Corrigé des exercices sur les vecteurs. Septembre 2010

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1 Septembre 2010

2 Exercice 1 Soient un triangle ABC et les points I et J tels que AI = 1 AB et AJ = 3 AC 3 1 Exprimer le vecteur BJ en fonction des vecteurs BA et AC. 2 Exprimer le vecteur IC en fonction des vecteurs BA et AC. 3 Démontrer que les droites (IC) et (BJ) sont parallèles.

3 Exercice 1 Soient un triangle ABC et les points I et J tels que AI = 1 AB et AJ = 3 AC 3 1 Exprimer le vecteur BJ en fonction des vecteurs BA et AC. 2 Exprimer le vecteur IC en fonction des vecteurs BA et AC. 3 Démontrer que les droites (IC) et (BJ) sont parallèles. On a BJ =

4 Exercice 1 Soient un triangle ABC et les points I et J tels que AI = 1 AB et AJ = 3 AC 3 1 Exprimer le vecteur BJ en fonction des vecteurs BA et AC. 2 Exprimer le vecteur IC en fonction des vecteurs BA et AC. 3 Démontrer que les droites (IC) et (BJ) sont parallèles. On a BJ = BA + AJ

5 Exercice 1 Soient un triangle ABC et les points I et J tels que AI = 1 AB et AJ = 3 AC 3 1 Exprimer le vecteur BJ en fonction des vecteurs BA et AC. 2 Exprimer le vecteur IC en fonction des vecteurs BA et AC. 3 Démontrer que les droites (IC) et (BJ) sont parallèles. On a BJ = BA + AJ BJ = BA

6 Exercice 1 Soient un triangle ABC et les points I et J tels que AI = 1 AB et AJ = 3 AC 3 1 Exprimer le vecteur BJ en fonction des vecteurs BA et AC. 2 Exprimer le vecteur IC en fonction des vecteurs BA et AC. 3 Démontrer que les droites (IC) et (BJ) sont parallèles. On a BJ = BA + AJ BJ = BA + 3 AC

7 Exercice 1 Soient un triangle ABC et les points I et J tels que AI = 1 AB et AJ = 3 AC 3 1 Exprimer le vecteur BJ en fonction des vecteurs BA et AC. 2 Exprimer le vecteur IC en fonction des vecteurs BA et AC. 3 Démontrer que les droites (IC) et (BJ) sont parallèles. On a et BJ = BA + AJ BJ = BA + 3 AC IC =

8 Exercice 1 Soient un triangle ABC et les points I et J tels que AI = 1 AB et AJ = 3 AC 3 1 Exprimer le vecteur BJ en fonction des vecteurs BA et AC. 2 Exprimer le vecteur IC en fonction des vecteurs BA et AC. 3 Démontrer que les droites (IC) et (BJ) sont parallèles. On a et BJ = BA + AJ BJ = BA + 3 AC IC = IA + AC

9 Exercice 1 Soient un triangle ABC et les points I et J tels que AI = 1 AB et AJ = 3 AC 3 1 Exprimer le vecteur BJ en fonction des vecteurs BA et AC. 2 Exprimer le vecteur IC en fonction des vecteurs BA et AC. 3 Démontrer que les droites (IC) et (BJ) sont parallèles. On a et BJ = BA + AJ BJ = BA + 3 AC IC = IA + AC IC =

10 Exercice 1 Soient un triangle ABC et les points I et J tels que AI = 1 AB et AJ = 3 AC 3 1 Exprimer le vecteur BJ en fonction des vecteurs BA et AC. 2 Exprimer le vecteur IC en fonction des vecteurs BA et AC. 3 Démontrer que les droites (IC) et (BJ) sont parallèles. On a et BJ = BA + AJ BJ = BA + 3 AC IC = IA + AC IC = 1 3 BA

11 Exercice 1 Soient un triangle ABC et les points I et J tels que AI = 1 AB et AJ = 3 AC 3 1 Exprimer le vecteur BJ en fonction des vecteurs BA et AC. 2 Exprimer le vecteur IC en fonction des vecteurs BA et AC. 3 Démontrer que les droites (IC) et (BJ) sont parallèles. On a et BJ = BA + AJ BJ = BA + 3 AC IC = IA + AC IC = 1 3 BA + AC

12 Exercice 1 Soient un triangle ABC et les points I et J tels que AI = 1 AB et AJ = 3 AC 3 1 Exprimer le vecteur BJ en fonction des vecteurs BA et AC. 2 Exprimer le vecteur IC en fonction des vecteurs BA et AC. 3 Démontrer que les droites (IC) et (BJ) sont parallèles. On a et BJ = BA + AJ BJ = BA + 3 AC IC = IA + AC IC = 1 3 BA + AC On remarque que 3 IC =

