Livret de révision 3ème / 2nde Introduction

Transcription

1 Livret de révision 3ème / 2nde Introduction L'objectif de ce livret est de permettre, moyennant un peu de travail pendant les vacances, de démarrer l'année de 2nde avec de bonnes bases. Ce livret est loin de couvrir tout le programme du collège, mais sera un outil de bases à conserver toute l'année de seconde. Comment utiliser ces fiches? Ne faites pas tout d'un coup! Ne commencez pas la dernière semaine des vacances! Chaque fiche comprend un rappel du cours et des eercices, Assurez-vous de maitriser le cours avant de faire les eercices. Ne laissez pas la calculatrice faire les calculs à votre place : vous devez maitriser les techniques de calcul!!! Si vous n'y arrivez pas tout de suite : ne baissez pas les bras, cherchez! Faites la recherche au brouillon puis répondez, avec soin, sur la fiche. Vérifiez les résultats sur la page réponses à la page 2 du livret. Si vous ne trouvez pas la bonne réponse, recherchez l'erreur. Ce travail fait pendant les vacances fera l'objet d'une évaluation, sans calculatrice, le mardi 2 septembre 204. Pour ceu qui souhaitent consolider leurs acquis de collège, vous pouvez aussi travailler sur le site : Bon courage, bonnes vacances et bonne rentrée au lycée Alain!

2 FICHE : SAVOIR CALCULER DES SOMMES ET DES DIFFERENCES ) Savoir calculer des sommes de nombres en écriture fractionnaire Propriété : Pour tous les nombres a, b et d avec d non nul, a d + b d = a+b d. a Méthode : a, b, c et d étant des entiers relatifs ( positifs ou négatifs ), b et d non nuls, pour additionner b et c, il d faut réduire ces deu nombres en écriture fractionnaire au même dénominateur, en choisissant comme dénominateur commun le plus petit multiple commun non nul au entiers b et d. Eemple : Calculer S= Les premiers multiples de 4 sont : 0 ; 4 ; 28 ; 42 ; 6 Les premiers multiples de 2 sont : 0 ; 2 ; 42 Le plus petit multiple commun à 4 et à 2 est 42. S= S= S= 42. Eercice : Calculer et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible. A= B= C=3+ 2 2) Savoir calculer des sommes de racines carrées Eemple : T= T=(3+7) 2 T=0 2 Pour calculer cette somme de racines carrées d'un même nombre, il a fallu factoriser. Méthode : On peut additionner des racines carrées de nombres différents. Pour cela, il faut transformer certaines d'entre elles pour obtenir une somme de racines carrées d'un même nombre. Eemple : R= 2+ 8 R= R= R=3 2 Eercice 2 : Calculer et donner le résultat sous la forme petit possible. a b avec a entier relatif et b entier positif le plus D= E = F = G= ) Savoir calculer des sommes où figurent des puissances Priorités des calculs ) Effectuer les calculs entre parenthèses 2) Effectuer les calculs de puissances de nombres 3) Calculer les produits 4) Calculer les sommes Eemple : U=+2 (3+4) 2 U= U=+2 49 U=99 U=+98 Eercice 3 : Calculer et donner le résultat sous la forme d'un nombre décimal H=(2 2 2 ) +( ) I= J= 3 2 +(3 7) 2 2

3 FICHE 2 : SAVOIR CALCULER UN PRODUIT, UN QUOTIENT. Savoir déterminer le signe d'un produit de plusieurs nombres relatifs différents de zéro. Propriété : Si le nombre de facteurs négatifs d'un produit est pair, alors ce produit est positif, Si le nombre de facteurs négatifs d'un produit est impair, alors ce produit est négatif. Eercice 4 : a) Déterminer le signe de A : A = (π 2)(π 8) b) Calculer B : B = ( 36,)( 36+,) c) Déduire de b) le signe de C : C = 36, 2. Savoir calculer un produit de nombres rationnels a Propriété : Pour tous les nombres entiers relatifs a, b, c et d avec b 0 et d 0, b c d = a c b d Remarque : Avant d'effectuer les produits, il faut penser à simplifier en décomposant les facteurs, Eemples : A = A = A = 6 3 B = B = B = 3 () 7 3 () 7 7 C = C = C = Eercice : Calculer et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible : 39 D = E = F = Savoir calculer un produit comportant des puissances d'un ou plusieurs nombres Propriété : Pour tous les nombres non nuls a et b et pour tous les entiers relatifs m et n, on a : a m a n =a m+n (a b) m =a m b m (a m ) n =a m n a m a ( a m= b) n =amn am b m Eemples : A= 3 B=(4 2 ) C=3 4 A= 3+() B=4 2 () C=(3 4) A= 2 B=4 0 C=2 Eercice 6 : Ecrire sous la forme d'une puissance de 3 les nombres suivants : D= E= F= 8 Eercice : Ecrire les nombres suivants sous la forme a n b m c q G=(a 3 b ) 2 H=a (bc) 2 a 3 b 2 I= ab2 ca 2 3

