Contrôle de mathématiques 1. ( ) b + (11111) b (CF 4D5) h + (12E) h (11010) b (100) b

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1 SIO 1 2 heures DA KI BIDADE Contrôle de mathématiques 1 Dans tout le devoir, (... ) b désigne un nombre en base 2, (... ) h désigne un nombre en base 16. Un entier non entouré de parenthèses sera écrit dans le système décimal. Dans tout le devoir, on ne donnera jamais une réponse sans la justifier (par un calcul, une phrase,...). Convertir 456 en base 2, (11011) b en base 10, 127 en base 16, (ABC) h en base 2, (1F C0) h en base 10, ( ) b en base 16. Effectuer les opérations suivantes (pour justifier, montrer par exemple l opération posée et les retenues éventuelles, ou...) : ( ) b + (11111) b (CF 4D5) h + (12E) h (11010) b (100) b I (a) 2257 est-il premier? (b) 312 et 125 sont-ils premiers entre eux? (c) Décomposer en produit de facteurs premiers 525, 720 et (d) Déterminer tous les diviseurs de 525. (e) Déterminer P GCD(18; 108) et P GCD(525; 425). V Compléter avec l entier naturel le plus petit possible : (10) ; (3) ; 98 5 (... )

2 Exercice V Le chiffrement de Hill consiste à coder un mot de deux lettres selon la procédure suivante : Étape 1 : Chaque lettre du mot est remplacée par un entier en utilisant le tableau cidessous : A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z On obtient un couple d entiers (x 1,x 2 ) où x 1 correspond à la première lettre du mot et x 2 correspond à la deuxième lettre du mot. Étape 2 : (x 1,x 2 ) est transformé en (y 1,y 2 ) tel que : (S 1 ) y1 11x 1 + 3x 2 (mod 26) y 2 7x 1 + 4x 2 (mod 26) Étape 3 : Exemple avec 0 y 1 25 et 0 y (y 1,y 2 ) est transformé en un mot de deux lettres en utilisant le tableau de correspondance donné dans l étape 1. TE mot en clair étape 1 (19,4) étape 2 (13,19) étape 3 NT mot codé 1. Coder le mot ST. 2. On admet que le système (S 1 ) est équivalent au système (S 2 ) x1 16y 1 + y 2 (mod 26) x 2 11y 1 + 5y 2 (mod 26) Décoder le mot Y J. Exercice VI Le système Bibi-binaire (en abrégé : «système Bibi») inventé par Robert Lapointe, alias Boby Lapointe ( ), chanteur et chercheur, a été breveté en décimal binaire bibi HO HA HE HI BO BA BE BI KO KA KE KI DO DA DE DI La dernière ligne a été obtenue ainsi : on découpe l écriture binaire en tranches de deux chiffres ; les quatre tranches possibles sont : 00, 01, 10 et 11. Pour le premier groupe de deux chiffres, on utilise quatre consonnes : 00 correspond à H, 01 à B, 10 à K et 11 à D. Pour la deuxième tranche, on utilise quatre voyelles : 00 correspond à O, 01 à A, 10 à E et 11 à I. Par exemple, en Bibi, le nombre décimal 2015 devient BIDADI. Quelle est la valeur décimale des nombres suivants : BOBO, HAKA, KOKOHADEBOHABI, KADODEBOBI?

3 SIO 1 2 heures DA KI BIDADE Corrigé du contrôle de mathématiques = ( ) b (11011) b = = (7F ) h (ABC) h = ( ) b (1F C0) h = 8128 ( ) b = (E7) h ( ) b + (11111) b = ( ) b (CF 4D5) h + (12E) h = (CF 603) h (11010) b (100) b = ( ) b I (a) 2257 n est pas premier car il admet plus de deux diviseurs : 1, lui-même, 37, 61. (b) 312 et 125 sont premiers entre eux car leur PGCD est 1. En effet, 125 = 5 3 est divisible seulement par des multiples de 5 mais pas 312. (c) 525 = = = (d) Les diviseurs de 525 sont : 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; ; 15 ; 21 ; 25 ; 35 ; 75 ; 105 ; 175 ; 525. (on prend les facteurs de 525 = un par un, deux par deux, trois par trois.) (e) P GCD(18; 108) = 18 car 108 est divisible par 18. P GCD(525; 425) = 25 car les diviseurs de 425 = sont 1 ; 5 ; 17 ; 25 ; 85 ; 425. V 57 7 (10) ; (3) ; 98 5 (31) Exercice V 1. Codage du mot ST : x 1 = 18 et x 2 = x 1 + 3x 2 = = 255. Le reste de la division de 255 par 26 est 21 = y 1 7x 1 + 4x 2 = = 202. Le reste de la division de 202 par 26 est 20 = y 2. ST mot en clair étape 1 (18,19) étape 2 (21,20) étape 3 VU mot codé Ainsi ST est codé en VU.

