Sujet C p315 livre Centres étrangers juin Nouvelle Calédonie Novembre points annales 50p190

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1 Antilles septembre 20 Les parties A et B sont indépendantes Un site internet propose des jeux en ligne. Partie A Pour un premier jeu : * si l internaute gagne une partie, la probabilité qu il gagne la partie suivante est égale à. * si l internaute perd une partie, la probabilité qu il perde la partie suivante est égale à Pour tout entier naturel non nul, on désigne par l évènement «l internaute gagne la n-ième partie» et on note la probabilité de l évènement. L internaute gagne toujours la première partie et donc =.. Représenter la situation «étape» et «étape +» par un arbre pondéré 2. Montrer que, pour tout entier naturel non nul, = + 3. Pour tout n entier naturel non nul, on pose = a. Montrer que la suite est une suite géométrique de raison et de premier terme à préciser. b. Donner une expression de en fonction de ; puis de en fonction de. c. Déterminer la limite de. Partie B Dans un second jeu, le joueur doit effectuer 0 parties. On suppose que toutes les parties sont indépendantes. La probabilité de gagner chaque partie est égale à. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur.. a. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X? Justifier.. b. Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins une partie? Le résultat sera arrondi à 0 2 près.. c. Déterminer l espérance de X. 2. Le joueur doit payer 30 pour jouer les 0 parties. Chaque partie gagnée lui rapporte. Expliquer pourquoi ce jeu est désavantageux pour le joueur. La Réunion Juin 200 ex3 5 points Une usine produit des sacs. Chaque sac fabriqué peut présenter deux défauts : le défaut a et le défaut b. Un sac est dit défectueux s il présente au moins l un des deux défauts.. Dans cette question les probabilités demandées seront données avec leurs valeurs décimales exactes. On prélève un sac au hasard dans la production d une journée. On note A l évènement «le sac présente le défaut a» et B l évènement «le sac présente le défaut b». Les probabilités des évènements A et B sont respectivement p(a) = 0,02 et p(b) = 0,0 ; on suppose que ces deux évènements sont indépendants. a. Calculer la probabilité de l évènement C : «le sac prélevé présente le défaut a et le défaut b». b. Calculer la probabilité de l évènement D : «le sac est défectueux». c. Calculer la probabilité de l évènement E : «le sac ne présente aucun défaut». d. Sachant que le sac présente le défaut a, quelle est la probabilité qu il présente aussi le défaut b? 2. On suppose que la probabilité (arrondie au centième) qu un sac soit défectueux est égale à 0,03. On prélève au hasard un échantillon de 00 sacs dans la production d une journée. La production est suffisamment importante pour que l on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 00 sacs. On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 00 sacs, associe le nombre de sacs défectueux. a. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. b. Quelle est la probabilité de l évènement «au moins un sac est défectueux»? On arrondira cette probabilité au centième. Interpréter ce résultat. c. Calculer l espérance mathématique de la variable aléatoire X. Interpréter ce résultat dans le cadre de l énoncé. Sujet C p35 livre Centres étrangers juin 200 Nouvelle Calédonie Novembre points annales 50p0

