Exercice 1 Partie A Soit f la fonction définie, sur R, par :

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1 Exercice Partie A Soit f la fonction définie, sur R, par : f (x)= ex e x +. On ( appelle (C ) sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthonormal O, ı, ) j ( unité graphique : cm).. a. Déterminer la limite de f en. En écrivant f (x)= e x, déterminer la limite de f en+. + En déduire les équations des asymptotes à (C ). b. Calculer f (x), où f est la dérivée de f. c. Étudier les variations de f. d. Dresser son tableau de variations.. Déterminer une équation de la tangente (D), à (C ) au point d abscisse ln.. Tracer sur un même graphique, la courbe (C ), ses asymptotes et la droite (D). Partie B Une entreprise fabrique un certain produit P. On appelle x le nombre de tonnes de P fabriquées. On note C(x) leur coût total de fabrication, exprimé en milliers d euro. La fonction coût marginal, C, est la dérivée de la fonction C. Pour tout x [ ; + [, on a : C (x)= f (x), où f est la fonction étudiée dans la partie A. De plus, on suppose qu il n y a pas de charges fixes, donc que C()=.. a. Montrer que le coût total est donné par : x C(x)= f (t) dt. b. Exprimer C(x) en fonction de x. c. Quel est le coût total de 5 tonnes de ce produit P? On en donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie à la dizaine d euro près.. On appelle C M (x) le coût moyen défini, pour tout x strictement positif, par : C M (x)= C(x) x. a. Exprimer C M (x) en fonction de x. b. Vérifier que, pour tout x >, C M (x)=+ ln (+e x ) c. En déduire la limite de C M (x) en+. x ln 5. x Exercice Sur le graphique ci-dessous, on a tracé : la courbe C f représentant une fonction f définie et dérivable sur l intervalle ] ; [ ; deux tangentes à cette courbe : celle au point A d abscisse et celle au point B d abscisse e. La courbe C f passe par les points A( ; ), B(e ; ) et C( ; f ()). La tangente en A est parallèle à l axe des abscisses. La tangente en B passe par le point E tel que BD = DE, où D est le point de coordonnées ( ; ) et E a pour abscisse.

2 C E e D 5 - A - Le nombre e est la base des logarithmes népériens.. Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes : a. Sans justifier, donner f () et f (e). b. Sans justifier, donner les solutions dans ] ; [ de l inéquation f (x) <, puis celles de : f (x)<. c. Soit A, en unités d aire, une estimation de l aire de la région colorée, région comprise entre l axe des abscisses, la courbe C f et les droites d équations x = et x = e. Parmi les trois nombres suivants :,9 ;, ;,6 lequel est la meilleure valeur approchée de A? Justifier la réponse.. On suppose que la fonction f précédente est définie sur ] ; + [ par : f (x)= x ln(x) x. a. Calculer f (x). En déduire les variations de f et les valeurs de f () et de f (e) ; on ne déterminera pas la limite en+. b. Montrer que la fonction F définie sur ] ; ] par : F (x)= x est une primitive de f sur ] ; ]. Exercice La partie C est indépendante des parties A et B. ( ln x ) Partie A Soit h la fonction polynôme du second degré définie sur [ ; ] par h(x)=(e )x (e )x+, la constante e désignant la base des logarithmes népériens (e, 78).. Montrer que h est strictement décroissante sur [ ; ].. Justifier le fait que h s annule une fois et une seule entre et. On note α le nombre réel qui vérifie h(α)=.

3 . En utilisant les résultats des questions précédentes, préciser le signe de h(x) sur [ ; ]. Partie B Soit f la fonction définie sur [ ; ] par f (x)=ln [ (e )x + ] et C f sa courbe représentative dans un repère orthonormal (unité graphique cm).. Calculer f () et f ().. Étudier les variations de f sur [ ; ].. On veut préciser la position de C f par rapport à la droite D d équation y = x. Pour cela, on étudie les variations de la fonction définie sur [ ; ] par d(x)= x f (x). a. Montrer que d h(x) (x)= (e )x où h est la fonction étudiée dans la partie + A. b. Étudier le sens de variation de d sur [ ; ]. c. Calculer d() et d(). d. Déduire de ce qui précède le signe de d(x) sur [ ; ]. Préciser la position de C f par rapport à la droite D. Partie C Sur le graphique ci-dessous sont représentées la droite d équation y = x, la courbe C f représentative de la fonction f étudiée dans la partie B et la courbe C g représentative d une nouvelle fonction g.,8,6 C f, C g, O,,,6,8

4 Les courbes représentant f et g illustrent ici respectivement la répartition des salaires dans deux entreprises A et B. En abscisses, x représente le pourcentage cumulé (sous forme décimale) des personnes ayant les salaires les plus faibles par rapport à l effectif total de chaque entreprise ; par exemple si l on veut considérer les 6 % les moins bien payés de l ensemble des salariés d une entreprise, on choisira x =,6. En ordonnées, f (x) (ou g (x)) représente le pourcentage (sous forme décimale) de la masse salariale totale affectée aux t % les moins bien payés des salariés de chaque entreprise, avec t = x. Les courbes C f et C g sont des courbes de Lorenz.. Déterminer graphiquement (avec la précision permise par le dessin), pour chaque entreprise, une valeur approchée du pourcentage de la masse salariale affectée aux 6 % des salariés les moins bien payés.. Déterminer graphiquement (avec la précision permise par le dessin), pour chaque entreprise, une valeur approchée du pourcentage des salariés les moins bien payés dont la masse des salaires représente 6% de la masse salariale totale.. Dans quelle entreprise la distribution des salaires est-elle la plus irrégulièrement répartie? Exercice On peut traiter la question sans avoir traité les questions précédentes. Pour un achat immobilier, lorsqu une personne emprunte une somme de 5 euros, remboursable par n mensualités chacune égale à A euros, pour un intérêt mensuel de, %, le montant de cette mensualité A est donné par : A= (,) n (on ne demande pas d établir cette relation).. Calculer la mensualité A lorsque cette personne emprunte 5 euros remboursables par mensualités pour un intérêt mensuel de, %. On donnera une valeur arrondie au centime d euro. Calculer alors le montant total des intérêts pour ce prêt.. Mêmes questions avec un emprunt de 5 euros sur 8 ans à, % mensuel.. Afin de payer le moins d intérêts possible, l emprunteur doit augmenter le montant de la mensualité et diminuer la période de remboursement. Mais il ne peut supporter au maximum que des remboursements de 95 euros par mois. a. Résoudre dans [ ; + [ l inéquation 95. (,) x b. En déduire le nombre entier n minimum de mensualités pour lequel le montant de la mensualité A est inférieur ou égal à 95 euros. Que vaut alors A arrondi au centime d euro? Calculer alors le montant total des intérêts.. Voici des extraits du tableau d amortissement d un prêt de 5 euros remboursable par 6 mensualités pour un intérêt de, %. Calculer, en détaillant, les nombres a, b, c, d et e qui figurent dans le tableau. On donnera des valeurs arrondies au centime d euro.

