Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B

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1 EXERCICE 1 (12 points) Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. A. Résolution d une équation différentielle On considère l équation différentielle (E) : y 2y + y = 8 e x. où y est une fonction de la variable réelle x, définie et deux fois dérivable sur R, y la fonction dérivée de y et y sa fonction dérivée seconde. 1. Déterminer les solutions définies sur R de l équation différentielle (E 0 ) : y 2y + y = Soit h la fonction définie sur R par h(x) = 4x 2 e x. Démontrer que la fonction h est une solution particulière de l équation différentielle (E). 3. En déduire l ensemble des solutions de l équation différentielle (E). 4. Déterminer la solution f de l équation différentielle (E) qui vérifie les conditions initiales f(0) = 4 et f (0) = 4. B. Étude locale d une fonction Soit f la fonction définie sur R par f(x) = (4x 2 4) e x. Sa courbe représentative C dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous

2 1. (a) Démontrer que pour tout réel x, f (x) = 4(x 2 + 2x 1) e x. (b) Donner sans justification la valeur exacte et la valeur approchée à 10 2 de l abscisse de chacun des points de la courbe C où la tangente est parallèle à l axe des abscisses. 2. (a) Démontrer que le développement limité, à l ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction f est : f(x) = 4 4x + 2x 2 + x 2 ɛ(x) avec lim ɛ(x) = 0. (b) Déduire du (a)une équation de la tangente T à la courbe C au point d abscisse 0. (c) Étudier la position relative de C et T au voisinage du point d abscisse 0. C. Calcul intégral Dans cette partie, les questions 1 et 2 peuvent être traitées de façon indépendante. 1. La fonction f définie au début de la partie B est une solution de l équation différentielle (E) de la partie A. Donc, pour tout réel x de R, f(x) = f (x) + 2f (x) + 8 e x. En déduire une primitive F de la fonction f sur R. 2. (a) Donner, sans justification, le signe de f(x) sur l intervalle [ 0 ; 1 ]. (b) Dans cette question, on admet que la fonction F définie sur R par F(x) = (4x 2 8x + 4) e x est une primitive de la fonction f. Déduire de ce qui précède l aire A, en unités d aire, de la partie du plan limitée par l axe des abscisses, la courbe C et les droites d équation x = 0 et x =

3 EXERCICE 2 (8 points) Les quatre parties de cet exercice sont indépendantes On s intéresse au chantier de construction d un tronçon de TGV. Les travaux de terrassement nécessitent la mise à disposition d une flotte importante de pelles sur chenilles et de camions-benne. La réalisation de l ouvrage nécessite de grandes quantités de fers à béton. Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à A. Loi normale On note X la variable aléatoire qui, à chaque pelle prélevée au hasard dans la flotte, associe le nombre de m 3 de matériaux extraits pendant la première heure du chantier. On suppose que la variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne 120 et d écart-type Calculer P(110 X 130). 2. Calculer la probabilité que la pelle extraie moins de 100 m 3 pendant la première heure de chantier. B. Loi de Poisson On note Y la variable aléatoire qui, à toute heure travaillée prise au hasard pendant la première semaine de chantier, associe le nombre de camions-benne entrant dans la zone 1 de chantier pour charger les matériaux. On suppose que la variable aléatoire Y suit la loi de Poisson de paramètre Calculer la probabilité de l évènement A : «pendant une heure prise au hasard, il n entre aucun camion-benne sur la zone 1 du chantier.» 2. Calculer la probabilité de l évènement B : «pendant une heure prise au hasard, il entre au plus quatre camions-benne sur la zone 1 du chantier.» -3-

4 C. Loi binomiale On note E l évènement : «un camion-benne pris au hasard dans la flotte n a pas de panne ou de sinistre pendant le premier mois du chantier.» On suppose que la probabilité de l évènement E est 0,9. On prélève au hasard 10 camions-benne dans la flotte pour les affecter à une zone de chantier. Le nombre de camions-benne de la flotte est assez important pour que l on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 10 camions-benne. On désigne par Z la variable aléatoire qui à tout prélèvement de ce type associe le nombre de camions-benne n ayant pas eu de panne ou de sinistre pendant le premier mois de chantier. 1. Justifier que la variable aléatoire Z suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 2. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, aucun des 10 camions-benne n ait de panne ni de sinistre pendant le premier mois de chantier. D. Test d hypothèse De grandes quantités d un certain type de fers cylindriques pour le béton armé, de diamètre 25 millimètres, doivent être réceptionnées sur le chantier. On se propose de construire un test d hypothèse bilatéral pour contrôler, au moment de la réception d une livraison, la moyenne µ de l ensemble des diamètres en millimètres des fers à béton. On note M la variable aléatoire qui à chaque fer prélevé au hasard dans la livraison, associe son diamètre en millimètres. La variable aléatoire M suit la loi normale de moyenne inconnue µ et d écart-type 0, 2. On désigne par M la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 100 fers prélevés dans la livraison, associe la moyenne des diamètres des fers de cet échantillon. La livraison est assez importante pour que l on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise. L hypothèse nulle est H 0 : µ = 25. Dans ce cas, la livraison est dite conforme pour le diamètre. L hypothèse alternative est H 1 : µ 25. Le seuil de signification du test est fixée à 0, Sous l hypothèse H 0, on admet que la variable aléatoire M suit la loi normale de moyenne 25 et d écart-type 0, 02. On admet également que P(24, 961 M 25, 039) = 0, 95. Ce résultat, où 0, 95 est une valeur approchée, n a pas à être démontré. Énoncer la règle de décision permettant d utiliser ce test. 2. On prélève un échantillon aléatoire de 100 fers à béton et on observe que, pour cet échantillon, la moyenne des diamètres est x = 24, 978. Peut-on, au seuil de 5 %, conclure que la livraison est conforme pour le diamètre? -4-

