Médiane Écart interquartile

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1 Médiane Écart interquartile Quantiles Les quantiles permettent d étudier la répartition de la population d une série statistique à caractère quantitatif. Ce sont des caractéristiques de position. Médiane On cherche une valeur de la variable qui partage la population en deux groupes de même effectif : 50% dans l un, 50% dans l autre. Dans la pratique, les groupes ne sont pas toujours de taille égale. La définition suivante rend compte de cette difficulté. Définition - Médiane La médiane, notée Me, est la plus petite valeur x i de la variable supérieure ou égale à au moins 50 % des données. Me est donc la plus petite valeur dont la fréquence cumulée atteint ou dépasse 50 %. Calcul pratique de la médiane Cas discret On trie les valeurs de la série par ordre croissant, chaque valeur apparaissant le nombre de fois indiqué par son effectif ou bien l on regroupe les valeurs par ordre croissant dans un tableau, chaque valeur étant pondérée par l effectif correspondant. On distingue deux cas suivant que l effectif de la population est pair ou impair : Si l'effectif total est 2n + 1 (impair) où n est un entier, la médiane est la valeur classée au rang n + 1. Si l'effectif total est 2n (pair) où n est entier, la médiane est la valeur classée au rang n. D autres définitions retiennent pour médiane dans le cas pair, toute valeur entre n et n + 1. En pratique dans le cas d une liste de nombres, c est la moyenne arithmétique des deux valeurs centrales n et n + 1 qui est le plus souvent utilisée comme médiane. Représentation graphique Cas d un effectif impair V 9 = Me est la plus petite valeur dont la fréquence cumulée dépasse 50 % (aucune valeur ne correspond exactement à 50% des fréquences). N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 1

2 Cas d un effectif pair V 8 = Me est la plus petite valeur dont la fréquence cumulée atteint 50 %. Exemples 1) On a indiqué dans le tableau suivant la distance entre le bureau et le domicile (en km) d un groupe d employés parisiens. Distance Effectif Effectifs cumulés croissants La médiane de cette série est Me = 2 ; En effet, il y a 100 employés considérés. La médiane correspond à la distance parcourue par le 50 ième employé (classés par ordre croissant de la distance parcouru pour aller travailler). Or, seulement 20 employés parcourent entre 0 et 1 km pour aller au bureau et 55 parcourent entre 0 et 2 km. D où le résultat. Interprétation : la moitié des employés parisiens parcoure une distance inférieure ou égale à 2 km, et l autre moitié parcoure une distance comprise entre 2 et 8 km. 2) La température est relevée chaque heure pendant 4 jours dans une forêt. Les 97 résultats obtenus ont été triés et sont rassemblés dans le tableau suivant : Température 14, , , , , ,5 Nombre de relevés N = 97 (Nombre impair). N = 48,5. La médiane Me est la température correspondant au 2 49ième relevé. Soit Me = 16,5. Interprétation : 50 % des relevés ont une température inférieure ou égale à 16,5 degrés. Cas continu On commence par déterminer la classe médiane, c est-à-dire l intervalle dans lequel se situe la médiane. Pour cela, on calcule les effectifs cumulés croissants puis on détermine dans quel intervalle est atteint 50 % de la population totale. On peut déterminer graphiquement une valeur approchée de la médiane en traçant la courbe des effectifs cumulés croissants et décroissants. La médiane est leur point d intersection. Si l on trace uniquement la courbe des effectifs cumulés croissants, on choisit comme médiane l unique antécédent N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 2

3 de y = 50 (dans le cas de la fréquence en pourcentage comme sur le graphique ci-dessous) ou de y = N 2 dans le cas d un effectif égal à N. Exemple Dans une succursale de banque, on a noté le montant des 2000 versements effectués au guichet pendant la journée. On donne le tableau suivant dans lequel on a déterminé les effectifs cumulés croissants et décroissants : Montant (en ) ]0 ; 500[ [500 ; 750[ [750 ; 1000[ [1000 ; 1500[ [1500 ; 3000[ Effectif ECC ECD Sur le graphique ci-dessous on a représenté la série statistique à partir des fréquences en pourcentage. Le premier point de la courbe des ECC a pour coordonnées x = valeur minimum de la variable et y = 0. Chaque autre point de la courbe des ECC, appelé polygone des ECC, a pour abscisse la valeur supérieure de la classe et pour ordonnée l'effectif cumulé croissant correspondant. Chaque point du polygone des ECD a pour abscisse la valeur inférieure de la classe et pour ordonnée l'effectif cumulé décroissant correspondant. Le dernier point de la courbe des ECD a pour cordonnées x = valeur maximum de la variable et y = 0. Les points extrêmes de la courbe forment un rectangle. Les polygones des ECC et ECD sont symétriques par rapport à l axe passant par le point d intersection et parallèle à l axe (Ox) des abscisses. y D Q1 Med Q3 D9 x N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 3