13 Exercice 1 Soient un triangle ABC et les points I et J tels que AI = 1 AB et AJ = 3 AC 3 1 Exprimer le vecteur BJ en fonction des vecteurs BA et AC. 2 Exprimer le vecteur IC en fonction des vecteurs BA et AC. 3 Démontrer que les droites (IC) et (BJ) sont parallèles. On a et BJ = BA + AJ BJ = BA + 3 AC IC = IA + AC IC = 1 3 BA + AC On remarque que 3 IC = BA

14 Exercice 1 Soient un triangle ABC et les points I et J tels que AI = 1 AB et AJ = 3 AC 3 1 Exprimer le vecteur BJ en fonction des vecteurs BA et AC. 2 Exprimer le vecteur IC en fonction des vecteurs BA et AC. 3 Démontrer que les droites (IC) et (BJ) sont parallèles. On a et BJ = BA + AJ BJ = BA + 3 AC IC = IA + AC IC = 1 3 BA + AC On remarque que 3 IC = BA + 3 AC

15 Exercice 1 Soient un triangle ABC et les points I et J tels que AI = 1 AB et AJ = 3 AC 3 1 Exprimer le vecteur BJ en fonction des vecteurs BA et AC. 2 Exprimer le vecteur IC en fonction des vecteurs BA et AC. 3 Démontrer que les droites (IC) et (BJ) sont parallèles. On a et BJ = BA + AJ BJ = BA + 3 AC IC = IA + AC IC = 1 3 BA + AC On remarque que 3 IC = BA + 3 AC 3 IC = BJ

16 Exercice 1 Soient un triangle ABC et les points I et J tels que AI = 1 AB et AJ = 3 AC 3 1 Exprimer le vecteur BJ en fonction des vecteurs BA et AC. 2 Exprimer le vecteur IC en fonction des vecteurs BA et AC. 3 Démontrer que les droites (IC) et (BJ) sont parallèles. On a et BJ = BA + AJ BJ = BA + 3 AC IC = IA + AC IC = 1 3 BA + AC On remarque que 3 IC = BA + 3 AC 3 IC = BJ Conclusion les vecteurs IC et BJ étant colinéaires, les droites (IC) et (BJ) sont parallèles.

17 Exercice 2 Soit ABC un triangle. 1 Construire les points D et E tels que EB = BA et ED = 2 BC. 2 Démontrer que le point C est le milieu du segment [AD].

18 Exercice 2 Soit ABC un triangle. 1 Construire les points D et E tels que EB = BA et ED = 2 BC. 2 Démontrer que le point C est le milieu du segment [AD]. B A C

19 E Exercice 2 Soit ABC un triangle. 1 Construire les points D et E tels que EB = BA et ED = 2 BC. 2 Démontrer que le point C est le milieu du segment [AD]. B A C

20 E Exercice 2 Soit ABC un triangle. 1 Construire les points D et E tels que EB = BA et ED = 2 BC. 2 Démontrer que le point C est le milieu du segment [AD]. B A C D

21 E Exercice 2 Soit ABC un triangle. 1 Construire les points D et E tels que EB = BA et ED = 2 BC. 2 Démontrer que le point C est le milieu du segment [AD]. B A C D finalement, le point C est le milieu de [AD].

22 E Exercice 2 Soit ABC un triangle. 1 Construire les points D et E tels que EB = BA et ED = 2 BC. 2 Démontrer que le point C est le milieu du segment [AD]. B A C D AD = 2 AC finalement, le point C est le milieu de [AD].

23 Exercice 2 Soit ABC un triangle. 1 Construire les points D et E tels que EB = BA et ED = 2 BC. 2 Démontrer que le point C est le milieu du segment [AD]. B E On a AD = AB + BE + ED A C D AD = 2 AC finalement, le point C est le milieu de [AD].

24 Exercice 2 Soit ABC un triangle. 1 Construire les points D et E tels que EB = BA et ED = 2 BC. 2 Démontrer que le point C est le milieu du segment [AD]. B E On a AD = AB + BE + ED AD = AB + AB + 2 BC A C D AD = 2 AC finalement, le point C est le milieu de [AD].

25 Exercice 2 Soit ABC un triangle. 1 Construire les points D et E tels que EB = BA et ED = 2 BC. 2 Démontrer que le point C est le milieu du segment [AD]. A B C D E On a AD = AB + BE + ED AD = AB + AB + 2 BC AD = 2 ( AB + BC) AD = 2 AC finalement, le point C est le milieu de [AD].

26 Exercice 2 Soit ABC un triangle. 1 Construire les points D et E tels que EB = BA et ED = 2 BC. 2 Démontrer que le point C est le milieu du segment [AD]. A B C D E On a AD = AB + BE + ED AD = AB + AB + 2 BC AD = 2 ( AB + BC) AD = 2 AC finalement, le point C est le milieu de [AD].