4 2. Décodage du mot YJ : y 1 = 24 et y 2 = 9 x (mod 26) x (mod 26) (mod 26) (mod 26) Le mot d origine est donc DX. Exercice VI BOBO désigne le nombre binaire ( ) b, soit 68 en décimal. BOBO 68 HAKA 25 KOKOHADEBOHABI KADODEBOBI

5 SIO 1 0,6 heure 11 décembre 2014 Contrôle de mathématiques 2 Compléter les tables de vérité suivantes. P Q P Q P Q P P Q Démontrer l équivalence P (P Q) P I Établir la table de vérité de chacune des trois propositions : (P Q) R (P Q) ( R Q) (P Q) ( R Q) Certaines sont-elles équivalentes?

6 SIO 1 1 heure 5 février 2015 On considère les matrices A = B = 5 Contrôle de mathématiques 3 C = D = E = Effectuer les opérations suivantes. Dans chaque cas, on donnera le détail du calcul d un (et un seul) coefficient. 3C + 2D ; D B ; C 2 ; A E Un petit fournisseur de matériel informatique propose trois formules de vente à ses clients : une formule F1 «clavier + souris» à 12 euros ; une formule F2 «clavier + souris + clé USB» à 16 euros ; une formule F3 «clavier» à 10 euros. Pour chacune de ces formules, dans le tableau suivant sont indiqués le coût d achat du matériel, le temps moyen nécessaire au conditionnement de chaque formule et le prix demandé : Formule F1 Formule F2 Formule F3 Coût d achat en euro Temps en minute Prix de vente en euro (a) On considère la matrice M = et la matrice colonne C = Effectuer le produit matriciel M C. (b) On considère le cas où 10 clients optent pour la formule F1, 8 pour la formule F2 et 14 pour la formule F3. Donner la signification de chacun des coefficients du produit matriciel M C en termes de coût d achat, de temps et de prix de vente. a On considère la matrice P = 2 1,5 0, ,5 (a) Calculer les coefficients de la première ligne du produit matriciel P M. (b) Déterminer le réel a tel que le produit matriciel P M soit égal à la matrice unité I = Dans la suite de l exercice on prend a = 1 et l on admet que, dans ce cas, P M = I. Soient X et Y deux matrices à une colonne et trois lignes. Démontrer que si MX = Y alors X = P Y. 4. On sait que le fournisseur a dépensé 100 euros pour l achat du matériel, que le conditionnement a nécessité 270 minutes et que la recette pour ces trois formules a été de 430 euros. Déterminer, pour chacune des formules, le nombre de clients l ayant choisie.

7 SIO 1 1 heure 5 février 2015 Corrigé du contrôle de mathématiques C + 2D = = D B = = C = = A E = = (a) MC = = (a) (b) On considère le cas où 10 clients optent pour la formule F1, 8 pour la formule F2 et 14 pour la formule F3. Le coût d achat est 90AC, le temps est 244 minutes et le prix de vente est 388AC. P = 3a a a a + 4 4a + 4 2a + 2 = (b) Déterminons le réel a tel que le produit matriciel P M soit égal à la matrice unité I = On est amené à résoudre le système a + 4 = 1 4a + 4 = 0 2a + 2 = 0 d où a = 1 a = 1 a = 1 3. Dans la suite de l exercice on prend a = 1 et l on admet que, dans ce cas, P M = I. Si MX = Y alors, en multipliant les deux membres à gauche par P, on obtient : P MX = P Y. Comme P M = I, on a X = P Y

8 4. On sait que le fournisseur a dépensé 100 euros pour l achat du matériel, que le conditionnement a nécessité 270 minutes et que la recette pour ces trois formules a été de 430 euros. On a donc 100 Y = X = P Y = 2 1,5 0,5 270 = , clients ont donc choisi la formule F1, 10 la formule F2 et 15 la formule F3.

