Redressement commandé : corrigé

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1 Redressement commandé : corrigé Les redresseurs commandés sont des convertisseurs alternatif continu (AC DC) dont la valeur moyenne de la tension de sortie est réglable. I. Le thyristor 1. Présentation Le thyristor est un interrupteur unidirectionnel commandé à la fermeture (les commutations à l'ouverture sont naturelles). Son symbole est représenté ci contre. Il est relié à l'extérieur par trois bornes appelées «anode», «cathode» et «gâchette». 2. Caractéristique statique Le thyristor peut être bloqué (interrupteur ouvert) dans le sens direct (v AK positive) et dans le sens inverse (v AK négative). Il ne peut être passant (interrupteur fermé) que dans le sens direct, le courant principal (i sur le schéma ci dessous) traverse le thyristor de l'anode vers la cathode. 3. Commutations La gâchette est l'électrode de commande : pour commander un thyristor à la fermeture, il faut que la tension à ses bornes soit positive et imposer un courant d'intensité suffisante (mais très faible devant le courant principal) dans la gâchette. En pratique, le circuit de commande est relié entre la gâchette et la cathode. Pour bloquer un thyristor, il faut lui imposer une tension négative ou annuler son courant principal. 4. Retard à l'amorçage et angle de retard à l'amorçage Un thyristor ne peut être amorcé (rendu passant) que si la tension à ses bornes est positive. Dans les convertisseurs étudiés par la suite, les tensions aux bornes des thyristors sont constituées de portions de sinusoïdes et le retard à l amorçage est «la durée qui s écoule entre l instant pour lequel le thyristor deviendrait passant s il était une diode et l instant auquel le circuit déclencheur lui envoie une impulsion». Exemple : dans le schéma ci dessous, la tension aux bornes du thyristor est notée v(q) avec q = wt Redressement commandé Page 1 sur 16 TS1 ET

2 Si le thyristor était une diode, il deviendrait passant dès que la tension v(q) tendrait à devenir positive. La période étant ramenée à un angle de 2π radians ou 36, on définit l angle de retard à l amorçage qui correspond au retard à l amorçage : c'est l' angle ψ. II. Étude théorique des ponts monophasés Les convertisseurs étudiés par la suite comportent des thyristors associés à des diodes (ponts mixtes) ou uniquement des thyristors (ponts complets). Les circuits de commande (gâchette et cathode) sont reliés à des circuits déclencheurs (souvent non représentés sur les schémas) qui délivrent des impulsions de gâchette synchronisées sur le réseau. Dans cette partie, le courant côté continu est supposé parfaitement lissé et noté I c. 1. Pont mixte symétrique Le schéma comporte deux thyristors à cathodes communes (commutateur «plus positif») et deux diodes à anodes communes (commutateur «plus négatif»). a. Intervalles de conduction Indiquer sur le document réponse de la page suivante : les intervalles de conduction des diodes les instants pour lesquels T 1 et T 2 seraient susceptibles de devenir passants s'ils étaient des diodes les intervalles de conduction des thyristors pour un angle de retard à l amorçage de 3. b. Étude des tensions v i T 1 T 2 D 1 D 2 Représenter la tension aux bornes de la charge, pour ψ = 3 (sur le document réponse q = wt). i c u c La valeur moyenne de la tension aux bornes de la charge est donnée par : uc = V max π (1+cos ψ) (la relation n'est pas à retenir). Représenter l évolution de u c en fonction de ψ (pour ψ variant de à π rad). c. Étude des courants Représenter pour ψ = 3 : l intensité dans la diode D 1, l intensité dans le thyristor T 2 et l intensité i en entrée du pont. Déterminer pour chaque intensité représentée l'expression de ses valeurs moyenne et efficace en fonction de I c. En déduire le facteur de puissance vu de l alimentation alternative. Voir et les pages suivantes 2. Pont mixte asymétrique Chaque commutateur («plus positif» et «plus négatif») comporte une diode et un thyristor. Redressement commandé Page 2 sur 16 TS1 ET