5 N o de la Montant de la Part des intérêts en euros Capital amorti Capital restant mensualité mensualité en euros pour cette mensualité en euros à rembourser en euros 98,99, 78,99 96, 98,99 97, a b 98,99 c d e 98,99 9, 77,89 7 6, ,99 7,7 9,5 95,5 6 98,99,7 95,5 Exercice 5 Le tableau ci-dessous donne le taux d équipement en magnétoscope des couples avec enfant(s) d une certaine région française de 98 à tous les quatre ans. Dans ce tableau, x i représente l expression : a i 98. Année a i Rang x i de l année 5 Taux y i en % Par exemple, 5 % des couples avec enfant(s) de cette région possède un magnétoscope en 98. Partie A Ajustement affine Le plan est rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : cm par rang d année sur l axe des abscisses et cm pour % sur l axe des ordonnées).. Représenter le nuage de points correspondant à la série statistique (x i ; y i ).. Calculer les coordonnées du point moyen G de cette série statistique et placer celui-ci sur le graphique précédent.. Dans toute cette question, aucun détail des calculs n est demandé Les résultats pourront être obtenus à l aide de la calculatrice ; ils seront arrondis à. Donner une équation de la droite d ajustement affine de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés. Représenter cette droite sur le graphique précédent. On suppose que le modèle obtenu à la question reste valable pour les années suivantes. Déterminer, par le calcul, en quelle année ce taux dépassera 95 %. Partie B Ajustement logistique Soit f la fonction définie sur [ ; + [ par f (x)= +ke bx. où k et b sont des constantes à déterminer.. Déterminer par le calcul les valeurs exactes de k et b pour que la courbe représentative de f passe par les points M( ; 5) et N( ; 5). Donner une valeur de b arrondie à l unité. 5

6 . Dans toute cette question, on pose : f (x)= et on admettra que f (x) +9e x représente le taux d équipement en magnétoscope des couples avec enfant(s) de cette région pour l année de rang x. a. Montrer que la droite d équation y = est asymptote horizontale à la courbe représentative de f au voisinage de +. Déterminer la position de la courbe représentative de f par rapport à cette asymptote. b. Calculer la dérivée f de f et vérifier que f (x) est du signe de e x. En déduire les variations de f sur [ ; + [ et dresser le tableau de variations de f. c. Tracer la courbe représentative de f sur le graphique de la partie A. d. Résoudre l inéquation : f (x) 95. Interpréter ce résultat en terme de taux d équipement. e. Montrer que pour tout x de [ ; + [, on a f (x) = ex 9+e x. f. En déduire une primitive de f sur [ ; + [. g. On assimile le taux moyen d équipement prévisible avec ce modèle logistique entre les années et 8 à la valeur moyenne de la fonction f sur [5 ; 7]. Calculer ce taux moyen d équipement prévisible entre les années et 8. On en donnera une valeur arrondie à. Exercice 6 Partie A Soit f la fonction définie, sur R, par : f (x)= ex e x +. ( On appelle (C ) sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthonormal O, ı, ) j ( unité graphique : cm).. a. Déterminer la limite de f en. En écrivant f (x)= e x, déterminer la limite de f en+. + En déduire les équations des asymptotes à (C ). b. Calculer f (x), où f est la dérivée de f. c. Étudier les variations de f. d. Dresser son tableau de variations.. Déterminer une équation de la tangente (D), à (C ) au point d abscisse ln.. Tracer sur un même graphique, la courbe (C ), ses asymptotes et la droite (D). Partie B Une entreprise fabrique un certain produit P. On appelle x le nombre de tonnes de P fabriquées. On note C(x) leur coût total de fabrication, exprimé en milliers d euro. La fonction coût marginal, C, est la dérivée de la fonction C. Pour tout x [ ; + [, on a : C (x)= f (x), où f est la fonction étudiée dans la partie A. De plus, on suppose qu il n y a pas de charges fixes, donc que C()=.. a. Montrer que le coût total est donné par : x C(x)= f (t) dt. 6

7 b. Exprimer C(x) en fonction de x. c. Quel est le coût total de 5 tonnes de ce produit P? On en donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie à la dizaine d euro près.. On appelle C M (x) le coût moyen défini, pour tout x strictement positif, par : C M (x)= C(x) x. a. Exprimer C M (x) en fonction de x. b. Vérifier que, pour tout x >, C M (x)=+ ln (+e x ) x c. En déduire la limite de C M (x) en+. ln 5. x Exercice 7. Soit g la fonction définie sur ] ; + [ par g (x)=ln(x+ ) ln(x). ( Montrer que, pour tout x > : g (x)= ln + ). x Étudier le signe de g (x). Déterminer les limites de g en et en+. Démontrer que la fonction G, définie sur ] ;+ [ par G(x)=(x+ )ln(x+ ) x ln(x), est une primitive de g sur l intervalle ] ; + [.. Soit f la fonction définie sur ] ; + [ par f (x)= x+ +ln(x+ ) ln(x), et (C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormal plan (unité graphique : cm). On ne demande pas de tracer (C ). En utilisant les résultats du., justifier les affirmations suivantes : a. l axe des ordonnées est asymptote à la courbe (C ) ; b. la droite (D) d équation y = x+ est asymptote à (C ) en+ ; c. la courbe (C ) est au-dessus de la droite (D).. Calculer de cette intégrale? ( O, ı, ) j du [ f (x) (x+ ) ] dx. Quelle interprétation géométrique peut-on faire Exercice 8 Un négociant en vins a fait mener une étude visant à déterminer à quel prix maximal ses clients sont prêts à acheter une bouteille de vin. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant : Prix maximal x i en euros de la bouteille Pourcentage y i d acheteurs potentiels On voit dans ce tableau, par exemple, que 58 % des clients de ce négociant sont prêts à payer euros une bouteille de vin. Partie A (Ajustement affine) 7