9 SIO 1 2 heures 1 avril 2015 Contrôle de mathématiques 4 (BTS blanc) Dans cet exercice, (... ) b désigne un nombre en base 2, (... ) h désigne un nombre en base 16. Un entier non entouré de parenthèses sera écrit dans le système décimal. 1. Convertir : 451 en base 2 ; (10011) b en base 10 ; 129 en base 16 ; (AB) h en base 2 ; (C0A) h en base 10 ; ( ) b en base 16. On ne demande pas de justification 2. Effectuer l opération suivante (pour justifier, montrer par exemple l opération posée et les retenues éventuelles, ou... ; donner le résultat en base 2) : ( ) b +(11111) b Compléter la table de vérité ci-dessous (les symboles P et désignent respectivement l opérateur de négation et le OU). P Q P P Q P Q Q Q P Quelles propositions sont équivalentes? I 1 1 s 1. On considère les matrices R =, X = et T = 0,8 1,2 c Calculer le produit matriciel R X (en fonction de s et c) Calculer les produits matriciels P R et R P (montrer le calcul d un des coefficients), avec P =. 3 2,5 2 2,5 3. Montrer que l égalité RX = T est équivalente à X = P T. 4. Lors d une campagne de marketing une entreprise distribue un stylo ou un porte-clés ; il en coûte à l entreprise 0,80 AC par stylo et 1,20 AC par porte-clés distribué. À la fin de la journée l entreprise a distribué 550 objets et cela lui a coûté 540 AC. On cherche le nombre s de stylos et le nombre c de porte-clés distribués. (a) Écrire un système traduisant cette situation. (b) Résoudre le problème à l aide des questions précédentes. V Une société de création de jeux vidéo commercialise un nouveau produit. Avec les bénéfices escomptés, elle souhaite renouveler son parc informatique. Le renouvèlement du parc informatique est échelonné sur 12 trimestres, pour un coût total de AC. Le service comptable propose le financement suivant : pour le 1 er trimestre, verser un montant de AC ; chaque trimestre, le montant versé augmente de 5 % par rapport à celui du trimestre précédent. On note u n le montant, exprimé en euro, versé le n-ième trimestre. On a donc u 1 =

10 1. Vérifier que u 2 = et calculer u Montrer que la suite (u n ) est une suite géométrique dont on donnera la raison. 3. Calculer le montant versé au dernier trimestre, arrondi à l euro. 4. On rappelle que, pour une suite géométrique (U n ) de raison q différente de 1 et de premier terme U 1 on a la formule : U 1 + U U n = U 1 1 qn 1 q. Le financement prévu permet-il de renouveler le parc informatique? Justifier. Exercice V Des étudiants en informatique étudient la propagation de virus sur le disque d un ordinateur non connecté à un réseau. Partie A : un premier virus À chaque allumage de l ordinateur, le virus se répand et le nombre de fichiers infectés est déterminé par le terme général de la suite (U n ) définie par son premier terme U 1 = 1 et, pour tout entier naturel n non nul : U n+1 = 1 + 2U n où n est le nombre d allumages de l ordinateur. 1. Calculer U 2,U 3 et U 4. Justifier que la suite (U n ) n est ni arithmétique ni géométrique. 2. On considère la suite (V n ) définie pour tout entier naturel n 1 par : V n = U n + 1. Calculer V 1,V 2,V 3 et V 4. Quelle conjecture sur la nature de la suite (V n ) peut-on formuler? 3. (a) Démontrer que, pour tout entier naturel n 1 : V n+1 = 2V n. (b) En déduire une expression de V n en fonction de n. 4. (a) En déduire que, pour tout entier naturel n, n 1 : U n = 2 n 1. (b) À partir de combien d allumages de l ordinateur, le nombre de fichiers infectés sera-t-il supérieur à 1 000? Partie B : un deuxième virus L équipe d étudiants implante maintenant un virus sur un autre ordinateur. Le nombre de fichiers infectés en fonction du nombre n d allumages de l ordinateur est 3 n 1. Par ailleurs, chaque fois que le nombre de fichiers infectés est un multiple de 11, un message d avertissement s affiche à l écran. Le reste de la division euclidienne de 3 n 1 par 11 est noté W n. 1. Compléter le tableau suivant (ne pas oublier de rendre le sujet avec la copie) : n 3 n 1 W n Question bonus : démontrer que si n est un multiple de 5, alors 3 n 1 0(modulo11). Quelle information peut-on en déduire sur l apparition du message d avertissement?