27 Exercice 3 Soient A,B,C et D quatre points tels que 3 AD = AB + 2 AC. Montrer que les points B, C et D sont alignés.

28 Exercice 3 Soient A,B,C et D quatre points tels que 3 AD = AB + 2 AC. Montrer que les points B, C et D sont alignés., les points B, C et D sont alignés.

29 Exercice 3 Soient A,B,C et D quatre points tels que 3 AD = AB + 2 AC. Montrer que les points B, C et D sont alignés. finalement BC = BD, les points B, C et D sont alignés.

30 Exercice 3 Soient A,B,C et D quatre points tels que 3 AD = AB + 2 AC. Montrer que les points B, C et D sont alignés. finalement ou BC = BD CB = CD, les points B, C et D sont alignés.

31 Exercice 3 Soient A,B,C et D quatre points tels que 3 AD = AB + 2 AC. Montrer que les points B, C et D sont alignés. finalement ou ou encore BC = BD CB = CD DB = DC, les points B, C et D sont alignés.

32 Exercice 3 Soient A,B,C et D quatre points tels que 3 AD = AB + 2 AC. Montrer que les points B, C et D sont alignés. finalement BC = BD ou CB = CD ou encore DB = DC on en déduit que les vecteurs et sont colinéaires, les points B, C et D sont alignés.

33 Exercice 3 Soient A,B,C et D quatre points tels que 3 AD = AB + 2 AC. Montrer que les points B, C et D sont alignés. finalement ou ou encore BC = BD CB = CD DB = DC on en déduit que les vecteurs et sont colinéaires les droites et sont parallèles, les points B, C et D sont alignés.

34 Exercice 3 Soient A,B,C et D quatre points tels que 3 AD = AB + 2 AC. Montrer que les points B, C et D sont alignés. finalement ou ou encore BC = BD CB = CD DB = DC on en déduit que les vecteurs et sont colinéaires les droites et sont parallèles or elles passent toutes les deux par le point, les points B, C et D sont alignés.

35 Exercice 3 Soient A,B,C et D quatre points tels que 3 AD = AB + 2 AC. Montrer que les points B, C et D sont alignés. On sait que 3 AD = AB + 2 AC on en déduit que les vecteurs et sont colinéaires les droites et sont parallèles or elles passent toutes les deux par le point, les points B, C et D sont alignés.

36 Exercice 3 Soient A,B,C et D quatre points tels que 3 AD = AB + 2 AC. Montrer que les points B, C et D sont alignés. On sait que 3 AD = AB + 2 AC 3 AD = AD + DB + 2 ( AD + DC) on en déduit que les vecteurs et sont colinéaires les droites et sont parallèles or elles passent toutes les deux par le point, les points B, C et D sont alignés.

37 Exercice 3 Soient A,B,C et D quatre points tels que 3 AD = AB + 2 AC. Montrer que les points B, C et D sont alignés. On sait que 3 AD = AB + 2 AC 3 AD = AD + DB + 2 ( AD + DC) 3 AD = 3 AD + DB + 2 DC on en déduit que les vecteurs et sont colinéaires les droites et sont parallèles or elles passent toutes les deux par le point, les points B, C et D sont alignés.

38 Exercice 3 Soient A,B,C et D quatre points tels que 3 AD = AB + 2 AC. Montrer que les points B, C et D sont alignés. On sait que 3 AD = AB + 2 AC 3 AD = AD + DB + 2 ( AD + DC) 3 AD = 3 AD + DB + 2 DC finalement 2 DC = DB on en déduit que les vecteurs et sont colinéaires les droites et sont parallèles or elles passent toutes les deux par le point, les points B, C et D sont alignés.

39 Exercice 3 Soient A,B,C et D quatre points tels que 3 AD = AB + 2 AC. Montrer que les points B, C et D sont alignés. On sait que 3 AD = AB + 2 AC 3 AD = AD + DB + 2 ( AD + DC) 3 AD = 3 AD + DB + 2 DC finalement 2 DC = DB on en déduit que les vecteurs DB et DC sont colinéaires les droites (DB) et (DC) sont parallèles or elles passent toutes les deux par le point D, les points B, C et D sont alignés.

40 Exercice 4 Soient A, B et C trois points non alignés. 1 Construire les points D et E tels que : 1 AD = 5 AC + 1 CB CE = 2 AC + 1 AB 2 2 Démontrer que les droites (DE) et (CA) sont parallèles.