3 a. Intervalles de conduction Indiquer sur le document réponse de la page suivante les intervalles de conduction des diodes et des thyristors pour un angle de retard à l amorçage égal à 3. b. Étude des tensions Représenter la tension aux bornes de la charge, pour ψ = 3. v i T 1 T 2 D 1 D 2 i c u c Comparer cette tension avec celle du pont symétrique et en déduire l'expression de sa valeur moyenne. c. Étude des courants Représenter pour ψ = 3 : l intensité dans la diode D 1, l intensité dans le thyristor T 2 et l intensité i en entrée du pont. Déterminer pour chaque intensité représentée l'expression de ses valeurs moyenne et efficace. En déduire le facteur de puissance vu de l alimentation alternative. Voir V v( θ) max Pont mixte symétrique V v( θ) max Pont mixte asymétrique θ (rad) θ (rad) π 2π π 2π T 1 T 1 T 2 T 2 D 1 D 1 D 2 D 2 i D1 ( θ) i D1 ( θ) θ (rad) θ (rad) i T2 ( θ) i T2 ( θ) θ(rad) θ(rad) i( θ) i( θ) θ (rad) θ (rad) Redressement commandé Page 3 sur 16 TS1 ET

4 3. Pont complet (ou tout thyristor) Chaque commutateur («plus positif» et «plus négatif») est constitué de deux thyristors. a. Intervalles de conduction Indiquer sur le document réponse (à la page suivante) les intervalles de conduction des thyristors pour un angle de retard à l amorçage égal à 3. b. Étude des tensions Représenter la tension aux bornes de la charge pour ψ = 3. v i T 1 T 2 T' 1 T' 2 i c u c La valeur moyenne de la tension aux bornes de la charge est donnée par : uc = 2V max π cos ψ (la relation n'est pas à retenir). Représenter l évolution de u c en fonction de ψ (pour ψ variant de à π rad). c. Étude des courants Représenter pour ψ = 3 : l intensité dans le thyristor T 2 et l intensité i en entrée du pont. Déterminer pour chaque intensité représentée l'expression de ses valeurs moyenne et efficace. En déduire le facteur de puissance vu de l alimentation alternative. d. Fonctionnement en onduleur assisté Représenter pour ψ = 12 la tension aux bornes de la charge. Quel est le signe de sa valeur moyenne? Le sens du courant côté continu peut il être modifié? En déduire que l'énergie est transférée du côté continu vers le côté alternatif. Justifier l appellation d onduleur assisté. Pour ψ = 3 Pour ψ = 12 Redressement commandé Page 4 sur 16 TS1 ET

5 Voir III. Exercice : alimentation d'une machine à courant continu On considère une machine à courant continu dont l'inducteur est relié à un pont mixte monophasé et dont l'induit est relié à un pont complet monophasé. Les deux ponts, supposés parfaits, sont connectés au réseau de distribution (23 V ; 5 Hz) par l'intermédiaire de deux transformateurs monophasés supposés parfaits. L'objectif est d'utiliser les résultats établis précédemment pour dimensionner puis étudier les redresseurs. Il peut être judicieux de représenter schématiquement le dispositif étudié. Caractéristiques de la machine : Inducteur : 16 V et,3 A ; induit : 22 V et 5,7 A. Vitesse : 12 tr/min. Résistance de l'induit : 3,5 W. Tension d'induit mesurée en génératrice à vide avec intensité d'excitation et vitesse nominales : 23 V. Intensité d'induit en moteur à vide avec intensité d'excitation nominale :,6 A. 1. Dimensionnement du circuit inducteur On souhaite obtenir le courant nominal d'excitation pour un angle de retard à l'amorçage égal à 15. a. Déterminer le rapport de transformation du transformateur. D'après l'énoncé, l'inducteur est relié à un pont mixte monophasé, la valeur moyenne de sa tension de sortie est donnée par la relation uc = V max π (1+cos ψ) (à ne pas connaître par cœur) avec y = 15 (angle de retard à l'amorçage). Puisque u c et y sont connus, on peut déterminer V max (valeur maximale de la tension d'entrée du redresseur) soit V max = π u c 1+cos ψ = π 16 =256 V (attention, la calculatrice doit être en «degrés») puis la valeur 1+cos 15 efficace de la tension d'entrée du redresseur V eff = V max 2 = =181 V. La valeur efficace de la tension au primaire du transformateur reliant le réseau à l'entrée du pont mixte est égale à 23 V, le rapport de transformation de ce transformateur est donc m= =,787 b. Calculer la valeur efficace du courant secondaire du transformateur et en déduire sa puissance apparente. D'après l'étude du fonctionnement du redresseur monophasé mixte, le courant secondaire du transformateur est nul entre et ψ ; égal au courant dans la charge (côté continu) entre ψ et π ; de nouveau nul entre π et π+ψ et enfin égal à l'opposé du courant dans la charge entre π+ψ et 2π. Pour calculer sa valeur efficace : il faut élever au carré la valeur instantanée : on obtient un signal égal au carré du courant dans la charge entre ψ et π et entre π+ψ et 2π et nul le reste du temps. Prendre la valeur moyenne du signal précédent : I 2 eff = 1 2 π {(π ψ)i 2 c+[2π (π+ψ)] I 2 c } ou en remarquant que le signal entre π+ ψ et 2 π est identique à celui entre ψ et π I 2 eff = 1 π [(π ψ) I 2 c]. Prendre la racine carrée du résultat précédent : I eff = 1 π (π ψ)i c Application numérique (convertir l'angle y = 15 en radians ou remplacer p par 18 ) : I eff= 1 π (π π 12 ),3=,287 A. La puissance apparente est égale au produit des valeurs efficaces de la tension (181 V) et de l'intensité (,287 A) soit S=181,287=52 VA 2. Dimensionnement du circuit induit On souhaite obtenir la tension nominale d'induit pour un angle de retard à l'amorçage égal à 3. a. Déterminer le rapport de transformation du transformateur. Redressement commandé Page 5 sur 16 TS1 ET

