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1 CHAPITRE : LOIS DISCRÈTES Sommaire Variable aléatoire discrète Rappels Exemple Couples de variables aléatoires Définition Indépendance de deux variables aléatoires Somme de variables aléatoires Loi de Bernoulli Loi binomiale Loi de Poisson Approximation d une loi binomiale par une loi de Poisson VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE.. Rappels Soit X une variable aléatoire définie sur un univers fini muni d une probabilité P. On appelle fonction de répartition de la variable X la fonction F, à valeurs dans [0 ;] définie sur R par F(x)=P(X x). F(x) est la probabilité d obtenir une valeur de X inférieure ou égale à x. Propriété : La fonction de répartition de X est une fonction en escalier, elle prend 0 pour valeur minimum et pour valeur maximum. Définitions : Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs x,..., x n avec les probabilités respectives p,..., p n. On appelle espérance mathématique de X, on la note E(X), le nombre réel défini par n E(X)= p i x i = p x + p x p n x n i= On appelle variance de X et on note V(X), le nombre réel défini par n V(X)=E([X E(X)] )= p i (x i E(X)) = p (x E(X)) + p (x E(X)) p n (x n E(X)) i= On appelle écart type de X et on le note σ(x) le nombre réel défini par V(X). BTS Lois discrètes / 0

2 Propriétés : Avec les mêmes notations n V(X)= p i x i (E(X)) = p x + p x p n xn (E(X)). i= Soit a et b deux réels, E(aX+ b)=ae(x)+b V(aX+ b)=a V(X) σ(ax+ b)= a σ(x) Remarque : L écart type permet d estimer la dispersion des valeurs de X autour le l espérance... Exemple Une urne contient trois jetons, indiscernables au toucher, numérotés,,. On procède à deux triages successifs d un jeton avec remise à chaque tirage.. Déterminer l univers Ω de cette expérience.. On s intéresse à la somme des numéros inscrits sur les deux jetons. On définit la variable aléatoire X qui, à chaque couple de Ω, associe la somme des numéros tirés. Quelles sont les valeurs possibles de X?. Déterminer la loi de probabilité de la variable X. 4. Soit F la fonction de répartition de X. Tracer la courbe représentative de F. 5. Calculer l espérance, la variance et l écart-type de la variable X. BTS Lois discrètes / 0

3 . On décide de doubler la somme des chiffres. Que deviennent l espérance et l écart-type?. COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES.. Définition Certaines situations sont naturellement décrites par la donnée d un couple de variables aléatoires. Par exemple, en météorologie, on peut s intéresser au couple formé par la donnée de la température (T) et de la pression (P) atmosphériques. On est ainsi amené à étudié les deux paramètres simultanément, donc à regarder le couple (T;P), qui est un couple de variables aléatoires. On considère dans le plan les points de coordonnées entières situés dans la zone B, définie par B={(x; y) tel que x; y N et x, y }. On considère l expérience aléatoire consistant à choisir l un de ces points au hasard (tous les choix de points dans B étant équiprobables). On définit la variable aléatoire discrète Z qui est formée du couple de coordonnées du point choisi. Détermination de la loi de Z : Valeurs de Z (; ) (; ) (; ) (; ) (; ) (; ) Probabilités La variable aléatoire Z est appelée couple des variables aléatoires X et Y. On peut présenter sa loi de manière à faire apparaître les rôles joués par X et Y plus clairement : Y X on peut aussi déterminer les lois de X et de Y à partir de celle de Z : Par exemple, P(Y= )=P((X= ) et (Y= ))+P((X= ) et (Y= )) P(Y= )=P(Z=(;))+P(Z=(;))= + =. De manière plus rapide, en faisant les additions en colonne, on obtient la loi de Y : y i P(Y=y i ) BTS Lois discrètes / 0

4 en faisant les additions en ligne, on obtient la loi de X : x i P(X=x i ) ces deux lois sont appelées lois marginales du couple (X; Y). De façon synthétique, on peut représenter toutes ces données dans un même tableau : Y X P(X=x i ) P(Y=y i ).. Indépendance de deux variables aléatoires Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes de valeurs respectives (x ; x ;...; x n ), et (y ; y ;...; y p ). Les variables aléatoires X et Y sont indépendantes si pour tous i et j tels que i n et j p P(X=x i ;Y=y j )=P(X=x i ) P(Y=y j ) On lance deux dés équilibrés à six faces (un rouge, et un bleu). On appelle X le numéro de la face du dé bleu, et Y le numéro de la face du dé rouge. On appelle S la somme des faces obtenues. Les variables X et Y sont indépendantes. Les variables X et S ne sont pas indépendantes. Les variables Y et S ne sont pas indépendantes On donne deux variables aléatoires discrètes X vérifiant P(X= )=, P(X=0)=, P(X= )= et Y= X. Loi de Y : y i 0 P(Y=y i ) 5 Loi du couple (X;Y) : on calcule la probabilité obtenue por chaque couple BTS Lois discrètes 4/ 0