8 . a. Représenter le nuage de points correspondant à la série statistique (x i ; y i ) dans un repère orthogonal du plan (unités : cm pour euros sur l axe des abscisses, cm pour 5 % sur l axe des ordonnées). b. Déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage et le placer sur le graphique.. a. Donner, à l aide de la calculatrice, une valeur arrondie à près du coefficient de corrélation linéaire de la série statistique (x i ; y i ). Un ajustement affine est-il judicieux? b. Donner une équation de la droite de régression de y en x, par la méthode des moindres carrés, les coefficients étant calculés à l aide de la calculatrice et arrondis à près. Représenter la droite sur la figure du., en précisant les coordonnées de deux points de cette droite.. Chez ce négociant, le prix moyen d une bouteille est de euros. En utilisant l ajustement précédent, calculer le pourcentage des clients prêts à acheter une bouteille à ce prix. On arrondira le résultat à l entier le plus proche. Partie B (Autre ajustement) On envisage un ajustement du nuage de points de la partie A par la courbe représentative d une fonction. Soit f la fonction définie sur [ ; + [ par f (x)= ( x + x+ ) e,x et (C ) la courbe représentative de f dans le repère de la partie A. (. On admet que lim x + x+ ) e,x =. Quelle interprétation graphique x + peut-on faire de ce résultat?. a. f étant la dérivée de la fonction f, montrer que pour tout x [ ; + [ : f (x)= (,x x ) e,x. b. Déterminer le signe de f (x) pour x [ ; + [. c. En déduire les variations de la fonction f sur [ ; + [.. a. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (on donnera les valeurs arrondies à près) x f (x) 8,8 b. Tracer la courbe (C ) dans le repère de la partie A.. a. Démontrer que l équation f (x) = 5 admet une unique solution α appartenant à l intervalle [ ; 5]. b. Donner, en justifiant la réponse, un encadrement de α d amplitude. c. Que représente α pour le négociant, si on admet que la fonction f représente un bon ajustement du nuage de points? Exercice 9 Ce problème a pour objectif d étudier le prix d équilibre entre l offre et la demande d un objet donné, dans une situation de concurrence parfaite. 8

9 Partie A : Étude de la demande On suppose que le prix unitaire qu acceptent de payer les consommateurs en fonction de la quantité x disponible sur le marché est modélisé par la fonction g définie sur [ ; + [ par g (x)= 5 x + x+. Le prix unitaire g (x) est exprimé en euros et la quantité x en millions d objets.. Calculer lim g (x). Interpréter graphiquement ce résultat. x +. a. Calculer g (x). Étudier les variations de g sur [ ; + [ et donner le tableau de variations.. Soit C g la courbe représentative de g dans un repère orthogonal du plan. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C g au point d abscisse nulle.. Tracer T et C g (unités graphiques : cm pour une unité en abscisses, cm pour unités en ordonnées). Partie B : Étude de l offre Les producteurs acceptent de fabriquer une quantité x exprimée en millions d objets si le prix unitaire de l objet atteint une valeur minimale. On suppose que ce prix minimal (qui dépend de la quantité x) est modélisé par la fonction f définie sur [ ; + [ par f (x)=e,6x. Le prix unitaire f (x) est exprimé en euros.. Calculer lim x + f (x).. Étudier les variations de f sur [ ; + [.. Tracer C f dans le même repère que C g. Partie C : Recherche du prix d équilibre Dans un marché à concurrence parfaite, la «loi de l offre et de la demande» tend à dégager un prix d équilibre p pour lequel l offre des producteurs est égale à la demande des consommateurs. On appelle q la quantité associée à p.. Déterminer graphiquement un encadrement entre deux entiers consécutifs d une part du prix d équilibre p et d autre part de la quantité associée q.. On pose h(x)= f (x) g (x) pour tout x de [ ; + [. a. Déduire des parties A et B le sens de variations de sur [ ; + [. b. Montrer que l équation h(x)= admet une solution unique q sur [ ; ]. c. Donner à l aide de la calculatrice une valeur arrondie à de q.. Calculer une valeur approchée du prix d équilibre p. On donnera le résultat arrondi à près. Partie D : Surplus des producteurs 9

10 On appelle surplus des producteurs le gain supplémentaire que réalisent les producteurs en vendant au prix p. Il est obtenu à partir de l expression : Il est exprimé en millions d euros. q S p = p q f (x) dx.. Donner une interprétation graphique de S p, (on interprétera p q comme l aire d un rectangle).. a. Calculer S p en fonction de p et q. b. Déterminer une valeur arrondie à de S p exprimée en millions d euros. Exercice Partie A On considère la fonction f définie sur ] ; + [ par : f (x)= ax+ b+ ln(x+ ) où a et b désignent deux réels que l on déterminera dans la question ). On appelle C f sa courbe représentative. La figure de l annexe représente une partie de cette courbe donnée par une calculatrice graphique. C f vérifie les conditions suivantes : elle passe par le point A( ; 5) et elle admet une tangente horizontale au point d abscisse.. En utilisant les données de l énoncé, que peut-on dire du sens de variation de f?. Déterminer a et b. Partie B On suppose désormais que la fonction f est définie sur ] ; + [ par : f (x)= x+ 5+ln(x+ ).. a. Calculer la limite de f en. Interpréter graphiquement le résultat. ln(x+ ) b. En admettant que : lim =, calculer lim x + x f (x). x +. Calculer f (x) et étudier les variations de f Dresser le tableau de variations. Préciser la valeur exacte du maximum de f.. Tracer C f et les asymptotes éventuelles dans un plan muni d un repère orthonormal O, ı, ) ( j. (unité graphique : cm). a. Montrer qu il existe deux réels α et β tels que α<<βet f (α)= f (β)=. b. Donner une valeur approchée à près par défaut de α et de β. c. En déduire le signe de f (x) sur ] ; + [. 5. Soit g la fonction définie sur ] ; + [ par : a. Calculer g (x). g (x)=(x+ )ln(x+ ) x. b. En déduire l expression de la primitive de f s annulant pour x =.

11 Partie C Une imprimerie a une capacité de production de 5 ouvrages par jour. Une étude a montré que le coût marginal peut être modélisé par f (q) (en milliers d euro) où q désigne la quantité d ouvrages imprimés (en milliers). On rappelle que le coût marginal correspond à la dérivée du coût total.. a. Calculer 5 f (q) dq. b. En déduire le coût total en euro de fabrication de 5 ouvrages.. L imprimeur compte réaliser en deux jours une commande de 8 ouvrages. Il hésite entre deux possibilités : 5 ouvrages le premier jour puis le second, ouvrages pendant deux jours. Quelle est l option la plus rentable? Annexe Courbe représentative de f Exercice Le but du problème est la recherche du meilleur moment de revente d une machineoutil en tenant compte de sa valeur marchande ainsi que du coût de son entretien. On étudie dans la partie A, deux fonctions qui contribuent à la résolution du problème traité dans les parties B et C. Les parties A et B sont indépendantes. Partie A Étude de fonctions. Soit la fonction f définie sur R + par a. Calculer la limite de f en +. f (x)= e.x + e,5x. b. Étudier les variations de la fonction f sur R + et dresser son tableau de variations. Préciser les limites en et en+.