6 La démarche est identique à celle pour l'inducteur, seul le type du pont et les valeurs sont modifiées. D'après l'énoncé, l'induit est relié à un pont complet monophasé, la valeur moyenne de sa tension de sortie est donnée par la relation uc = 2V max π cos ψ (à ne pas connaître par cœur) avec y = 3 (angle de retard à l'amorçage). Puisque u c et y sont connus, on peut déterminer V max (valeur maximale de la tension d'entrée du redresseur) soit V max = π u c 2 cos ψ = π 22 =399 V (attention, la calculatrice doit être en «degrés») puis la valeur 2cos 3 efficace de la tension d'entrée du redresseur V eff = V max 2 = =282 V. La valeur efficace de la tension au primaire du transformateur reliant le réseau à l'entrée du pont mixte est égale à 23 V, le rapport de transformation de ce transformateur est donc m= 282 =1,226. Ce 23 transformateur est élévateur de tension. b. Calculer la valeur efficace du courant secondaire du transformateur et en déduire sa puissance apparente. D'après l'étude du fonctionnement du redresseur monophasé complet, le courant secondaire du transformateur est nul égal au courant dans la charge (côté continu) entre ψ et π+ ψ et égal à l'opposé du courant dans la charge entre π+ψ et 2π+ψ. Pour calculer sa valeur efficace : il faut élever au carré la valeur instantanée : on obtient un signal égal au carré du courant dans la charge pendant toute la période Prendre la valeur moyenne du signal précédent : I 2 eff =I c car le signal est une constante égale à 2 I c Prendre la racine carrée du résultat précédent : I eff =I c Application numérique : I eff =5,7 A. La puissance apparente est égale au produit des valeurs efficaces de la tension (282 V) et de l'intensité (5,7 A) soit S=282 5,7=161 VA 3. Étude d'un fonctionnement en moteur (courant inducteur nominal) En régime établi, les couples utile et résistant sont égaux. Déterminer l'angle de retard à l'amorçage pour une vitesse de 9 tr/min et un couple résistant égal à 8 N.m. Calculer la puissance fournie par le réseau. Le pont relié à l'induit de la machine ne présente aucune perte d'après l'énoncé, la puissance fournie par le réseau est donc égale à celle reçue par la machine. Pour calculer cette dernière, il faut connaître les valeurs moyennes de la tension et de l'intensité pour l'induit de la machine. Calcul de l'intensité d'induit : on doit déterminer le couple électromagnétique (noté C em ) et la constante de couple (notée K) puis utiliser la relation C em =KI D'après l'énoncé, la tension à vide en génératrice (appelée aussi fém et notée E) est égale à 23 V pour la vitesse nominale (notée n et égale à 12 tr/min) et l'intensité nominale dans l'inducteur. Puisque E=K Ω avec W en rad/s alors K= E Ω K= 6 E 2πn = 6 23 =1,61 N.m/A ou V/rad/s 2π 12 et Ω= 2πn 6 D'après l'énoncé, le courant à vide en moteur (noté I ) a une intensité de,6 A ce qui permet de déterminer le couple de pertes C p =K I =1,61,6=,97 N.m La charge opposant un couple résistant, C r = C u, de 8 N.m, il faut lui ajouter le couple de pertes pour obtenir le couple électromagnétique C em soit C em =C u +C p =8+,97=8,97 N.m La relation C em =KI permet d'établir que I= C em K = 8,97 1,61 =5,57 A Redressement commandé Page 6 sur 16 TS1 ET soit

