Examen 2 Mathématiques L1S1 TD Université Paris 1

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1 Examen Mathématiques LS TD Université Paris Nom : Prénom : Durée : heure. Calculatrice interdite. Aucun document autorisé. Chaque question de la partie QCM vaut un point. Identifiez toutes les bonnes réponses possibles pour valider ce point. Répondez sur la copie. Partie : QCM. Soit a, b R tels que a < b, déterminez les assertions vraies concernant l intervalle [a, b] : (a) a est la borne supérieure (b) a est un minorant OK (c) b est le maximum OK (d) l intervalle n est pas borné (a) a est la borne supérieure : b > a est b [a, b], donc il existe un élément de l intervalle qui est plus grand que a, il ne peut être la borne supérieure. (b) a est un minorant. Vrai, car a est bien plus petit ou égal que tous les éléments de [a, b]. (c) b est le maximum. Vrai, car b est plus grand que tous les éléments de [a, b] et b [a, b] (d) l intervalle n est pas borné. Faux, car [a, b] est minoré et majoré (il a un maximum), donc [a, b] est borné.. Soit l ensemble A défini par : Cet ensemble est : { A = x R x = } n, n N (a) majoré OK (b) minoré OK (c) borné OK (d) aucun des trois On a les inégalités suivantes sur n N : n 0 < n 0 < x où x = n On en déduit que A est majoré et minoré, donc borné. 3. Quel est l intervalle défini par l inégalité x 4? (a) [, ] (b) [, 6] OK (c) ], 6[ (d) ], [ x 4 { { { x 4 si x 4 0 x 6 si x 4 x 6 si x 4 (x 4) si x 4 0 x si x 4 x si x 4 Les deux dernières expressions sont bien équivalentes à ce que x [, 6]. 4. Quel est l intervalle défini par l inégalité x <? ] [ ] [ ] [ (a) ], 0[, + OK(b),, + (c) ] [, ]0, + [ (d) ], + [ x < { { < x si x > 0 x > ] [ > x si x < 0 si x > 0 x < si x < 0 x ], 0[, + 5. C 4 =?

2 (a) 4 3 OK (b) 4!!! OK (c) 4 (d) En utilisant la formule, on obtient directement que : C 4 = 4!!(4 )! = 4!!! = 4 3 = 4 3 = 6 6. Quel est le coefficient de xy dans le développement de (x + 3y) 3? (a) 36 (b) 54OK (c) 3 (d) aucune de ces réponses Le coefficient est donc 54. (x + 3y) 3 = (x) 3 + 3(x) (3y) + 3(x)(3y) + (3y) 3 = 8x x y + 54xy + 7y 3 7. Soit la droite passant par les deux points A = (0, ) et B = (4, 0), quelle est l équation de cette droite? (a) y = x + OK (b) y = x (c) y = x + (d) y = x La droite a pour équation y = ax + b. On commence par calculer la pente a : a = y x = = 4 = On utilise ensuite le fait que A nous donne l ordonnée à l origine (x = 0 en ce point), ce qui nous permet de lire la seconde coordonnée de A comme l ordonnée à l origine de la droite. L équation de la droite est donc y = x Par quels points passe la droite d équation y = x + : (a) (0, 0) (b) (5, ) OK (c) ( 3, 8) OK (d) (, 4) On remplace dans l équation de la droite x par sa valeur en ce point, et on regarde si on obtient y. (a) (0, 0) y = 0 + = 0 + = (b) (5, ) (c) ( 3, 8) (d) (, 4) y = 5 + = 0 + = y = ( 3) + = 6 + = 8 y = + = + = 0 9. log 36 6 =?