41 Exercice 4 Soient A, B et C trois points non alignés. 1 Construire les points D et E tels que : 1 AD = 5 AC + 1 CB CE = 2 AC + 1 AB 2 2 Démontrer que les droites (DE) et (CA) sont parallèles. C A B

42 Exercice 4 Soient A, B et C trois points non alignés. 1 Construire les points D et E tels que : 1 AD = 5 AC + 1 CB CE = 2 AC + 1 AB 2 2 Démontrer que les droites (DE) et (CA) sont parallèles. C A B

43 Exercice 4 Soient A, B et C trois points non alignés. 1 Construire les points D et E tels que : 1 AD = 5 AC + 1 CB CE = 2 AC + 1 AB 2 2 Démontrer que les droites (DE) et (CA) sont parallèles. D C A B

44 Exercice 4 Soient A, B et C trois points non alignés. 1 Construire les points D et E tels que : 1 AD = 5 AC + 1 CB CE = 2 AC + 1 AB 2 2 Démontrer que les droites (DE) et (CA) sont parallèles. D C A B

45 Exercice 4 Soient A, B et C trois points non alignés. 1 Construire les points D et E tels que : 1 AD = 5 AC + 1 CB CE = 2 AC + 1 AB 2 2 Démontrer que les droites (DE) et (CA) sont parallèles. D C A E B

46 Exercice 4 Soient A, B et C trois points non alignés. 1 Construire les points D et E tels que : 1 AD = 5 AC + 1 CB CE = 2 AC + 1 AB 2 2 Démontrer que les droites (DE) et (CA) sont parallèles. D C A E B

47 Exercice 4 Soient A, B et C trois points non alignés. 1 Construire les points D et E tels que : 1 AD = 5 AC + 1 CB CE = 2 AC + 1 AB 2 2 Démontrer que les droites (DE) et (CA) sont parallèles., les droites (DE) et (CA) sont parallèles.

48 Exercice 4 Soient A, B et C trois points non alignés. 1 Construire les points D et E tels que : 1 AD = 5 AC + 1 CB CE = 2 AC + 1 AB 2 2 Démontrer que les droites (DE) et (CA) sont parallèles. finalement DE = CA, les droites (DE) et (CA) sont parallèles.

49 Exercice 4 Soient A, B et C trois points non alignés. 1 Construire les points D et E tels que : 1 AD = 5 AC + 1 CB CE = 2 AC + 1 AB 2 2 Démontrer que les droites (DE) et (CA) sont parallèles. finalement DE = CA on en déduit que les vecteurs DE et CA sont colinéaires, les droites (DE) et (CA) sont parallèles.

50 Exercice 4 Soient A, B et C trois points non alignés. 1 Construire les points D et E tels que : 1 AD = 5 AC + 1 CB CE = 2 AC + 1 AB 2 2 Démontrer que les droites (DE) et (CA) sont parallèles. finalement DE = CA on en déduit que les vecteurs DE et CA sont colinéaires les droites (DE) et (CA) sont parallèles, les droites (DE) et (CA) sont parallèles.

51 Exercice 4 On sait que : AD = 5 AC + 1 CB 2 2 CE = 2 AC AB

52 Exercice 4 On sait que : AD = 5 AC + 1 CB 2 2 CE = 2 AC AB On a : DE = DA + AC + CE

53 Exercice 4 On sait que : AD = 5 AC + 1 CB 2 2 CE = 2 AC AB On a : DE = DA + AC + CE DE = 5 AC 1 CB + AC 2 AC + 1 AB 2 2 2

54 Exercice 4 On sait que : AD = 5 AC + 1 CB 2 2 CE = 2 AC AB On a : DE = DA + AC + CE DE = 5 AC 1 CB + AC 2 AC + 1 AB 2 2 2

55 Exercice 4 On sait que : AD = 5 AC + 1 CB 2 2 CE = 2 AC AB On a : DE = DA + AC + CE DE = 5 AC 1 CB + AC 2 AC + 1 AB DE = 7 AC + 1 BC + 1 AB 2 2 2

56 Exercice 4 On sait que : AD = 5 AC + 1 CB 2 2 CE = 2 AC AB On a : DE = DA + AC + CE DE = 5 AC 1 CB + AC 2 AC + 1 AB DE = 7 AC + 1 BC + 1 AB 2 2 2

57 Exercice 4 On sait que : AD = 5 AC + 1 CB 2 2 CE = 2 AC AB On a : DE = DA + AC + CE DE = 5 AC 1 CB + AC 2 AC + 1 AB DE = 7 AC + 1 BC + 1 AB DE = 7 AC ( AB + BC)

58 Exercice 4 On sait que : AD = 5 AC + 1 CB 2 2 CE = 2 AC AB On a : DE = DA + AC + CE DE = 5 AC 1 CB + AC 2 AC + 1 AB DE = 7 AC + 1 BC + 1 AB DE = 7 AC ( AB + BC) DE = 7 AC + 1 AC 2 2

59 Exercice 4 On sait que : AD = 5 AC + 1 CB 2 2 CE = 2 AC AB On a : DE = DA + AC + CE DE = 5 AC 1 CB + AC 2 AC + 1 AB DE = 7 AC + 1 BC + 1 AB DE = 7 AC ( AB + BC) DE = 7 AC + 1 AC 2 2 DE = 3 CA

60 Exercice 5 Soient A et B deux points distincts et I le milieu du segment [AB]. Soit M un point quelconque. 1 Montrer que MA + MB = 2 MI. 2 Soit N le symétrique de M par rapport à I. Montrer que MA + MB = MN.

