Nombres et calcul. Leçon Numéro Page. Présenter un problème NC1 2. Ecrire les nombres en lettres NC2 2. Les règles d écriture des nombres NC3 3

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1 Nombres et calcul Leçon Numéro Page Présenter un problème NC Ecrire les nombres en lettres NC Les règles d écriture des nombres NC Tables d addition NC Nombres pairs et impairs NC5 Ranger et comparer les nombres NC La technique de l addition NC7 5 La technique de la soustraction NC8 5 Les nombres jusqu à NC9 Les nombres jusqu à NC0 Les nombres jusqu au million NC Les nombres jusqu au milliard NC 7 Distinguer chiffre et nombre NC 7 Multiplier un nombre par 0,00,0... NC 8 Tables de multiplication NC5 8 Technique de la multiplication () NC 9 Technique de la multiplication () NC7 9 Les multiples NC8 0 Relations entre les nombres (double, triple, quadruple, moitié, tiers, quart ) NC9 Les fractions < NC0 Les fractions > et égalité de fractions NC Ecriture fractionnaire et décimale (lien) NC 5 Les nombres décimaux (valeur, comparer, ranger, encadrer) NC Les nombres décimaux (droites) NC 8 Opérations avec décimaux NC5 9 La technique de la division NC Division par 0, 00, 000 NC7 Proportionnalité NC8

2 Ce Présenter un problème NC Enoncé du problème : Romain a 8 images. Il en gagne au mois de janvier. Combien a -t-il d images à la fin du mois de janvier? Je cherche... Je cherche le nombre d images de Romain à la fin du mois de janvier. 8 + = Opération en ligne A la fin du mois de janvier, Romain a images. Phrase-réponse 8 + Opération posée Ce Ecrire les nombres en lettres NC : un : deux : trois : quatre 5 : cinq : six 7 : sept 8 : huit 9 : neuf 0 : dix : onze : douze : treize : quatorze 5 : quinze : seize 7 : dix-sept 8 : dix-huit 9 : dix-neuf 0 : vingt 0 : trente 0 : quarante 50 : cinquante 0 : soixante 70 : soixante-dix 80 : quatre-vingts 90 : quatre-vingt-dix 00 : cent 000 : mille (invariable) Exemples : : vingt-et-un 5 : trente-cinq 87 : quatre-vingt-sept 00 : deux-cents : deux-cent-quarante-trois 000 : trois-mille

3 Ce / Cm Les règles d écriture des nombres NC ) Le trait d union : on met un trait d union entre tous les mots. Ex : 00 : deux-millions-trois-cent-trente-quatre-mille-trois. ) Vingt : Vingt prend un -s seulement dans «quatre-vingts», sauf s il est suivi. Ex : 80 : cent-quatre-vingts 8 : quatre-vingt-deux ) Cent : On met un s à cent quand il est en dernière position et quand il y a plusieurs «cents» Ex : 00 : deux-cents : trois-cent-douze ) Mille : c est un mot invariable, il s écrit toujours de la même façon. 5) Million et milliard : ils s accordent toujours. Ex : trois-millions, deux-milliards-quinze Ce Tables d addition NC

4 Ce Nombres pairs, nombres impairs NC5 Les nombres pairs ont pour chiffre des unités : 0,,, et 8. Exemples : 0,,, 7, 88, 00, sont des nombres pairs. Les nombres pairs peuvent être partagés équitablement en deux parts égales. Les nombres impairs ont pour chiffre des unités :,, 5, 7 et 9. Exemples :,, 5, 77, 89, 0 sont des nombres impairs. Ce Ranger et comparer les nombres NC. Comparer les nombres Le signe > signifie «plus grand que» ou «supérieur à». Le signe < signifie «plus petit que» ou «inférieur à». ) Si les nombres n ont pas le même nombre de chiffres, le nombre le plus grand est celui qui a le plus de chiffres. Ex : 57 > 798 ) S ils ont le même nombre de chiffres, tu compares le premier chiffre en partant de la gauche, et ainsi de suite. Ex : > > 78. Ranger les nombres Ranger les nombres dans l ordre croissant signifie les ranger du plus petit au plus grand. Ex : 8 < 89 < 0 < 000 Ranger les nombres dans l ordre décroissant signifie les ranger du plus grand au plus petit. Ex : 000 > 59 > 8 >