11 SIO 1 2 heures 1 avril 2015 Corrigé du contrôle de mathématiques 4 (BTS blanc) = ( ) 2 (10011) b = = (81) 16 (AB) h = ( ) 2 (C0A) h = 3082 ( ) b = (E3) ( ) b + (11111) b = ( ) b P Q P P Q P Q Q Q P ( P Q) (P Q) ( Q P ) I 1 1 s On considère les matrices R =, X = et T =. 0,8 1,2 c s s + c R X = = 0,8 1,2 c 0,8s + 1,2c 2. Calculer les produits matriciels P R et R P (montrer le calcul d un des coefficients), 3 2,5 avec P =. 2 2,5 P R = R P = 3 2,5 1 1 = 2 2,5 0,8 1, ,8 1,2 On en déduit que P est l inverse de R. 3 2,5 = 2 2,5 1 0 = I = I L égalité RX = T est équivalente à P RX = P T puis à I 2 X = P T et enfin à X = P T. 4. (a) Le nombre s de stylos et le nombre c de porte-clés distribués sont solution du système : s + c = 550 0,8s + 1,2c = 540 (b) Ce système s écrit à l aide des matrices : RX = T Il équivaut à X = P T

12 soit s = c 3 2,5 2 2,5 s 300 = c V L entreprise distribue 300 stylos et 250 porte-clés. On note u n le montant, exprimé en euro, versé le n-ième trimestre. On a donc u 1 = Augmenter de 5% revient à multiplier par = 1, u 2 = ,05 = u 3 = ,05 2 = La suite (u n ) est une suite géométrique de raison 1,05 car pour passer d un terme au suivant, on multiplie par 1, Le montant versé au dernier trimestre, arrondi à l euro, est u 12 = , La somme des versements effectués sur les 12 trimestres est u 1 + u u 12 = u 1 1 qn 1 q = , , Le financement est légèrement supérieur aux euros. Exercice V Partie A : un premier virus À chaque allumage de l ordinateur, le virus se répand et le nombre de fichiers infectés est déterminé par le terme général de la suite (U n ) définie par son premier terme U 1 = 1 et, pour tout entier naturel n non nul : U n+1 = 1 + 2U n où n est le nombre d allumages de l ordinateur. 1. U 2 = 1 + 2U 1 = = 3 U 3 = 1 + 2U 2 = = 7 U 4 = 1 + 2U 3 = = 15 La suite (U n ) n est pas arithmétique car pour passer de U 1 à U 2, on ajoute 2, mais pour passer de U 2 à U 3, on ajoute 4. Elle n est pas géométrique car pour passer de U 1 à U 2, on multiplie par 3, mais pour passer de U 2 à U 3, on multiplie par 7 3.

13 2. On considère la suite (V n ) définie pour tout entier naturel n 1 par : V n = U n + 1. V 1 = U = = 2 V 2 = U = = 4 V 3 = U = = 8 V 4 = U = = 16 On peut conjecturer que la suite (V n ) est géométrique de raison (a) Démontrons que, pour tout entier naturel n 1 : V n+1 = 2V n. V n+1 = U n = 1 + 2U n + 1 = 1 + 2(V n 1) + 1 = 1 + 2V n V n+1 = 2V n Ceci prouve que la suite (V n ) est géométrique de raison 2. (b) On en déduit que V n = V 1 2 n 1 = 2 2 n 1 V n = 2 n 4. (a) Comme U n = V n 1, pour tout entier naturel n 1 : U n = 2 n 1 (b) On résout U n On sait que 2 10 = U 9 = 511 et U 10 = Le nombre de fichiers infectés sera supérieur à à partir de 10 allumages. Partie B : un deuxième virus L équipe d étudiants implante maintenant un virus sur un autre ordinateur. Le nombre de fichiers infectés en fonction du nombre n d allumages de l ordinateur est 3 n 1. Par ailleurs, chaque fois que le nombre de fichiers infectés est un multiple de 11, un message d avertissement s affiche à l écran. Le reste de la division euclidienne de 3 n 1 par 11 est noté W n. n 3 n 1 W n Question bonus. On vient de voir que c est-à-dire que (modulo11) (modulo11) Ainsi, pour tout entier naturel k 1 : 3 5 k 1 k (modulo11) 3 5k 1 0 (modulo11) Donc, si n est un multiple de 5 (n = 5k), alors 3 n 1 0 (modulo11). On en déduire que le message d avertissement apparaît tous les 5 allumages.