7 Calcul de la tension aux bornes de l'induit : on doit déterminer la fém correspondant à la vitesse en utilisant la relation E=K Ω puis la tension aux bornes de l'induit en appliquant la loi des mailles au schéma équivalent de l'induit (composé de la fém E en série avec la résistance de l'induit notée r) orienté avec la convention récepteur. La machine tourne à 9 tr/min et la constante K vaut 1,61 V/rad/s ce qui donne E= K 2π n = 1,61 2π 9 =152 V 6 6 La loi des mailles permet d'écrire D'où la puissance fournie par le réseau U=E +r I =152+3,5 5,57=172 V P=U I=172 5,57=958 W 4. Étude d'un fonctionnement en génératrice (courant inducteur nominal) L'angle de retard à l'amorçage est égal à 125 et le courant induit est égal à 5 A. Déterminer la vitesse de rotation et comparer le sens de rotation de cette question avec celui de la précédente. Calculer la puissance fournie par le réseau et préciser le sens de transfert de l'énergie. On utilise la relation uc = 2V max π cos ψ pour déterminer la tension aux bornes de l'induit ce qui donne u c = π cos125= 146 V. La loi des mailles permet d'écrire U=E +r I (U est la valeur moyenne de la tension aux bornes de l'induit, c'est à dire u c ) soit E=U r I= 146 3,5 5= 163 V. La relation E=K Ω avec Ω= 2 π n 6 donne E=K 2π n 6 Le signe négatif traduit un sens de rotation opposé à celui de la question précédente. soit n= 3 E K π = 3 ( 163) = 967 tr/min 1,61 π La puissance fournie par le réseau P=U I = 146 5= 73 W. Cette puissance est négative car la machine fonctionne en génératrice et fournit de l'énergie au réseau : le pont fonctionne alors en onduleur assisté. IV. Pont complet triphasé 1. Intervalles de conduction et tension de sortie Le schéma est représenté ci contre : il est constitué de deux commutateurs (l'un à cathodes communes, l'autre à anodes communes) comportant uniquement des thyristors. Les chronogrammes seront tracés sur les graphes ci dessous pour ψ= π 3 rad et ψ= 2 π 3 rad. v p1 v 1 T 1 T 2 T 3 u c v p2 v p3 v 2 v 3 i 2 T 4 T 5 T 6 I c Redressement commandé Page 7 sur 16 TS1 ET

8 ψ= π 3 ψ= 2 π 3 v 1 v 2 v 3 v 1 v 2 v t (ms) 1 2 t (ms) T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 T 6 T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 T 6 i T2, i T5 i T2, i T5 i 2 t (ms) i 2 t (ms) t (ms) t (ms) Indiquer les instants pour lesquels les thyristors deviendraient passants s'ils étaient des diodes. Indiquer les intervalles de conduction des thyristors. Représentation de la tension côté continu. Dessiner le schéma équivalent au redresseur lorsque les thyristors T 3 et T 5 sont passants (les quatre autres sont alors bloqués). Écrire la loi des mailles permettant d'obtenir l'expression de u c en fonction de deux des tensions d'entrée du redresseur. Repérer les tensions composées sur les documents réponses (il peut être judicieux de tracer rapidement un diagramme de Fresnel avec les vecteurs associés aux tension simples et de placer les tension composées pour déterminer leurs phases). Tracer u c sur l'intervalle étudié précédemment. Redressement commandé Page 8 sur 16 TS1 ET