5 X Y 0 P(Y=y i ) P(X=x i ) On a par exemple P(,0)=P((X= ) (Y= 0))=0. Or, P(X= ) P(Y= 0)= = 8 0. X et Y ne sont donc pas indépendantes. (ce résultat était prévisible puisque, par construction, la variable Y est dépendante de la variable X)... Somme de variables aléatoires Propriété : On considère deux variables aléatoires discrètes X et Y admettant une espérance, alors X+ Y admet l espérance E(X+ Y)=E(X)+E(Y). X Y admet l espérance E(X Y)=E(X) E(Y). Et dans le cas où X et Y sont indépendantes : X+ Y admet la variance V(X+ Y)=V(X)+V(Y). X Y admet la variance V(X Y)=V(X) V(Y). Dans une fête foraine, on considère deux roues A et B définies ainsi : pour la roue A : on a 0% de chance de tomber sur le nombre 0, 50% de chance de tomber sur le nombre 0 et 0% de chance de tomber sur le nombre 0. pour la roue B : on a 40% de chance de tomber sur le nombre 0 et 0% de chance de tomber sur le nombre 0. On lance successivement les deux roues, on note X la variable aléatoire égale au nombre obtenu pour la roue A et Y la variable aléatoire égale au nombre obtenu pour la roue B. Les deux variables X et Y sont indépendantes l une de l autre. La loi de X est donnée par : x i P(X=x i ) 0, 0,5 0, On obtient E(X) = et V(X) = 49. La loi de Y est donnée par : y i 0 0 P(Y=y i ) 0,4 0, BTS Lois discrètes 5/ 0

6 On obtient E(Y) = et V(Y) = 4. La loi de S= X+ Y est donnée par : d i P(S= s i ) 0,08 0, 0,4 0,8 On obtient E(S)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=+=70, et V(S)=V(X+Y)=V(X)+V(Y)=49+4=7. La loi de D=X Y est donnée par : d i P(D=d i ) 0, 0,8 0,8 0, On obtient E(D)=E(X+Y)=E(X) E(Y)= =5, et V(D)=V(X Y)=V(X) V(Y)= 49 4=5.. LOI DE BERNOULLI Une expérience de Bernoulli est une expérience qui n a que deux issues possibles, l une appelée succès qui a pour probabilité p, l autre appelée échec qui a pour probabilité q = p. Définir une loi de Bernoulli de paramètre p, c est associer une loi de probabilité discrète à cette expérience aléatoire en faisant correspondre la valeur à l apparition d un succès et 0 à celle d un échec. x i 0 p(x=x i ) p p Si on lance un dé et qu on nomme succès l apparition de la face, on obtient la loi de Bernoulli suivante : x i 0 p(x=x i ) 5 Propriété : Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Bernouilli B(p), alors : L espérance de X vaut E(X) = p. La variance de X vaut V(X)=pq. Dans l exemple précédent, on obtient E(X)= et V(X)= 5. BTS Lois discrètes / 0

7 4. LOI BINOMIALE On appelle épreuve de Bernoulli une épreuve aléatoire ayant que deux issues contraires le succès noté S de probabilité p et l échec, noté S, de probabilité p. Dans une urne contenant boules rouges, boules bleues et boules vertes indiscernables au toucher, on tire au hasard une boule, on regarde sa couleur et on la remet. L épreuve qui consiste à tirer au hasard une boule et à regarder si elle est rouge ou non est une épreuve de Bernoulli. Le succès est l événement "la boule est rouge" avec une probabilité de = L échec est l événement "la boule n est pas rouge" avec une probabilité de. On considère une épreuve de Bernoulli avec pour le succès une probabilité p On répète cette épreuve n fois de manière indépendante. Soit X la variable aléatoire mesurant le nombre de succès au cours de ces n épreuves. La loi de probabilité suivie par X est appelée loi binomiale de paramètres n et p et est notée B(n; p). Méthode : Pour calculer alors la probabilité P(X= k) on utilise la calculatrice ou un logiciel. Pour les TI : distrib / binomfdp (n, p,k) Pour les Casio : Menu STAT / DIST / BINM / Bpd / Var Dans un fichier clientèle d une société de vente par correspondance, chaque client correspond à une fiche unique. Un tiers des clients est domicilié dans la région Ile-de-France. On tire une fiche au hasard en supposant que toutes les fiches ont la même probabilité d être choisies. Nous considérons l événement E la fiche tirée est celle d un client d Ile de France.. Quelle est la probabilité p de l événement E?. Nous prélevons 5 fiches avec remise de façon que les 5 tirages d une fiche soient indépendants. Soit X la variable aléatoire qui, associe le nombre de ces fiches correspondant à des clients domiciliés en IDF. BTS Lois discrètes 7/ 0

