DM 1 Théorie du consommateur et théorie du producteur

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1 Marianne Tenand - Département d'économie ENS Microéconomie 1 ( ) DM 1 Théorie du consommateur et théorie du producteur A remettre au plus tard vendredi 20 novembre à 19h dans mon casier à Jourdan. Ce DM comprend deux parties : les deux premiers exercices portent sur la théorie du consommateur, tandis que les exercices 3 à 5 ont trait à la théorie du producteur. Le deuxième exercice est le plus dicile ; revenez bien aux dénitions des demandes hicksienne et marshallienne, et aux propriétés de la dualité, e tout se passera pour le mieux! Vous avez la possibilité de réaliser ce devoir en binôme (mais je veux voir deux écritures diérentes dans la copie que vous me remettrez, sauf bien-sûr si vous utilisez LATEX). 1 La théorie du consommateur Exercice 1 : la demande de services d'aide à domicile chez les personnes âgées dépendantes [6 points] En France, la prise en charge de la dépendance des personnes âgées par les pouvoirs publics repose en grande partie sur l'allocation personnalisée d'autonomie (APA). Cette prestation permet d'aider les personnes âgées dépendantes à payer des interventions d'aidants professionnels, qui vont les assister dans les tâches de la vie quotidienne (ménage, toilette, habillement, etc.). 1

2 Le montant de cette allocation dépend à la fois du degré de dépendance de la personne et de ses ressources. Lorsqu'une personne fait une demande d'apa, une équipe du Conseil départemental se rend à son domicile pour évaluer le nombre d'heures d'aides dont elle a besoin, qu'on notera h. Pour chacune des heures jugées nécessaires, le Conseil départemental accorde une subvention proportionnel au prix horaire de l'aide, qui va être d'autant plus importante que le revenu est faible. Si la personne désire recevoir davantage d'heures d'aide à domicile, elle est tout à fait libre de le faire ; toutefois, les heures d'aide domicile consommées excédant le nombre d'heures jugées nécessaires par le Conseil départemental ne seront pas subventionnées. Si la la personne désire recevoir moins d'heures d'aide que ce que le Conseil départemental lui a prescrit, elle est également libre de le faire. On note : p le prix de marché d'une heure d'aide à domicile; s le taux de subvention horaire accordée par le Conseil départemental, et S le montant de la subvention horaire ; h le nombre d'heures d'aides eectivement consommées par la personne âgée (somme des heures subventionnées et des éventuelles heures non subventionnées). Le montant de l'apa, noté AP A, qui est nalement versé par le Conseil départemental est ainsi égal à: S.h si h < h AP A = S.h si h h On suppose enn que le prix de marché d'une heure d'aide à domicile est de 20 e. On considère un individu dont le revenu mensuel, noté R, s'élève à 900 e 1. Les incapacités physiques et cognitives de cette personne sont telles que le Conseil départemental est prêt à participer au nancement de 30 heures d'aide par mois ; en outre, ses ressources sont telles que le Conseil départemental accorde pour chacune des heures d'aide eectivement consommées une subvention de 70 %. 1. Détermination de la contrainte budgétaire (a) Que valent h et S? Que vaut le reste à charge, RAC, c'est-à-dire la somme que la personne âgée doit payer pour une heure d'aide consommée après que 1 Pour votre information : en 2012 la pension moyenne de droit direct des femmes retraitées est de 950 e mensuels, contre 1650 e pour les hommes. 2

3 lui ait été versée la subvention horaire? (b) Ecrire la dépense d(p, s, h, h) en consommation de services d'aide à domicile eectivement à charge de la personne, comme une fonction du prix de marché du bien, de la subvention accordée, du nombre d'heures subventionnées accordées (h) et du nombre d'heures consommées, selon les diérents cas de gure possibles. (c) Pourquoi pouvez-vous armer qu'à l'optimum, on aura : y = R d(p, s, h, h ) (d) Déterminer h max le maximum du nombre d'heures d'aide que la personne peut consommer, compte tenu de ses ressources et de la subvention du Conseil départemental. (e) Déterminez et représentez la contrainte budgétaire dans le plan (h, y), où h correspond au nombre d'heures d'aide à domicile consommées et y correspond au bien composite (qui se dénit comme la quantité de ressources que la personne peut aecter à la consommation de biens et services autres que les services d'aide à domicile; le prix du bien composite est donc celui du numéraire, donc est égal à 1.). 2. Résolution du programme du consommateur Supposez maintenant que l'utilité de l'individu peut être représentée par la fonction U(h, y) = h α y 1 α, avec 0 < α < 1. (a) Ecrire et interpréter le taux marginal de substitution (TMS) entre y et h. (b) Pour quelles valeurs du TMS le nombre d'heures d'aide consommées à l'optimum, noté h, est exactement égal à h? Pour quelles valeurs du TMS h < h? En- n, pour quelles valeurs du TMS h > h? (c) Si α = 0, 15, combien d'heures d'aide à domicile seront consommées par la personne âgée (notées h 1)? 3

