TP n 1 : Etude de l incidence oblique : interface entre deux milieux diélectriques

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1 Université Saad Dahleb de Blida Année universitaire : 2013/2014 Département d électronique Module : Champ électromagnétique Licence RT TP n 1 : Etude de l incidence oblique : interface entre deux milieux diélectriques I- Objectifs du TP: Il s agit d étudier l effet de l incidence oblique d une onde électromagnétique () sur une interface entre deux milieux diélectriques sans pertes. Pour cela, on se propose d écrire un programme Matlab permettant de calculer les différentes caractéristiques des ondes issues de cette incidence à savoir l onde réfléchie et l onde transmise (réfractée). Les entrées de ce programme sont les caractéristiques des deux milieux diélectriques (permittivité et perméabilité) ainsi que l angle d incidence. Les deux types de polarisation (TE et TM) de l onde incidente sont à prendre en compte. Il est également demandé de calculer les angles correspondants à une transmission totale (angle de Brewster) et une réflexion totale (angle critique). Dans un deuxième temps, il est sollicité de vérifier la justesse des résultats obtenus par le programme écrit en les comparant avec ceux fournis par un applet Java appelé «oblique incidence» disponible à l adresse Enfin, une application est donnée en considérant une interface eau-air dans le cas d une de fréquence microondes et optique. II- Programmation Matlab: Soit une interface entre deux milieux diélectriques sans pertes (figure 1) : le milieu 1 est défini par ε r1 et μ r1 tandis que le milieu 2 par ε r2 et μ r2. Une onde électromagnétique (polarisation TE ou TM) se propageant dans le milieu 1 arrive sur cette interface avec un angle d incidence θ i. Ceci donne naissance à deux ondes électromagnétiques : une onde réfléchie (dans le milieu 1) sortante avec un angle θ r et une onde transmisse (dans le milieu 2) sortante avec un angle θ t (Figure 1). incidente réfléchie Milieu 1 ε r1, μ r1 Milieu 2 ε r2, μ r2 transmisse Figure 1 : Incidence oblique sur une interface entre deux diélectriques En utilisant les équations théoriques régissant l incidence oblique d une sur une interface entre deux milieux diélectriques (cf. document de rappels théoriques fourni), écrire sur Matlab un programme permettant de : 1) Calculer et afficher les angles θ r et θ t en degrés. Il est à noter que les angles dans les fonctions trigonométriques sur Matlab sont exprimés en Radians. 2) Tracer les différentes ondes (incidente, réfléchie et transmisse) avec leurs angles correspondants (comme sur la Figure 1). Indication : Quelques fonctions Matlab utiles : figure, title, xlim, ylim, line line ([x1 x2], [y1 y2]) : permet de tracer une line entre le point (x1,y1) et le point (x2,y2) 3) Pour les deux types de polarisation (TE et TM), calculer et afficher les coefficients de réflexion et transmission en amplitude des champs électrique(e) et magnétique(h). 4) Pour les deux types de polarisation (TE et TM), calculer et afficher les coefficients de réflexion et transmission en puissance (R et T). 5) Pour les deux types de polarisation (TE et TM), calculer et afficher en degrés l angle de Brewster (θ B ) ainsi que l angle critique (θ c ). 6) Pour les deux types de polarisation (TE et TM), tracer les variations de R et T en fonction de l angle d incidence θ i (0 θ i 90 ). 1

2 III- Vérification du programme : Après avoir vérifié l absence d erreurs dans l exécution du programme Matlab, il est demandé de vérifier la justesse des ses résultats. Pour cela, ouvrez l applet Java «oblique incidence» à l adresse suivante : Une fenêtre similaire à celle de la figure 2 doit apparaître. Figure 2 : Interface de l applet Java «oblique incidence» de Amanogawa.com. Les entrées et les sorties (résultats affichés) de cet applet sont les mêmes que celles de votre programme écrit en Matlab. Il ainsi demandé de vérifier pour des configurations d entrée différentes la concordance entre les résultats affichés par votre programme et ceux affichés par l applet Java «oblique incidence». IV- Application : Interface eau-air Soit l interface entre deux milieux diélectrique suivante: Milieu 1 : Eau μ =μ 0 ε = 80ε 0 (Microondes) 1.8ε 0 (Optique) Milieu 2 : Air μ = μ 0 ε = ε 0 Figure 3 : Incidence oblique sur une interface «eau-air» Pour les deux bandes de fréquences (microondes et optique), calculer et afficher à l aide de votre programme Matlab: 1) θr et θt (En prenant θi= 5 ). 2) Les coefficients de réflexion et transmission en puissance (R et T) dans le cas d une polarisation perpendiculaire (TE) et parallèle (TM). 3) Angle de Brewster et l angle critique dans le cas d une polarisation parallèle (TM). Commentez ces résultats. Dans quelle bande de fréquence, la transmission d une de l eau vers l air est favorisée? Citez quelques applications de l angle de Brewster et de l angle critique. 2