9 Recommencer pour les autres intervalles. La valeur moyenne de la tension côté continu est donnée par la relation 3V 2 3 u c = cos avec V la valeur efficace des tensions simples au secondaire du transformateur (la relation n'est pas à connaître). Tracer l'évolution de u c en fonction de ψ pour une variation de à π rad. Indiquer les fonctionnements en redresseur et onduleur assisté. Préciser les conditions de fonctionnement en onduleur assisté. 2. Étude des courants Représenter les intensités dans les thyristors T 2 et T 5. Déterminer les expressions de leurs valeurs moyenne et efficace en fonction de I c. Représenter l intensité i 2. Déterminer l'expression de sa valeur efficace. Exprimer le facteur de puissance au secondaire en fonction de ψ. Voir et les pages suivantes. V. Exercice : association d'une machine à courant continu et d'un redresseur triphasé tout thyristors On considère un dispositif constitué d'une machine à courant continu à aimants permanents dont l'induit est relié à un redresseur triphasé tout thyristors. Les notations sont les mêmes que pour le paragraphe III. La source de courant est remplacée par l'induit de la machine. Les caractéristiques de la machines sont les suivantes : Intensité nominale : 21 A ; tension nominale : 3 V ; vitesse nominale : 128 tr/min ; résistance et inductance de l'induit : 1,5 Ω et 5 mh. Lors d'un essai en génératrice à vide à vitesse nominale, on a relevé une tension de 283 V aux bornes de l'induit. Lors d'un essai en moteur à vide sous tension nominale, la vitesse était égale à 1424 tr/min pour une intensité de 1,2 A. 1. Étude du redresseur Le courant côté continu est supposé parfaitement lissé. a. Sur le document réponse de la page suivante, indiquer les intervalles de conduction des thyristors pour un angle de retard à l'amorçage ψ égal à 6. Le trait rouge indique l'instant pour lequel la thyristor T 1 deviendrait passant s'il était une diode ; à partir de ce trait, un temps équivalent à 6 s'écoule avant que le thyristor T 1 reçoive l'impulsion... et ainsi de suite pour les autres thyristors. Voir le document réponse. b. Tracer l'évolution de la tension côté continu pour ψ = 6. Lorsque T 3 et T 4 sont passants, la loi des mailles permet d'écrire u c =v 3 v 1 =u 31 (t ), il ne reste plus qu'à repérer u 31 sur le graphique. On procède de même pour les autres intervalles. Voir la courbe en trait rouge épais sur le document réponse. c. Représenter l'intensité du courant dans un thyristor et calculer ses valeurs moyenne et efficace. On choisit par exemple le thyristor T 1 : le courant qui le traverse est nul lorsqu'il est bloqué et égal à I c lorsqu'il est passant. Voir le document réponse (2 divisions verticales pour I c ). Valeur moyenne : I Tmoy = 1 2π I 2π c 3 = I c 3 Valeur efficace (élever le signal au carré, prendre la valeur moyenne et enfin la racine carrée) : I Teff= 1 2π I 2 2π c 3 = I c 3 d. Représenter l'intensité dans un enroulement secondaire du transformateur et calculer sa valeur efficace. Redressement commandé Page 9 sur 16 TS1 ET

10 On choisit par exemple le secondaire relié au thyristor T 1 : le courant qui le traverse est nul lorsque T 1 et T 4 sont bloqués, égal à I c lorsque T 1 est passant et égal à I c lorsque T 4 est passant. Voir le document réponse (2 divisions verticales pour I c ). Valeur efficace (élever le signal au carré, prendre la valeur moyenne et enfin la racine carrée) : I eff= 1 c 2π 2I 2 2π c 3 =I 2 3 e. La valeur moyenne de la tension côté continu est donnée par la relation 3U 2 u c = π cos ψ avec U la valeur efficace des tensions composées au secondaire du transformateur. Calculer le facteur de puissance au secondaire du transformateur. Le redresseur étant sans pertes, les puissances côté continu et alternatif sont égales soit P=u c I c en remplaçant la valeur moyenne de la tension côté continu par son expression, on obtient P= 3U 2 I c π cos ψ La puissance apparente est égale au produit des valeurs efficaces des tensions et intensités côté alternatif (attention : dispositif triphasé) donc S=3V I eff = 3U I eff et I eff =I c 2 3 Facteur de puissance k= P 3U 2I c S = π cos ψ = 3 π cos ψ 3U I 2 c 3 Redressement commandé Page 1 sur 16 TS1 ET

11 2. Étude du moteur a. Exploiter l'essai à vide en génératrice pour déterminer la constante de couple (en N.m/A) Cet essai donne une tension (fém E) de 283 V pour une vitesse n = 128 tr/min. Comme E=K Ω et Ω= 2 π n alors 6 K= 3 E π n = =2,11 N.m/A π 128 b. Exploiter l'essai à vide en moteur pour déterminer le couple de pertes (supposé constant pour la suite). Cet essai indique que l'intensité à vide I est égale à 1,2 A et comme C p =K I alors C p =2,11 1,2=2,53 N.m c. En régime établi, le couple utile du moteur est égal au couple résistant de la charge, calculer l'intensité et la vitesse de rotation pour un couple résistant égal à 35 N.m et une tension d'induit nominale. Le couple électromagnétique C em est égal à la somme du couple utile C u et du couple de pertes soit C em =C u +C p =35+2,5=37,5 N.m. Le couple électromagnétique et l'intensité dans l'induit sont reliés par C em =K I donc I= C em K = 37,5 2,11 =17,8 A d. Établir l'équation reliant l'intensité dans l'induit, la vitesse de rotation (exprimée en tr/min), la tension aux bornes de l'induit et les caractéristiques de la machine. Tracer l'évolution de l'intensité dans l'induit en fonction de la vitesse pour U = U 1 = 3 V puis U = U 2 = 15 V. Le circuit d'induit étant orienté avec la convention récepteur, la loi des mailles permet d'écrire U=E+r I avec U la tension aux bornes de l'induit, I l'intensité qui le traverse et r sa résistance. Puisque E=K Ω et Ω= 2π n 6 alors E= K π 3 n. Document réponse En remplaçant E par son expression dans U=E +r I, on obtient U= K π 3 I= U r K π 3r n Les courbes demandées sont des droites de pente U 1 r et U 2 r n+r I et finalement K π 3 r = 2,11 π,147 SI et d'ordonnées à l'origine 3 1,5 Redressement commandé Page 11 sur 16 TS1 ET