4 3. Eet d'une variation de la subvention horaire Supposons maintenant que le Conseil départemental décide d'augmenter la subvention accordée 2 : celle-ci passe à 90 % du prix facturé par le service d'aide à domicile. (a) Quel est maintenant le montant de la subvention, S 2? Et la nouvelle valeur du reste à charge, RAC 2? (b) Quel est le nouveau volume d'heures d'aide à domicile consommées h 2? Comment l'expliquez-vous? Illustrez à l'aide d'un graphique ce qu'il peut se passer. (c) Le Conseil départemental est rattrapé par la crise des nances publiques. Il décide donc baisser sa subvention, qui ne s'élève plus qu'à 60 % du prix de marché. De même que précédemment, déterminer le montant horaire de la subvention SD 3 et le nouveau reste à charge, RAC 3. En déduire le volume d'heures d'aide à domicile consommées par la personne âgée, h 3. (d) A partir de h 1, h 3, RAC et RAC 3, en déduire une approximation de la valeur de l'élasticité-prix de la demande d'aide à domicile au point h 1. Quel type de bien (ou, pour être exact, service) l'aide à domicile constitue-t-elle? 4. Une certaine proportion de bénéciaires de l'apa bénécient d'une subvention à hauteur de 100 %. Pourtant, on observe que nombre d'individus dans ce cas consomment moins d'heures d'aide que le nombre d'heures subventionnées que leur accorde le Conseil départemental (h < h). Comment pourriez-vous l'expliquer? Pour vous aider, n'hésitez pas à tracer la droite de budget pour ces individus. On cesse de supposer que la fonction d'utilité est du type Cobb-Douglas. 2 L'APA est en réalité une politique nationale ; le barème de l'aide est donc censé être déni au niveau national. Toutefois, les textes réglementaires ne précisant pas quel tarif doit être utilisé pour calculer la subvention (les Conseils départementaux peuvent choisir un tarif forfaitaire plutôt que le tarif facturé), les départements conservent en pratique une marge de maneouvre dans la détermination du montant de l'apa et des caractéristiques distributives et assurantielles de cette prestation. 4

5 5. Transfert monétaire versus subvention horaire On se replace dans la conguration de la question 3 (utilité de type Cobb-Douglas avec α = 0, 5, R = 900 e et h = 30. Supposons que, pour simplier la gestion de sa politique, le Conseil départemental décide de verser directement le montant d'apa au bénéciaire, sur la base de son choix de consommation initiale : AP A = s.p.h 1, où h 1 est le volume d'heures consommées à l'optimum déterminé à la question 2. La prestation prend alors la forme d'un transfert monétaire. (a) Représentez dans un même graphique la contrainte budgétaire que vous aviez représentée à la question 1.e), et la contrainte budgétaire de la personne maintenant que l'apa a été transformée en transfert monétaire. (b) Résolvez le programme du consommateur dans cette nouvelle conguration. (c) Représentez sur le graphique le panier de consommation optimal déterminé à la question 2.c) et le panier de consommation optimal sachant que l'apa est devenu un transfert monétaire. Commentez le changement en termes d'eets de revenu et de substitution. Quel panier donne le plus haut niveau d'utilité? Comment l'interpréter de manière intuitive? Exercice 2 : variation compensatrice et variation équivalente [5,5 points] On s'intéresse au bien-être d'un consommateur de revenu m et dont l'utilité dépend de k biens (x 1, x 2,.., x k ), dont les prix sont notés p = (p 1, p 2,.., p k ). On suppose que les préférences du consommateur sont monotones. Le maire de la résidence dans laquelle réside le consommateur envisage de réaliser un projet dont la conséquence serait de faire passer le vecteur de prix de p à p et le revenu de l'agent de m à m. Il peut s'agir de la création d'un pôle de compétitivité qui aurait pour eet d'augmenter le salaire de l'individu mais aussi d'augmenter la demande et donc les prix dans la commune. Une mesure simple de la variation de bien-être (notée BE) induite par le projet est la variation de l'utilité indirecte de l'individu : BE = v(p, m ) v(p, m) 5