4 4. Savoir calculer un produit avec des racines carrés Propriété : Si a et b sont deu nombres positifs alors : a b= a b Eemple : Ecrire les nombres J et K sous la forme a b, b étant le nombre entier positif le plus petit possible. J= 200 J= 2 00 J= 2 00 J=0 2 K = 27 2 K = K = 27 2 K =3 3 2=8 Eercice 7 : Ecrire les nombres suivants sous la forme a b, b étant le nombre entier positif le plus petit possible. L= 0 M = 2 N= 8 0 P= 3 8 Q=(2 3) 2 R= Savoir calculer un quotient Définition : Pour tout nombre a non nul, l'inverse de a est le nombre qui, multiplié par a donne. Propriété : Pour tous nombres a et b non nuls, l'inverse de a est le nombre b a, Diviser par un nombre réel non nul a revient à multiplier par son inverse. a et l'inverse de a b est égal à Eemples : Calculer les nombres S et T et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible. S= 36 : 2 26 S= S= S= T= T= T= T= Eercice 8 : Ecrire les nombres ci-dessous sous la forme d'une fraction irréductible : U= 4 : 8 V= W= Z=

5 FICHE 3: SAVOIR GERER DES CALCULS NUMERIQUES ) Savoir différencier sommes et produits: Rappel des ordres de priorité dans les calculs: a) calculs entre parenthèses. (sachant qu'un trait de fraction vaut des parenthèses!) b) calculs avec opérateur ou fonction (racine carrée, eposant, inverse, cosinus, sinus...). c) multiplications et divisions dans l'ordre de l'écriture. d) additions et soustractions dans l'ordre de l'écriture. METHODE:. Si la dernière opération effectuée,en respectant l'ordre des priorités,est une addition ou une soustraction, alors l'epression à calculer est une somme.. Si la dernière opération effectuée, en respectant l'ordre des priorités, est une multiplication, alors l'epression à calculer est un produit. Eemples: A = et B= (3 +2)+(2 )(2 ) sont des sommes. C = (+2) 4 et D= ( +3)(4 ) sont des produits. Eercice 9 : Préciser s'il s'agit d'une somme ou d'un produit, puis effectuer les calculs suivants: E= ( 2 3) F= (2 3 3)(4 3+) G= H= ) Savoir donner le résultat sous la forme demandée: Un résultat peut s'écrire sous différentes formes:. écriture décimale: le résultat est une valeur eacte (et non approchée), il peut être un nombre entier ou un nombre décimal non entier avec un nombre fini de chiffres après la virgule.. fraction:le résultat est donné sous forme de fraction irréductible (pour cela on divisera le numérateur et le dénominateur par les éventuels diviseurs communs ). sous forme a b avec a et b entiers et b entier positif le plus petit possible ( vérifier bien que b n'est pas le produit d'un nombre entier et d' un carré,car il ne serait pas alors le plus petit possible!). écriture scientifique, c'est -à-dire sous la forme a 0 n ou a 0 n avec a décimal tel que a<0 et n entier relatif.

6 Eercice 0 : ) Soit A= Ecrire A sous forme d'une fraction irréductible. 2) Soit B= Ecrire B sous forme simplifiée (sous la forme a b avec a et b entiers et b entier positif le plus petit possible ). 3) Soit C= Donner l'écriture scientifique de C. 4) Soit D = ( 6 3) 2 8. Ecrire D sous forme a+b 2, avec a et b entiers relatifs. ) Soit E= Calculer E et donner le résultat sous forme décimale. ATTENTION: La calculatrice donne souvent une valeur approchée du résultat, et «calculer»signifie «donner une valeur eacte».lorsqu'on demande une valeur approchée, cela est précisé eplicitement dans l'énoncé. 6