12 3. Étude de l'association a. Calculer les angles de retard à l'amorçage pour que la valeur moyenne de la tension de sortie du redresseur soit égale à U 1 puis à U 2 (la valeur efficace des tensions secondaires est égale 23 V). La valeur moyenne de la tension côté continu est donnée par la relation 3V 3 2 u c = π cos ψ valeur efficace des tensions simples côté alternatif. On obtient donc cos ψ= π u c 3V 3 2 Si la valeur efficace des tensions simples est égale à 23 V Pour u c =U 1 : cos ψ= π =,558 soit ψ 1 =56 Pour u c =U 2 : cos ψ= π =,279 soit ψ 2 =74 Si la valeur efficace des tensions composées est égale à 23 V Pour u c =U 1 : cos ψ= π =,966 soit ψ 1 =15 Pour u c =U 2 : cos ψ= π =,483 soit ψ 2 =61 Pour la suite, on suppose que ce sont les tensions composées qui ont 23 V pour valeur efficace. avec V la b. Le couple sur l'arbre est maintenu constant et égal à 3 N.m. L'angle de retard à l'amorçage passe de 6 à 3. Calculer la vitesse en régime établi pour 3. Si le couple sur l'arbre est égal à 3 N.m alors le couple électromagnétique est égal à 32,5 N.m (on ajoute le couple de pertes). Comme C em =K I alors I= C em K = 32,5 2,11 =15,4 A D'après la question 2.d U= K π 3 finalement n= 3 K π ( 3 V 3 2 π cos ψ r I )= 3 2,11 π 3 n+r I donc n= (U r I) et K π U= 3V 3 2 π cos ψ soit 2 (3 23 π cos 6 1,5 15,4)=598 tr/min Calculer l'intensité moyenne du courant dans l'induit juste après la modification de l'angle ψ. Juste après cette modification, la vitesse est inchangée à cause de l'inertie du groupe, il en est de même de la fém E= K π 2,11 π n= =132 V Comme U=E+r I alors I= U E 3 V = π cos ψ E 2 = π cos =91,3 A r r 1,5 c. L'angle de retard à l'amorçage est égal à 3, le moment du couple imposé par la charge passe de C r1 = 3 N.m à C r2 = 2 N.m Calculer les vitesses n 1 et n 2 de rotation correspondant aux couples C r1 et C r2 en régime établi. Calcul des intensités dans l'induit : C r2 : I 1 = 2+2,5 2,11 =1,7 A I= C em K = C +C r p K soit pour C r1 : I 1 = 3+2,5 =15,4 A et pour 2,11 La relation n= 3 K π ( 3 V 3 2 π cos ψ r I ) établie précédemment est toujours valable et donne Redressement commandé Page 12 sur 16 TS1 ET