5 Ce La technique de l addition NC7 On pose : ère étape : addition des unités et 7 = 5, j écris 5 et je retiens. 5 ème étape : addition des dizaines et 5 = J ajoute la retenue donc + = J écris et je retiens. ème étape : addition des centaines et = 5 J ajoute la retenue donc 5 + = J écris. Dans l addition en colonne, il ne faut surtout pas oublier d aligner les unités sous les unités, les dizaines sous les dizaines, les centaines sous les centaines... Ce La technique de la soustraction NC8 On pose 5 9 : ère étape : pour aller à, c est impossible. Je rajoute la retenue au ( et je n oublie pas le «+» au. ) 9 pour aller à 7. J écris 7. 7 ème étape : = pour aller à 5. J écris. 7 5

6 Ce Les nombres jusqu à NC9 Mille (milliers) Unités c d u c d u 7 7 : deux-mille-six-cent-trente-sept 7 = = ( x 000) + ( x 00) + ( x 0) + 7 Ce Les nombres jusqu à NC0 Mille (milliers) Unités c d u c d u = cent-vingt-trois-mille-cinq-cent-quarante-neuf 59 = = ( x ) + ( x 0 000) + ( x 000 ) + (5 x 00) + ( x 0 ) + 9 Cm Les nombres jusqu au million NC Classe des millions Classe des mille Classe des unités c d u c d u c d u : douze millions trois-cent-quatre-vingt-mille = = ( x ) + ( x ) + ( x ) + (8 x 0 000)

7 Cm Les nombres jusqu au milliard NC Classe des milliards Classe des millions Classe des mille Classe des unités c d u c d u c d u c d u ) ) ) : cinq milliards huit-cent millions ) : soixante-dix-neuf milliards huit-cent-vingt millions sept-cent-mille = = (7x ) + (9x ) + (8x ) + (x ) + (7x00 000) Remarque : on laisse un espace entre les classes pour faciliter la lecture. Ce / Cm/Cm Distinguer chiffre et nombre NC Les 0 chiffres sont : 0,,,,, 5,,7, 8 et 9. Avec ces 0 chiffres, on peut écrire tous les nombres. Ce Dans le nombre 8 : est le chiffre des dizaines 8 est le nombre de dizaines Dans le nombre 5 : 5 est le chiffre des centaines 5 est le nombre de centaines Cm-Cm est le chiffre des milliers le nombre de milliers est = (57 x 000) c est 57 milliers et 0 unités. 7

8 Ce Multiplier un nombre par 0, 00, 0, NC ) Multiplier un nombre par 0, 00, Pour multiplier un nombre par 0, on place un zéro à droite du nombre : 5 x 0 = 50 ; 0 x = 0 Pour multiplier un nombre par 00, on place deux zéros à droite du nombre : 5 x 00 = 500 ; 00 x = 00 Pour multiplier un nombre par 000, on place trois zéros à droite du nombre : 5 x 000 = x 5= ) Multiplier un nombre par 0, 70, x 80 = 0 ( car x 8 = ) x 00 = 8 00 ( car x = 8 ) 0 x 00 = 000 ( car x = ) Ce Tables de multiplication NC5 x

9 Ce Technique de la multiplication (n ) NC ère étape : ème étape : ème étape : 5 x 7 5 x 7 5 x 7 7 x 5 = Je pose 5 et je retiens. 7 x = + de retenue = Je pose et je retiens. 7 x = de retenue= 0 J écris donc 0. Ce Technique de la multiplication (n ) NC7 Pour calculer 5 x 57 : ère étape : Je commence par multiplier 5 par 7 unités. 5 x x 7 ème étape : Je vais multiplier 5 par 5 dizaines (5 dizaines = 50 ou 5 x 0) donc je commence par placer le 0 de la dizaine à la deuxième ligne. 5 x x ème étape : Je multiplie maintenant 5 par 5. ème étape : J additionne. 5 x x 50 5 x x 57 = 795 9