7 Rappels : Tout calcul entre parenthèses est prioritaire. Fiche 4 : VOCABULAIRE ALGEBRIQUE En l'absence de parenthèses, les multiplications et divisions sont prioritaires sur les additions et soustractions. Dans une division sous forme fractionnaire, les calculs du numérateur et du dénominateur sont prioritaires. Eemples : Chacune des epressions est une somme S, une différence D, un produit ou un quotient Q. (2+3 7) S ; (2+3) 7 P ; ; 2 y 2 Q D Eercice : Ecrire pour chaque epression S si c'est une somme, D si c'est une différence, P si c'est un produit, Q si c'est un quotient. A=3 3 ; B= (+3)+ ; C=( +) 2 D= (2+)(4) ; E=( 3)(4) ; F=4+ 4 Rappels : Pour tout nombre a : Le double de a est 2a. Le carré de a est a 2 Le cube de a est a 3 L'opposé de a est -a et a+(-a)=0 L'inverse de a (avec a non nul) est a et a a = En l'absence de parenthèses, les multiplications et divisions sont prioritaires sur les additions et soustractions. Dans une division sous forme fractionnaire, les calculs du numérateur et du dénominateur sont prioritaires. Eercice 2 : Soit un nombre. Associer chaque epression de la colonne de gauche à une epression de la colonne de droite :. La somme des carrés de 2 et de. Réponse : b) a) (2 ) 2 2. L'opposé de la somme de 2 et de. Réponse : b) L'inverse du produit de 2 par. Réponse : c) La somme des inverses de et de 2 Réponse : (avec 0 ) d) +2. Le double du carré de. Réponse : e) (+2) 2 6. Le carré du double de. Réponse : 7. L'inverse de la somme de et 2 Réponse : (avec 2 ) f) g) Le carré de la somme de et de 2. Réponse : h) ( +2) 7

8 Eercice 3: Transformer le programme de calcul en un schéma en ligne comme dans l'eemple du programme. Programme : Prendre un nombre ajouter tripler le résultat Diviser le résultat par Programme 3 : Prendre un nombre élever au carré le résultat ajouter au résultat inverser ce résultat Programme 2: Prendre un nombre enlever 2 élever le résultat au cube ajouter 3 au résultat Programme 4: prendre un nombre non nul l'inverser multiplier le résultat par 3 prendre l'opposé de ce résultat ajouter 2 au résultat P : + (+) 3 P2 :... P3 : P4 : 3 ( +) Eercice 4 : Soit un nombre non nul. Donner sous forme simplifiée les opposés ou inverses des nombres : A () (2 ) Opposé de A B Inverse de B 8

9 FICHE : DÉVELOPPEMENT - FACTORISATION - RÉDUCTION Vocabulaire Développer une epression signifie transformer une epression (souvent un produit) en une somme algébrique. Factoriser une epression signifie transformer une epression (en général une somme algébrique) en un produit. Réduire une epression signifie simplifier son écriture : en simplifiant l écriture des multiplications ; en regroupant et en additionnant les termes de même nature. Eemples : Soit un nombre. Réduire : 2 +3 ; 2 3 ; et Solution : 2 +3 = 2 3 = = =6 4 Réduire A( ) : A( )= A( )= A( )= Eercice : Réduire B( )= B( )= Factoriser Propriété: Pour tous nombres k, a et b : =k k(a+b) a+k b Eemples : Soit un nombre. Développer C()= (3 7) : C()= (3 7) C()= 3 ( 7) C()= 2 +3 Eercice 6 : ) Développer et réduire E() : E()=3 (2 6 ) Développer 2) Factoriser F() : F()= 4(2 +) ( 3)(2 +) Factoriser D( )=( +)( 2) (+). D( )=( +)( 2) (+) D( )=( +)( 2) (+) D( )=( +)[( 2) ] D( )=( +)[ 2 ] D( )=( +)( 3) 3) Factoriser G( ) : G( )=(6 7 )( 2) ( +)(6 7 ) Propriété: Pour tous nombres a, b, c et d : (a+b)(c+d)=a c+a d +b c+b d Développer Eemple : Développer H( )=(6 4 )(3 7) : H( )=(6 4 )(3 7) H( )= ( 7)+( 4 ) 3 +( 4 ) ( 7) H( )= H( )= Eercice 7 : Développer et réduire I (). I ()=( +)( 3). 9

