Comment utiliser les modèles mathématiques pour concevoir les stress tests?

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1 Comment utiliser les modèles mathématiques pour concevoir les stress tests? Idriss Tchapda-Djamen 18 décembre 2015

2 Sommaire Exécutif 1. Les stress tests ont pris une importance depuis la dernière crise financière sous l impulsion des régulateurs qui souhaitent l imposer comme outil de pilotage de la stratégie des banques et de surveillance du risque systémique 2. Les modèles de stress test reçoivent de plus en plus d attention de la part de la recherche académique et opérationnelle. Nous présentons quelques éléments de formalisation mathématique et de modélisation en distinguant le risque de crédit et les risques de marché 3. Dans la troisième partie, nous portons notre attention sur les effets d atténuation et les effets de second d ordre et montrons comment ces derniers impactent la modélisation des stress tests. Nous terminons avec les reverses stress tests et des principes qui permettent une hiérarchisation des scénarios macroéconomiques 2

3 1. Vue d ensemble des stress tests pour les banques Stress tests point de vue des régulateurs Outil de gestion des risques à travers lequel la santé financière d une banque ou d un groupe de banques est évaluée par un scénario de stress/chocs adverses et l impact de ces chocs est quantifié L objectif principal est d évaluer la capacité des banques à respecter les niveaux minimum de solvabilité, de liquidité et de levier sous ces scénarios adverses Trois types de scénarios Des scénarios macroéconomiques définis par des hypothèses sur les variables macroéconomiques et financières Des scénarios historiques souvent basés sur des réalisations extrêmes/des événements extrêmes dans le passé. Des scénarios hypothétiques définis de manière adhoc. A quoi pourraient servir les stress tests dans une banque?... En support de la prise de décision Révélateur du risque de concentration Formuler un capital planning en prenant en compte une vue ex-ante A condition? Que les scénarios soient plausibles d avoir l adhésion du management de l insérer dans la gouvernance interne des risques de réfléchir à des mesures correctrices qui permettrait d atténuer l impact du stress test de prendre en compte des effets de second ordre 3

4 1. Vue d ensemble des stress tests pour les banques Niveaux de stress implémentés par les banques Les stress tests mis en place par la banque pour ses propres usages Les stress tests réglementaires demandés par les superviseurs Les stress tests simultanément appliqués à un ensemble d institutions bancaire Avec deux niveaux inter liés d analyse. Niveau micro-prudentiel d analyse qui va s intéresser sur les impacts spécifiques à une institution Niveau macro-prudentiel d analyse Dimension systémique qui contribue à sensibiliser les différentes parties sur le risque systémique Instrument utilisé par les banques centrales et les autorités de supervision bancaires pour analyser des impacts simultanés sur un ensemble de banques et des effets possible de second niveau causés par effets idiosyncratiques de réputation et/ou des réponses collectives apportées par les banques et des activités supportant le programme de stress tests Gouvernance Conception des scénarios Traduction des scénarios en paramètres de risque Agrégation des impacts 4

5 1. Vue d ensemble des stress tests pour les banques capital planning est un exercice dynamique dont l objectif est de minimiser la probabilité que le coussin de capital ne s érode sur un horizon de temps L approche va consister à examiner la performance et l interaction entre les prévisions de capital réglementaire demande de capital et les prévisions de fonds propres offre de capital lorsque l on passe d une situation normale à une situation de stress Le coussin de capital est la différence entre le fonds propres disponible et les fonds propres réglementaires Les stress test dans le contexte du capital planning permet de répondre à la question suivante: la banque sera-t-elle en mesure de maintenir un coussin acceptable même en situation de stress? Les scénarios doivent être cohérent avec l appétit au risque et la stratégie de l organisation telle que définie par la direction générale L horizon de temps du capital planning: entre 3 et 5 ans Demande de capital: fonction des risques Offre de capital: fonction des profits, dividendes, capacité à créer de la valeur et des levées de capital 5

