Thème : Arithmétique

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1 Thème : Arithmétique L'arithmétique dans les programmes : Primaire : Opérations sur les nombres Au collège : En classe de sixième : La division euclidienne Les notions de multiples et diviseurs Les critères de divisibilité par 2, 5, 10, 3 et 9. En classe de cinquième : Les opérations sur les nombres entiers relatifs et décimaux. En classe de troisième : Les notions de PGCD dans N, de nombres premiers entre eux Algorithme d'euclide dans N. Au lycée : En terminale S et L spécialité : La notion de divisibilité dans Z Théorèmes fondamentaux de l'arithmétique La notion des congruences dans Z Les équations diophantiennes. Présentation de l'exercice : Dans la vie courante, on rencontre plusieurs types de codage : codes barre, numéro ISSN (Inetrnational Standard Serial Number) pour identifier toutes les publications en série, comme les journaux et périodiques et le numéro ISBN (International Standard Book Number) est un numéro international normalisé qui permet d'identifier le titre d'un livre. Ce numéro de 10 chiffres est composé de 4 parties : La première correspond à la zone linguistique : 2 pour le français ; la deuxième indique l'éditeur; la troisième correspond au numéro d'ordre dans la production de l'éditeur et enfin la dernière partie (chiffre ou lettre) correspond à la clé de contrôle. L'objectif de l'exercice est de comprendre le principe de calcul d'une clé de contrôle puis de vérifier son efficacité lors d'une erreur de saisie. Cet exercice peut être destiné à toutes les classes terminales où la notion de calculs des congruences est au programme. Terminale S et L enseignement spécialité.

2 Le travail à exposer devant le jury : 1. Les connaissances et les compétences en jeu dans l'exercice : Les connaissances : Les compétences : Définition des congruences Soit n un entier naturel ( n 2 ) a et b deux entier relatifs. On dit que a et b sont congrus modulo n lorsque a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n. On note a b [ n ] Mettre en œuvre la définition d'un nouvel objet La clé est égale au reste modulo 11 de a a 9 Calculer le reste d'un nombre modulo 11 (Question 1) Propriété des congruences : compatibilité avec l'addition Soit n un entier ( n 2 ) a, a', b, b' des entiers relatifs vérifiant a b[ n] et a ' b' [n] Alors a a' b b' [n] Les règles de calculs sur les inégalités Si 0 a n et 0 b n alors n a b n. Traduire correctement un énoncé Raisonnement par contraposée Si la clé ne détecte pas l'erreur alors la différence des deux codages est un multiple de 11 La contraposée : Si la différence des deux codages n'est pas un multiple de 11 alors la clé détectera l'erreur Définition d'un nombre premier : Un nombre premier est un entier naturel supérieur ou égal à 2 qui n'admet comme diviseurs dans N que 1 et lui même. Propriété : Si un entier c est premier avec chacun des entiers a et b, alors c est premier avec leur produit ab Constituer un exemple Deux codages ne sont pas distingués par le calcul de la clé si, et seulement si, leur différence est divisible par 11. (Question 5)

3 2. Analyse de la production de l'élève Si on s'est trompé sur le premier chiffre a 1, alors l'erreur est comprise entre -9 et 9 et ce n'est pas un multiple de 11, donc l'erreur est détectée. Si on s'est trompée sur le deuxième chiffre, alors l'erreur est 2 a, où 9 a 9 et un tel nombre ne peut pas être un multiple de 11. C'est la même chose pour tous les autres nombres. Points positifs *Le raisonnement de l'élève est juste, on voit qu'il a compris comment faire pour montrer que si on se trompe sur un un chiffre alors on peut détecter l'erreur grâce à la clé. *Il connaît la définition de l'erreur. *Il maîtrise les règles sur les inégalités «l'erreur est comprise entre -9 et 9» Points négatifs *Un raisonnement non argumenté, il manque des éléments justificatifs pour expliquer ses affirmations *Pas de quantification de l'erreur pour plus de précision *Absence d'explication de l'affirmation : «l'erreur n'est pas un multiple de 11, donc l'erreur est détectée.» *L'élève fait une erreur dans son le raisonnement car il n'exclus pas le cas où l'erreur est égale à 0 «Si on s'est trompée sur le deuxième chiffre, alors l'erreur est 2 a, où 9 a 9 et un tel nombre ne peut pas être un multiple de 11» *Conclusion trop rapide et absence de généralisation du raisonnement en utilisant la notation avec des indices «c'est la même chose pour tous les autres nombres». 3. La correction des questions 3) et 4) : 3) Montrons que si on se trompe sur un seul chiffre d'un numéro ISBN, la clé détectera l'erreur On commence par faire la démonstration sur un exemple pour comprendre le raisonnement puis on généralisera ce dernier Soit N =a 1 a 6 a 9 le numéro ISBN à saisir Supposons que l'on ai fait une erreur et que l'on ait saisi N '=a 1 b 6 a 9 avec a 6 b 8 Pour calculer la clé on doit calculer les sommes : S=a a S=a b Si la clé ne permet pas de détecter l'erreur alors S et S' ont le même reste modulo 11, c'est-à-dire S-S' est un multiple de 11. Soit S S '=6 a 6 avec a 6 b 6. or, 0 a 6 9 et 0 b 6 9 donc 9 a 6 9