6 Le projet n'est avantageux pour l'individu que si BE > 0. Cependant un tel critère ne permet pas d'estimer numériquement le gain ou la perte de bine-être: la fonction d'utilité indirecte n'étant dénie qu'à une transformation croissante près (à préférences données), deux utilités indirectes correspondant aux mêmes préférences donneront en général deux mesures diérentes de BE. La solution de ce problème consiste à utiliser des variations de bien-être mesurées en unités monétaires. 1. En se restreignant au cas où le consommateur a le choix entre seulement deux biens, x 1 et x 2, représenter dans le plan (x 1, x 2 ) le choix du consommateur qui maximise sont utilité dans le cas où on a (p 1, p 2, m) et dans le cas où on a (p 1, p 2, m ). 2. Une première mesure monétaire possible de la variation du bien-être s'appelle la variation équivalente. Elle s'écrit : V E = e(p, v(p, m )) m où e désigne la fonction de dépense du consommateur. Que mesure V E? Comment la représenteriez-vous graphiquement (toujours dans le cas à deux biens)? Indication : Reprenez la dénition de la fonction de dépense. 3. Une seconde mesure monétaire possible de la variation de bien-être est appelée variation compensatrice. Elle se dénit ainsi : V C = m e(p, v(p, m)) où e désigne la fonction de dépense du consommateur. Que mesure V C? Comment la représenteriez-vous graphiquement (toujours dans le cas à deux biens)? 4. Laquelle de V C ou de V E doit-on utiliser si on souhaite évaluer le coût d'une éventuelle indemnisation des agents lésés (pour dénir un dédommagement - nancier par exemple)? 6

7 Même question si l'objectif est plutôt d'estimer les bénéces d'un projet, sans idée d'indemnisation. Justiez vos réponses. 5. On suppose que seul le prix du bien 1 est susceptible d'augmenter (on a p 1 > p 1), les prix des autres biens et le revenu de l'individu restant constants. En remarquant que : m = m = e(p, v(p, m)) = e(p, v(p, m)) montrez que : et que : p 1 V E = h 1 (p 1, p 2,..., p k, u )dp 1 p 1 p 1 V C = h 1 (p 1, p 2,..., p k, u)dp 1 p 1 h 1 désignant la demande hicksienne pour le bien1, u = v(p 1, p 2,..., p k, m) et u = v(p 1, p 2,..., p k, m). L'inconvénient de ces deux mesures monétaires est que la fonction de demande hicksienne n'est pas observable empiriquement, contrairement à la fonction de demande marshallienne. C'est pourquoi on utilise une approximation de la variation de bien-être appelée variation de surplus. En restant dans le cas où seul le prix du bien 1 varie, la variation de surplus s'écrit : p 1 V S = x 1 (p 1, p 2,..., p k, m)dp 1 p 1 6. Dans le plan (p 1, x 1 ), représentez graphiquement les fonctions x 1 (p 1, p 2,..., p k, m), h 1 (p 1, p 2,..., p k, u) et h 1 (p 1, p 2,..., p k, u ). 7. Pour quelle valeur de p 1 les fonctions x 1 (p 1, p 2,..., p k, m) et h 1 (p 1, p 2,..., p k, u) se coupent-elles? Même question pour les fonctions x 1 (p 1, p 2,..., p k, m) et h 1 (p 1, p 2,..., p k, u ). 8. On suppose que le bien 1 est un bien normal. Utilisez l'équation de Slutksy pour montrer que les fonctions de demande hicksienne sont moins pentues que les fonc- 7