10 Propriété: Pour tous nombres a, b et c : +(a+bc)=+a+bc (a+bc)=ab+c Eemple : Développer et réduire J ()=( +3)( 2) (2 +)(+8) : J ()=( +3)( 2) (2 +)( +8) J ()=[ + ( 2)+3 +3 ( 2)] [ ] J ( )=[ ] [ ] J ()=[ 2 + 6] [ ] J ()= J ()= Eercice 8 : Développer et réduire K(). K()=(3 +)( 2)()( +4). Factoriser Propriété: Identités remarquables (a+b) 2 =a 2 +2a b+b 2 Pour tous nombres a et b : (a b) 2 =a 2 2a b+b 2 (a+b)(a b)=a 2 b 2 Eemples : Développer L( )=(2 +3) 2 L( )=(2 +3) 2 L( )=(2 ) L( )= M ( )=(4 ) 2 M ( )=(4 ) 2 2 (4 ) + 2 M ( )= N ( )=( 8)(+8) N ( )= N ( )= 2 64 M ( )=(4 ) 2 N ( )=( 8)(+8) Développer Factoriser O( )= P()=2 2 Q( )= O( )= O( )=(2 ) O( )=(2 ) 2 P()=2 2 P()=( ) 2 ( ) 2 P()=( +)( ) Q( )= Q( )= Q( )=( +) 2 Eercice 9 : ) Développer et réduire R( ) et S( ). 2) Factoriser T ( ) et U( ). R( )=(6 ) 2 S( )=( +2)( 2) T ( )= U( )= Eercice 20 : Soit V ( )=( +2) 2 ( )( +2) ) Développer et réduire V ( ). 2) Factoriser V ( ). 0

11 FICHE 6 : EQUATIONS-INEQUATIONS Rappels de cours sur les équations Propriété : Lorsqu'on ajoute ou retranche un même nombre au deu membres d'une équation, on obtient une autre équation qui a les mêmes solutions. Propriété 2 : Lorsqu'on multiplie ou divise chaque membre d'une équation par un même nombre non nul, on obtient une autre équation qui a les mêmes solutions. Propriété 3 : Un produit de facteurs est nul si et seulement si (au moins) un des facteurs est nul. Propriété 4 : Soit a un nombre strictement positif. L'équation ²=a admet deu solutions : a et a Eemple : +9=24 =249 = = =3 La solution est 3. Propriété : on a retranché 9 à chaque membre de l'équation Propriété 2 : on a divisé chaque membre de l'équation par Eercice 2 : 4 7=2 4 =... 4 =... =... =... La solution est... Eercice 22 : Résoudre les équations suivantes : 4 +2=2 (4 8)()=0 8( 6)=6 ²8= = 4 Propriété : on a Propriété 2 : on a ²=3 Rappels de cours sur les inéquations : pour tous nombres réels a, b et c, on a : Propriété : Si a<b alors a+c<b+c et ac<bc Propriété 2 : Propriété 3 : Eemple : +9<24 <249 < < <3 Si a<b et c>0 alors a c < b c et Si a<b et c<0 alors a c > b c et Propriété : on a retranché 9 à chaque membre de l'inéquation Propriété 2 : on a divisé chaque membre de l'inéquation par a c a c < > Eercice 23 : 3 7> > >... <... <... Eercice 24 : résoudre les inéquations suivantes et représenter les solutions sur un ae gradué 4 +2<2 4 8 >9 8(6) 6 3() > 4 b c b c Propriété : on a Propriété 3 : on a >0

12 page 2 A= 62 7 B= 7 8 Page 3 A<0 B=3,7 C>0 Page 4 REPONSES DU LIVRET (cocher les réponses vérifiées au fur et à mesure) C= 7 D= D=9 2 E= 3 F =2 G=6 2 H =8, I =00,03 J =08 E= F= 2 L= 2 M =6 2 N =20 P=8 Q=2 R=60 3 Page Somme E=684 Produit F =8+9 3 Page 6 D=3 0 E=3 2 F=3 4 G=a 6 b 0 H=a 2 c 2 I=a 3 b 2 c Somme G= 32 2 U= 3 2 V = 2 Produit W= 8 0 H =3 2 A= 3 B=8 C=3,6 0 6 D=96 2 E=37, 2 Page 7 A : D B : S C : P D : D E : P F : S 2.h 3.f 4.g.c 6.a 7.d 8.e Page 8 P2 : ( 2) 3 +3 P3 : 2 + P3 : 3 +2 Z= 9 32 Opposé de A ( )( 2) Inverse de B Page = 2 2 B( )=4 2 E()= F()=0 2 7 G( )=3(67 ) I ( )= Page 0 K()= R( )= S( )= 2 4 T ( )=(33 )(3+3 ) U ()=(6 +) 2 Forme développée : V ( )= Forme factorisée : V ( )=( +2)(4 +3) Page Propriété : on a ajouté 7 au deu membres de l'équation Propriété 2 : on a multiplié par 4 les deu membres de l'équation = 8 =2ou = =8 =9ou =9 = 3 2 = 7ou = 7 Propriété : on a ajouté 7 au deu membres de l'inéquation Propriété 2 : on a multiplié par l'inéquation 4 3 les deu membres de > 8 > < 3 2 >4 2