4 Détermination graphique de la médiane La classe médiane est [750 ; 1000[. On détermine la médiane par lecture graphique de l abscisse du point d intersection entre les courbes des effectifs cumulés croissants et décroissants ou en recherchant l antécédent de la valeur y = 50%. On trouve une médiane Me 900. Interprétation : La moitié des versements effectués dans cette succursale ont un montant inférieur ou égal à 900 euros. Quartiles Les quartiles, notés Q 1, Q 2 = Me, Q 3, sont 3 valeurs de la variable qui partagent la population en 4 groupes de même effectif. Chaque groupe est en théorie constitué de 25% des effectifs. Q 1 est la plus petite valeur x i de la variable supérieure ou égale à au moins 25 % des données. Q 1 est la plus petite valeur dont la fréquence cumulée atteint ou dépasse 25 %. Q 3 est la plus petite valeur x i de la variable supérieure ou égale à au moins 75 % des données. Q 3 est la plus petite valeur dont la fréquence cumulée atteint ou dépasse 75 %. Déciles Les déciles, notés d 1, d 2,, d 9, sont 9 valeurs de la variable qui partagent la population en 10 groupes de même effectif. Chaque groupe est constitué de 10 % des effectifs. On peut de la même manière définir les 99 centiles qui partagent la population en 100 groupes de même effectif, chaque groupe étant constitué d un centième des effectifs. Calcul pratique des quartiles et des déciles Le premier quartile Q1 de la série est la valeur x i dont le rang i est le plus petit entier supérieur ou égal à n 4. Le deuxième quartile Q2 de la série est la valeur x i dont le rang i est le plus petit entier supérieur ou égal à 2n 4 = n 2. Le troisième quartile Q3 de la série est la valeur x i dont le rang i est le plus petit entier supérieur ou égal à 3n 4. Le premier décile D1 de la série est la valeur x i dont l indice i est le plus petit entier supérieur ou égal à n 10. Le neuvième décile D9 de la série est la valeur x i dont le rang i est le plus petit entier supérieur ou égal à 9n 10. N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 4

5 Exemple La température est relevée chaque heure pendant 4 jours dans une forêt. Les 97 résultats obtenus ont été triés et sont rassemblés dans le tableau suivant : Température 14, , , , , ,5 Nombre de relevés Effectifs cumulés N = 97 ; N 2 = 97 2 = 48,5. La médiane Me est la température correspondant au 49ième relevé. Soit Me = 16,5. N 4 = 24,25 donc le premier quartile Q 1 correspond au 25 ième relevé soit Q 1 = 16 3N 4 = 72,75 donc le troisième quartile Q 3 correspond au 73 ième relevé soit Q 1 = 18. N 10 = 9,7 donc le premier décile D 1 correspond au 10 ième relevé soit D 1 = 15 9N 10 = 87,3 donc le neuvième décile D 9 correspond au 88 ième relevé soit D 9 = 19 Étendue L étendue est la différence entre les deux valeurs extrêmes observées. Écart interquantiles L écart interquartile est la différence Q 3 Q 1. Il contient au moins 50% des observations. C est un indicateur de dispersion des valeurs de la série par rapport à la médiane. L intervalle [Q 1 ; Q 3 ] est appelé intervalle interquartile. L écart inter-décile est la différence d 9 d 1. Il contient au moins 80% des observations. Les écarts interquantiles sont des indicateurs de dispersion des valeurs de la série statistique. Interprétation Les quantiles sont de bons indicateurs de la répartition de la population d une distribution statistique. Les intervalles interquartiles et plus généralement interquantiles sont insensibles aux variations des valeurs extrêmes (qui peuvent être aberrantes). Ils améliorent la notion d étendue en éliminant les valeurs extrêmes. Exemple Les revenus salariaux annuels des salariés de 25 à 55 ans, en euros er décile (D1) ème décile (D2) N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 5