3 (a) OK (b) (c) (d) 6 log 36 6 = log = log = = 0. Exprimer y en fonction de x dans l expression suivante : 4 exp(gy) = x (a) y = g (ln x ln 4) OK (b) y = g (ln x 4) ln x 4 ln x ln 4 (c) y = ln g (d) y = ln g 4 exp(gy) = x exp(gy) = x ( ) x 4 ln (exp(gy)) = ln gy = ln x ln 4 y = (ln x ln 4) 4 g Partie : Exercices Exercice : (4 points) Représenter dans un repère cartésien la fonction f définie par : f : R R x x + 4x 4 Donner son extremum, son ordonnée à l origine et ses racines, si elles existent. Calcul du discriminant : 0,5 Dire qu elle a une racine double : 0,5 Calcul de la racine : 0,5 Calcul de l ordonnée à l origine : 0,5 Calcul du maximum : (0,5 pour le point où il est atteint, 0,5 pour sa valeur). Représentation graphique : f est un polynôme du second degré qui peut s écrire f(x) = (x ). Le coefficient est négatif, elle est donc représentée par une parabole tournée vers le bas, et son maximum 0 est atteint pour x = qui est son unique racine double. Par ailleurs, on lit sur l expression de la fonction que son ordonnée à l origine est 4 = f(0). On peut donc la représenter de la manière suivante : y O max, racine x -4+ 3

4 Exercice : (4 points) Soit la suite (u n ) n N définie par n N, u n = + n n Cette suite est-elle monotone? Si oui, donner son sens de variation. Est-elle majorée, minorée? Converge-t-elle? Si oui, vers quelle limite? Étude de la monotonie,,5 points divisés comme suit : Réécriture de u n : 0,5 Calcul de u n+ u n : 0,5 Montrer qu elle décroit : 0,5 Dire qu elle est minorée par 0 : 0,5 Dire qu elle est majorée par 3 : 0,5 Enfin, conclure qu elle est est décroissante minorée, donc convergente : 0,5 point pour la limite et sa justification. On a n N : u n = + n n = n + n On peut alors calculer u n+ u n pour étudier la monotonie : Or : u n+ u n = (n + ) + ( n + n + ) n = (n + ) n + n + n n + > n > 0 0 < n + < n n + n < 0 (n + ) < n (n + ) n < 0 Le passage de l avant dernière ligne à la dernière est vrai car la fonction carrée est croissante sur les nombres positifs. On obtient à l aide des deux inégalités de droites que u n+ u n < 0 car cette différence s exprime comme la somme de termes négatifs. (u n ) est donc strictement décroissante. (u n ) est minorée par 0 car c est le quotient de termes positifs (ou la somme). Calculons maintenant un majorant : n n n n On obtient donc de la série d inégalité ci-dessus que u n = n + n 3. (u n) est donc majorée par 3. (u n ) est décroissante et minorée, donc convergente. Par ailleurs, sa limite est 0, car c est la somme de deux termes qui converge vers 0 : lim n + lim n + n = 0 n = 0. Il est conseillé d écrire u n sous une autre forme, qui simplifiera l étude de la monotonie. 4

5 Exercice 3 : ( points ) Un concessionnaire automobile supporte un coût fixe de 0000e. Il vend chaque voiture 6000 e et chacune lui coûte 5000e.. Déterminer les fonctions de coût total et de recette totale en fonction du nombre x de voiture vendues.. Exprimer son profit π(x). Quelle quantité minimale de voiture doit-il vendre pour gagner de l argent? Question : 0,5 pour la fonction de coût et 0,5 pour la fonction de recette. Question : 0,5 pour l expression du profit et 0,5 pour le nombre de bouquets à vendre pour gagner de l argent.. Notons C la fonction de coût total. Le concessionnaire a un coût fixe de 0000e et un coût variable de 5000e par voiture vendue. La fonction de coût s écrit donc en fonction du nombre x de voitures vendues : C(x) = x Par ailleurs, le concessionnaire gagne 6000e par voiture vendue, sa fonction de recette totale R est donc :. Le profit du fleuriste est de : R(x) = 6000x π(x) = R(x) C(x) = 6000x ( x) = x Pour que le concessionnaire gagne de l argent, il faut que son profit soit positif : π(x) 0. Le cas limite est π(x) = 0. Le profit nul est obtenu pour x = = 0. Le concessionnaire doit donc vendre au moins 0 voitures pour gagner de l argent. 5