2 Asie juin 200 DS 0/02/203 Une entreprise fait fabriquer des paires de chaussettes auprès de trois fournisseurs,,. Dans l entreprise, toutes ces paires de chaussettes sont regroupées dans un stock unique. La moitié des paires de chaussettes est fabriquée par le fournisseur F, le tiers par le fournisseur F 2 et le reste par le fournisseur F 3. Une étude statistique a montré que 5% des paires de chaussette fabriquées par le fournisseur ont un défaut ;,5 % des paires de chaussette fabriquées par le fournisseur ont un défaut ; sur l ensemble du stock, 3,5 % des paires de chaussette ont un défaut.. On prélève au hasard une paire de chaussettes dans le stock de l entreprise. On considère les évènements,, et D suivants : : «La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur» ; : «La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur» ; : «La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur» ; D : «La paire de chaussettes prélevée présente un défaut». a. Représenter la situation par un arbre pondéré. b. Calculer la probabilité qu une paire de chaussettes prélevée soit fabriquée par le fournisseur et présente un défaut. c. Calculer la probabilité de l évènement d. En déduire la probabilité de l évènement e. Sachant que la paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur, quelle est la probabilité qu elle présente un défaut? 2. L entreprise conditionne les paires de chaussettes par lots de six paires. On considère que le stock est suffisamment grand pour assimiler le choix des six paires de chaussettes à des tirages indépendants, successifs avec remise. On considère la variable aléatoire X qui comptabilise le nombre de paires de chaussettes avec défaut dans un lot. a. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. b. Calculer la probabilité que deux paires de chaussettes exactement d un lot présentent un défaut ; on donnera un résultat arrondi au millième. c. Démontrer que la probabilité, arrondie au millième, qu au plus une paire de chaussettes d un lot présente un défaut est égale à 0,3. 20 Pondichéry Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur la figure ci-dessous. On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups.. Le joueur lance une fléchette. On note p 0 la probabilité d obtenir 0 point ; p 3 la probabilité d obtenir 3 points. Et p 5 la probabilité d obtenir 5 points. On a donc p 0 +p 3 +p 5 =. Sachant que et que déterminer les valeurs de p 0, p 3 et p Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes au maximum. Le joueur gagne la partie s il obtient un total (pour les 3 lancers) supérieur ou égal à points. Si au bout de 2 lancers, il a un total supérieur ou égal à points, il ne lance pas la troisième fléchette. On note G 2 : «le joueur gagne la partie en 2 lancers». et G 3 l évènement : «le joueur gagne la partie en 3 lancers». On note P l évènement : «le joueur perd la partie». a. Montrer, en utilisant un arbre pondéré, que. On admettra dans la suite que : b. En déduire 3. Un joueur joue six parties avec les règles données à la question 2. Quelle est la probabilité qu il gagne au moins une partie? 4. Pour une partie, la mise est fixée à 2. Si le joueur gagne en deux lancers, il reçoit 5. S il gagne en trois lancers, il reçoit 3. S il perd, il ne reçoit rien. On note X la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur pour une partie. Les valeurs possibles pour X sont donc : 2, et 3. a. Donner la loi de probabilité de X. b. Déterminer l espérance mathématique de X. Le jeu est-il favorable au joueur?

3 Antilles septembre 20 Partie A Arbre pondéré suivant : issues 2/5 3/5 Données : /5 4/5 = si l internaute gagne une partie, la probabilité qu il gagne la partie suivante est égale à. = s'il perd une partie, la probabilité qu'il perde la suivante est. 2 Pour tout de *, A l aide de l arbre pondéré, est la réunion de et qui sont deux événements incompatibles, d après la formule des probabilités totales = = + = + = $ 4 5 & = = Ainsi, pour tout de *, on a : = + 3. a. montrons que la suite et géométrique : Pour tout de *, on a : = 4 = = 5 20 = 5 $ /20 /5 & = 5 $ 4 & = 5 Ainsi la suite est géométrique de raison et de premier terme = = = 3. b. Forme explicite de la suite Pour tout de *, on a : = * +,, c est-à-dire - = * +, Forme explicite de la suite Pour tout de *, on a : = * +, et = On en déduit que = + / 0 = 2 *3 4 +0,

4 3. c. Limite de <,, < 67 5 $ : 5 & : 4 $ 5 & : 4 Ainsi la limite de la suite est ; la suite converge vers. Partie B :. a. on répète 0 fois de manière identique et indépendante une même épreuve de Bernoulli Pour une épreuve : deux issues < «le joueur gagne la partie» et <» le joueur perd la partie» de probabilités : < ; < = donc la variable aléatoire?, égale au nombre de parties gagnées par le joueur, suit une loi binomiale de paramètres 0 et ¼.. b. «le joueur gagne au moins une partie» :?? =? = 0 = * $ 4 & $ 3 4 & = $ 3 4 & 0,4 Ainsi, la probabilité que le joueur gagne au moins une partie est 0,4 à 0, près.. c. C? = 0 = 2,5 2. C? = 2,5 signifie qu il peut espérer gagner 2,5 parties pour 0 parties jouées Chaque partie gagnée lui rapporte, il gagnerait 2,5 = 20 mais il doit payer 30 pour jouer, d où une perte de 0 ; le jeu est désavantageux pour lui. La réunion Juin 200 Données : F = 0,02 G = 0,0.a. Rappels de cours : quels que soient les événements A et B : F G = F+G F G A et B indépendants si et seulement si F G = F G I J F = FI K G = G les événements F et G sont indépendants, donc L = F G = F G = 0,02 0,0 = 0,0002.b. «le sac est défectueux» i.e. «le sac a au moins l un des deux défauts» : F G = F G = F+G F G = 0,02+0,0 0,0002 = 0,02.c. E : «le sac ne présente aucun défaut» i.e. C = F G = F G C = F G = F G = F G = 0,02 = 0,702.d «avoir le défaut N, sachant qu il a le défaut O» Les événements A et B étant indépendants : K G = G = 0,0 2.on prélève au hasard 00 sacs. 2.a. On répète 00 fois de manière identique et indépendante ( assimilé à un tirage avec remise) une épreuve qui n a que 2 issues, D «le sac est défectueux» de probabilité 0,03 et P de probabilité 0,7. La variable aléatoire X qui désigne le nombre de sacs défectueux ( parmi les 00) suit une loi binomiale de paramètres 00 et 0,03. 2.b. X peut prendre les valeurs 0,, 2,,00 «au moins sace est défectueux» :?