4 S-S' ne peut pas être un multiple de 11 car 11 est un nombre premier et donc n'est divisible par aucun des nombres entiers entre -9 et 9 (sauf 0 mais a 6 b 6 ) c'est-à-dire 11 est premier avec 6 et 11 est premier avec a 6, alors 11 est premier avec le produit 6 a 6. Cette démonstration est vraie quel que soit l'emplacement de l'erreur car il n'y a que 9 emplacements et les coefficients possibles vont de 1 à 9 et aucun n'est divisible par 11. Généralisation : 9 S= i =1 i a i et S c[11] Plaçons nous dans le cas où on se trompe sur un seul chiffre de rang j, qui n'est plus a j mais b j avec a j b j alors S S '= j b j avec 1 j 9 9 b j 9 et a j b j j et b j sont premiers avec 11, donc j b j n'est pas un multiple de 11. Conclusion : si on se trompe sur un seul chiffre d'un numéro ISBN, la clé permet de détecter qu'il y a une erreur. 4) Montrons que si on échange deux chiffres d'un numéro ISBN, la clé permet de détecter qu'il y a une erreur Supposons maintenant que l'on ait inversé deux chiffres et par exemple : N =a 1 a 6 a 9 et N '=a 1 a 6 a 9 alors : S=a a S '=a b donc S S '=2 5 =3 or, 9 a 6 9 La encore 3 n'est pas un multiple de 11, le coefficient (ici 3) ne peut prendre que des valeurs de 1 à 9 et la différence de deux termes étant compris entre -9 et 9 ne peut diviser 11. Alors S-S' n'est pas un multiple de 11.Conclusion l'erreur sera détectée par la clé. Généralisation : 9 S= i =1 i a i Soit j et k les emplacements de deux chiffres permutés avec 1 j k 9 0 a k 9, 0 a j 9 et a j a i Alors S '=S j a j k a k j a k k a j C'est-à-dire : S ' S= k j a j a k La encore, nous avons : 1 k j 9, 9 a j a k 9 et a j a k 0, alors le produit S S ' ne peut pas être un multiple de 11, pour les mêmes raisons que précédemment. Conclusion : si on échange deux chiffres d'un numéro ISBN, la clé permet de détecter qu'il y a une erreur.

5 4. Exercices sur le thème «arithmétique»: Exercice 1 (Troisième) Un collège organise un tournoi sportif par équipe pour tous ses élèves. Chaque équipe doit comporter le même nombre de filles et le même nombre de garçons. Les professeurs souhaitent constituer le plus grand nombre possible d'équipes. Il y 10 filles et 294 garçons. a. Quel est le plus grand nombre d'équipes que l'on peut constituer? b. Combien y-a-t-il alors de filles et de garçons dans chaque équipe? Résolution : a. 210 filles et 294 garçons participent au tournoi et chaque équipe doit comporter le même nombre de filles et de garçons donc le nombre d'équipes est un diviseur de 210 et 294. On cherche le plus grand nombre d'équipes que l'on peut constituer donc ce nombre est le PGCD de 210 et 294. On calcule le PGCD de 210 et 294 : On effectue la division euclidienne de 294 par 210 : 294= Donc PGCD (210 ; 294) = PGCD (210 ; 84). On effectue la division euclidienne de 210 par 84 : 210= Donc PGCD (210 ; 84) = PGCD (84 ; 42). On effectue la division euclidienne de 84 par 42 : 84= Donc PGCD (84 ; 42) = 42. Donc PGCD (210 ; 294) = 42. Le plus grand nombre d'équipes que l'on peut constituer est donc 42. b = 5 et = 7 donc il y a cinq filles et sept garçons dans chaque équipe. Outils : Division euclidienne Définition du PGCD Algorithme d'euclide Exercice 2 (Terminale S) On veut réaliser une plaque carré à découper en rectangles de dimensions 2,1cm et 3,5 cm sans aucune perte. On souhaite que le côté de cette plaque n'excède pas 0,5 m et que le nombre de rectangles soit le plus grand possible. Combien peut-on obtenir de rectangles? Résolution : De façon à travailler avec des entiers, les longueurs sont exprimées en millimètres. Il n'a y a pas de perte si, et seulement si, l'arête z est un multiple de 21 et 35. Si x et y sont des entiers tels que que z=21 x=35 y, on doit avoir : 0 z 500, et le nombre de rectangles obtenus est x y. On résout dans Z 2 l'équation 21 x=35 y Première méthode : PGCD(21;35)=7. L'équation 21 x=35 y équivaut à 3x=5y.

