Modèles GARCH et à volatilité stochastique Université de Montréal 14 mars 2007

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1 Université de Montréal 14 mars 2007 Christian FRANCQ GREMARS-EQUIPPE, Université Lille 3 Propriétés statistiques des modèles GARCH

2 Outline 1 Identification 2

3 Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH 1 Identification Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH 2

4 Identification d un ARMA-GARCH Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH P Q X t a i X t i = ǫ t b i ǫ t i i=1 i=1 q p ǫ t = σ t η t, σt 2 = ω + α i ǫ 2 t i + β j σt j 2 i=1 j=1 Absence d autocorrélation? P et Q. Effet ARCH? Identification des ordres GARCH p et q.

5 Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH Outils pour l identification i) Corrélogrammes de X 1,...,X n ou de ˆǫ 2 1,..., ˆǫ2 n : (ǫ2 t ) suit un ARMA(p q,p); ii) Tests portmanteau, tests d effet ARCH; iii) Méthode du coin, epsilon-algorithme,...; iv) Critères d information (AIC, BIC,...); v) Test de significativité de coefficients ; vi) Analyse de résidus.

6 Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH Vérification de l absence d autocorrélation : ǫ t = X t ˆρ(h) Fig.: Autocorrelations de l indice S&P (en pointillé ±1.96/ n, avec n = 5804). h Si (ǫ t ) bruit blanc iid nˆρ(h) L N (0,1), pour tout h 0. ˆρ(h) = ˆγ(h) ˆγ(0), n h ˆγ(h) = n 1 t=1 ǫ t ǫ t+ h

7 Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH Autocorrélations empiriques d un GARCH ˆγ m = (ˆγ(1),..., ˆγ(m)), ˆρ m = (ˆρ(1),..., ˆρ(m)) Si Eǫ 4 t < alors nˆγm L N (0,Σˆγm ) et où nˆρm L N ( 0,Σˆρm := γ(0) 2 Σˆγm ), Σˆγm = ( Eǫ 2 t ǫ t iǫ t j ). Remarque : Σˆρm est diagonale lorsque la loi de η t est symétrique.

8 Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH Exemple : ARCH (1) On a, si µ 4 α 2 < 1, D où Eǫ 2 t = ω 1 α, Eǫ2 tǫ 2 t 1 = n 1/2ˆρ(1) L N ω 2 (1 + αµ 4 ) (1 µ 4 α 2 )(1 α) { 0, (1 α)(1 + αµ } 4) (1 µ 4 α 2. ) La variance asymptotique est plus grande que pour un bruit indépendant : 1 + α(µ 4 1) (1 µ 4 α 2 ) > 1. Cependant, l écart diminue avec h : Eǫ 2 t ǫ2 t h γ 2 (0) 1 = α(eǫ 2 t ǫ2 t (h 1) γ 2 (0) 1)

9 Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH Ne pas faire confiance aux bandes de confiance { ǫt = σ t η t, η t N(0,1) σ 2 t = ǫ2 t σ2 t Fig.: Autocorrélations empiriques d une simulation d un bruit blanc fort (graphe de gauche) et du GARCH(1,1) (graphe de droite).

10 Estimations des limites de significativité Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH Fig.: Corrélogramme d une simulation de taille n = 5000 d un GARCH(1,1).

11 Tests portmanteau Identification Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH Q m = nˆρ mˆσ 1 L ˆρ m ˆρ m χ 2 m et Q r m = nˆr mˆσ 1 L ˆρ mˆr m χ 2 m m mais := n ˆρ 2 L (i) χ 2 m, Q BP m i=1 Q LB m := n(n + 2) Q r,bp m := n m ˆρ 2 L (i)/(n i) χ 2 m, i=1 m ˆr 2 L (i) χ 2 m i=1 où ˆr m = (ˆr(1),..., ˆr(m)) : vecteur d autocorrélations partielles

12 Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH Tab.: Tests portmanteau sur une simulation de taille n = 5000 d un GARCH(1,1). Tests de bruit GARCH basés sur Q m m ˆρ(m) ˆσˆρ(m) Q m P(χ 2 m > Q m) Tests usuels, pour hypothèse de bruit blanc fort m ˆρ(m) ˆσˆρ(m) Q LB m P(χ 2 m > Q LB m )