6 1. Vue d ensemble des stress tests pour les banques 6 Les différentes étapes du processus : Traduction des scénarios macroéconomiques en impact en terme de facteurs de risques Mesure l impact sur des indicateurs financiers majeurs Conception de mesures d adaptation Scénario macro économique stressé Hypothèse de volume Hypothèses d entrée et de sortie de cash Risque de marché Risque de migration et de défaut Risque liés aux matières premières Impact brut Risques Liquidité Revenues P&L Cout du risque Conception des mesures d adaptation et prise en compte des effets de second ordre vente? Arrêt? couverture? e-orientation stratégique? Impact net Risques Liquidité Revenues P&L Cout du risque

7 1. Vue d ensemble des stress tests pour les banques Conditions pour une intégration stratégique Pertinence des scénarios économiques Cohérence entre les différents indicateurs Par exemple: quelles sont les interaction entre les risques et la liquidité, quelles sont les interactions entre les risques et le besoin de liquidité, quelles sont les interactions entre les pertes et profits et les risques pertes et profits Besoin de liquidité Risques Valider les résultats, les actions d atténuation et la cohérence entre les métiers 7

8 2. Modèles de stress tests 2.1. Vue d ensemble Ensemble de techniques utilisées pour évaluer la vulnérabilité d une institution financière à des chocs macroéconomiques exceptionnels mais plausibles Mathématiquement c est la transformation d un système macroscopique,, en un nouveau système macroscopique,,, correspond à la probabilité a priori tandis que est la probabilité a posteriori,,, est l ensemble des scénarios,,,, est l ensemble des facteurs de risques et est la probabilité associée au système Un scénario est la réalisation conjointe d événements sur les facteurs de risques qui influencent le système. Formellement,,,,. La probabilité a posteriori peut être construite par l expert, le stress test est alors un état subjectif sur la réalisation des différents scenarios et les facteurs de risque peuvent être supposés connectés par un réseau bayésien de causalité. On parle alors de modèle de stress test d experts Déplacement de la perte moyenne vers les pertes les plus importantes Élargissement de la queue des distributions 8

9 2. Modèles de stress tests 2.1. Différentes approches Approche par morceaux, la distribution a posteriori est une masse de Dirac:!"#$ Le stress test à l évaluation d une espérance conditionnelle à la réalisation d un choc macroéconomique exceptionnel mais plausible % &' ) Mélange d approche par morceaux, la distribution a posteriori est discrète, somme de masses de Dirac!"#$ +,!"-$ A posteriori il y a 2 régimes, un régime de stress qui a une probabilité d occurrence égale à p et un régime non stressé qui a une probabilité d occurrence égale à q Approche intégrée, on évalue la distribution de probabilité a posteriori et on extrait les mesures de risques les plus pertinentes. La probabilité de réalisation du scénario passe de à,. Toutes les situations sont envisageables:, >, le modèle traduit (l expert juge) que la probabilité du scénario va augmenter tout en restant probable, <, le modèle traduit (l expert juge) que la probabilité du scénario va baisser tout en restant probable, 0, le modèle traduit (l expert juge) que le scénario n est plus probable. 9

10 2. Modèles de stress tests 2.2. L approche par morceaux: le cas du risque de crédit L approche par morceaux consiste à représenter l impact d un stress test comme une espérance conditionnelle 1 2 &' % &' ) h % &,5 & qui mesure un indicateur de santé financière. Le choc macroéconomique est défini % &' ) Toute la démarche consiste à identifier les facteurs macroéconomiques pertinents et à calibrer la fonction h Exemples d indicateurs de santé financière: Key Risk Indicators (KRI) Probabilité de défaut Matrice de transition: la dynamique du système de notation est représentée par une matrice de notation qui représente un système de probabilité de migration d une notation donnée vers une autre Le besoin de fonds propres réglementaires d un portefeuille Les provisions d un portefeuille 10