61 Exercice 5 Soient A et B deux points distincts et I le milieu du segment [AB]. Soit M un point quelconque. 1 Montrer que MA + MB = 2 MI. 2 Soit N le symétrique de M par rapport à I. Montrer que MA + MB = MN. B / I / A

62 M Exercice 5 Soient A et B deux points distincts et I le milieu du segment [AB]. Soit M un point quelconque. 1 Montrer que MA + MB = 2 MI. 2 Soit N le symétrique de M par rapport à I. Montrer que MA + MB = MN. B / I / A

63 M Exercice 5 Soient A et B deux points distincts et I le milieu du segment [AB]. Soit M un point quelconque. 1 Montrer que MA + MB = 2 MI. 2 Soit N le symétrique de M par rapport à I. Montrer que MA + MB = MN. B / I / A

64 M Exercice 5 Soient A et B deux points distincts et I le milieu du segment [AB]. Soit M un point quelconque. 1 Montrer que MA + MB = 2 MI. 2 Soit N le symétrique de M par rapport à I. Montrer que MA + MB = MN. B / I / A

65 M Exercice 5 Soient A et B deux points distincts et I le milieu du segment [AB]. Soit M un point quelconque. 1 Montrer que MA + MB = 2 MI. 2 Soit N le symétrique de M par rapport à I. Montrer que MA + MB = MN. B On a MA + MB = ( MI + IA) + ( MI + IB) / I / A

66 M Exercice 5 Soient A et B deux points distincts et I le milieu du segment [AB]. Soit M un point quelconque. 1 Montrer que MA + MB = 2 MI. 2 Soit N le symétrique de M par rapport à I. Montrer que MA + MB = MN. I / B On a or car MA + MB = ( MI + IA) + ( MI + IB) IA + IB = #» 0 I est le milieu de[ab] / A

67 M Exercice 5 Soient A et B deux points distincts et I le milieu du segment [AB]. Soit M un point quelconque. 1 Montrer que MA + MB = 2 MI. 2 Soit N le symétrique de M par rapport à I. Montrer que MA + MB = MN. / I / B On a or car MA + MB = ( MI + IA) + ( MI + IB) IA + IB = #» 0 I est le milieu de[ab] MA + MB = 2 MI A

68 M Exercice 5 Soient A et B deux points distincts et I le milieu du segment [AB]. Soit M un point quelconque. 1 Montrer que MA + MB = 2 MI. 2 Soit N le symétrique de M par rapport à I. Montrer que MA + MB = MN. B I / N est le symétrique de M par rapport à I / A N

69 M Exercice 5 Soient A et B deux points distincts et I le milieu du segment [AB]. Soit M un point quelconque. 1 Montrer que MA + MB = 2 MI. 2 Soit N le symétrique de M par rapport à I. Montrer que MA + MB = MN. B I / N est le symétrique de M par rapport à I I est le milieu de [MN] / A N

70 M Exercice 5 Soient A et B deux points distincts et I le milieu du segment [AB]. Soit M un point quelconque. 1 Montrer que MA + MB = 2 MI. 2 Soit N le symétrique de M par rapport à I. Montrer que MA + MB = MN. B / I / N est le symétrique de M par rapport à I I est le milieu de [MN] MN = 2 MI A N

71 Exercice 6 Soit ABCD un parallèlogramme. 1 Construire les points E et F tels que BE = 1 AB et AF = 3 AD. 2 2 Montrer que les points E, C et F sont alignés.

72 Exercice 6 Soit ABCD un parallèlogramme. 1 Construire les points E et F tels que BE = 1 AB et AF = 3 AD. 2 2 Montrer que les points E, C et F sont alignés. A B D C

73 Exercice 6 Soit ABCD un parallèlogramme. 1 Construire les points E et F tels que BE = 1 AB et AF = 3 AD. 2 2 Montrer que les points E, C et F sont alignés. A B E D C

74 Exercice 6 Soit ABCD un parallèlogramme. 1 Construire les points E et F tels que BE = 1 AB et AF = 3 AD. 2 2 Montrer que les points E, C et F sont alignés. A B E D C F

75 Exercice 6 Soit ABCD un parallèlogramme. 1 Construire les points E et F tels que BE = 1 AB et AF = 3 AD. 2 2 Montrer que les points E, C et F sont alignés. A B E D C F finalement, les points E, F et C sont alignés.

