R et σ > 0. f (u) = 1 σ (u µ) 2 2π e 2σ 2, L espérance d une variable normale est E(X) = µ. La variance est V(X) = σ 2. L écart type est σ(x) = σ. C est la loi de probabilité la plus importante de ce cours.

52 Les lois normales N (0, 1) et N (1/2, 1/2). 0,5-2,5-2 -1,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5

53 Calculs de probabilités avec les lois normales Pour calculer numériquement P(a < X < b) où X suit une loi normale N (µ, σ), on commence par se ramener à la loi centrée réduite N (0, 1). En effet, on a ( a µ P(a < X < b) = P σ < X µ σ < b µ ), σ et Y = X µ σ a pour loi N (0, 1). Les calculs avec la loi N (0, 1) se font en utilisant les remarquables propriétés suivantes.

54 Soit X une variable normale centrée réduite. On pose F(x) = P(X x). Cette probabilité s interprète comme "l aire sous la courbe en cloche": 0,5-2,5-2 -1,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 On a F( x) = P(X x) = 1 F (x) (parité). On a P( X x) = 2F(x) 1.

55 Exemple. Soit X une v.a. de loi normale N (1, 2). Calculer P(X 2). On a P(X 2) = P(Y 1/2), où Y = X 1 2 est centrée réduite. On a donc P(Y 1/2) = 1 P(Y 0, 5) = 1 F(0, 5). La table numérique de N (0, 1) (voir TD) donne F(0, 5) 0, 695. La réponse est donc P(X 2) 0, 3085.

56 Table de la loi centrée réduite N (0, 1). x

57 Loi des grands nombres et TCL Epreuves répétées. Soit Ω un espace fondamental muni d une probabilité P. Soient X 1, X 2,..., X n,... une suite de variables aléatoires indépendantes, de même espérance µ et de même écart type σ. On définit alors la somme S n par S n := X 1 + X X n, et la moyenne par M n = Sn n. On a les formules (rappel chapitre v.a.) E(M n ) = µ; σ(m n ) = σ. n

58 Loi faible des grands nombres. Si X 1, X 2,..., X n,... est une suite de variables aléatoires indépendantes, de même espérance µ et de même écart type σ, alors pour tout ɛ > 0, on a lim P( M n µ ɛ) = 0. n Interprétation: la probabilité que la variable M n dévie de son espérance µ d une valeur au moins ɛ tend vers 0 lorsque n tend vers l infini. Plus précisément, on a par l inégalité de Tchebychev, P( M n µ ɛ) σ2 nɛ 2.

59 Théorème central limite. Soit X 1, X 2,..., X n,... une suite de variables aléatoires indépendantes, de même loi. On note µ l espérance et σ l écart type. Posons Z n = n M n µ. σ On a donc E(Z n ) = 0 et σ(z n ) = 1. Pour tout x R, on a lim P(Z n x) = 1 x e t2 /2 dt. n 2π Autrement dit, la fonction de répartition de Z n tend vers celle d une loi normale N (0, 1).

60 Interprétation du TCL. La loi limite de Z n ne dépend pas de la loi commune des X n! C est ce qui fait de la loi normale une loi universelle. En pratique ce résultat montre que l on peut approcher la loi de S n (inconnue en général) pour n grand par N (nµ, nσ). De même, on peut approcher pour n grand la loi de M n par N (µ, σ n ). La vitesse de convergence dans le TCL dépend beaucoup de la régularité de la loi initiale. On considère toutefois que celle ci est toujours bonne pour n 100.

61 Exemple. On jette une pièce 500 fois, on suppose les lancers indépendants. Soit X = "nombre de piles". Calculer P(X 260). Posons X i = 1 si "pile" au i-ème lancer, 0 si "face". C est une variable de Bernoulli et X = X 1 + X X 500. On a E(X i ) = 1/2, et σ(x i ) = 1/2. Le TCL dit que N ( 500 approche bien la loi de X. Ainsi P(X 260) P(N ), 2, ) où N = 2(X 250) 500 est centrée réduite. Le calcul donne P(X 260) 0, 1867.

