x x² = y x ,5 0 0, y CHAPITRE 12 I. INTRODUCTION

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1 CHAPITRE 2 FONCTIONS I. INTRODUCTION Une fonction est «une machine à transformer des nombres». Par eemple, la fonction «carré» désigne la «machine» qui transforme les nombres en leurs carrés. Ainsi elle transforme 3 en 9 ; 4 en 6 ; 5 en 25 etc. On dit que, par la fonction «carré» : 3 a pour image 9 4 a pour image 6 5 a pour image 25 etc La fonction «carré» est notée ² = On peut construire un tableau des valeurs de la fonction : ,5 0 0,5 2 3 On peut ensuite faire une représentation graphique de la fonction : 0 Parfois on désigne une fonction par une lettre. Par eemple, désignons par f la fonction «carré». Alors, 3 a pour image 9 par la fonction f s écrit 5 a pour image 25 par la fonction f s écrit Page sur 9

2 II. FONCTIONS LINEAIRES A. DEFINITION On appelle fonction linéaire toute fonction du tpe a (où a est un nombre donné). B. EXEMPLE Soit f la fonction linéaire 0, Compléter le tableau des valeurs de cette fonction : Tracer sa représentation graphique : 0 C. THEOREME (ADMIS) La représentation graphique d une fonction linéaire est une droite. D. APPLICATION DU THEOREME Enoncé : On considère la fonction linéaire, Tracer sa représentation graphique. Page 2 sur 9

3 Solution : La fonction,5 + 3 est une fonction affine donc sa représentation graphique est une droite. Pour la construire il suffit de faire un tableau des valeurs suffisant pour obtenir deu points. On choisi deu valeurs de (par eemple 0 et 2) et on calcule les images. 0 2 La représentation graphique de la fonction est la droite qui passe par les points de coordonnées ( 0 ; ) et ( 2 ; ). 0 Remarque : on retrouve le fait que la droite passe par l origine du repère qui est le point de coordonnées ( 0 ; 0 ). III. FONCTIONS AFFINES A. DEFINITION On appelle fonction affine toute fonction du tpe a + b (où a et b sont des nombres donnés). B. EXEMPLE Soit f la fonction linéaire 0,5. Compléter le tableau des valeurs de cette fonction : Page 3 sur 9

4 Tracer sa représentation graphique : 0 C. THEOREME (ADMIS) La représentation graphique d une fonction linéaire est une droite (qui passe par l origine du repère). Remarque : Les fonctions linéaires traduisent des situations de proportionnalité. Le tableau des valeurs est un tableau de proportionnalité et, graphiquement, on retrouve l alignement des points avec l origine du repère. D. APPLICATION DU THEOREME Enoncé : On considère la fonction linéaire, Tracer sa représentation graphique. Solution : La fonction,5 + 3 est une fonction affine donc sa représentation graphique est une droite. Pour la construire il suffit de faire un tableau des valeurs suffisant pour obtenir deu points. On choisi deu valeurs de (par eemple 0 et 2) et on calcule les images. 0 2 La représentation graphique de la fonction est la droite qui passe par les points de coordonnées ( 0 ; ) et ( 2 ; ). Page 4 sur 9

5 0 IV. EXERCICE Enoncé : Représenter graphiquement les fonctions suivantes : f : 2 + f 2 : 0,5 + 3 f 3 : 0,6 + 4 Solution : Les trois fonctions sont des fonctions affines donc leurs représentations graphiques sont des droites. Faisons les tableau des valeurs :... de f de f 2 de f 3 Représentons ces fonctions dans le repère ci-dessous Page 5 sur 9

6 V. ALLURES DES DROITES D EQUATION = a + b A. ACTIVITE Enoncé : Tracer les droites : (d ) d équation = 3 + (d 4 ) d équation = 0,5 + (d 2 ) d équation = 2 + (d 5 ) d équation =,5 + (d 3 ) d équation = 0,5 + (d 6 ) d équation = 2 + Solution : Faisons les tableau des valeurs : 0 Page 6 sur 9

7 B. CONCLUSION Considérons une droite d équation = a + b. Si a > 0 et b > 0 Si a > 0 et b < 0 Si a < 0 et b > 0 Si a < 0 et b < 0 La droite d équation = a + b passe par le point de coordonnées (0 ; b). Le nombre b est appelé ordonnée à l origine de la droite. Si a est positif la droite «monte». Si a est négatif la droite «descend». Plus a est grand, plus la droite monte. Le nombre a est appelé coefficient directeur de la droite. VI. EXERCICES FONDAMENTAUX A. ENONCE Soit f la fonction 5. a) Calculer l image de 3 par f. b) Quel nombre a pour image 2 par f? Page 7 sur 9

8 Solution : a) f(3) = 5 3 = 4. L image de 3 est 4. b) On cherche tel que f() = 2 c'est-à-dire 5 = 2 5 = 2 5 = 3 = 3 5 = 0,6 Le nombre qui a pour image 2 par la fonction f est 0,6. B. ENONCE 2 Soit g la fonction affine telle que g(2) = 3 et g(0) = 7. Déterminer g(). Solution : g est une fonction affine, elle est donc de la forme a + b. Déterminons a et b. g(2) = 3 donc a 2 + b = 3 g(0) = 7 donc a 0 + b = 7. On obtient donc le sstème 2a + b = 3 0a + b = 7 On résout : 2a b = 3 0a + b = 7 En additionnant : 0a + (-2a) = 7 + (-3) 8a = 4 a = 4 8 = 0,5 Avec la première équation : 2a + b = 3 2 0,5 + b = 3 + b = 3 b = 2 Conclusion : g() = a + b or a = 0,5 et b = 2 Donc g() = 0,5 + 2 Vérification : g(2) = 0, = 3 et g(0) = 0, = 7. C est bon! VII. FONCTIONS AFFINES PARTICULIERES La forme générale des fonctions affines est a + b. Page 8 sur 9

9 Si b = 0 on obtient les fonctions du tpe a. Ce sont les fonctions linéaires. Voir II. Si a = 0 on obtient les fonctions du tpe b. Ce sont les fonctions constantes. Eemple : 5 est une fonction constante. Tous les nombres ont la même image 5. Représentations graphiques : Page 9 sur 9

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