76 Exercice 6 Soit ABCD un parallèlogramme. 1 Construire les points E et F tels que BE = 1 AB et AF = 3 AD. 2 2 Montrer que les points E, C et F sont alignés. A B E D C EF = EC F finalement, les points E, F et C sont alignés.

77 Exercice 6 Soit ABCD un parallèlogramme. 1 Construire les points E et F tels que BE = 1 AB et AF = 3 AD. 2 2 Montrer que les points E, C et F sont alignés. A B E On a EF = EA + AF D C F

78 Exercice 6 Soit ABCD un parallèlogramme. 1 Construire les points E et F tels que BE = 1 AB et AF = 3 AD. 2 2 Montrer que les points E, C et F sont alignés. A B E On a EF = EA + AF or d après l énoncé 2 BE = AB D C F

79 Exercice 6 Soit ABCD un parallèlogramme. 1 Construire les points E et F tels que BE = 1 AB et AF = 3 AD. 2 2 Montrer que les points E, C et F sont alignés. D A C B E On a EF = EA + AF or d après l énoncé 2 BE = AB 2 BE = AE + EB F

80 Exercice 6 Soit ABCD un parallèlogramme. 1 Construire les points E et F tels que BE = 1 AB et AF = 3 AD. 2 2 Montrer que les points E, C et F sont alignés. D A C B E On a EF = EA + AF or d après l énoncé 2 BE = AB 2 BE = AE + EB d où 3 BE = AE F

81 Exercice 6 Soit ABCD un parallèlogramme. 1 Construire les points E et F tels que BE = 1 AB et AF = 3 AD. 2 2 Montrer que les points E, C et F sont alignés. D A C B E On a EF = EA + AF or d après l énoncé 2 BE = AB 2 BE = AE + EB d où 3 BE = AE en remplaçant EF = F

82 Exercice 6 Soit ABCD un parallèlogramme. 1 Construire les points E et F tels que BE = 1 AB et AF = 3 AD. 2 2 Montrer que les points E, C et F sont alignés. D A C B E On a EF = EA + AF or d après l énoncé 2 BE = AB 2 BE = AE + EB d où 3 BE = AE en remplaçant EF = 3 EB F

83 Exercice 6 Soit ABCD un parallèlogramme. 1 Construire les points E et F tels que BE = 1 AB et AF = 3 AD. 2 2 Montrer que les points E, C et F sont alignés. D A C B E On a EF = EA + AF or d après l énoncé 2 BE = AB 2 BE = AE + EB d où 3 BE = AE en remplaçant EF = 3 EB + 3 AD F

84 Exercice 6 Soit ABCD un parallèlogramme. 1 Construire les points E et F tels que BE = 1 AB et AF = 3 AD. 2 2 Montrer que les points E, C et F sont alignés. F D A C B E On a EF = EA + AF or d après l énoncé 2 BE = AB 2 BE = AE + EB d où 3 BE = AE en remplaçant EF = 3 EB + 3 AD or d après l énoncé AD = BC

85 Exercice 6 Soit ABCD un parallèlogramme. 1 Construire les points E et F tels que BE = 1 AB et AF = 3 AD. 2 2 Montrer que les points E, C et F sont alignés. F D A C B E On a EF = EA + AF or d après l énoncé 2 BE = AB 2 BE = AE + EB d où 3 BE = AE en remplaçant EF = 3 EB + 3 AD or d après l énoncé AD = BC EF = 3 EB + 3 BC

86 Exercice 6 Soit ABCD un parallèlogramme. 1 Construire les points E et F tels que BE = 1 AB et AF = 3 AD. 2 2 Montrer que les points E, C et F sont alignés. F D A C B E On a EF = EA + AF or d après l énoncé 2 BE = AB 2 BE = AE + EB d où 3 BE = AE en remplaçant EF = 3 EB + 3 AD or d après l énoncé AD = BC EF = 3 EB + 3 BC EF = 3 EC

87 Exercice 6 Soit ABCD un parallèlogramme. 1 Construire les points E et F tels que BE = 1 AB et AF = 3 AD. 2 2 Montrer que les points E, C et F sont alignés. on en déduit que les vecteurs EF et EC sont colinéaires

88 Exercice 6 Soit ABCD un parallèlogramme. 1 Construire les points E et F tels que BE = 1 AB et AF = 3 AD. 2 2 Montrer que les points E, C et F sont alignés. on en déduit que les vecteurs EF et EC sont colinéaires les droites (EF) et (EC) sont parallèles

89 Exercice 6 Soit ABCD un parallèlogramme. 1 Construire les points E et F tels que BE = 1 AB et AF = 3 AD. 2 2 Montrer que les points E, C et F sont alignés. on en déduit que les vecteurs EF et EC sont colinéaires les droites (EF) et (EC) sont parallèles or elles passent toutes les deux par le point E

90 Exercice 6 Soit ABCD un parallèlogramme. 1 Construire les points E et F tels que BE = 1 AB et AF = 3 AD. 2 2 Montrer que les points E, C et F sont alignés. on en déduit que les vecteurs EF et EC sont colinéaires les droites (EF) et (EC) sont parallèles or elles passent toutes les deux par le point E, les points E, F et C sont alignés.