11 2. Modèles de stress tests Le risque de crédit Risque de crédit: risque de perte lié au défaut de l emprunteur/émetteur Variation des marges de crédit Restructuration de la dette Dégradation de la qualité de crédit Notation de crédit Évaluation de la qualité de crédit d un emprunteur/émetteur, une entreprise ou un état Évaluation émise par une agence de notation ou une banque dans le cadre de son approche de notation interne Matrice des migrations La dynamique du système de notation est représentée par une matrice de notation qui représente un système de probabilité de migration d une notation donnée vers une autre Principal outil de simulation de l évolution d un portefeuille de crédit Passage d estimations faites à travers le cycle (TTC) à des estimations faites en PIT La notation de certaines contreparties est en général TTC % 4.88% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% % 94.62% 4.04% 1.35% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% % 0.36% 96.75% 2.89% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% % 0.71% 0.71% 95.37% 2.85% 0.36% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% % 0.32% 0.00% 3.51% 92.97% 3.19% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% % 0.00% 0.00% 0.18% 2.33% 91.76% 4.66% 0.54% 0.54% 0.00% 0.00% % 0.00% 0.00% 0.22% 0.00% 2.44% 91.57% 4.88% 0.22% 0.22% 0.44% % 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 1.99% 90.73% 4.64% 0.66% 1.99% % 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 75.00% 15.38% 9.62% % 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 66.07% 33.93% % 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% % 11

12 2. Modèles de stress tests Variable aléatoire déclenchant le défaut et les migrations: approche structurelle Sensibilité du risque de la firme au risque systématique U = βm + 1 β 2 i Z i Risque de la firme Variation de la valeur de la firme Risque systématique commun à toutes les firmes Risque idiosyncratique Spécifique à chaque firme Hypothèse supplémentaire M Z i Processus de défaut Le risque d une entreprise dépend à la fois d une part systématique et d une part idiosyncratique Le défaut survient lorsque la variation de la valeur de la firme passe en dessous d un certain seuil

13 2. Modèles de stress tests de la PD TTC à la PD PIT Lien entre la PD et le seuil de défaut ( D M ) P U i = P U i D βm 2 1 β M PD D = TTC F = 1 U i ( D) P U ( TTC PD ) i Loi inverse = = = F F Z Z i i PD D M β 2 1 β F PIT 1 U i ( PD TTC 2 1 β ) βm Processus de défaut Le seuil du défaut et la probabilité de défaut TTC sont liées par la loi inverse du risque de la firme La probabilité de défaut PIT est une probabilité de défaut conditionnelle au facteur M, elle dépend aussi de la sensibilité du risque de la firme par rapport au facteur systématique M de la loi inverse du risque spécifique de la firme de la probabilité de défaut TTC

14 2. Modèles de stress tests PD PIT dans le cadre du modèle gaussien PD PIT Φ = PD M = Φ 1 ( PD À lier avec le cycle économique TTC ) 2 1 β βm Processus de défaut Probabilité de défaut conditionnellement au facteur M Probabilité de défaut conditionnellement aux valeurs de M Tout l objet des modèles est de lier un scénario économique et l objet mathématique représenté par M

15 2. Modèles de stress tests PD TTC % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % Probabilité de défaut Utiliser les probabilités de défaut PIT pour faire des stress tests Le facteur M permet de positionner le portefeuille à un moment donné du cycle économique: cycle haut ou cycle bas 15

16 2. Modèles de stress tests BBB BB A Defaullt CCC B La firme conserve sa Notation BBB AA AA A Φ 1 (0.15%) Φ 1 (98%) Downgrade Upgrade

17 2. Modèles de stress tests PM PIT ij = PM ik M Φ = Φ Probabilité de migration conditionnelle PM PIT i1 = PM 1 ik Default M k= j Default TTC 1 PM Φ ik βm PM ik Φ k = j β 1 β Φ = 1 Φ 1 Default k = 2 PM TTC ik 2 1 β βm TTC βm Sensibilité du portefeuille au risque systématique Processus de migration A un rating i donné, on calcule la probabilité PIT de migration vers un état de rating j Les probabilités de migration sont données conditionnellement à la réalisation de la variable aléatoire M qui représente une position dans le cycle de crédit Tout l objet des modèles est de lier un scénario économique et l objet mathématique représenté par M