10 Ce Les multiples NC8 5 = 9 x 5 On dit que 5 est multiple de 5 et multiple de 9. Un nombre est multiple d un autre s il se trouve dans sa table de multiplication ou son prolongement. Multiples de : Ce sont les nombres pairs (se terminant par 0,,,, 8). Exemple : = x Donc est multiple de. Multiples de 5 Ils se terminent par 0 et par 5. Exemple : 5 = 9 x 5 Donc 5 est multiple de 5 Multiples de 0: Ils se terminent par 0. Exemple : 90 = 9 x 0 Donc 90 est multiple de 0 Cm Les multiples Multiples de 5 : Ils se terminent par 0 et 5, et ils sont à la fois multiples de et de 5. Exemple : 0 = 5x et x0 et 5x donc 0 est multiple de 5. Multiples de 0 : Ils se terminent par 0, et ils sont à la fois multiples de, de 5 et de 0. Exemple : 0 = 0x et x0 et 5x et 0x donc 0 est un multiple de 0. Multiples de 5 : Ils se terminent par 0 et 5, et ils sont aussi multiples de 5. Exemple : 75 = 5x 7 et 5x5 donc 75 est un multiple de 5. Multiples de 50 : Ils se terminent par 0, et ils sont à la fois multiples de 5, 0, et 5. Exemple : 50 = 50x5 et 5x50 et 0x5 et 5x0 donc 50 est un multiple de 50. 0

11 Ce Les relations entre les nombres NC9 - Le double d un nombre est égal à fois ce nombre. Exemple : le double de 5 est 50 : 5 x = 50 - Le triple d un nombre est égal à fois ce nombre. Exemple : le triple de 5 est 75 : 5 x = 75 - Le quadruple d un nombre est égal à fois ce nombre ou à fois son double. Exemple : le quadruple de 5 est 00 : 5 x = 00 ou le double de 5 est 50 et 50 x = 00 Ce-Cm Les relations entre les nombres Pour calculer le tiers d un nombre, je le divise par. Exemple : 8 est le tiers de car 8 x = Pour calculer le quart d un nombre, je le divise par. Exemple : 7 est le quart de 8 car 7 x = 8 Le quart d un nombre est égal à la moitié de la moitié du nombre. Exemple : le quart de 00 est 5 la moitié de 00 est 50 et la moitié de 50 est 5 donc le quart de 00 est 5.

12 Cm Les fractions < NC0 Rappels : Dans la fraction est appelé le numérateur est appelé le dénominateur 8 8 Egalités entre les fractions : Toutes les fractions dont le numérateur est égal au dénominateur sont égales à. Exemples : 0 5 = = = = = = 0 5 Utiliser la ligne numérique pour situer la valeur d une fraction : 0 Place sur la file numérique les fractions suivantes : ; ; ; 5 ;

13 Cm Les fractions > et égalité de fractions NC. Utilisation On les utilise pour exprimer des partages (ce qui rapproche de la division).. Ecriture Une fraction possède deux parties : 5 numérateur nombre de partsprises dénominateur nombre de partsdans la figure. Lecture de fractions Il suffit d ajouter ième, sauf pour les demis, les tiers, les quarts. 7 : un demi : un tiers : un quart : quatre septièmes : sept vingt-quatrièmes 7 0 : deux demis : quatre tiers : trois quarts : quarante-deux dixièmes : vingt centièmes Egalité de fractions a) Preuve visuelle Les zones coloriées ont la même taille donc = = 8 b) Preuve mathématique Il faut que le numérateur et le dénominateur soient multipliés ou divisés par le même nombre. x ; ; 0 0 x

14 5. Comparer une fraction avec l unité : Si le numérateur est égal au dénominateur, la fraction est égale à. = car u Si le numérateur est plus petit que le dénominateur, la fraction est plus petite que. < car u Si le numérateur est plus grand que le dénominateur, la fraction est plus grande que. u u > car u. Trouver la partie entière d une fraction : u ou u u Comment trouver la partie entière de? = + = ( x ) + = + La partie entière est. 8 Quelle est la partie entière dans? = (8 x ) + = La partie entière est Calcul avec les fractions : ) Addition et soustraction Règle : On ne peut additionner ou soustraire des fractions que si elles ont le même dénominateur. 7 7 Exemple : + = = 9 ; = = ) Comment calculer de 8? a) Schéma : On partage 8 en parts égales, on cherche la valeur de chaque part puis on prend la valeur de parts. 0 8 b) Calcul : On fait 8 x qui revient à faire (8 x ) : = =

15 Cm Ecriture fractionnaire et décimale NC - Définition : Les fractions décimales s obtiennent en partageant l unité en 0, 00, 000 parties égales. Quand on partage l unité en 0, on obtient 0 dixièmes. Quand on partage l unité en 00, on obtient 00 centièmes. Quand on partage l unité en 000, on obtient 000 millièmes. - Représentations : u 0 u = 0 00 u = 00 C est un dixième. Si on partage l unité u en 000 parts, on obtient des millièmes. C est un centième. 000 u = Placer des fractions sur une ligne graduée : Pour placer 9, on partage chaque intervalle entre deux nombres entiers en quatre parties égales : on obtient une ligne graduée en quarts = +, ce qui permet de placer à un quart après le repère marqué. Pour placer, on partage chaque intervalle entre deux nombres entiers en dix parties égales : 0 on obtient une ligne graduée en dixièmes = +, ce qui permet de placer sept dixièmes après le repère marqué