91 Exercice 7 Soit un triangle ABC et P le milieu du segment [AB]. 1 Construire Q et R tels que BQ = 1 BC et CR = 4 CA Montrer que les points P, Q et R sont alignés.

92 Exercice 7 Soit un triangle ABC et P le milieu du segment [AB]. 1 Construire Q et R tels que BQ = 1 BC et CR = 4 CA Montrer que les points P, Q et R sont alignés. A P C B

93 Exercice 7 Soit un triangle ABC et P le milieu du segment [AB]. 1 Construire Q et R tels que BQ = 1 BC et CR = 4 CA Montrer que les points P, Q et R sont alignés. A P C Q B

94 Exercice 7 Soit un triangle ABC et P le milieu du segment [AB]. 1 Construire Q et R tels que BQ = 1 BC et CR = 4 CA Montrer que les points P, Q et R sont alignés. A R P C Q B

95 Exercice 7 Soit un triangle ABC et P le milieu du segment [AB]. 1 Construire Q et R tels que BQ = 1 BC et CR = 4 CA Montrer que les points P, Q et R sont alignés. A R P C Q B

96 Exercice 7 Soit un triangle ABC et P le milieu du segment [AB]. 1 Construire Q et R tels que BQ = 1 BC et CR = 4 CA Montrer que les points P, Q et R sont alignés. A R P C d une part RP = RA + AP Q B

97 Exercice 7 Soit un triangle ABC et P le milieu du segment [AB]. 1 Construire Q et R tels que BQ = 1 BC et CR = 4 CA Montrer que les points P, Q et R sont alignés. A R P C d une part RP = RA + AP Q B RP = 1 CA 5

98 Exercice 7 Soit un triangle ABC et P le milieu du segment [AB]. 1 Construire Q et R tels que BQ = 1 BC et CR = 4 CA Montrer que les points P, Q et R sont alignés. A R P C d une part RP = RA + AP Q B RP = 1 CA + 1 AB 5 2

99 Exercice 7 Soit un triangle ABC et P le milieu du segment [AB]. 1 Construire Q et R tels que BQ = 1 BC et CR = 4 CA Montrer que les points P, Q et R sont alignés. A R et d autre part RQ = RC + CQ P C Q B

100 Exercice 7 Soit un triangle ABC et P le milieu du segment [AB]. 1 Construire Q et R tels que BQ = 1 BC et CR = 4 CA Montrer que les points P, Q et R sont alignés. P A R C et d autre part RQ = RC + CQ RQ = 4 CA 5 Q B

101 Exercice 7 Soit un triangle ABC et P le milieu du segment [AB]. 1 Construire Q et R tels que BQ = 1 BC et CR = 4 CA Montrer que les points P, Q et R sont alignés. P A R C et d autre part RQ = RC + CQ RQ = 4 CA + 4 CB 5 3 Q B

102 Exercice 7 Soit un triangle ABC et P le milieu du segment [AB]. 1 Construire Q et R tels que BQ = 1 BC et CR = 4 CA Montrer que les points P, Q et R sont alignés. P A R C et d autre part RQ = RC + CQ RQ = 4 CA + 4 CB 5 3 RQ = 4 CA ( CA + AB) Q B

103 Exercice 7 Soit un triangle ABC et P le milieu du segment [AB]. 1 Construire Q et R tels que BQ = 1 BC et CR = 4 CA Montrer que les points P, Q et R sont alignés. P A R C et d autre part RQ = RC + CQ RQ = 4 CA + 4 CB 5 3 RQ = 4 CA ( CA + AB) Q B RQ = ( ) CA AB

104 Exercice 7 Soit un triangle ABC et P le milieu du segment [AB]. 1 Construire Q et R tels que BQ = 1 BC et CR = 4 CA Montrer que les points P, Q et R sont alignés. P A R C et d autre part RQ = RC + CQ RQ = 4 CA + 4 CB 5 3 RQ = 4 CA ( CA + AB) Q B RQ = ( ) CA AB RQ = 8 15 CA + 4 AB 3

105 Exercice 7 Soit un triangle ABC et P le milieu du segment [AB]. 1 Construire Q et R tels que BQ = 1 BC et CR = 4 CA Montrer que les points P, Q et R sont alignés. A R P C finalement, on a montré RP = 1 CA + 1 AB 5 2 Q B

106 Exercice 7 Soit un triangle ABC et P le milieu du segment [AB]. 1 Construire Q et R tels que BQ = 1 BC et CR = 4 CA Montrer que les points P, Q et R sont alignés. A R Q B P C finalement, on a montré et que RP = 1 CA + 1 AB 5 2 RQ = 8 CA + 4 AB 15 3