12 . Soit la fonction g définie sur ] ; + [ par g (x)= f (x) x. On donne une partie de la courbe représentative de la fonction g dérivée de la fonction g Soit A le point d intersection de cette courbe avec l axe des abscisses. On prendra,5 comme valeur approchée de l abscisse de A. Comme le suggère le graphique, on admet que la fonction g reste négative entre et,5. a. En utilisant ce graphique, déterminer les variations de la fonction g sur l intervalle ] ; 8]. b. En déduire une valeur approchée du minimum de la fonction g sur l intervalle ] ; 8]. Partie B Depréciation d un matériel Toutes les valeurs marchandes sont exprimées en milliers d euros, et on suppose raisonnable de négliger les variations monétaires. Une machine-outil achetée neuve, coûte milliers d euros. Au bout d un an, son prix de revente a diminué de 8 % et on admet qu il en est ainsi chaque année.. Quel est le prix de revente en milliers d euros au bout de années?. On note v n le prix de revente de la machine au bout de n années, en milliers d euros. a. Exprimer v n en fonction de n. b. Determiner par le calcul, le nombre d années à partir duquel le prix de revente de la machine sera inférieur ou égal à,5 millier d euros. Expliquer la méthode utilisée.

13 . Soit k la fonction définie sur [ ; 8] par k(x)=e,x. On admet que k(n) est une bonne approximation de v n pendant les 8 premières années. On note I l intégrale suivante I= 5 k(x) dx. a. Calculer la valeur exacte de I puis en donner une valeur approchée arrondie à l unité la plus proche. b. Estimer la valeur moyenne du prix de revente de la machine sur 5 années d utilisation, puis en donner une valeur approchée. Partie C Coût total d un matériel La machine-outil a un coût d entretien. On estime qu il peut être calculé par la fonction E définie sur [ ; 8] par E(x) = e,5x où x désigne l âge de la machine en années.. Justifier que le coût total d utilisation de la machine-outil en fonction de son âge, exprimé en milliers d euros, peut être défini sur [ ; 8] par f (x)= e.x + e,5x (f est la fonction étudiée dans la partie A). Exprimer le coût moyen par année d utilisation, en fonction de l âge de la machine. En utilisant les questions précédentes, estimer le meilleur moment pour revendre la machine. Exercice Un phénomène économique est modélisé par ( une fonction f représentée graphiquement par une courbe (C ) dans un repère O, ı, ) j. Une partie de (C ) est donnée ci-dessous.

14 8 y T A 5 5 O x On donne aussi le tableau de valeurs suivant : x f (x) 9, On suppose que la fonction f ainsi représentée est continue et dérivable sur [ ; ] et strictement croissante sur [ ; ] On note f sa fonction dérivée. La droite T est la tangente à (C ) en son point A d abscisse 5 ; elle passe aussi par le point de coordonnées (7 ; ). (C ) admet une tangente horizontale au point d abscisse.. En utilisant ces informations : a. Reproduire et compléter le tableau cicontre : x 5 f (x) f (x) b. Dresser le tableau des variations de f sur [ ; ] ; indiquer aussi le signe de f (x) sur cet intervalle. Justifier. c. Déterminer le nombre de solutions de l équation f (x) = 6. Utiliser le graphique pour donner des valeurs approchées des solutions à,5 près.. On considère la fonction g définie pour tout x de [ ; ] par : g (x)=ln[f (x)]. a. Étudier les variations de g et dresser le tableau des variations de g sur [ ; ]. b. À l aide du graphique de la question, donner une solution approchée, dans l intervalle [ ; ], de l équation g (x) =.

15 Exercice Partie A Étude statistique Le but de ce problème est de modéliser l évolution de la cotation d une action en Bourse. On ne fera qu un seul dessin qui sera compété tout au long des différentes questions. Les parties sont indépendantes. La société «T E S» est entrée en Bourse en 995. Le tableau suivant donne la valeur d une action en euros le er janvier de chaque année. Année Rang de l année x i Valeur de l action en euros y i Représenter le nuage de points associé à la série statistique ( x i ; y i ), le plan étant rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : cm pour une année sur l axe des abscisses, cm pour euros sur l axe des ordonnées).. Le graphique permet d envisager un ajustement affine. a. Calculer les coordonnées du point moyen G. Placer ce point sur le graphique précédent. b. Déterminer une équation de la droite de régression de y en x (les calculs effectués à la calculatrice ne seront pas justifiés). c. En supposant que ce modèle reste valable jusqu en, quelle serait la valeur, en euros, d une action de cette société en?. En fait, suite à un retournement de tendance, la valeur de l action a commencé à baisser à partir de 999 comme le montre le tableau suivant (valeur au er janvier) Année 999 Rang de l année x i Valeur de l action en euros y i 5 5 a. Compléter le nuage de points à l aide de ces nouvelles valeurs. b. Expliquer pourquoi l ajustement précédent ne semble pas pertinent. Partie B Étude d une fonction Soit f la fonction définie sur [ ; + [ par : { f (x) = 8,9x+ 5,6 si x ] ; [ f (x) = e,58x+6,85 si x ] ; + [. On suppose que f modélise l évolution du cours de l action à partir de l année. a. Dresser le tableau de variations de f sur [ ; ]. b. Déterminer lim f (x). Interpréter graphiquement ce résultat. x + Étudier les variations de f sur ] ; + [ puis dresser son tableau de variations sur cet intervalle.. Tracer la courbe Γ représentative de la fonction f sur le graphique précédent. f est-elle continue sur [ ; + [? 5

16 . Calculer, arrondie au centième, la valeur moyenne de f sur l intervalle [5 ; ]. On rappelle que la valeur moyenne d une fonction f sur l intervalle [a ; b] est b égale à f (x) dx. b a a Interpréter ce résultat.. Résoudre l inéquation : f (x),5. À partir de quelle année la valeur de l action sera-t-elle inférieure à,5 euro? Exercice Partie A Étude d une fonction On considère la fonction f définie sur l intervalle [ ; + [ par : f (x)=x+ e,x. On note C f la courbe représentative de f dans un repère orthogonal ( O, ı, ) j (unités graphiques : cm pour unité en abscisse ; cm pour unités en ordonnée).. Calculer la limite de f en +.. Montrer que la droite D d équation y = x est asymptote à la courbe C f.. Calculer la dérivée f et étudier les variations de f sur l intervalle [ ; + [. (. Tracer C f et D dans le repère O, ı, ) j pour x appartenant à [ ; 8]. 5. Résoudre graphiquement l inéquation f (x) 5 sur l intervalle [ ; 8]. 6. Calculer la valeur exacte du nombre M= 7 arrondie à l entier le plus proche. 8 f (x)dx, puis donner sa valeur Partie B Modélisation d un coût Un artisan confiseur qui propose des chocolats «faits maison» en fabrique de à 8 kg par jour. Le coût moyen de fabrication d un kilogramme de chocolats est exprimé en euro. Il est modélisé par la fonction f étudiée dans la partie A, où x désigne la masse en kg de chocolats fabriqués ( x 8). Dans la suite, on utilisera les résultats de la partie A.. a. Déterminer, à un euro près, le coût moyen de fabrication pour 6 kg fabriqués. b. Quelle est la quantité à fabriquer pour que le coût moyen soit minimum? c. Quel est alors ce coût?. L artisan vend ses chocolats au prix de 5 le kilogramme. Quelle quantité minimale doit-il fabriquer pour faire un bénéfice?. Quelle est pour l artisan la valeur moyenne du coût de fabrication d un kilogramme de chocolats? Exercice 5 Partie A Soit g la fonction définie sur [ ; 5] par g (x)=(x 5) e x. 6