13 pour C r1 : n 1 = ( 2 2,11π π cos 3 1,5 15,4)=1128 tr/min pour C r2 : n 1 = 3 2,11π ( π cos 3 1,5 1,7)=1145 tr/min La machine accélère légèrement lorsqu'elle est déchargée. Calculer l'angle de retard à l'amorçage qui permet de maintenir la vitesse égale à n 1 lorsque le couple est égal à C r2. La tension aux bornes de l'induit est obtenue par U=E+r I avec E= K π 3 et I = 1,7 A soit U=249+1,5 1,7=265 V La relation cos ψ= π u c 3V 3 2 y = 31. n= 2,11 π =249 V π 265, établie à la question 3.a, donne cos ψ= =,853 soit un angle VI. Exercice : étude d une liaison continue entre deux réseaux alternatifs La liaison continue étudiée est une version simplifiée de la liaison continue «transmanche». Les réseaux alternatifs côté français et côté anglais sont reliés par l'intermédiaire d'une liaison à courant continu. Des ponts à thyristors (PD3) sont placés tête bêche de part et d'autre de la Manche et fonctionnent soit en redresseur soit en onduleur assisté selon le sens de transfert de l'énergie. France i c u c1 u c2 G.B. Lien : france.com/fr/actualites dossiers/a la une/cure de jouvence po ur l interconnexion electrique france angleterre 1 Les réseaux 1 et 2 (côté français et côté anglais) sont des réseaux triphasés 5 Hz, les valeurs efficaces des tensions composées valent 225kV. Les tensions simples et les courants de ligne sont respectivement notés : tensions simples «France» : v 1a, v 1b, v 1c et courants de ligne «France» : i 1a, i 1b, i 1c. tensions simples «G.B.» : v 2a, v 2b, v 2c et courants de ligne «G.B.» : i 2a, i 2b, i 2c. Entre les deux réseaux est placée une bobine d'inductance L. La résistance totale (ligne et inductance) est r =,5 Ω. 1. Étude de la partie continue a. Rappeler les relations donnant U c1moy (y 1 ) et U c2moy (y 2 ), tensions moyennes fournies par le pont 1 et par le pont 2 en fonction de y 1 et y 2. Les valeurs des tensions composées sont notées respectivement U 1 et U 2. Les valeurs moyennes des tensions sont données par U c1moy = 3U 1 2 π cosψ et 1 U c2moy = 3U 2 2 π cos ψ (la pointe de la flèche côté 2 anglais est dirigée vers les anodes du commutateur à anodes communes). b. Donner l'équation différentielle liant u c1, u c2, r, L et i c. D'après la loi des mailles : u c1 (t ) ri c L di c dt u c2 = c. Donner l'équation liant U c1moy, U c2moy, I cmoy (valeur moyenne de l intensité continue i c ) et r. Le courant dans la liaison continue étant périodique, la valeur moyenne de L d i c (tension aux bornes dt de l'inductance L) est nulle et la relation précédente s'écrit U c1moy r I cmoy U c2moy = Redressement commandé Page 13 sur 16 TS1 ET

14 d. En déduire la relation liant y 1, y 2, r et I cmoy. En remplaçant U c1moy et U c2moy par leurs expressions de la question 1.a, on obtient : 3 U 1 2 π cos ψ 1 r I cmoy + 3 U 2 2 π cos ψ 2 = e. Montrer comment le choix de y 1 et y 2 détermine le sens de transfert de l'énergie entre les deux réseaux. La relation 3 U 1 2 π cos ψ 1 r I cmoy + 3 U 2 2 π cos ψ 2 = peut aussi s'écrire : 3 U 1 2 π cos ψ 1 =r I cmoy 3U 2 2 π cos ψ 2 Si <ψ 1 <9 alors 3U 1 2 π cos ψ est positif : le pont côté français fonctionne en redresseur et 1 celui côté anglais doit fonctionner en onduleur assisté donc 9<ψ 2 <18 (si les deux ponts fonctionnent en redresseur alors leur charge est la résistance de la boucle continue et le courant atteindrait des valeurs énormes). Si 9<ψ 1 <18 alors 3U 1 2 π cos ψ est négatif : le pont côté français fonctionne en onduleur 1 assisté et celui côté anglais doit fonctionner en redresseur donc <ψ 2 <9 (si les deux ponts fonctionnent en onduleur assisté alors lla résistance de la boucle continue «fournirait» de l'énergie électrique). f. y 2 étant fixé à 15, calculer le courant circulant dans la ligne continue lorsque le réseau 2 «consomme» une puissance de 5 MW. Quel est alors la valeur de y 1? Dans ce cas, le pont côté anglais fonctionne en onduleur assisté. La puissance côté continu s'écrit P 2 =U c2moy I c et U c2moy = 3U 2 2 π cos ψ 2 = π cos15=263 kv ce qui donne I c = P 2 U c2moy = =19 A La relation 3 U 1 2 π cos ψ 1 =r I cmoy 3U 2 2 π cos ψ (question e) donne 2 cos ψ 1 = π 3U 1 2 (r I 3U 2 2 cmoy π cos ψ 2 )= π (1, )=,875 soit un angle de retard à l'amorçage y 1 très proche de 3 (28,96 utilisé pour un calcul par la suite). g. Faire un bilan de puissance dans les conditions précédentes (puissance fournie par le réseau 1, puissance perdue par effet Joule, puissance reçue par le réseau 2). D'après l'énoncé, la puissance reçue par le réseau 2 est égale à 5 MW. Les pertes par effet Joule dans la boucle continue sont égales à ri c 2 =1, =5,4 MW ; le réseau 1 doit donc fournir 55,4 MW ce que l'on peut vérifier par le calcul de P 1 =U c1moy I c = 3U 1 2 π cos ψ 1 I c = π cos 28,96 19=55 MW h. Montrer que les pertes sont diminuées lorsque la tension continue est augmentée. Pourquoi ne peut on pas travailler à y 1 =? Si la tension côté continue est augmentée alors le courant dans la boucle continue est diminué pour une puissance donnée. Comme les pertes par effet Joule dépendent du carré de l'intensité efficace de ce courant, elles diminuent si le courant dans la boucle continu diminu. L'angle y 1 = entraînerait un angle proche de 18 côté anglais avec le risque de perte de contrôle de l'onduleur. Voir la remarque en bas de la page : Redressement commandé Page 14 sur 16 TS1 ET