16 Cm Les nombres décimaux NC. Généralités partie entière, 5 7 5, 8 partie décimale, 5 se lit : deux virgule cinquante-quatre 5, 8 se lit : six-cent-quinze virgule trente-huit unités et 5 centièmes 5 unités et 8 centièmes unités, 5 dixièmes et centièmes 5 unités, dixièmes et 8 centièmes 5 5 5, 5 s écrit aussi + + = = , 8 s écrit aussi = = Partie entière Partie décimale Milliers Unités c d u c d u dixièmes centièmes millièmes, 5 5, 8 Astuce : Pour passer d une fraction décimale à un nombre décimal, je décale la virgule vers la gauche d autant de zéro contenu dans le dénominateur : = 9, ; =,9 ; = 0, Comparer nombres décimaux ) Je compare en premier la partie entière : Ex :, 5 < 0, parce que < 0 ) Si la partie entière est la même, je compare la partie décimale (d abord les dixièmes, puis les centièmes...) : 5 8,5 >,8 car >,5 <,8 car < ) Il est aussi utile de compléter les nombres avec des 0 pour qu ils aient le même nombre de chiffres après la virgule. Ex :,5 >,5 car,5 >,50,8 <,5 car,8 <,50

17 . Ranger des nombres décimaux ) Je regarde en premier les parties entières. ) Si elles sont différentes, je peux ranger mes nombres. Exemple :,7 < 9, <,95 <,07 ) Si les parties entières sont identiques, je regarde alors les parties décimales. Exemple :, <,5 <,7 <,8 5, < 5, < 5,7 < 5,9. Encadrer des nombres décimaux O 0,,7, 0 < 0, < <,7 < <, < Cm. Encadrer des nombres décimaux (suite) Encadrer 5,57 Au centième près Au dixième près A l unité près A la dizaine près à près 00 à près 0 à près à 0 près 5,5 < 5,57 < 5,5 5,5 < 5,57 < 5, 5 < 5,57 < 0 < 5,57 < 0 5. Insérer un nombre entre deux autres a. Entre, et,7 on peut écrire,5 et, mais aussi,5 car, <,5 <,7 ou,58 car, <,58 <,7... b. Entre,5 et, on peut écrire. c. Entre 7 et 8, on peut écrire. 7

18 Cm Les nombres décimaux (droites) NC Placer des nombres décimaux sur une ligne graduée Avec une ligne graduée en dixièmes, on peut placer 0, ;,7 ; et,8. 0 0,,7, Avec une ligne graduée en centièmes, on peut placer,7 et, ,,7,8,7,7,77, Il faut graduer en centièmes la partie de la ligne entre,7 et,8. 8

19 Cm Opérations avec des nombres décimaux NC5 ) Addition décimale Je place les unités sous les unités, les dizaines sous les dizaines, la virgule sous la virgule, les dixièmes sous les dixièmes, 5, 8, Quand mon calcul est terminé, je n oublie pas de mettre ma virgule au même endroit que les autres. ) Soustraction décimale +, + 5,8 =, Je place mes nombres exactement comme l addition en pensant à mettre le plus grand en haut. -, 8, 5 9, Quand mon calcul est terminé, je n oublie pas de mettre ma virgule au même endroit que les autres.,8,59 =, Cm ) Multiplication d un nombre décimal On calcule comme s il s agissait de deux nombres entiers (donc on n aligne pas les virgules). A la fin des calculs, on repère le nombre total de chiffres après la ou les virgule(s) et on place la virgule au même rang dans le résultat., 7 chiffres après la virgule, chiffres après la virgule x 0 5 x 5, chiffre après la virgule , 7 chiffres après la virgule 5, 9 chiffres après la virgule Le résultat est logique car 05 x = 0 Donc,7 x 05 = "un peu plus" que 0 Le résultat est logique car x 5 = 0 Donc, x 5, = "un peu plus" que 0 9