17 . On note g la fonction dérivée de g sur [ ; 5]. a. Montrer que g (x)= (x 5)( x)e x. b. Étudier le signe de g sur [ ; 5]. c. Dresser le tableau de variations de g sur [ ; 5].. Soit G la fonction définie pour tout x de [ ; 5] par G(x)=( x + x 5)e x. Montrer que G est une primitive de g sur [ ; 5]. Partie B Soit f la fonction définie sur [5 ; 9] par f (x)= 7e7 6 g (x).. Justifier que f admet les mêmes variations que g sur l intervalle [5 ; 9].. La représentation graphique de f dans un repère orthogonal R est donnée ci-dessous.,,,9,8,7,6,5,,,, Calculer l aire A, exprimée en unités d aire, du domaine plan délimité par C, l axe des abscisses et les droites d équations x = 5 et x = 9 (on utilisera le résultat de la question A. )). On donnera la valeur exacte de A, puis sa valeur arrondie à. Partie C Dans une population et pour une génération donnée, le taux de fécondité t(k) à l âge k où k est un entier compris entre 5 et 9, est le rapport entre le nombre de naissances chez les mères d âge k et le nombre de femmes d âge k de cette génération. 7

18 Le nuage de points représentant le taux de fécondité d une population pour une génération donnée (l âge étant représenté en abscisse et le taux de fécondité en ordonnée) est représenté dans le repère R. On appelle descendance finale la somme des taux de fécondité par âge t(k) ; elle est donc égale à 9 k=5 t(k). On suppose qu elle peut être modélisée par l aire délimitée par la courbe C, l axe des abscisses et les droites d équations x = 5 et x = 9.. Utiliser les résultats de la partie B afin d estimer la descendance finale de cette génération (on donnera un résultat arrondi à ).. Une valeur arrondie à de la somme des taux de fécondité par âge est,. Comparer ce résultat avec celui obtenu à la question précédente. Le modèle choisi paraît-il adapté?. Calculer la valeur moyenne de f sur l intervalle [5 ; 9]. Peut-on affirmer que la descendance finale est égale à cette valeur moyenne? Justifier votre réponse. Exercice 6 Partie A - Étude d une fonction f Soit f la fonction définie sur R par f (x)=5(, x)e x et soit (C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormal cm).. a. Déterminer la limite de f en. ( O, ı, ) j (unité b. Déterminer la limite de f en +. Interpréter graphiquement ce résultat.. Soit f la fonction dérivée de f. a. Vérifier que, pour tout x réel, on a f (x)=5(x,)e x. b. Étudier le signe de f (x). c. Établir le tableau de variations de f.. Représenter ta portion de la courbe (C ) pour x compris entre et 7. a. Montrer que l équation f (x)=,5, admet, entre et 7, deux solutions α et β (on notera α la plus petite des deux solutions). b. Donner la valeur arrondie de α à près, en présentant brièvement la méthode utilisée. c. Donner la valeur arrondie de β à près. d. Quel est l ensemble des solutions, dans l intervalle [ ; 7], de l inéquation f (x),5? Partie B - Application La fonction f est la fonction coût marginal C M de fabrication d un produit. x est exprimé en tonnes (x compris entre et 7), et le coût est exprimé en milliers d euros.. a. Pour quelle production le coût marginal est-il minimum et quel est ce prix? b. Pour quelles productions le coût marginal est-il inférieur à,5? (on donnera chacune des bornes de l intervalle à près). La fonction coût total C T est une primitive de la fonction coût marginal. 8

19 a. Soit g et h les fonctions définies sur [ ; 7] par : g (x)=5(, x)e x et h(x)=(ax+ b)e x. h étant la fonction dérivée de h, calculer h (x) et déterminer a et b pour que h soit une primitive de g. b. En déduire que C T (x)=(5x+ 9)e x + 6x+ k. c. Déterminer k sachant que les frais fixes s élèvent à euros (c estàdire que C T ()=). Exercice 7 La commercialisation d un article sur un marché suit une fonction d offre notée f et une fonction demandée notée g. Elle sont définies sur l intervalle [ ; + [ par f (x)= ex 8 et g (x)= e x + 5 où x représente la quantité exprimée en milliers d articles, f (x) représente le prix de vente exprimé en euro pour une quantité x offerte, et g (x) représente le prix de vente exprimé en euro pour une quantité x demandée. ( Le plan est rapporté à un repère orthonormal O, ı, ) j (unité graphique : cm). On désigne respectivement par C f et C g les courbes représentatives des fonctions f et g dans ce repère. ( La courbe C f est donnée dans le repère O, ı, ) j sur l annexe jointe au sujet. L annexe sera complétée et jointe à la copie. Partie A Étude de la fonction demande Détermination de la quantité échangée et du prix d équilibre du marché. Déterminer la limite de g en +. En déduire l existence d une asymptote que l on précisera.. g désigne la fonction dérivée de la fonction g sur l intervalle [ ; + [. Justifier que : g (x)= ex (e x + 5).. Déterminer le sens de variation de la fonction g sur [ ; + [ puis dresser le tableau de variations de g sur [ ; + [.. a. Reproduire sur la copie et compléter le tableau de valeurs (arrondir les résultats à ). x, 5, g (x) b. Calculer le coefficient directeur de la tangente T à la courbe C g au point d abscisse. c. Tracer la courbe représentative C g et la tangente T sur l annexe jointe au sujet. 5. On admet que sur l intervalle [ ; + [ l équation f (x) = g (x) a une solution unique n appelée quantité échangée. On note p = f (q)= g (q) le prix d équilibre correspondant. a. Faire apparaître sur le graphique les valeurs p et q. b. Vérifier que q = ln(5). En déduire la valeur de p. 9

20 Partie B Calcul du «surplus du consommateur». D est le domaine du plan défini par {M(x ; y)/ x q et p y g (x)}, où p et q sont les valeurs déterminées dans la partie A. 5.. Hachurer ce domaine D sur l annexe jointe au sujet.. Soit G la fonction définie sur l intervalle [ ; + [ par : G(x)=8 [ x ln ( e x + 5 )] Démontrer que G est une primitive de g sur [ ; + [.. On appelle «surplus du consommateur» (en milliers d euro) le nombre : R = q g (x) dx pq Justifier que R représente, en unité d aire, l aire du domaine D. Calculer la valeur exacte de R. Donner une valeur approchée de R à l euro près.