13 Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH Tab.: Comme le tableau précédent, mais pour des tests fondés sur les autocorrélations partielles à la place des autocorrélations. Tests de bruit GARCH basés sur Q r m m ˆr(m) ˆσˆr(m) Q r m P(χ 2 m > Qr m ) Tests de bruit blanc fort basés sur Q r,lb m m ˆr(m) ˆσˆr(m) Q r,lb m P(χ 2 m > Q r,lb m )

14 Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH X t = η t η t η t 2, η t iid N(0,1). Tab.: Tests portmanteau de GARCH pur, sur une simulation de taille n = 100 d une MA(2) Tests de bruit GARCH fondés sur les autocorrélations m Q m P(χ 2 m > Q m) Tests de bruit GARCH fondés sur les autocorrélations partielles m Q r m P(χ 2 m > Q r m)

15 Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH X t = η t η t η t 2, η t iid N(0,1). Tab.: Tests portmanteau de bruit blanc fort, sur une simulation de taille n = 100 d une MA(2) Tests de bruit blanc fort fondés sur les autocorrélations m Q LB m P(χ 2 m > Q LB m ) Tests de bruit blanc fort fondés sur les autocorrélations partielles m Q r,bp m P(χ 2 m > Qr,BP m )

16 Test LM d effet ARCH Identification Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH Cas GARCH pur (P = Q = 0). H 0 : p = q = 0 Corrélogrammes des carrés ǫ 2 t + tests portmanteau; Test LM. Le test du multiplicateur de Lagrange (ou du score, ou de Rao) : ǫ 2 t = β 0 + β 1 ǫ 2 t β qǫ 2 t q + u t LM := nr 2 χ 2 q sous H 0

17 Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH X t ARMA(P,Q) et Eǫ 4 t < (i.e. EX 4 t < ) MA(Q) ρ X (h) = 0 pour tout h > Q, AR(P) r X (h) = 0 pour tout h > P. Formule de Bartlett généralisée Si Eǫ t1 ǫ t2 ǫ t3 ǫ t4 = 0 quand t 1 t 2, t 1 t 3 et t 1 t 4 alors lim ncov {ˆρ(i), ˆρ(j)} = v ij + v n ij, où v i,j = ϕ {ρ X ( )} (formule de Bartlett usuelle) v i,j = ϕ {ρ X ( ),ρ ǫ 2( ),η ǫ := Kur(ǫ t )}.

18 Expressions explicites : Identification Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH v ij = ρ X (l)[2ρ X (i)ρ X (j)ρ X (l) 2ρ X (i)ρ X (l + j) l= 2ρ X (j)ρ X (l + i) + ρ X (l + j i) + ρ X (l j i)], vij = +(η ǫ 1) ρ ǫ 2(l) [ 2ρ X (i)ρ X (j)ρ 2 X (l) 2ρ X(j)ρ X (l)ρ X (l + i) l= 2ρ X (i)ρ X (l)ρ X (l + j) + ρ X (l + i) {ρ X (l + j) + ρ X (l j)}].

19 Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH Algorithme pour estimer les v ij et v ij : L algorithme suivant est rapide quand on utilise l algorithme de Durbin-Levinson pour ajuster les modèles AR. i) On ajuste un AR(p 0 ) à la série X 1,...,X n en utilisant un critère d information pour sélectionner l ordre p 0 ; ii) On calcule les ACRT ρ 1 (h), de ce modèle AR(p 0 ); iii) On calcule les résidus e p0 +1,...,e n du modèle AR(p 0 ); iv) On ajuste un AR(p 1 ) à la série e 2 p 0 +1,...,e2 n en utilisant un critère d information pour sélectionner p 1 ; v) On calcule les ACRT ρ 2 (h), de ce modèle AR(p 1 ); vi) On estime lim n ncov {ˆρ(i), ˆρ(j)} par ˆv ij + ˆv ij, où