6 3ème décile (D3) ème décile (D4) Médiane (D5) ème décile (D6) ème décile (D7) ème décile (D8) ème décile (D9) Champ : France métropolitaine, individus dont le revenu déclaré au fisc est positif ou nul et dont la personne de référence n'est pas étudiante. Interprétation : En 2008, 10% de la population avait un revenu annuel inférieur ou égal à par an soit 876,66 par mois. 50% de la population avait un revenu annuel inférieur ou égal à soit 1 582,5 par mois. 10 % de la population avait un revenu annuel supérieur à soit 2 962,5 par mois. Le tableau ne rend pas compte de la dispersion au sein des 10 % les plus riches. Il faudrait faire une analyse plus fine et par exemple voir la répartition au sein de cette sous population en analysant les centiles entre 90 et 99. Comparaison entre la moyenne et la médiane Niveau de vie des individus - En euros 2008/an Année Moyenne Médiane Interprétation : En 2008, Le salaire moyen en France était de euros soit 1842,5 euros par mois et le salaire médian était de soit 1582,5 euros par mois. 50% de la population vivait avec un salaire mensuel inférieur ou égal à 1582,5 euros alors que le salaire moyen était de 1842,5 euros. La plus grande valeur du salaire moyen par rapport à la médiane traduit l influence des salaires les plus importants dans le calcul de la moyenne. Le nombre important de bas salaires influe sur une valeur médiane plus petite. Sources : Insee-DGI, enquêtes Revenus fiscaux 1970 à 1990, Insee-DGI, enquêtes Revenus fiscaux et sociaux rétropolées 1996 à 2004, Insee-DGFiP-Cnaf-Cnav-CCMSA, enquêtes Revenus fiscaux et sociaux de 2005 à La médiane et l écart interquartile constituent un second résumé d une série statistique. N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 6

7 Diagramme en boîte La représentation graphique de la dispersion d une série statistique se fait à l aide de graphiques appelés «boîte à moustaches» ou «box-plot» ou encore diagramme de Tukey. Définition Diagramme en boîte Pour une catégorie donnée, on construit, en face d un axe permettant de repérer les quantiles de la variable étudiée, un rectangle dont la longueur est égale à l intervalle interquartile, la médiane est représentée par un trait. Deux traits repèrent le premier et neuvième décile. Les observations n appartenant pas à l intervalle interdécile sont représentées à l aide de points. Pour l'interprétation, on décrit un étalement de valeurs ou, au contraire, une concentration de valeurs. On peut avoir aussi une répartition équilibrée. On se servira pour cela de l'étendue, de l'écart interquartile et des intervalles [ Q1 ; Me ], [ min ; Q1 ], [ Me ; max ],... Exemple Le diagramme ci-dessous représente le relevé des températures chaque heure pendant 4 jours dans une forêt , , , , , ,5 20x D1 Q1 Med Q3 D9 On observe une concentration plus forte des températures les plus fraîches. En effet : Me min = 16,5 14,5 = 2. Max Me = 19,5 16,5 = 3 Il y a seulement deux degrés d écart entre la température la plus basse et la médiane contre 3 degrés d écart entre la température médiane et la température maximale. On observe aussi une plus forte concentration entre Q 1 et Me qu entre Q 3 et Me. Q 3 Me = 18 16,5 = 1,5 Me Q 1 = 16,5 16 = 0,5 : 25% des températures sont comprises entre 16 et 16,5 degrés. N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 7

8 Utilisation de la calculatrice Sur TI nspire Aller à la page d accueil puis ouvrir le menu tableur. Dans la première colonne, entrer les valeurs de la variable. Dans la deuxième colonne entrer les effectifs correspondants. Choisir le menu 4 : Statistiques puis le menu 1 : Calculs statistiques puis le menu 1 : Statistiques à une variable. Entrer Nombre de listes : 1 puis Liste des X1 (variable) : a [ ] Liste des fréquences (effectifs) : b [ ]. 1 ère colonne de résultats : c[ ] Puis OK. Les résultats sont affichés dans la 3 ème colonne (colonne c) : La moyenne x, l écart-type σx, l effectif total n, la valeur minimum min X, la médiane MédianeX, la valeur maximum max X. Attention Le mode de calcul des quartiles Q1 et Q3 sur la calculatrice n est pas le même que celui préconisé dans les programmes. De ce fait, les résultats obtenus seront souvent différents des résultats attendus. Pour la calculatrice, Q1 est la médiane des valeurs comprises entre minx et Med et Q3 est la médiane des valeurs comprises entre Med et maxx. Pour effacer les données : se placer sur le haut de la colonne et appuyer sur la flèche du haut jusqu à ce que la colonne soit bleutée. Appuyer ensuite sur Clear (Ctrl del). Sur TI et Casio Math x page 183 N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 8