21 Annexe à rendre avec la copie y O 5 6 x7 Exercice 8 Soient f et g les fonctions définies sur [ ; + [ par :. Étude de la fonction f f (t)= ln(t+ )+ et g (t)= a. Étudier la limite de f en +. b. Étudier le sens de variation de f. Dresser le tableau de variations de f.. Étude de la fonction g a. Étudier la limite de g en +. b. Étudier le sens de variation de g. Dresser le tableau de variations de g. +e t.

22 . Étude graphique Sur la feuille donnée en annexe, ( la courbe C est la représentation graphique de f dans un repère orthogonal O, ı, ) j. On appelle Γ la courbe représentative de la fonction g dans ce repère. a. Une des deux courbes admet une ( asymptote. Préciser laquelle et tracer cette asymptote dans le repère O, ı, ) j. b. Tracer la courbe Γ. c. À l aide du graphique, donner une valeur approchée à, près de l abscisse α du point d intersection des courbes C et Γ, puis étudier graphiquement le signe de g (t) f (t) suivant les valeurs de t.. Calcul de primitives a. Montrer que g (t)= et e t pour tout t de [ ; + [. + En déduire une primitive de g sur [ ; + [. b. Soit H la fonction définie sur [ ; + [ par H(t)=(t+ )ln(+ t) t. Déterminer la dérivée de H et en déduire une primitive de f sur [ ; + [. 5. Application économique Un plan de restructuration dans une industrie est établi sur cinq ans. On admet que f (t) modélise le nombre d emplois créés, en milliers d emplois, et que g (t) représente le nombre d emplois supprimés, en milliers d emplois, t représentant le temps en années. On admet que, sur cinq ans, la variation du nombre d emplois est donnée par : I= 5 [f (t) g (t)] dt. a. Calculer I et donner la variation du nombre d emplois sur les cinq ans à la dizaine d emplois près. Interpréter ce résultat. b. Déterminer, à l aide de la question, le temps nécessaire, exprimé en mois, pour que le nombre d emplois créés soit supérieur au nombre d emplois supprimés.

23 5 C j 5 ı Exercice 9 Le but de cet exercice est l étude d une fonction définie partiellement par sa représentation graphique ; on considère la fonction f définie sur par : f (x)= ax+ bx ln(x), où a et b sont deux réels non nuls. La courbe représentative C de la fonction f sur l intervalle ] ; ] est donnée en annexe (à rendre avec la copie). Partie A. a. Déterminer graphiquement f (). b. En déduire que a =. ( ). On sait que f e = 6e. En déduire la valeur de b. Dans la suite du problème la fonction f est définie sur ] ; + [ par : f (x)=x+ 6x ln(x). Partie B. Déterminer les limites de la fonction f en et en+. (On pourra utiliser le résultat suivant : lim x x ln(x)=.). a. On admet que f est dérivable sur ] ; + [ ; montrer que pour tout x ] ; + [, f (x)=9+6ln(x). b. étudier le signe de f et en déduire les variations de la fonction f sur l intervalle ] ; + [.

24 . a. Déterminer l équation de la tangente D à la courbe C au point d abscisse. b. Tracer en couleur la droite D sur la figure de l annexe ainsi que la tangente au point d abscisse e. Partie C Sur la figure de l annexe, les graduations représentent unité en ordonnée et, unité en abscisse.. Combien d unités d aire représente un carreau? En vous appuyant sur la figure de l annexe, donner un encadrement d amplitude inférieure ou égale à de l intégrale f (x) dx.. On considère la fonction g définie sur ] ; + [ par : g (x)=x ln(x). a. On admet que g est dérivable sur ] ; + [ ; déterminer la dérivée g de g. b. En déduire une primitive de f sur ] ; + [ et calculer Donner une valeur approchée du résultat à près. f (x) dx. y O, x Exercice Partie A Soit la fonction f définie sur ] ; + [ par f (x)= x + 8ln x.. étudier les limites de f en et en+.. a. Déterminer la dérivée de f et en déduire le sens de variation de f sur ] ; + [.

25 b. Dresser le tableau de variation de f. En déduire le signe de f sur ] ; + [.. a. Montrer que la fonction G défmie sur ] ; + [ par G(x)= x ln x x est une primitive de la fonction x ln x sur ] ; + [. b. En déduire la primitive F de f sur ] ; + [ vérifiant F ()=. Partie B Le cours d une action cotée en bourse, exprimé en dizaines d euros, est égal à f (x), où x représente le nombre de mois écoulés à partir du er décembre. On a x [ ; ].. Un investisseur décide d acheter 5 actions de ce type. En quel mois de l année est-il le plus judicieux pour lui d acheter? Calculer sa dépense arrondie à l euro.. a. Calculer la valeur moyenne de f sur l intervalle [ ; ] ; on en donnera un arrondi à,. b. Quelle interprétation économique peut-on donner de ce résultat? Exercice On appelle courbe de Lorenz la représentation graphique d une fonction L vérifiant les conditions suivantes L est définie sur [ ; ] ; L est croissante sur [ ; ] ; L()= et L()= ; pour tout x de [ ; ], L(x) x. Partie A : les parties I et II sont indépendantes. Le but de la partie A est de vérifier que les fonctions f et g considérées satisfont aux conditions énoncées ci-dessus. I. Soit la fonction f définie sur l intervalle [ ; ] par f (x)= x+ x+.. Déterminer la dérivée de f et dresser le tableau de variation de f sur [ ; ].. Déterminer le signe de x f (x) sur [ ; ].. Conclure. II.. Soit g la fonction définie sur [ ; ] par g (x)= e x (e )x. a. Calculer g (x). En déduire le sens de variation de g sur [ ; ]. b. Calculer g () et g ().. Soit h la fonction définie sur [ ; ] par h(x)= e x + (e )x+. 5