5 ??0 * ,03 0,7 0,5 La probabilité d obtenir au moins sac défectueux dans un échantillon de 00 sacs est égale à 0,5 à 0,0 près. 2.c. espérance Pour une loi binomiale, l espérance est égale au produit des paramètres : C? = 00 0,03 = 3 Interprétation : X désigne le nb de sacs défectueux parmi les 00, donc C? désigne le nombre moyen de sacs défectueux que l on peut «espérer» avoir parmi les 00. En moyenne, il y a 3 sacs défectueux par échantillon de 00 sacs. Centres étrangers 200 sujet C livre Indice Exercice : a) deux justifications possibles : F QR F forment une partition de Ω, car F F = QR F F = Ω, donc G = G F+G F Ou B est la réunion de G F et G F qui sont deux événements incompatibles, donc G = G F+G F b) Montrer que si A et B sont indépendants alors F QR B sont indépendants. Soient A et B deux événements indépendants donc F G = F G Or G = G F+G F Donc G F = G G F = G G F = G F = G F Ainsi F QR B sont indépendants. 2 application : 2OUIéQW X = 0, QR < = 0,05, «il entend son réveil et son scooter tombe en panne», c est l événement X < On sait que R et S sont indépendants, donc d après la R.O.C., X QR < sont aussi indépendants. X < = X < = X < = 0, 0,05 = 0,045 2b) «il est à l heure au lycée», c est l événement X < ( son réveil sonne et son scooter ne tombe pas en panne) Méthode X QR < sont indépendants donc (ROC) X QR < sont aussi indépendants. X < = X < = X < = 0, 0,5 = 0,55 Méthode 2 X est la réunion de deux événements X < et X < donc X = X <+X < X < = X X < = 0, 0,045 = 0,55 2c) Stéphane répète 5 fois de manière identique et indépendante une même épreuve qui n a que deux issues X «il entend son réveil» de probabilité 0, et X «il n entend pas son réveil» de probabilité 0, ; donc la loi de probabilité de la v.a. X donnant le nombre de fois où il entend son réveil suit une loi binomiale de paramètres 5 et 0, «il entend son réveil au moins 4 fois», c est l événement? 4? 4 =? = 4 +? = 5 = * , 0,+* , 0, = 5 0, 0,+0, 0,5

6 Asie Juin 200 DV TSM 0/02/203 EXERCICE I : ( 2 points) D après Asie Juin 200. a. Représenter la situation par un arbre pondéré. issues 0,05 /3 /2 /6 0,5 0,05 0,5 P P P P Quand vous n avez pas de données à mettre sur une branche de l arbre, attendez que l énoncé vous questionne ; n anticipez pas, cela vous embrouillerait pour les questions posées! Soyez vigilant : dans le texte, il y a une donnée supplémentaire : vous l avez, mais elle ne se positionne pas dans l arbre! P P Données : = ; = Y Z = = 0,05 et Y [ =, = 0,05 Donnée supplémentaire : /\ =,4 3]] = ],]4 b. = YZ = 0,05 = 0,025 La probabilité qu une paire de chaussettes prélevée soit fabriquée par le fournisseur et présente un défaut est 0,025. c. Calculer la probabilité de l évènement = Y[ = 0.05 = 0,005 d. En déduire la probabilité de l évènement est la réunion des événements, et qui sont deux à deux incompatibles, Donc = + + = = 0,035 0,025 0,005 = 0,005 e. «sachant» Y^ = = 0,005 = 0,03 6 Sachant que la paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur, la probabilité qu elle présente un défaut est de 0,03 2.a. On répète 6 fois de manière identique et indépendante (tirages indépendants, successifs avec remise) une même épreuve «prendre une paire de chaussettes». Cette épreuve n a que 2 issues «la paire a un défaut» de probabilité 0,035 et P «la paire n a pas de défaut» de probabilité 0,65. La variable aléatoire X qui comptabilise le nombre de paires de chaussettes avec défaut dans un lot, suit une loi binomiale de paramètres 6 et 0,035.