62 Rudiments de statistique descriptive Le but des statistiques est d établir des modèles probabilistes à partir de données expérimentales: sondages, enquêtes d opinion. Le concept fondamental est celui de caractère qui désigne une grandeur ou un attribut variable que l on va observer afin de constituer une série statistique à analyser. Il y a une correspondance entre concepts statistiques et probabilités. Probas Espace fondamental Variable aléatoire Epreuve répétée Stats Population Caractère Echantillonnage

63 Indicateurs numériques. Soit X une v.a. (un caractère) que l on veut étudier. On sélectionne un échantillon {ω 1, ω 2,..., ω n } Ω de taille n, et on note x 1 = X(ω 1 ), x 2 = X(ω 2 ),..., x n = X(ω n ). La moyenne observée est par définition m obs := x x n. n La variance observée est par définition var obs := (x 1 m obs ) (x n m obs ) 2. n

64 La moyenne observée m obs n est pas (a priori) E(X). De même, rien ne dit que var obs converge vers V(X). Toute la problématique des statistiques consiste à construire des estimateurs qui permettent d approcher les paramètres de la loi de X quand la taille n de l échantillon est grande.

65 Estimateurs. Soit X un caractère à étudier. Soient X 1, X 2,..., X n, des variables aléatoires indépendantes de même loi que X. On cherche à reconstituer un paramètre θ (par exemple E(X), V(X)) à l aide d une variable Y n (X 1,..., X n ) appelé estimateur de θ. L estimateur Y n est dit convergent si pour tout ɛ > 0, lim P( Y n θ > ɛ) = 0. n L estimateur Y n est dit sans biais si E(Y n ) = θ pout tout n.

66 Estimateur de l espérance : La moyenne observée M n = X 1+X X n n est un estimateur convergent et sans biais de E(X), c est la loi des grands nombres. Ainsi si l échantillon {ω 1, ω 2,..., ω n } Ω est assez grand, la moyenne m obs est, avec une forte probabilité, proche de E(X). Estimateur de la variance : L estimateur S n donné par S n := (X 1 M n ) (X n M n ) 2, n 1 est convergent et sans biais. Ainsi si l échantillon {ω 1, ω 2,..., ω n } Ω est assez grand, la variance observée débiaisée s obs = (x 1 m obs ) (x n m obs ) 2 n 1 est proche de V(X).

67 Intervalle de confiance. Lors de l estimation de E(X) et V(X) par le calcul de m obs et s obs, il faut être capable d évaluer l erreur commise, la "fourchette". Méthode pour l espérance : Echantillon de taille n. Moyenne observée m obs, variance observée débiaisée s obs. On pose σ = s obs. On a alors E(X) [m obs t α σ n, m obs + t α σ n ] avec probabilité 1 α. le paramètre t α est déterminé par P( N (0, 1) t α ) = α si n 30 et par la loi de student avec degré de liberté n 1 si n < 30.

68 Un exemple. Un sondage portant sur 400 électeurs à la sortie des urnes révèle 212 votes pour le candidat A. Donner, à 95% de chance, un intervalle de confiance des votes en faveur de A sur la population entière (des votants). Il s agit d étudier la variable de Bernoulli X qui vaut 1 si on vote pour A et 0 sinon. On veut estimer E(X) = P(X = 1) qui donne la proportion des gens qui votent pour A.

69 Le calcul donne puis m obs = 212 0, s obs = (1 m obs) m 2 obs , 249. La table de la loi normale N (0, 1) donne pour α = 0, 05, une valeur t α = 1, 96. Ainsi, E(X) [0, 481; 0, 579] avec une probabilité d au moins 95%, soit une fourchette entre 48% et 57% de votes pour le candidat A.

70 Un autre exemple. Une étude portant sur une population de 100 fumeurs donne les résultats suivants. Consommation quotidienne 0,5 1 1,5 2 3 Nombre de réponses Donner un intervalle de confiance de l espérance du "nombre de paquets fumés" à 95%. Le calcul de la moyenne observée donne m obs = tandis que 26 0, , et donc σ 0, 628. s obs = 39, , 3943, 1, 14,

71 Une lecture de la table de la loi normale donne P( N (0, 1) t α ) = 0, 05 pour t α = 1, 96. D où l intervalle E( Nombre de paquets ) [1, 017; 1, 263] avec 95% de chance.