26 a. Le tableau suivant donne le signe de la dérivée de h (que l on ne demande pas de calculer). x ln(e ) Signe de h (x) + Dresser le tableau de variations de h ; on précisera l arrondi à, de h [ln(e )]. b. Vérifier que pour tout x de [ ; ], on a : h(x)=x g (x).. Conclure. à l aide de II.. a., montrer que pour tout x de [ ; ], on a : g (x) x. Partie B Sur le graphique ci-dessous sont tracées les courbes représentatives respectives C et Γ des fonctions f et g et le segment [OA] où A est le point de coordonnées ( ; ). A j C Γ, O, ı. On suppose que la courbe de Lorenz Γ illustre la répartition des surfaces des exploitations agricoles d un pays G. En abscisse, x représente le pourcentage du nombre des exploitations les plus petites par rapport au nombre total des exploitations du pays. En ordonnée, g (x) représente le pourcentage total des superficies de ces exploitations. Par exemple, comme l arrondi de g (,) à est, on dit que % des exploitations les plus petites représentent au total % de la superficie des exploitations du pays G. Donner la valeur arrondie à, de g (, 5). Interpréter ce résultat.. On appelle coefficient de Gini pour le pays G, le nombre A où A est l aire, en unités d aire, du domaine délimité par le segment [OA] et la courbe Γ. On le note γ G. a. Exprimer cette aire A à l aide d une intégrale. Déterminer la valeur exacte de cette aire. b. Donner la valeur arrondie à, de γ G. 6

27 . La représentation graphique C de f est la courbe de Lorenz pour un pays F. Calculer γ F le coefficient de Gini pour le pays F. En donner la valeur exacte, puis la valeur arrondie à,.. Plus le coefficient de Gini est petit, plus la répartition des exploitations est égalitaire. a. Quel est le pays pour lequel la répartition est la plus égalitaire? b. Le graphique permettait-il de prévoir ce résultat? Pourquoi? Exercice Partie A Le tableau de variations donné ci-dessous est celui de la fonction g définie sur R par : g (x)=e x x. x ln + Signe de g (x) Variations de g ln. a. Calculer g (). b. Montrer que l équation g (x) = admet une autre solution α appartenant à l intervalle [ ; ]. Dans la suite, on prendra,6 comme valeur arrondie de α.. Déterminer le signe de g sur R. Partie B Soit f la fonction définie sur R par f (x)=e x xe x e x.. a. Déterminer la limite de f en. b. Déterminer la limite de f en + (on pourra mettre e x en facteur dans l expression f (x)).. a. Calculer f (x) et montrer que f et g ont le même signe. b. En déduire le sens de variations de f. c. Dresser le tableau de variations de f.. Tracer la courbe représentative C de f dans un repère orthogonal (unités graphiques : 5 cm sur l axe des abscisses et cm sur l axe des ordonnées). Partie C. Soit H la fonction définie sur R par H(x)=e x (x ). Montrer que H est une primitive sur R de la fonction h définie par h(x)= xe x.. En déduire une primitive sur R de la fonction f. 7

28 . Calculer l aire du domaine limité par la courbe C, l axe des abscisses et les droites d équations x = et x =. On donnera la valeur exacte en unités d aire, puis la valeur arrondie à en cm. Partie D Dans une entreprise, le coût de fabrication, en centaines d euros, de x dizaines d objets est modélisé par la fonction C définie sur [ ; + [ par C(x)= f (x).. Calculer le coût de fabrication de objets au centime d euro près.. a. Résoudre graphiquement l équation C(x) = 6. Donner une valeur approchée à près par défaut du résultat. b. En déduire le nombre maximal d objets qu on peut fabriquer pour un coût de 6? Exercice Partie A Lecture graphique 5 C j O ı La courbe ( C ci-dessus est une représentation graphique, dans le plan muni du repère O, ı, ) j d une fonction f définie sur R {}. L axe des ordonnées et la droite d équation y = sont deux asymptotes à la courbe C.. Lire les limites de la fonction f aux bornes de l ensemble de définition.. Résoudre graphiquement : a. f (x)= ; b. f (x)>. Partie B On admet que la fonction f représentée par la courbe précédente est définie sur R {} par : 8

29 f (x)= ex + x e x.. a. Vérifier que l on a : f (x)= + x e x b. Retrouver alors, en justifiant, lim x + f (x).. a. étudier, suivant les valeurs de x, le signe de (e x ). e x. b. Résoudre l inéquation ex + x e x >. [ ]. a. Démontrer que : lim f (x)+ x =. x b. Que peut-on en déduire?. étudier la position de la courbe C par rapport à la droite d équation y = x. Exercice Partie A étude d une fonction Soit f la fonction définie sur ] ; + [ par : f (x)=ln ( x x ).. Justifier que, pour tout x de l intervalle ] ; + [, f (x) est définie.. Déterminer lim x x> f (x), puis lim f (x). x +. On note f la fonction dérivée de f. Vérifier que, pour tout x dans l intervalle ] ; + [ f (x)= x x(x ). Dresser le tableau de variations de la fonction f sur ] ; + [.. a. Démontrer que l équation : f (x)= admet sur ] ; + [ une solution unique α. Donner la valeur arrondie de α à près. b. Démontrer que f (x) est strictement positif sur ]α ; + [. ( 5. Dans un repère orthonormal O, ı, ) j d unité graphique cm, tracer la courbe Γ représentative de la fonction f sur l intervalle ] ; + [. 6. Soit h la fonction définie sur l intervalle ] ; + [ par : On note h sa fonction dérivée. Pour tout x de ] ; + [, calculer h (x). h(x)=x ln x+ (x )ln(x ). En déduire une primitive de la fonction f sur l intervalle ] ; + [ Partie B Interprétation économique On considère une machine produisant un composé chimique liquide. Pour qu elle soit rentable, cette machine doit produire au moins hectolitres. 9

30 De plus, le liquide produit est dangereux et impose une fabrication maximale de 9 hectolitres avant révision de la machine. Pour tout x de [ ; 9], la valeur du coût marginal c(x), exprimé en milliers d euros, est donnée par : c(x)=ln ( x x ), et C T (x) est le coût total de fabrication de x hectolitres de liquide. On rappelle que : C T (x)=c(x). où C T désigne la fonction dérivée de C T. Le coût total des deux premiers hectolitres (mise en route de la machine et fabrication) est milliers d euros, ce qui se traduit par C T ()=.. Déterminer le coût total C T (x) en fonction de x.. a. Calculer C T (9) C T (). On donnera d abord la valeur exacte, puis une valeur approchée à l euro près. b. Donner une interprétation graphique de la question. a.. Exercice 5 La courbe donnée ci-dessous représente une fonction F définie sur ] ; + [. On note F la fonction dérivée de F.. a. Par lecture graphique, donner les valeurs de : F (), F (), F (). b. La tangente à la courbe au point A( ;ln ) passe par le point B(, ). Déterminer par lecture graphique la valeur de son coefficient directeur. En déduire F (). c. On note f la fonction dont F est une primitive. Donner la valeur de : f (x) dx.. On donne : F (x)= x ln(x) x pour x >. On appelle a le nombre strictement positif tel que f (x) dt =. a. Exprimer F (a) en fonction de a. b. Calculer la valeur exacte de a et une valeur approchée de a à près. c. Calculer l expression de F (x) pour x>. d. Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentant F au point d abscisse a.