20 ) Division : quotient décimal / Division d un nombre décimal par un nombre entier a) Division : quotient décimal Comment calculer 7 divisé par? ère étape ème étape : ème étape : ème étape : 7 Il reste unité ( unité = 0 dixièmes). Je place un 0 à droite du reste et je place une virgule au quotient. Je cherche combien de fois il y a dans 0 fois 7 Il reste dixièmes ou 0 centièmes. J ajoute un zéro à droite du reste puis je cherche combien il y a de fois dans 0-9 dixièmes - 9, 5 fois car x5 = 0 reste O. 7 0 centièmes - 9, , Le reste est nul, la division est terminée. b) Division d un nombre décimal par un nombre entier 7 = x 9,5 Comment calculer 58,5 divisé par? ère étape : ème étape : ème étape : ème étape : Je commence par diviser la partie entière. Il a donc chiffre au quotient. 5 8, Je divise maintenant la partie décimale. Je place donc une virgule au quotient et j abaisse le , 5-5 9, puis 5 5 8, 5-5 9, Il reste. J ajoute un zéro à droite du reste (car dixièmes = 0 centièmes) et je continue la division. 5 8, 5-5 9, Le reste est nul, la division est terminée. 58,5 = x 9,75 Je cherche combien de fois il y a dans 0 5 fois car x5 = 0 reste , 5-5 9,

21 Cm La technique de la division NC Comment calculer la division de 58 par 7? ) Je ne peux pas partager milliers en 7 ( < 7). Il faut donc commencer par partager en 7. Le quotient aura donc chiffres. Je mets alors points au quotient. dividende 58 7 diviseur quotient ) divisé par 7, je cherche «combien de fois il y a de 7 dans?» x 7 =, il reste 58 7 ) Je descends le 5 et j obtiens 5. 5 divisé par 7, je cherche «combien de fois il y a de 7 dans 5?» x7 =, il reste ) Je descends le 8 et j obtiens 8. 8 divisé par 7, je cherche «combien de fois il y a de 7 dans 8?» x7 =, il reste dividende reste diviseur quotient Attention : le reste de ta division doit toujours être plus petit que le diviseur. Ici < 7. 5) Le quotient (résultat) de la division de 58 par 7 est et le reste. Dividende = (diviseur x quotient) + reste 58 = ( x 7) +

22 Cm Multiplier ou diviser un nombre décimal par 0, 00, 0. NC7 Multiplier un nombre décimal par 0, par 00, par 000. Chaque chiffre du nombre multiplié prend une valeur 0 fois, 00 fois, 000 fois plus grande. On déplace donc la virgule vers la DROITE d autant de rangs qu il y a de 0 dans 0, 00, 000. Si on ne peut plus décaler la virgule, le nombre étant devenu entier, on ajoute des zéros. Exemples :, 7 5 x 0 = 7, 5 [ virgule décalée rang à droite ] 0, x 0 =... [ virgule décalée rang à droite ] 0, x 0 0 =... [ virgule décalée rang à droite puis ajout d'un 0 ] 5, x 000 =... [ virgule décalée rang à droite puis ajout de zéros ] Diviser un nombre décimal par 0, par 00, par 000. Chaque chiffre du nombre multiplié prend une valeur 0 fois, 00 fois, 000 fois plus petite. On déplace donc la virgule vers la GAUCHE d autant de rangs qu il y a de 0 dans 0, 00, 000. Si on ne peut plus décaler la virgule vers la gauche on ajoute un ou plusieurs zéros. Exemples :, 9 : 0 =, 9 [ virgule décalée rang à gauche ], 5 : 0 =... [ virgule décalée rang à gauche avec ajout d un zéro], 8 : 00 =... [ virgule décalée rangs à gauche avec ajout de zéros ] 0, : 000 =... [ virgule décalée rangs à gauche avec ajout de zéros ]

23 Cm Proportionnalité NC8 ) Tableau a. Observation Nombre de personnes Prix à payer en On dit que ce tableau montre une situation de proportionnalité car le prix à payer augmente régulièrement en fonction du nombre de personnes. Le tableau fonctionne si on peut multiplier (ou diviser) par le même nombre pour passer d une ligne à l autre. On note alors le multiplicateur (ou le diviseur) à côté du tableau. b. Utilisation Si on ne connaît pas le multiplicateur dans un tableau on peut le compléter en utilisant les nombres qu il contient ) Graphique Dans une situation de proportionnalité, toutes les croix sont alignées. Si une croix n est pas sur la droite, alors il n y a pas de proportionnalité. ) Méthode de calcul : le produit en croix Nombre de trousses Poids en grammes 550 a) b)