20 Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH ˆv ij = l max l= l max ρ 1 (l)[2ρ 1 (i)ρ 1 (j)ρ 1 (l) 2ρ 1 (i)ρ 1 (l + j) 2ρ 1 (j)ρ 1 (l + i) + ρ 1 (l + j i) + ρ 1 (l j i)], ˆv ij = ˆγ ǫ 2(0) ˆγ 2 ǫ (0) lmax [ ρ 2 (l) 2ρ1 (i)ρ 1 (j)ρ 2 1 (l) 2ρ 1(j)ρ 1 (l)ρ 1 (l + i) l= l max 2ρ 1 (i)ρ 1 (l)ρ 1 (l + j) + ρ 1 (l + i) {ρ 1 (l + j) + ρ 1 (l j)}], l max : paramètre de troncation déterminé numériquement de sorte que ρ 1 (l) et ρ 2 (l) soient inférieurs à une certaine tolérance (ex ) pour tout l > l max.

21 Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH ARMA(2,1)-GARCH(1,1) X t 0.8X t X t 2 = ǫ t 0.8ǫ t 1 ǫ t = σ t η t, η t iid N(0,1) σt 2 = ǫ 2 t σ2 t Fig.: Corrélogramme (graphe de gauche) et corrélogramme partiel (graphe de droite) : bandes de confiance à 95% pour n = 1000.

22 Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH ARMA(2,1)-GARCH(1,1) X t 0.8X t X t 2 = ǫ t 0.8ǫ t 1 ǫ t = σ t η t, η t iid N(0,1) σt 2 = ǫ2 t σ2 t h 20 h Fig.: Autocorrélations et autocorrélations partielles empiriques d une simulation de taille n = Les traits en pointillé estiment les bandes de confiance à 95%.

23 Méthode du coin Identification Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH (l,k) = det[ρ X (l + i j)] 1 i k,1 j k ARMA(P, Q) minimal si et seulement si (i,j) = 0 i > Q et j > P, (i,p) 0 i Q, (Q,j) 0 j P. i\j Q Q ρ 1 ρ 2... ρ q ρ q P P

24 Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH Valeurs studentisées t(i, j) = n ˆ (i,j) ˆσˆ (i,j) Sur une simulation de taille n = 1000 d un ARMA(2,1)-GARCH(1,1).p..q

25 Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH Identification d un GARCH pur : ǫ 2 t ARMA(p q, p) Sur une simulation de taille n = 5000 du GARCH(2,1) σ 2 t = ǫ 2 t σ 2 t σ 2 t 2.max(p,q)..p

26 Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH Identification de p et q pour un ARMA-GARCH ˆǫ 2 t ǫ 2 t Sur une simulation de taille n = 1000 du ARMA(2,1)-GARCH(1,1).max(p,q)..p

27 1 Identification 2

28 Estimation par MCO de modèles ARCH(q) ARCH(q) : u t = ǫ 2 t σ2 t = (η2 t 1)σ2 t différence de martingale Représentation AR semi-forte q ǫ 2 t = ω 0 + α 0i ǫ 2 t i + u t, t = 1,...,n i=1 où Y = Xθ 0 + U, Y = (ǫ 2 1,...,ǫ2 n ), θ 0 = (ω 0,α 01,...,α 0q ). ˆθ n = (X X) 1 X Y

29 Convergence des MCO Si Eǫ 8 t < + hypothèses de régularité n (ˆθ n θ 0 ) L N(0, (κη 1)A 1 BA 1 ) où A = E θ0 (Z t 1 Z t 1 ), B = E θ 0 (σ 4 t Z t 1Z t 1 ), Z t 1 = ( 1,ǫ 2 t 1,...,ǫ2 t q). ( ω = 1, α = 0.1 ) ( ω = 1, α = 0.2 ) ( ω = 1, α = 0.3 ) Tab.: Matrice de variance asymptotique des MCO dans le cas ARCH(1)

30 Estimation par MCG Identification Afin de tenir compte de l hétéroscédasticité conditionnelle on définit l estimateur des moindres carrés pondérés θ = ( X X) 1 X Ỹ. (1) où X = σ 2 1 (ˆθ) ǫ ǫ 2 q+1. σn 2 (ˆθ) ǫ 2 n 1... ǫ 2 n q, Ỹ = ǫ 2 1. ǫ 2 n. Si Eǫ 8 t < + hypothèses de régularité n ( θn θ 0 ) L N(0, (κη 1)J 1 ), J = E(σt 4 Z t 1 Z t 1).