7 2.b. «deux paires de chaussettes exactement d un lot présentent un défaut» :?2?2* ,035 0,65 = 5 0,035 0,65 0,06 Ainsi, la probabilité que deux paires de chaussettes exactement d un lot présentent un défaut est 0,06 à millième près. 2.c. «au plus une paire de chaussettes d un lot présente un défaut» :?? =? = 0 +? = = * ,035 0,65 +* 6 + 0,035 0,65 = 0, ,035 0,65 0,3 Ainsi, la probabilité qu au plus une paire de chaussettes d un lot présente un défaut est égale à 0,3 arrondie au millième Nouvelle Calédonie Novembre 200 A B (0 pt) C (0 pts) D (0 pt) E (0 pts) F (0 pt) G (0 pts) Nb de points La variable aléatoire qui correspond au nombre total de points gagnés à l issue d une partie peut prendre 3 valeurs comme indiqué sur l arbre.? = 0 = "BD" = G J = = 64? = 0 = "BE" +CF = G J + L g = + = 6? = 20 = "CG" = L g = = D où la loi de probabilité de X Valeurs de? : i j ? = i j 64 6 b) C? = = k 2,22 k k k k Total : c) lm AC =? = 0 "AC"? = 0 = "ACF"? = 0 Or "ACF" = L g = o k o = k k

8 D où lm AC "ACF"? Ainsi, la probabilité que la bille ait suivi la branche AC sachant que le joueur a obtenu exactement 0 points est ½ 2 On répète fois de manière identique et indépendante une même epreuve qui n a que deux issues : < «le joueur obtient 20 points» de probabilité k < «le joueur n obtient pas 20 points» de probabilité k k La variable aléatoire p donnant le nombre de parties gagnées, suit une loi binomiale de paramètres et. k 2 a) p2* 2 +!$ &!$ 0 & A0,004 Ainsi, la probabilité qu il gagne exactement 2 parties est 0,004 arrondi au millième b) La variable aléatoire p peut prendre les valeurs : 0 ; ; 2 ; 3 ;.. ;7 ; parties gagnées l gagne au moins partie q@q0 * 0 +!$ &!$ 0 k &!!$ 0 & k $ 0 & k A0,05 Ainsi, la probabilité qu il gagne au moins partie est 0,05 arrondi au millième 20 Pondichéry. On a donc p 0 +p 3 +p 5 =, et et D où Arbre pondéré des deux premiers lancers On atteint une somme supérieure ou égale à sur 3 issues

9 < < +< < +< < Ainsi, on a 2.b les événements,, forment une partition de l univers, Donc + + = Donc = = 3. avec une loi binomiale, on répète 6 fois de manière identique et indépendante une même épreuve de bernoulli pour une épreuve dux issues : «le joueur gagne la partie» de probabilité = et de probabilité donc la variable aléatoire p qui désigne le nombre de parties gagnées, suit une loi binomiale de paramètres 6 et /3 «il gagne au moins une partie»: s 3 p = p = 0 = * $ 3 & $ 2 3 & = $ 2 3 & = 665 0,2 72 Ainsi, la probabilité de gagner au moins une partie est de 0,2 à 0,00 près. Rm On peut aussi raisonner sans loi binomiale t «il gagne au moins une partie» est l événement contraire de tp «il perd les six parties» : t = tp Donc t = = car les parties sont indépendantes. Donc t = * + = o Ainsi la probabilité qu il gagne au moins une partie est égale à o. 4.a. Donner la loi de probabilité de X. Valeur de X 2 3 Situation correspondante? = i j b. Déterminer l espérance mathématique de X. Le jeu est-il favorable au joueur? C? = = 3 0,72 Pour une partie, l espérance de gain est négative, le jeu est défavorable au joueur.