Les savoir-faire : I. Taux d évolution : Rappels

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1 Les savoir-faire : Calculer une évolution exprimée en pourcentage. Exprimer en pourcentage une évolution. Connaissant deux taux d évolution successifs, déterminer le taux d évolution global. Connaissant un taux d évolution, déterminer le taux d évolution réciproque. Indice simple en base 100. Déterminer avec une calculatrice ou un tableur la solution positive de l équation, lorsque est un réel positif. Trouver le taux moyen connaissant le taux global. I. Taux d évolution : Rappels Exemple 1 : En 2012, un service est facturé 481,50 toutes taxes comprises. Calculer le prix hors taxes sachant que le taux des taxes est 7%. Calculer le nouveau prix TTC, si le taux de TVA passe à 10% Exemple 2 : Le prix d un article est soumis à une TVA de 19,6% et le montant de la TVA est de 138, Calculer le prix HT et le prix TTC de cet article. 2. Si le taux de TVA passe à 25%, et le prix HT ne change pas, calculer le prix TTC de cet article. Exemple 3 : Un commerçant veut investir dans un nouvel équipement. Il a besoin au final de Pour cela, il place au départ un capital C et augmente ce capital successivement de 20% et de 30%. Calculer le coefficient multiplicateur global, puis le capital C placé au départ à 1 près pour obtenir Exemple 4 : La côte d une action boursière diminue de 50%. Ecrire l opération à effectuer pour calculer la hausse à appliquer afin que cette action retrouve sa cote d avant la baisse. Exemple 5 : La cote d une action boursière a diminué de 18%, puis a augmenté successivement de 6% et de 12%. 1. Calculer le coefficient multiplicateur global. 2. Cette cote est-elle revenue à sa valeur de départ? 3. Calculer le taux d évolution global à la suite de ces trois évolutions successives. 4. Calculer le taux d évolution réciproque du taux.

2 II. Indice simple en base 100 Exemple 6 : 1. Victor a consommé kwh d électricité l année dernière et kwh cette année. a. Calculer le coefficient multiplicateur et le taux d évolution de à. b. Calculer, proportionnellement, quelle aurait été la consommation cette année si la consommation de l an dernier avait été de 100. c. Vérifier que et que Définition 2 Soient et deux nombres réels strictement positifs, l indice simple en base 100 de par rapport à est. Indice 100 Indice Propriété 5 : Soit le taux d évolution de à, on a et

3 2. Tina a consommé kwh d électricité l année dernière et kwh cette année. On pose et. Ecrire un algorithme qui permet de calculer l indice simple en base 100 de par rapport à. Algorithme : Pseudo-code Ti 83 plus.fr Algorithme : Indice en base 100 Résultat : Calculer l indice en base 100 par rapport à Variables :, et Début de l algorithme de Préparation : Appuyer sur "programme" PRGM Sélectionner "nouveau" NOUV Donner un nom au programme : INDICE Afficher Fin de l algorithme Exemple 7 : Pour comparer des évolutions successives, on utilise la notion d indice simple de base 100. On pose à une date donnée, un indice égal à 100. Tous les autres indices sont calculés par rapport à cet indice de base : Voici le tableau présentant la production d engrais en tonnes d une entreprise : Indice de référence , ,8 Il est alors plus facile d analyser l évolution de la production d engrais de cette entreprise à partir des indices. Par rapport à l année 2002 : L entreprise a produit +13% en ,05% en 2004 On a une lecture immédiate du taux d évolution à partir de l année de référence. Pour déterminer le taux d évolution entre 2005 et 2006 on calcule : soit + 2,4%

4 III. Taux d évolution moyen a. Racine d un nombre réel positif Propriété 6 Soit un nombre strictement positif, un entier naturel non nul. L équation d inconnu admet une unique solution dans : appelé racine-nième de. Exemple 8 : 1. Résoudre dans l équation : 2. Résoudre dans l équation : b. Taux d évolution moyen Exemple 9 : Le chiffre d affaires du rayon téléphonie d une grande surface a diminué de 5% en 4 ans, tandis que le chiffre d affaires du rayon bricolage a augmenté de 28% sur la même période. a. On se propose de calculer le taux d évolution annuel moyen du chiffre d affaires du rayon téléphonie. Représenter la situation en complétant le schéma suivant. A l aide du schéma, montrer que l on a l égalité En utilisant la calculatrice, vérifier que 0, ,95 à 10-2 près. En déduire la valeur décimale arrondie à 10-3 près de, puis la valeur de cherchée. Conclure. b. On se propose de calculer le taux d évolution annuel moyen du chiffre d affaires du rayon bricolage. Représenter la situation en complétant le schéma suivant. y 0 y 1 y 2 y 3 y 4.

5 A l aide du schéma, montrer que l on a l égalité En utilisant la calculatrice, vérifier que à près En déduire la valeur décimale arrondie à 10-3 près de, puis la valeur de cherchée. Conclure. Définition 3 Supposons que sur années (ou mois, jours.) un produit subisse une évolution globale de. Le taux d évolution moyen est le taux qu il devra subir pendant années pour qu au final, l évolution soit de. On a le schéma suivant : Propriété 7 D après le schéma précédent on peut écrire que On a alors soit Exemple 10 : Dans une ville, le nombre de véhicules en circulation a diminué de 11 % en 5 ans. Calculer le taux d'évolution annuel moyen du nombre de véhicules en circulation. Propriété 8 Supposons qu un produit subisse évolutions successives Le taux d évolution moyen vérifie Soit Finalement Exemple 11 : Un produit a augmenté de 35% la première année, puis baissé de 10% l année suivante. Déterminer le taux d évolution mensuel moyen.

6 SAUTIERE.T Travaux pratiques n 1 TSTMG Taux d évolution : Déterminer un taux moyen par un algorithme On veut faire des comparaisons sur l évolution de la consommation alimentaire. 1. Mise en place de l algorithme permettant de calculer un taux annuel moyen. On veut calculer le taux annuel moyen de consommation de yaourts entre 1970 et a. Quelles valeurs faut-il lire dans le tableau ci-dessus? Sur combien d années porte cette étude? b. Comment calculer le taux global d évolution entre 1970 et Ecrire le calcul et donner le résultat. c. Comment calculer le taux moyen à partir du taux global obtenu. Ecrire et donner le résultat. d. Compléter l algorithme ci-contre en écrivant ces calculs à l aide des variables entrées ou calculées. Algorithme : Pseudo-code Ti 83 plus.fr Algorithme : Taux moyen Résultat : Calcul du taux moyen à partir de la valeur de départ et la valeur d arrivée connaissant le nombre d années d évolution. Préparation : Variables : est la valeur de départ est la valeur d arrivée est le nombre d années est le taux global Saisie : est le taux moyen Début de l algorithme Traitement Des Données prend la valeur prend la valeur Afficher Fin de l algorithme Entrées Sorties Utilisation : Appuyer sur "programme" PRGM Sélectionner "Exécuter" EXEC Sélectionner le programme MILIEU Entrer les données... et laisser faire Applications a. Appliquer cet algorithme pour calculer le taux annuel moyen d évolution de la consommation de pain et de lait entre 1970 et b. Déterminer le taux annuel moyen de la consommation de sucre entre 1970 et 1980 et celui entre 2000 et Comparer ces deux taux.

7 SAUTIERE.T Travaux pratiques n 2 TSTMG Taux d évolution : Tableur