31 Quasi-Maximum de Vraisemblance Un estimateur QMV de θ = (θ 1,...,θ p+q+1 ) = (ω,α 1,...,α q,β 1,...,β p ) est une solution mesurable ˆθ n de ˆθ n = arg min ln (θ), θ Θ où ln (θ) = n 1 n t=1 l t, et lt = l t (θ) = ǫ2 t σ 2 t + log σ 2 t.

32 Convergence : Identification A θ (z) = q i=1 α iz i, B θ (z) = 1 p j=1 β jz j. A1 : θ 0 Θ [ω, ) [0, ) p+q et Θ compact. A2 : γ(a 0 ) < 0 et θ Θ, p j=1 β j < 1. A3 : A4 : η 2 t a une distribution non dégénérée. si p > 0, A θ0 (z) et B θ0 (z) n ont pas de racine commune, A θ0 (1) 0, et α 0q + β 0p 0. Convergence Sous A1-A4, l estimateur QMV est fortement convergent : ˆθ n θ 0 p.s.

33 Normalité asymptotique : A5 : κ η := Eηt 4 <. A6 : θ 0 Θ, où Θ désigne l intérieur Θ. Normalité asymptotique Sous A1-A6, n(ˆθn θ 0 ) D N { 0,(κ η 1)J 1}, où ( 2 ) ( l t (θ 0 ) 1 J := E θ0 θ θ = E θ0 σt 4(θ 0) σ 2 t (θ 0) θ σt 2(θ ) 0) θ.

34 Exemple : le cas ARCH(1) ( ω = 1, α = 0.1 ) ( ω = 1, α = 0.5 ) ( ω = 1, α = 0.95 ) Tab.: Matrice de variance asymptotique du QMV dans le cas ARCH(1)

35 Expériences de simulation n α n RMSE(α) {Var as [ n(ˆα n α 0 )]} 1/2 / n ˆP[ˆα n 1] Tab.: Comparaison de la loi asymptotique et de la loi empirique de l estimateur de α 0, pour 1000 simulations d un ARCH(1), ω 0 = 0.2, α 0 = 0.9.

36 Problème cette théorie ne marche pas lorsque certains coefficients GARCH sont nuls q p σ t 2 (θ) = ω + α i ǫ 2 t i + β j σ t j(θ) 2 0 i=1 j=1 contraintes sur Θ α 0i = 0 ou β 0j = 0 θ 0 Θ Ce n est pas le cas pour les ARMA

37 Quand le paramètre est sur le bord (coefficients nuls) : La loi asymptotique n est pas normale Quand θ 0 (i) = 0, } n {ˆθ(i) θ0 (i) 0 p.s., n. La matrice d information J = E θ0 ( 1 σ 4 t (θ 0) σ 2 t (θ 0 ) θ σt 2 ) (θ 0 ) θ peut ne pas exister sans conditions de moments supplémentaires.

38 Loi asymptotique Λ = lim n(θ θ0 ) = Λ 1 Λ p+q+1, n Λ i = R si θ 0i 0, Λ i = [0, ) si θ 0i = 0. Comportement asymptotique du QMV Sous des hypothèses de régularité, n(ˆθn θ 0 ) D λ Λ où λ Λ := arg inf λ Λ {λ Z} J {λ Z}, avec Z N ( 0,(κ η 1)J 1).

39 Exemple 1 : Un seul coefficient est nul θ 0 = (θ 01,θ 02,...,θ 0,p+q,0) Λ = R p+q [0, ), γ i = E(Z p+q+1z i ) Var(Z p+q+1 ) n(ˆθn θ 0 ) N λ Λ = Z 1 γ 1 Z p+q+1. Z p+q γ p+q Z p+q+1 Z + p+q+1

40 Modèle ARCH(1) ajusté à un bruit : θ 0 = (ω 0, 0) Fig.: Distribution asymptotique de n(ˆω n ω 0 ) Fig.: Distribution asymptotique de nˆα n

41 Exemple 2 : Aucun effet GARCH ARCH(q) avec θ 0 = (ω 0,0,...,0). Λ = R [0, ) q et Z N { ( 0,(κ η 1)J 1 (κη + 1)ω = 0 2 ω 0 e ω 0 e I q )}. n(ˆθn θ 0 ) L λ Λ = Z 1 + ω 0 (Z Z q+1 ) Z + 2. Z + q+1.