6 Si 3 x=5y, alors 3 divise 5y et comme 3 est premier avec 5, d'après le théorème de GAUSS, 3 divise y. Donc, il existe un entier relatif k tel que y=3k. On en déduit que : 3 x=5 3k, d'où x=5 k ; Réciproquement, si x=5 k et y=3k, avec k dans Z, alors 3x=5y Finalement, les solutions dans Z 2 de l'équation 3 x=5 y sont les couples : 5k ;3k, avec k dans Z ; Deuxième méthode : z=21 x=35 y, avec x et y entiers relatifs si, et seulement si, z est un multiple commun à 21 et 35. On 1=3 7et 35=5 7, donc : PPCM 21;35 =3 5 7=105, et les multiples communs à 21 et 35 sont les multiples de 105. On en déduit que : z=21 x=35 y, avec x et y entiers relatifs, si et seulement si, il existe un entier relatif n tel que z=105 n. Comme : 21 x=105 n x=5 n et 35 y=105 n y=3n. les solutions dans Z 2 de l'équation 21 x=35y sont les couples: 5n;3 n, avec n dans Z. On en déduit déduit la solution du problème. On a : z=21x=105k et la condition 0 z 500 se traduit par : k 500. c'est-à-dire 1 k 4, le produit x y=15k² est maximum lorsque k est maximum, c'est-à-dire lorsque k=4. On obtient donc 240 rectangles avec une plaque carré de 42 cm de côté. Outils : PGCD de deux entiers / PPCM de deux entiers Décomposition en facteurs de nombres premiers Définition de entiers premiers entre eux Théorème de GAUSS Exercice 3 (Terminale S) Une bande de 17 pirates s'est emparée d'un butin composé de pièces d'or d'égale valeur. Ils décident de se les partager également et de donner le reste au cuisinier. Celui ci recevrait alors 3 pièces. Mais les pirates se querellent et 6 d'entre eux sont tués. Le cuisinier recevrait alors 4 pièces. Dans un naufrage ultérieur, seul le butin, 6 pirates et le cuisinier sont sauvés et le partage laisserait 5 pièces d'or à ce dernier. Quel est alors la fortune minimale que peut espérer le cuisiner quand il décide d'empoisonner le reste des pirates. Résolution : Soit B le nombre de pièces d'or du butin. On a les équations suivantes: (i)17x + 3= B (ii) 11y + 4 = B (iii) 6z + 5 = B D'où : B 3 [17] B 4 [11] B 5 [6]

7 Les entiers 17,11 et 6 sont premiers entre eux deux à deux. On résout l'équation diophantienne déduite des deux premières congruences : x = x ceci revient à écrire :17x 11y = 1. D'où : 17 (x 2) = 11 (y 3). c'est à dire 11 divise 11(x 2) et 7 et 11 sont deux entiers premiers entre eux alors d'après le théorème de GAUSS 11 divise x 2.D'où il existe k un entier tel que x = 11k + 2. Alors: B = x = (2 + 11k) = k. Et on résout le système de deux congruences suivant: B = 37[187] B = 5 [6] On en déduit que u = 5 + 6v ce qu'est équivalent à 187u 6v = -32 et 187 et 6 sont deux entiers premiers entre eux,alors il existe a et b tels que : 187a 6v =1 et (-31) = 1. Soit 187 (-32) + 6 (-992) = -32. Et par différence on obtient: 187 (u + 32) + 6 (v + 992)=0. De plus d'après le théorème de GAUSS :u = -32 6k' où k' est un entier. Finalement B = (-32 6k') = k' = k'' où k'' est un entier. La fortune minimale que peut espérer le cuisinier est de 785 pièces d'or. Outils : Définition des deux entiers premiers entre eux Théorème des restes chinois Théorème de BEZOUT Théorème de GAUSS