8 Quelles sont les valeurs possibles de X?. Déterminer la loi de probabilité suivie par X. Remarque : Le nombre entier noté ( ) n k est le nombre de combinaisons de k éléments parmi n. On peut le calculer à l aide de la calculatrice. Si X est une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n; p) alors pour k {0,,...,n} ( ) n P(X= k)= p k ( p) n k k Dans l exemple précédent, P(X= )= Propriétés : Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p, n N et p [0 ;] E(X)=np ; V(X)=np( p) ; σ(x)= np( p) Suite de l exemple précédent : Calculer l espérance et l écart-type de la variable X. 5. LOI DE POISSON La loi de Poisson modélise des situations où l on s intéresse au nombre d occurrences d un événement dans un laps de temps déterminé ou dans une région donnée. Par exemple : Nombre d appels téléphoniques qui arrivent à un standard en x minutes Nombre de clients qui attendent à la caisse d un magasin Nombre de défauts de peinture par m sur la carrosserie d un véhicule... La variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre λ, notée P(λ) avec λ>0lorsque sa loi de probabilité vérifie : λ λk P(X= k)=e k!, k N Le formulaire donne pour certaines valeurs du paramètres les probabilités p(x = k),k N, les valeurs non écrites étant négligeables. On peut aussi taper la formule directement sur la calculatrice. BTS Lois discrètes 8/ 0

9 On considère la variable aléatoire X mesurant le nimbre de clients se présentant au guichet d un bureau de poste par intervalle de temps de durée 0 minutes entre 4h0 et h0. On suppose que X suit la loi de Poisson de paramètre λ=5. Pour λ=5, la table de la loi de poisson nous donne : k p(x = k) 0,007 0,04 0,084 0,40 0,7 0,7 0,4 0,04 0,05 0,0 0,08 0,008 0,00 0,00 0,000 On peut aussi représenter graphiquement la loi P(5) : La probabilité qu entre 4h0 et 4h40, 0 personnes exactement se présentent à ce guichet vaut : P(X= 0) 0,08. La probabilité qu entre 5h0 et 5h0, au maximum personnes se présentent à ce guichet vaut : P(X )=P(X= 0)+P(X= )+P(X= )+P(X= ) 0,5. La probabilité qu entre h00 et h0, 8 personnes au moins se présentent à ce guichet vaut : P(X 8)= P(X< 8)= [P(X= 0)+P(X= )+ +P(X= 8)] 0,87=0,. Propriété : Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ, alors l espérance et la variance sont égales et valent E(X)=V(X)=λ. Dans l exemple précédent, on obtient E(X) = V(X) = 5.. APPROXIMATION D UNE LOI BINOMIALE PAR UNE LOI DE POISSON On admet le résultat suivant : Propriété : Pour n assez grand et p proche de 0 tels que np( p) ne soit pas trop grand, on peut approcher la loi binomiale B(n; p) par la loi de poisson P(λ) où λ=np. Remarque : Cela revient à dire que l on approxime la loi binomiale B(n; p) par la loi de poisson de même espérance. On convient de faire cette approximation pour n 0, p 0, et np( p) 0. BTS Lois discrètes 9/ 0

10 Dans une chaîne de fabrication, 5% des pièces sont défectueuses; on prélève une pièce, on examine si elle est défectueuse et on la replace parmi les autres. On répète 0 fois cette expérience. On désigne par X la variable aléatoire qui à chaque tirage de 0 pièces associe le nombre de pièces défectueuses.. Justifier que X suit une loi binomiale, en préciser les paramètres.. Calculer P(X = 5).. Montrer qu une approximation de la loi binomiale par une loi de poisson convient. 4. Calculer P(X= 5) à l aide de cette approximation. 5. Comparer pour apprécier la qualité de l approximation. Solution :. Pour chaque tirage, on a deux résultats possibles : ou bien la pièce est défectueuse avec une probabilité de p = 0,05 ; ou bien elle ne l est pas avec une probabilité de q = p = 0,95. On effectue 0 tirages identiques, de manière indépendante. On peut donc conclure que X suit la loi binomiale B(0; 0, 05). ( ) 0. P(X= 5)= 0,05 5 0,95 5 0,4. 5. On a n> 0 ; p < 0, et np( p)=5,7<0. On peut donc faire une approximation grâce à la loi de poisson P(0 0, 05) = P() On obtient : P(X= 5) e 5! 0,0. 5. La loi de poisson donne la même valeur à 0 près, ce qui est une bonne approximation. BTS Lois discrètes 0/ 0