8 tions de demande marshallienne. 9. En déduire que : V C V S V E 10. Que devient cette relation dans le cas d'un bien inférieur? 2 La théorie du producteur Exercice 3 : les fonctions de coût (un peu de dessin) [1,5 points] Représentez une fonction de coût qui exhibe un coût xe et des rendements croissants dans un premier temps, puis décroissants. Pour cela, faites apparaître le coût total (CT), le coût xe (CF) et le coût variable (CV ) sur un premier graphe dans le plan (Quantité - Coût). Dans un deuxième graphique, aligné verticalement avec le premier, représenter les fonctions de coût moyen (CM), de coût xe moyen (CF M), de coût variable moyen (CV M) et enn de coût marginal (cm). Assurez-vous que les intersections et les relations entre les diérentes courbes sont cohérentes. N'utilisez pas de chires. Exercice 4 : coûts de long terme et de court terme : le cas de la Cobb- Douglas [3,5 points] On s'intéresse à une rme qui produit un output avec une technologie représentée par la fonction de production F (x 1, x 2 ). La production se fait avec deux facteurs, x 1 et x 2, dont les prix unitaires sont respectivement w 1 et w 2. On suppose en outre que la fonction de production est la Cobb-Douglas : F (x 1, x 2 ) =. On se place dans le cas général où a priori 1 α β. x α 1 xβ 2 8

9 1. Le long terme (a) Ecrire le problème de minimisation du coût de long terme de la rme. Écrire le Lagrangien associé. Indication : revenez à la dénition du long terme pour voir que c'est un programme de minimisation du coût classique qui vous est demandé. (b) Écrire les conditions de première ordre. En déduire les fonctions de demande conditionnelle des facteurs. (c) Quelle est la fonction de coût de long terme? Et la fonction de coût moyen? Comment la forme de ces fonctions évolue selon le type de rendements d'échelle? 2. Le court terme On suppose maintenant que le facteur x 2 est considéré comme xe à court terme, à un niveau x 2. (a) Comment s'écrit le programme de minimisation du coût de court terme? (b) Résoudre ce programme en écrivant soigneusement le Lagrangien et les conditions de premier ordre. Donner la fonction de demande conditionnelle du facteur x 1. (c) Déterminer les fonctions (de court terme) de coût total, de coût moyen, de coût variable moyen, de coût xe moyen et de coût marginal. (d) Quel est le lien entre les fonctions de coût de court terme et les fonctions de coût de long-terme? Qu'est-ce que cela implique pour la représentation des courbes de coût moyen de court terme et de coût moyen de long-terme? Meme question pour la représentation des courbes de coût marginal de court terme et de coût marginal de long terme. 9

10 Exercice 5 : la dualité dans la théorie du producteur [3,5 points] L'objectif de cet exercice est d'étudier une fonction de prot particulière, dite additive en les prix des facteurs de production, et de fournir une illustration de la dualité dans la théorie du producteur. Soit une rme placée dans un environnement concurrentiel dont la fonction de prot peut s'écrire : Π(w 1, w 2 ) = φ(w 1 ) + φ(w 2 ) où w 1 et w 2 sont les prix unitaires des deux facteurs de production utilisés par la rme. On normalise le prix de l'output à A partir des propriétés générales de la fonction de prot, que pouvez-vous dire des dérivées premières et secondes des fonctions φ(w 1 ) et φ(w 2 )? 2. On note x i (w 1, w 2 ) la demande inconditionnelle de facteur i. De quel signe est (pour i j)? Interprétez le résultat brièvement. x i (w 1,w 2 ) w j Indication : utilisez le lemme de Hotelling On note f(x 1, x 2 ) qui a généré la fonction de prot d'intérêt. Nous allons essayer de voir ce que nous pouvons dire de cette fonction à partir de la seule connaissance de la forme de la fonction de prot. 3. Écrivez la fonction de prot à partir de la fonction de production et des demandes de facteurs. 4. Quelles sont les conditions de premier ordre du programme de maximisation du prot (utilisez l'expression du prot dérivée précédemment)? 5. Montrez que les dérivées de la fonction de prot par rapport aux prix des facteurs de production permettent d'arriver aux mêmes équations. 10

11 6. Utilisez les réponses à la question précédente pour montrer qu'on peut écrire la fonction de production f(x 1, x 2 ) comme la somme de deux fonctions g(x 1 ) et g(x 2 ) : f(x 1, x 2 ) = g(x 1 ) + g(x 2 ) NB : On voit ainsi que la séparabilité de la fonction de prot se retrouve dans la séparabilité de la fonction de production. On pourrait démontrer de manière similaire qu'une fonction de coût séparable en les prix des facteurs de production va de pair avec une fonction de production séparable. 11