18 2. Modèles de stress tests Scenario % 6% 2% 0% 4% 1% 0% 0% 0% 0% 0.00% 2 1% 95% 3% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0.00% 3 0% 8% 87% 4% 1% 0% 0% 0% 0% 0% 0.01% 4 0% 1% 8% 86% 4% 1% 0% 0% 0% 0% 0.03% 5 0% 0% 1% 11% 80% 6% 1% 0% 0% 0% 0.09% 6 0% 0% 0% 1% 7% 85% 5% 1% 0% 0% 0.22% 7 0% 0% 0% 0% 1% 10% 84% 3% 0% 0% 0.64% 8 0% 0% 0% 0% 1% 3% 10% 83% 1% 1% 1.79% 9 0% 0% 0% 1% 2% 2% 12% 24% 49% 5% 4.89% 10 0% 0% 0% 0% 1% 1% 2% 10% 5% 68% 12.52% 11 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% % Scenario % 7% 2% 0% 5% 1% 0% 0% 0% 0% 0.01% 2 1% 95% 4% 1% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0.01% 3 0% 6% 87% 5% 1% 1% 0% 0% 0% 0% 0.02% 4 0% 1% 7% 86% 5% 1% 0% 0% 0% 0% 0.07% 5 0% 0% 1% 9% 80% 8% 1% 1% 0% 0% 0.19% 6 0% 0% 0% 1% 6% 85% 6% 1% 0% 0% 0.47% 7 0% 0% 0% 0% 1% 8% 84% 5% 1% 0% 1.22% 8 0% 0% 0% 0% 0% 2% 7% 86% 1% 1% 3.15% 9 0% 0% 0% 0% 1% 2% 8% 20% 53% 8% 7.85% 10 0% 0% 0% 0% 0% 0% 1% 7% 4% 69% 18.16% 11 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% % 18

19 2. Modèles de stress tests Traduire un scénario macroéconomique en facteur de risque Le score comme indicateur du risque économique KRI de quantification du risque économique Le score est une fonction des principales variables macroéconomiques/financières qui permet de quantifier l impact de la macroéconomie sur l économie réelle L objectif de l exercice de calibration est de déterminer la sensibilité de chacune des variables macroéconomiques sur l économie La détermination des sensibilités est effectuée en utilisant un modèle de régression L approche statistique retenue est une régression logistique pour laquelle on a besoin d un indicateur qualitatif Les scores réalisés et les scores hypothétiques sont une fonction affine des variations des variables macroéconomiques et financières. Score Evolution Eurozone 2,5 2,5 1,6 0,3 2,6 3,3 2,6 1,9 2,1 Scores -0,2-5,6-4,7-7,9-18,6-13,5-7,8-4,1-0,9-1,3-1,8-4,1-3,1-0,6-10,9-11,1-11,1-11,1-11,1 hypothetical scores 1Q07 2Q07 3Q07 4Q07 1Q08 2Q08 3Q08 4Q08 1Q09 2Q09 3Q09 4Q09 1Q10 2Q10 3Q10 Quarters 4Q10 1Q11 2Q11 3Q11 4Q11 1Q12 2Q12 3Q12 4Q12 1Q13 2Q13 3Q13 4Q13 19

20 2. Les modèles des stress tests Traduire un scénario macroéconomique en facteur de risque Utilise le même moteur de calcul que la VaR mais avec des matrices de corrélations qui sont calibrés sur une période suffisamment stressée (période ) Mesure des risques de marchés dont l objectif est d atténuer le caractère pro-cyclique des risques de marchés Les métriques de risques sont extraites de distribution de Pertes et Profits du portefeuille de négociation de la banque Matrice des variances covariances estimées avec des données courantes VaR = f ( P, D, I, Σ) Matrice des variances covariances estimées sur une période stressée stressedvar = f ( P, D, I, stressedσ) La stressed VaR représente l estimation d une perte extrême qui aurait générée par le portefeuille de trading si celui-ci faisait face à une crise similaire à celle de la période utilisée pour calibrer les matrices de variance-covariance. Difficile à comparer avec la VaR ordinaire 20

