lim MILIEUX CONDUCTEURS -COURANTS Courant et densité de courant Si le débit n'est pas constant, la valeur instantanée du courant est

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1 MILIEUX CONDUCTEURS -COURANTS Courant et densité de courant ΔQ I = Δ t Si le débit n'est pas constant, la valeur instantanée du courant est I ΔQ dq lim Δ t = = Δt dt Particules de charge q animées, d'une vitesse moyenne u N : nombre de particules par unité de volume. ΔS Δ Q= N qu Δt ΔS Δ Q = N qu. ΔS Δt ΔQ Δ I = = N qu. ΔS Δt ΔS ΔS ΔQ ΔQ T1

2 Densité de courant J J = Nqu (A/m²) Elément de courant Δ I = J. Δ S I = J. ds S Nq : charge par unité de volume J = ρ u (A/m²) Généralisation J = N q u = ρ u i i i i i i i Courant de convection et courant de conduction. T2

3 Courant de conduction et loi d'ohm ρe ρ p J = ρ v + ρ v e e p p : la densité des charges négatives et leur vitesse : la densité des charges positives et leur vitesse ρe + ρ p = v p = v e = vitesse de dérive. : vitesse relative des électrons par rapport au conducteur v d J = ρ v = ρ v e e e d v v e p Force par unité de charge f = E+ v B f = E ( d ) Loi d' Ohm J = σ E T3

4 Aspect microscopique de la conduction Ne J = ρ v = N q v e d e e d : nombre d'électrons libres par unité de volume et leur charge. Loi d'ohm vitesse v d doit être proportionnelle au champ (donc à la force) Libre parcours moyen : λ = v. t th v th : vitesse thermique moyenne c q e t c : temps moyen entre deux collisions Pour les métaux à température ambiante v à m s tc th λ /, 14 1 s, 8 1 m. a = qe E m e T4

5 La variation de vitesse sera la vitesse moyenne de dérive me q E e vd =Δ v= tc me : la masse de l'électron, mobilité v d = μ E e μe σ = N q t m 2 e e c e T5

6 Conductivité des matériaux J = σ E 1 ρ = σ Quelques valeurs résistivité Ω.m coefficient de température ( C) -1 cuivre 1, , aluminium 2, , fer 8, manganèse 4, graphite 1, eau distillée ~ 1 4 mica ~ verre ~ La résistivité d'un matériau dépend généralement de la température, de manière significative. ( ) ρ = ρ 1+ α T T ρ : résistivité à la température de référence (souvent 2 C) et α est le coefficient de température. T T6

7 Milieux conducteurs Résistance I JdS = = JdS A A J.1n = J = J t Et = Jt / σ V = R I V V V E dl J = = =. dl L Lσ L : chemin partant de A 2 (potentiel bas) et aboutissant à A 1 (potentiel haut), et le courant par I J. ds = = σ E. ds E. dl L A R = A σ E. ds A T7

8 T8

9 Équation de continuité et loi des nœuds de Kirchhoff L'équation de continuité qui exprime la conservation de la charge s'écrit sous forme intégrale : S J. ds dq d = = d dt dt ρ τ τ La forme locale de l'équation de continuité est ρ div J = t div J = Et pour un conducteur homogène div E = (Le potentiel vérifiera l'équation de Laplace dans un conducteur homogène) JdS= S I j = j T9

10 Conducteur cylindrique V ( z = ) = V ( z = L) = V V z L ( ) = V z V E = gradv = 1 z L σ A I = JA= σ EA= V L L R = σ A 1 σ A G = = R L T1

11 Conducteur torique V ( φ ) ( φ π ) = pour y = = V = V pour x= = / 2 E V = 1 l φ avec l = π r / 2 I J ds = = σ EdS S ds = hdr 1 φ S 2σ V h dr 2σ hv I = π = a r π b ln b a R V π I 2σ hln b/ a = = ( ) T11

12 Conditions aux limites Considérons l'interface entre deux milieux de conductivité σ 1 et σ 2. div J = J σ = J 2n 1n E = σ E 2 2n 1 1n JdS= S J = Si le milieu 2 est un diélectrique parfait (σ 2 = ), on doit avoir et donc J = E 1 = 1n n 2n Le champ électrique tangentiel est continu J σ J = σ 1t 2t 1 2 E = E 1t 2t et donc Discontinuité du champ normal, et donc présence d'une charge libre de surface. ε E ε E = σ 1 1n 2 2n l σ σ σ = ε ε E = ε ε E 2 1 l 1 2 2n 1 2 1n σ1 σ2 T12

13 Analogie entre résistance et capacité Q ε E. ds S C = = V Edl S V Edl L R = = I σ EdS L RC= ε σ T13

14 Temps de relaxation div E = ρ ε σ ρ div J = ε équation de continuité ρ div J + = t équation différentielle ρ σ + ρ = t ε ρ ( t) = ρ ( / ) t e σ ε Pour un excellent conducteur comme le cuivre σ = 5,8 1 7 S/m, ε = ε = 8, F/m 19 t 1, 5.1 s. r T14

15 Puissance dissipée Effet Joule force par unité de volume f v vitesse. = ρ E La puissance par unité de volume, développée par vaut : f. v = ρ E v = J. E p = J. E (W/m³) f puissance perdue par effet Joule. puissance totale dw = V dq dw dq P = = V = V I = R I² dt dt T15

16 Force électromotrice Force par unité de charge, qui entretient le courant dans le circuit : f = fs + E E. dl = c b E f s a Force électromotrice (en abrégé fem) d'un circuit est définie par : ε = f. dl c (V) E J où c est le contour fermé du circuit. C'est la force par unité de charge intégrée sur toute la longueur du circuit (ce n'est donc pas un force!). b ε = f. dl = f. dl = f. dl c c s a Pour une pile idéale, on peut considérer que le champ électrique et la force chimique f s se neutralisent à l'intérieur de la pile : E = f s (dans la pile) s T16

17 Différence de potentiel entre les bornes a et b est : b V = Vb Va = E. dl a V b f =. dl = ε a s Une différence de potentiel correspond uniquement à un champ électrique conservatif, tandis que la fem est associée à un mécanisme non électrostatique qui fournit l'énergie pour séparer les charges. Forme de la loi de conservation de l'énergie. fem ε : le travail fourmi par la source (par unité de charge) Différence de potentiel V : travail (par unité de charge) effectué par le champ électrique pour faire circuler le courant, et dissipé en chaleur. La généralisation à un circuit fermé quelconque constitue la loi des mailles de Kirchhoff : Δ V = T17

18 Batterie réelle Le courant à l'intérieur de la pile est dû au déplacement des ions. La vitesse de déplacement des ions dépendra de la force nette à laquelle ils sont soumis vions = μions fs + E J = σ f + E ions ( ) ( s ) J fs = E+ σ ions b b b J ε = fs. dl = E. dl + dl a a a σ Le premier terme à droite est la différence de potentiel entre les bornes de la pile réelle tandis que le deuxième terme peut s'écrire V b a J σ ions = ε. dl = R. I R I int int ions V = V V b a T18