Examen RdP. On considère le RdP, donné par les matrices d incidence Pré et Post, suivant :

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1 Printemps 8 Exercice N : Modélisation (5 points) Examen RdP On considère deux machines M et M qui travaillent en ligne. Un stock tampon S de capacité limitée à 4 sépare les deux machines. Chaque machine Mi i =, dispose également d un stock tampon en entrée SMEi i =, et en sortie SMSi i =, de capacité limitée à une pièce. Un robot manipulateur est utilisé pour transporter les pièces du tampon de sortie SMS de M vers S et de S vers le tampon d entré SME de M. Ce système est schématisé par la figure suivante : SME M SMS S (4) SME M SMS On demande : ) ( pont) de modéliser les machines avec leurs stocks tampons, on tiendra compte des capacités unitaires de ce tampons. ) ( pont) de modéliser le stock S en tenant compte de sa capacité limitée. ) ( pont) de modéliser les transports, par le robot manipulateur, entre les tampons des machines et S. 4) ( ponts) d intégrer le manipulateur dans le modèle global. Exercice N : Présentation graphique est analyse (5 points) On considère le RdP, donné par les matrices d incidence Pré et Post, suivant : Pre P P P P4 Post P P P P4 ) ( pont) construire la représentation graphique de ce réseau ) ( ponts) le marquage initial est m = [,,, ] T. Construire l ensemble des marquages accessibles le réseau marqué est-il borné? sans blocage? Quelles sont les transitions quasi vivantes? ) ( ponts) donner l ensemble des séquences répétitives.

2 Printemps 8 Exercice N : Propriétés (6 ponts) On considère le RdP marqué de la figure suivante. Il s agit d un réseau à arcs pondérés dont le marquage initial est indiqué sur cette figure. P.. T P T. T P ) ( ponts) La séquence de transition < t t t > est-elle une séquence de franchissement à partir du marquage initial? Si oui quel est le marquage atteint après cette séquence tel que : [ t > m[ t > m[ t m > m ) ( ponts) Comparer les marquages m et m ; puis m et m, quelles sont les propriétés des séquences < t t > et < t t t >. En déduire que le réseau n est pas borné pour le marquage initial. ) ( ponts) Déterminer les matrices Pre et Post du RdP, donner l expression de la matrice d incidence W = Post Pre. En déduire comment peuvent être calculés les marquages qui résultent de 4 application successives des séquences de franchissements < t t t >, ou < t t >. Exercice N 4 : Propriétés (4 points) On considère le réseau décrit par : T = { t,t}, P = { P}, Pr e( P,t ) =,Post( P, t ) = Pr e( P,t ) =,Post( P, t ), avec le marquage initiale m =. On demande : = ) ( pont) de construire l arbre de couverture ) ( pont) le réseau est-il borné? ) ( pont) le réseau est-il vivant? 4) ( pont) le réseau est-il sans blocage?

3 Printemps 8 Corrections Exercice N : Modélisation (5 points) On considère deux machines M et M qui travaillent en ligne. Un stock tampon S de capacité limitée à 4 sépare les deux machines. Chaque machine Mi i =, dispose également d un stock tampon en entrée SMEi i =, et en sortie SMSi i =, de capacité limitée à une pièce. Un robot manipulateur est utilisé pour transporter les pièces du tampon de sortie SMS de M vers S et de S vers le tampon d entré SME de M. Ce système est schématisé par la figure suivante : SME M SMS S (4) SME M SMS On demande : ) ( pont) de modéliser les machines avec leurs stocks tampons, on tiendra compte des capacités unitaires de ce tampons. SME M SMS Même modèle pour la machine M et ses stocks tampons.

4 Printemps 8 ) ( pont) de modéliser le stock S en tenant compte de sa capacité limitée. ) ( ponts) d intégrer le manipulateur dans le modèle global. SME M SMS S(4) Robot SME M SMS

5 Printemps 8 Exercice N : Présentation graphique est analyse (5 points) On considère le RdP, donné par les matrices d incidence Pré et Post, suivant : Pre P P P P4 Post P P P P4 ) ( pont) construire la représentation graphique de ce réseau ) ( ponts) le marquage initial est m = [,,, ] T. Construire l ensemble des marquages accessibles le réseau marqué est-il borné? sans blocage? Quelles sont les transitions quasi vivantes? Le réseau est borné, non sauf. Il existe un marquage bloquant : Mb = [ ] T Toutes les transitions sont quasi-vivantes. ) ( ponts) donner l ensemble des séquences répétitives. Mo [t, t4, t5, t6 > Mo

6 Printemps 8 Exercice N : Propriétés (6 ponts) On considère le RdP marqué de la figure suivante. Il s agit d un réseau à arcs pondérés dont le marquage initial est indiqué sur cette figure. P.. T P T. T P ) ( ponts) La séquence de transition < t t t > est-elle une séquence de franchissement à partir du marquage initial? Si oui quel est le marquage atteint après cette séquence tel que : [ t > m[ t > m[ t m > m La séquence de transitions < t t t > est une séquence de franchissement : Mo [t > M = [ 4] T M [t > M = [ 4] T M [t > M = [ 5 ] T Mo [t t t > M = [ 5 ] T ) ( ponts) Comparer les marquages m et m ; puis m et m, quelles sont les propriétés des séquences < t t > et < t t t >. En déduire que le réseau n est pas borné pour le marquage initial. M Mo et M(P) = Mo(P) M(P) > Mo(P) M(P) > Mo(P) Mo [t t > M est une séquence répétitive croissante pour les places P et P Le RdP est non borné M > Mo la séquence de franchissement < t t t > est répétitive croissante pour toutes les places du réseau.

7 Printemps 8 ) ( ponts) Déterminer les matrices Pre et Post du RdP, donner l expression de la matrice d incidence W = Post Pre. En déduire comment peuvent être calculés les marquages qui résultent de 4 application successives des séquences de franchissements < t t t >, ou < t t >. Post T T T P P P Pré T T T P P P W T T T P - P - P - Pour la séquence de franchissement < t t t > nous pouvons calculer le marquage M Mo [t t t > M PAR / = avec σ = [,, ] T M M + Wσ Pour l application successive de la séquence < t t t > l expression précédente : M [ > M = M + WS σσσσ avec S = ( 4, 4, 4) T M M 4Wσ S = => + M = + 4 = 5 9

8 Printemps 8 Exercice N 4 : Propriétés (4 points) On considère le réseau décrit par : T = { t,t}, P = { P}, Pr e( P,t ) =,Post( P, t ) = Pr e( P,t ) =,Post( P, t ), avec le marquage initiale m =. On demande : = ) ( pont) de construire l arbre de couverture M t t = ( ) ( ω) t ( ω) ( v ) ( ω) ( v ) ) ( pont) le réseau est-il borné? - Non ) ( pont) le réseau est-il vivant? - Oui 4) ( pont) le réseau est-il sans blocage? Sans blocages