15 2. Étude de la partie alternative On suppose que l'inductance L est de valeur suffisamment élevée pour que i c puisse être considéré comme constant et que les résistances du câble et de l'inductance sont négligeables. Avec ces hypothèses, U c1moy r I cmoy U c2moy = devient U c1moy =U c2moy et cos ψ 1 = cos ψ 2 a. Tracer sur le graphe ci contre l'allure de i 1a et i 2a pour y 1 = 3. Si y 1 = 3. alors y 2 = 15. Les courants sont tracés en utilisant la méthode décrite à la page gnepd3/redressementc Pour améliorer la présentation, chaque est représenté sur un système d'axes sur le graphe ci contre. b. Représenter le fondamental de i 1a, noté i 1af. Montrer que i 1af et v 1a sont déphasés d'un angle y 1. Le fondamental est une sinusoïde de même fréquence que le signal. Il passe par zéro au milieu des paliers pour lesquels le courant est nul ; par son maximum au milieu du palier pour lequel le courant est égal à I c et par son minimum au milieu du palier pour lequel le courant est égal à I c. Le déphasage entre i 1af et v 1a est indiqué sur le graphique, on vérifie bien qu'il est égal à 3 soit l'angle y 1. On admettra que le fondamental de i 2a, noté i 2af, et v 2a sont déphasés d'un angle y 2. c. Calculer la valeur efficace de i 1a et la valeur efficace de i 2a en fonction de I cmoy. La méthode est toujours la même (élever le signal au carré, prendre la valeur moyenne et enfin la racine carrée). Les deux courants étant identiques à un décalage temporel près, on obtient : I eff= 1 2π 2I 2 2π cmoy 3 =I 2 cmoy 3 d. Calculer la valeur efficace du premier harmonique de i 1a et i 2a en fonction de I cmoy (On déduira ces valeurs de l'égalité des puissances entre côté continu et côté alternatif). La puissance côté continue s'écrit P 1 =U c1moy. I cmoy et côté alternatif, elle s'écrit P 1 = 3.U eff. I 1eff.cos ψ 1 avec U eff la valeur efficace des tensions composées côté alternatif (225 kv) et I 1eff la valeur efficace du fondamental de i 1a. Remarque : pour la justification des deux relations voir les cas particuliers de la page Les deux puissances sont égales, en remplaçant U c1moy par 3 U eff 2 π cos ψ on obtient la relation 1 3 U eff 2 π cos ψ 1 I cmoy = 3U eff I 1eff cos ψ ce qui donne I 1eff = π I = 6 cmoy π I cmoy En prenant I cmoy = 19 A on obtient y 1 = 3 y 2 = 15 I 1eff = 6 π 19=1481 A Redressement commandé Page 15 sur 16 TS1 ET

16 La valeur efficace du fondamental de i 2a est égale aussi à 1481 A car les deux courants sont identiques au décalage temporel près. e. Montrer que, au sens du premier harmonique de courant, les deux ponts consomment de l'énergie réactive. Préciser d'où vient cette énergie réactive. La tension étant sinusoïdale, la puissance réactive est donnée par la relation Q 1 = 3.U eff. I 1eff.sin ψ 1 (voir le cas particulier de la page Ce qui donne Q 1 = sin3=37 kvar. L'entrée du pont étant orientée avec la convention récepteur, il «reçoit» une énergie réactive qui lui est «fournie» par le réseau. On obtient le même résultat pour la puissance réactive du pont fonctionnant en onduleur. Redressement commandé Page 16 sur 16 TS1 ET