21 2. Les modèles de stress tests Portefeuille homogène en facteurs de risques en variance et en corrélation Business as usual Stressed Case VaR = k σ P stressedvar = k stressedσ P σ = σ n( 1+ ( n 1) ρ P stressedσ P = stressedσ n( 1+ ( n 1) stressedρ stressedvar VaR = stressedσ σ n(1 + ( n 1)) stressedρ n(1 + ( n 1)) ρ Le ratio de VaR dépend à la fois du ratio de Volatilité stressée et volatilité ordinaire Corrélation stréssé et corrélation ordinaire Du nombre de facteur de risques 21

22 2. Les modèles de stress tests Portefeuille hétérogène Business as usual Stressed Case VaR = k σ P stressedvar = k stressedσ P T σ = ω Σ ω P T stressedσ = ω stressedσ ω P stressedvar VaR = T ω stressedσ ω T ω Σ ω Le ratio de VaR dépend à la fois du ratio de Des variances covariances en situation normale et en situation stressée De la composition actuelle du portefeuille 22

23 3. Enjeux de la modélisation Mesures d atténuation et effets de second ordre La valeur d un portefeuille est Une fonction de la combinaison des actifs détenus de la valeur des actifs détenus dans le portefeuilles qui dépend de la réalisation d un ensemble de facteurs de risques PV t F & (G X(t) ) combinaison des actifs Valeur du portefeuille exprimée comme une fonction d un ensemble de facteurs de risques PV t PV t+1 PV t+2 PV t+2 F & (G X(t) ) F &' (G X t +dx(t) ) F &' (G X t +dx(t) ) F &' (G X t +dx t +dy(t) ) A l instant t A l instant t+1, intégration du stress test A l instant t+2, actions d atténuation mis en place A l instant t+2, prise en compte du feedback après une action d atténuation En général les modèles de stress tests supposent qu il n y a pas de changement dans la composition des portefeuilles entre t et t+1 F &' F & La fonction G est En général les modèles de stress tests supposent qu il n y a pas de changement dans la composition des portefeuilles entre t et t+1 23

24 3. Enjeux de la modélisation Effets feedback lié à l horizon des scénarios : action -réaction Une sorte d action réaction Tenir compte de la modification de la distribution à l horizon du stress test qui prend en compte Un horizon intermédiaire au cours duquel la composition du portefeuille initial est modifiée suite à la mise en place des actions d atténuation Modifier la fonction F & à la date t+2 La Combinaison du choc du stress test et le choc du feedback 24

25 3. Enjeux de la modélisation Les reverses stress tests Raisonner en terme d application surjective: «il s agit d identifier le/les scénarios qui remettent en cause la viabilité de la banque» Sans arriver jusqu à la viabilité de la banque, il suffit pour la banque de définir un niveau seuil d impacts non acceptable La banque n accepte pas de perdre plus de X unités monétaires Construction des reverses stress tests: application aux portefeuilles de crédit en utilisant les matrices de migrations CDéFGHII Position dans le cycle de crédit JKLMNOP QP RNSMKLNTU OTUQNLNTUUPVVP WNXLMNYZLNTU QPX XOéUKMNTX RKOMTéOTUTRN[ZPX \ M m Matrice PIT 1 On classe les matrices PIT en fonction de leur impact sur le portefeuille de la banque. \ M m Matrice PIT 2 On en déduit les scénarios qui ont un impact supérieur au seuil acceptable et ceux qui ont un impact inférieurs aux seuils acceptables 25

26 3. Enjeux de la modélisation Les reverses stress tests Définition: on dira que le scénario \ &gh \ l impact de la matrice de migration conditionnelle au scénario 1 sur le portefeuille est inférieur à l impact de la matrice de migration conditionnelle au scénario 2 sur le portefeuille Cette relation &gh permet d hiérarchiser les scénarios (conditionnellement à un portefeuille ) On peut en déduire la distribution des scénarios définir les reverses stress tests 26