3 Annexe : Prise en main de Matlab Le logiciel Matlab est un interpréteur de commande adapté au calcul scientifique. C est un langage interprété (pas de compilation) et peu typé : pas de déclaration de variable et de type, toute variable peu être matricielle ou scalaire, entière ou flottante, réelle ou complexe selon l utilisation que l on en fait. Lancez le logiciel Matlab le plus récent qui se trouve sur votre ordinateur et repérez les 4 fenêtres importantes : Editor: où l on peut écrire ou éditer les fichiers m (scripts ou fonctions). Command window : où l on peut écrire après l invite de commande les commandes à exécuter. Workspace : où l on peut voir les variables existantes, leur dimension et leurs valeurs qui existent dans un espace mémoire dédié au logiciel nommé Workspace. Current directory : les fichiers et répertoires visibles par le logiciel, Matlab peut exécuter un script (fichier avec l extension.m) uniquement si celui ci est visible dans le répertoire de travail (Current directory) La figure 4 montre la l interface principale de Matlab (Version 7.4) avec les quatre fenêtres décrites précédemment. Chemin du répertoire de travail Fonctions ou scripts visibles Editeur fichiers m Variables du Workspace Ligne de commande (prompt) Figure 4. Fenêtre principale à l ouverture de Matlab Vous allez découvrir le fonctionnement de Matlab en exécutant tout d abord quelques commandes dans la fenêtre de commande et en observant le résultat dans le Workspace. Ensuite vous écrirez vos commandes dans un fichier.m, appelé script, qui sera exécuté sans interruption par Matlab lors de son appel. 3

4 Manipulation de variables et opérateurs a = 4 ; % on voit la variable dans le workspace : c est un entier a = sqrt ( 2 ) % sans le ; Matlab affiche la valeur : maintenant a est réel a = sqrt (-4) % a est un complexe : ne jamais redéfinir i!! a = [1, 2, 3+i] % on peut décider d avoir un vecteur ligne complexe a (1) % case numéro 1 du vecteur a : la case 0 n existe jamais! b=a (3) % contenu de la case 3 b = [5; 6; 7] % ; sépare les lignes => vecteur colonne m = a*b % toute opération est vectorielle : ici un produit scalaire m = b*a % ou un produit de vecteur donnant une matrice m(2, 3) % élément de ligne 2 et colonne 3 de m c = a*i + b % transpose le vecteur ou la matrice d = a*a % ce produit matriciel n a pas de sens! d = a.*a % le. devant un opérateur permet d opérer élément par élément d = (a.^2)./a e = sqrt (d) % les fonctions prédéfinies de Matlab opèrent élément par élément f = sin (m) % même sur des matrices save mes_datas a b % sauve a et b dans un fichier mes_datas.mat Création de vecteurs particuliers et tranches clear all % efface tout le Workspace load mes_datas % récupère les données a et b dans le Workspace t = -1 : 0. 2 : 1 % crée un vecteur ligne espacé de 0.2 negatif = t (1:5) % on extrait la tranche des 5 premier éléments positif = t (end-4:end) % les derniers éléments - end est le numéro de la dernière case impair=t (1:2:end) % du premier au dernier par pas de 2 N=length (t) % nombre d éléments d un vecteur m=ones (4,N) ; % une matrice 4*N remplie de 1 mpair = m(2:end,1:3:end) % une t ranche de m [L,C]=size (mpair ) % nombre de ligne et de colonnes d une matrice Exemple : Définissez un vecteur ligne u définissant un vecteur allant de 0 à 10, par pas de 1. Définissez un vecteur ligne v définissant un vecteur allant de 0 à 20, par pas de 2. Quelle commande doit-on utiliser pour effectuer l opération : u(i) * v(i)? Fonctions complexes et affichage x = -10:0.05:10 % le vecteur x y = exp(2*i*pi*x) % fonction complexe y=f(x) reel = real (y) % partie réelle comp = imag(y) % partie imaginaire mod = abs (y) % module de y phi = angle (y) % phase de y en Radian plot (x,reel ) % affiche le réel plot (x,comp, r ) % affiche le complexe en rouge à la place hold on; % demande à superposer les graphiques plot (x, reel, b ) % superpose la partie réelle en bleu figure % crée une nouvelle fenêtre graphique subplot (211) % divise le graphique en 2 ligne 1 colonne : première partie plot (x,mod, g-+ ); % vert avec des + à chaque point relié par des lignes subplot (212) % deuxième partie plot (x,phi *180/pi, k-o ) % noir avec des o à chaque points reliés xlabel ( axe x ) % légende de l abscisse ylabel ( axe y=f(x) ) % légende de l ordonnée title ( tracé d une fonction complexe ); % titre du graphique close all % ferme toute les figures help subplot % pour accéder à n importe quelle documentation 4

5 Structure du programme Matlab du TP : % Commentaires % Intitulé programme, objectifs, noms, date, clc % efface la fenêtre de commande (Command Window) clear all % efface toutes les variables du Workspace close all % fermeture de toutes les figures ouvertes % Partie déclaration des entrées <Déclaration des entrées : eps1, eps2, u1, u2, tetai> % Partie Calcul et affichage des angles <Calcul et affichage des tetat, tetar> % Partie tracé des <Tracé des différentes avec les angles correspondants> % Cas d une polarisation TE <calcul et affichage des coefficients de réflexion et transmission de E et H en amplitude > <Calcul et affichage des coefficients de réflexion et transmission en puissance > <calcul et affichage des angles de Brewster et angle critique> < tracé de la variation des coefficients de réflexion et transmission en puissance en fonction de l angle d incidence> % Cas d une polarisation TM <calcul et affichage des coefficients de réflexion et transmission de E et H en amplitude > <calcul et affichage des coefficients de réflexion et transmission en puissance > <calcul et affichage de l angle de Brewster et l angle critique> < tracé de la variation des coefficients de réflexion et transmission en puissance en fonction de l angle d incidence> % fin du programme 5