31 6 5 ln A Exercice 6 Partie A : Fonction offre Dans un magasin, pour le marché d un produit audiovisuel, l offre hebdomadaire, exprimée en dizaines d articles de ce produit, est définie sur [ ; + [ par : f (x)= eax où a est un nombre réel positif et où x représente le prix de vente unitaire de ce produit exprimé en centaines d euros.. Sachant qu un prix de vente unitaire de (qui se traduit par x = ) correspond à une offre de 75 dizaines d articles, déterminer la valeur exacte de a. Dans la suite du problème, on prendra : a=.. étude de la fonction f définie sur [ ; + [ par : f (x)= ex. a. Déterminer la limite de f en +. b. Calculer l expression de f (x), où f désigne la dérivée de f en déduire le sens de variations de f sur [ ; + [. c. Tracer la courbe C f représentative de f (unites graphiques : 5 cm sur l axe des abscisses et cm sur l axe des ordonnées) Partie B : Fonction demande Dans ce même magasin pour le même article la demande hebdomadaire, exprimée en dizaines d articles, est donnée en fonction du prix unitaire x, exprimé en centaines d euros par une fonction g définie sur [ ; + [ par : g (x)= e x +

32 . Déterminer la limite de g en +.. Calculer l expression de g (x), où g désigne la dérivée de g ; en déduire le sens de variations de g sur [ ; + [.. Tracer la courbe C g, représentative de g sur le même graphique que C f. Partie C : Prix d équilibre On note (p, q) les coordonnées du point d intersection des deux courbes C f et C g.. Par lecture graphique, donner un encadrement de p à près.. Par le calcul, on résolvant l équation f (p)= g (p), vérifier que : p = ln 7.. Calculer la valeur exacte de q.. Le nombre p correspond, selon la loi de l offre et de la demande, au prix déquilibre. Donner ce prix d équilibre en euro au centime près par excès ainsi que le nombre d articles offerts assurant l équilibre du marché. Partie D : équilibre, offre et demande On considère R = pq p. Calculer la valeur exacte de R. f (x) dx et R = p g (x) dx pq.. Soit la fonction G définie sur [ ; + [ par : G(x)=6 [ x ln ( e x + )]. a. Vérifier que G est une primitive de g sur [ ; + [. b. Calculer R, et vérifier que,898 en est une valeur approchée.. Interpréter économiquement les quantités pq, R et R. Exercice 7 Partie A Le plan est rapporté à un repère orthonormal. Sur la figure ci-dessous, la courbe C représente une fonction f définie et dérivable sur l intervalle ] ; + [. On a construit les points A( ; ), B( ; ) et E( ; +ln ). La droite (AB) est tangente en A à la courbe et la droite est tangente en E à la courbe C. y E A C B x

33 . à partir des informations ci-dessus, donner : a. une équation de la droite (AB). b. les valeurs des nombres réels f (), f (), f () et f (). c. le nombre de solutions de l équation f (x) =. d. le tableau des variations de f.. On admet que la fonction f est définie sur ] ; + [ par : f (x)=ax+ 5+ b + ln(x+ ), x+ où a et b sont des nombres réels. Calculer les nombres a et b à partir de f () et f (). Partie B On admet que la fonction f est définie sur ] ; + [ par : f (x)= x + x+ x+. Déterminer la limite de f en. En donner une interprétation graphique.. a. Montrer que f (x)= x x+ (x+ ). b. étudier le signe de f (x). + ln(x+ ). c. Le résultat est-il cohérent avec le tableau donné dans la partie A à la question. d.?. Montrer que l équation f (x)=admet une unique solution sur [ ; + [. Donner une valeur approchée de cette solution à près. (. a. Dire pourquoi 5 x ) + ln(x+ ) est une autre écriture de f (x). x+ b. Calculer la dérivée de la fonction g définie sur ] ; + [ par : Exercice 8 g (x)=(x+ )ln(x+ ) x. En déduire une primitive de la fonction f sur l intervalle ] ; + [. c. Calculer f (x) dx. En donner une interprétation graphique.. On considère la fonction f définie sur [ ; + [ par f (x)=(ax+ b)e x + où a et b sont deux réels que l on se propose de déterminer. On sait que f admet un maximum au point d abscisse et que le point A( ; ) appartient ( à la courbe C représentative de la fonction f dans un repère orthogonal O, ı, ) j d unités graphiques cm en abscisses et 5 cm en ordonnées. a. Soit f la fonction dérivée de f. Déterminer f (x) pour x appartenant à [ ; + [. b. Montrer que a= et b=.

34 . étude de la fonction f définie sur [ ; + [ par f (x)=(x )e x +. a. Déterminer la limite de f en +. En déduire l existence d une asymptote â la courbe C en+. étudier la position de C par rapport à. b. étudier le sens de variation de f puis dresser son tableau de variations.. a. Reproduire et compléter le tableau suivant : x f (x) On arrondira les valeurs au centième. b. Tracer la courbe C et la droite.. étude économique Les dépenses de téléphone, en milliers d euros, de la société TOUPACHER sont consignées dans le tableau suivant : x i désigne le rang de l année et y i désigne la dépense. Année x i y i,97,,9,7,8,76,65,55,5 On recherche une fonction qui rende compte relativement correctement du phénomène. On dira qu une fonction f est acceptable si pour chaque valeur x, on a : f (xi ) y i. a. Représenter le nuage de points M i ( xi, y i ) dans le repère précédent. b. Montrer que la fonction f est acceptable. c. Le responsable financier affirme que «si l évolution des dépenses se poursuit selon ce modèle, on pourrait espérer retrouver une facture de téléphone inférieure à euros». Êtes-vous d accord avec cette affirmation? Justifier. Exercice 9 La représentation graphique ( (C ) ci-dessous est celle d une fonction f définie sur [ ; ] dans le repère O, ı, ) j. On note f la fonction dérivée de f. La courbe (C ) vérifie les propriétés suivantes : Les points ainsi marqués sont à coordonnées entières et appartiennent à la courbe tracée, la tangente au point d abscisse est parallèle à l axe des abscisses, la tangente au point d abscisse coupe l axe des abscisses en x =