107 Exercice 7 Soit un triangle ABC et P le milieu du segment [AB]. 1 Construire Q et R tels que BQ = 1 BC et CR = 4 CA Montrer que les points P, Q et R sont alignés. A R Q B P C finalement, on a montré et que on peut démontrer que RP = 1 CA + 1 AB 5 2 RQ = 8 CA + 4 AB 15 3 RQ = 8 RP 3

108 Exercice 7 Soit un triangle ABC et P le milieu du segment [AB]. 1 Construire Q et R tels que BQ = 1 BC et CR = 4 CA Montrer que les points P, Q et R sont alignés. on en déduit que les vecteurs RQ et RP sont colinéaires

109 Exercice 7 Soit un triangle ABC et P le milieu du segment [AB]. 1 Construire Q et R tels que BQ = 1 BC et CR = 4 CA Montrer que les points P, Q et R sont alignés. on en déduit que les vecteurs RQ et RP sont colinéaires les droites (RQ) et (RP) sont parallèles

110 Exercice 7 Soit un triangle ABC et P le milieu du segment [AB]. 1 Construire Q et R tels que BQ = 1 BC et CR = 4 CA Montrer que les points P, Q et R sont alignés. on en déduit que les vecteurs RQ et RP sont colinéaires les droites (RQ) et (RP) sont parallèles or elles passent toutes les deux par le point R

111 Exercice 7 Soit un triangle ABC et P le milieu du segment [AB]. 1 Construire Q et R tels que BQ = 1 BC et CR = 4 CA Montrer que les points P, Q et R sont alignés. on en déduit que les vecteurs RQ et RP sont colinéaires les droites (RQ) et (RP) sont parallèles or elles passent toutes les deux par le point R, les points R, P et Q sont alignés.

112 Exercice 8 Soient A,B et C trois points distincts. 1 Construire D et E tels que CD = 3 AB et AE = 3 AB + 2 AC Montrer que D est le milieu du segment [AE].

113 Exercice 8 Soient A,B et C trois points distincts. 1 Construire D et E tels que CD = 3 AB et AE = 3 AB + 2 AC Montrer que D est le milieu du segment [AE]. C A B

114 Exercice 8 Soient A,B et C trois points distincts. 1 Construire D et E tels que CD = 3 AB et AE = 3 AB + 2 AC Montrer que D est le milieu du segment [AE]. C A D B

115 Exercice 8 Soient A,B et C trois points distincts. 1 Construire D et E tels que CD = 3 AB et AE = 3 AB + 2 AC Montrer que D est le milieu du segment [AE]. C A D B

116 Exercice 8 Soient A,B et C trois points distincts. 1 Construire D et E tels que CD = 3 AB et AE = 3 AB + 2 AC Montrer que D est le milieu du segment [AE]. C A D E B

117 Exercice 8 Soient A,B et C trois points distincts. 1 Construire D et E tels que CD = 3 AB et AE = 3 AB + 2 AC Montrer que D est le milieu du segment [AE]. C A D E B finalement, le point D est le milieu de [AE].

118 Exercice 8 Soient A,B et C trois points distincts. 1 Construire D et E tels que CD = 3 AB et AE = 3 AB + 2 AC Montrer que D est le milieu du segment [AE]. C A D E B 2 AD = AE

119 Exercice 8 Soient A,B et C trois points distincts. 1 Construire D et E tels que CD = 3 AB et AE = 3 AB + 2 AC Montrer que D est le milieu du segment [AE]. C On a AD = AC + CD A D E B

120 Exercice 8 Soient A,B et C trois points distincts. 1 Construire D et E tels que CD = 3 AB et AE = 3 AB + 2 AC Montrer que D est le milieu du segment [AE]. C On a AD = AC + CD A D E AD = AC AB B

121 Exercice 8 Soient A,B et C trois points distincts. 1 Construire D et E tels que CD = 3 AB et AE = 3 AB + 2 AC Montrer que D est le milieu du segment [AE]. C On a AD = AC + CD A D E AD = AC AD = 2 AC AB AB B

122 Exercice 8 Soient A,B et C trois points distincts. 1 Construire D et E tels que CD = 3 AB et AE = 3 AB + 2 AC Montrer que D est le milieu du segment [AE]. C On a AD = AC + CD A B D E AD = AC AD = 2 2 AD = AE AB AC + 3 AB 2

123 Exercice 8 Soient A,B et C trois points distincts. 1 Construire D et E tels que CD = 3 AB et AE = 3 AB + 2 AC Montrer que D est le milieu du segment [AE]. C On a AD = AC + CD A B D E AD = AC AD = 2 2 AD = AE AB AC + 3 AB 2 finalement, le point D est le milieu de [AE].

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