42 Test de nullité de certains coefficients θ 0 = (θ (1) 0,θ(2) 0 ), θ (i) R d i, d 1 + d 2 = p + q + 1. Hypothèse nulle : H 0 : θ (2) 0 = 0 Hypothèse maintenue : θ (1) 0 > 0 (+ A1 A5, A7 et A8 ou A9)

43 Statistiques de test : W n = n (2) ˆθ n ˆκ η 1 Identification { KĴn 1 K } 1 ˆθ(2) n Wald, ) ) n l n (ˆθ n 2 l n (ˆθ n 2 R n = ˆκ η 1 θ Ĵ 1 n 2 M. Lagrange (Rao, score) θ { } L n = 2 log L n (ˆθ) log L n (ˆθ n 2 ) Quasi rapport de vrais., ˆθ n 2 : estimateur contraint de θ 0 et K = ( I d1, 0 d1 d 2 ). Région critiques usuelles au niveau asymptotique α : {W n > χ 2 d 2 (1 α)}, {R n > χ 2 d 2 (1 α)}, {L n > χ 2 d 2 (1 α)}.

44 Distributions sous la nulle : Sous H 0 et les hypothèses précédentes W n L W = λ Λ Ωλ Λ, R n L χ 2 d2, L n L L = 1 2 Ω = K { (κ η 1)KJ 1 K } 1 K. { } inf Z Kλ 0 λ 2 J inf Z Kλ=0 λ 2 J.

45 Le comportement asymptotique du test de Rao est très différent de celui des 2 autres tests. Sous H 0 et sous des alternatives locales o P (1) W n = 2 ˆκ η 1 L n.

46 Exemple 1 : Tester qu un coefficient est nul. H 0 : α 0i = 0 (ou H 0 : β 0j = 0) W = 2 κ η 1 L = U2 1l U δ χ2 1 où U N(0,1). Les tests { } 2 {W n > χ 2 1 (1 2α)} ˆκ η 1 L n > χ 2 1 (1 2α) ont même niveau asymptotique α (pour α 1/2). Le test standard {W n > χ 2 1 (1 α)} a le niveau asymptotique α/2.

47 Fig.: Puissance locale asymptotique du test de Wald (trait plein) et du test du score (en pointillé) pour tester qu un coefficient GARCH est nul.

48 Exemple 2 : Tester l homoscédasticité contre un ARCH(q). H 0 : α 01 = = α 0q = 0 Le test du score est très simple : R n n R 2 où R 2 est le coefficient de détermination dans la régression de ǫ 2 t sur c et ǫ2 t 1,...,ǫ2 t q. Le test de Wald est aussi très simple : W n n q ˆα 2 i. i=1

49 Comparaison empirique des puissances Tab.: Pourcentage de rejet de l hypothèse d homoscédasticité conditionnelle. Le nombre de répliques est N = 5000, le niveau nominal est 5%, le DGP est ARCH(q) avec α i = n 1/2. q n = 500 n = 1000 n = W n R n L n W n R n L n W n R n L n

50 En résumé Pour les modèles GARCH, convergence and normalité asymptotique peuvent être obtenus sans hypothèse de moment sur ǫ t. On a besoin de θ 0 Θ pour la normalité asymptotique. Quand θ 0 / Θ, la loi asymptotique n est pas normale, mais c est la projection d un vecteur gaussien sur un cône convexe. Pour tester H 0 : ǫ t GARCH(p 0,q 0 ) contre H 1 : ǫ t GARCH(p,q) avec (p,q) > (p 0,q 0 ) la loi asymptotique de la statistique de Wald ou du rapport de vraisemblance n est pas χ 2, asymptotiquement, le test du score n est pas affectée par des coefficients nuls sous H 0.

51 Le test de Wald modifié d homoscédasticité conditionnelle { } ( q n ˆα 2 i > c 1 q ( ) ) q 1 q,α, P 2 q δ 0 + i 2 q χ2 i > c q,α = α, i=1 i=1 semble attractif pour sa simplicité et ses performances.