5 EXERCICE 1 Correction DS5 A. Résolution d une équation différentielle 1. On résout l équation caractéristique de (E 0 ) : r 2 2r + 1 = 0 (r 1) 2 = 0. Elle admet une racine double r = 1, les solutions sont alors les fonctions de la forme y 0 (x) = (Ax + B) e x avec A et B des réels. 2. En dérivant successivement à l aide du produit, on a : h (x) = 4 2x e x + 4x 2 e x h (x) = (8x + 4x 2 ) e x. h (x) = ( x) e x + (8x + 4x 2 ) e x h (x) = (4x x + 8) e x. En remplaçant y par h dans (E), on a alors : h (x) 2h(x) + h(x) = (4x x + 8) e x 2 (8x + 4x 2 ) e x + 4x 2 e x h (x) 2h(x) + h(x) = (4x 2 8x 2 + 4x x 16x + 8) e x = 8 e x. D où : La fonction h est une solution particulière de l équation (E). 3. Les solutions générales s obtiennent en ajoutant une solution particulière à la solution générale de l équation homogène. On obtient alors : y(x) = y 0 (x) + h(x) y(x) = (Ax + B) e x + 4x 2 e x. y(x) = (4x 2 + Ax + B) e x. 4. f(0) = 4 ( A 0 + B) e 0 = 4 f(0) = 4 B = 4. f (x) = (8x + A) e x + (4x 2 + Ax + B) e x f (x) = (4x 2 + (8 + A)x + A + B) e x d où : f (0) = 4 ( (8 + A) 0 + A + B) e 0 = 4 f (0) = 4 A + B = 4 f (0) = 4 A = 0. f(x) = (4x 2 4) e x avec A et B des réels. B. Étude locale d une fonction 1. (a) f (x) = 8x e x + (4x 2 4) e x f (x) = (4x 2 + 8x 4) e x d où en factorisant par 4 : f (x) = 4(x 2 + 2x 1) e x

6 (b) La tangente à la courbe est parallèle à l axe des abscisses si et seulement si on a f (x) = 0, ce qui équivaut à x 2 + 2x 1 = 0 : On trouve = b 2 4ac = 8 qui est positif, on a deux deux solutions : x 1 = 1 2 2, 41 et x 2 = , (a) Le développement limité, à l ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction exponentielle est : e x = 1 + x + x2 2 + x2 ɛ(x) avec lim ɛ(x) = 0. Pour obtenir le développement limité à l ordre 2 au voisinage de 0 de la fonction f, il faut multiplier ce développement par (4x 2 4) et ne garder que les termes de degré inférieur ou égal à( 2. On obtient : ) f(x) = (4x 2 4) 1 + x + x2 2 + x2 ɛ(x) f(x) = 4x 2 4 4x 2x 2 + x 2 ɛ 1 (x) f(x) = 4 4x + 2x 2 + x 2 ɛ 1 (x) avec lim ɛ(x) = 0, avec lim ɛ 1 (x) = 0, d où : avec lim ɛ 1 (x) = 0 (b) Une équation de la tangente T à la courbe C au point d abscisse 0 est donnée par la partie affine (termes de degrés inférieurs où égaux à 1) de ce développement limité : L équation de la tangente à C en 0 est T : y = 4x 4. (c) On étudie le signe de «l écart» entre C est T : f(x) ( 4x 4) = 2x 2 + x 2 ɛ 1 (x) qui est du signe de 2x 2 au voisinage de 0, donc positif. La courbe C est au dessus de la tangente T au voisinage de 0. C. Calcul intégral 1. f(x) = f (x) + 2f (x) + 8 e x donc, en primitivant : F(x) = f (x) + 2f(x) + 8 e x, F(x) = 4(x 2 + 2x 1) e x + 2(4x 2 4) e x + 8 e x F(x) = ( 4x 2 8x x ) e x F(x) = (4x 2 8x + 4) e x. Une primitive de f sur R est : F(x) = 4(x 2 2x + 1) e x. 2. (a) f(x) est du signe de 4x 2 4, expression qui est négative sur [ 0 ; 1 ]. (on peut aussi regarder le graphique...). f(x) est négatif sur [ 0 ; 1 ] (b) L aire du domaine demandé est : A = A = [ F(x)] 1 0 U.A. A = F(1) + F(0) U.A. 1 0 f(x) dx U.A. A = ( ) e 1 + ( ) e 0 U.A. = 4 U.A. L aire demandée vaut A = 4 U.A

7 EXERCICE 2 (8 points) A. Loi normale 1. la variable aléatoire T = X 120 suit la loi normale centrée N (0, 1). On a donc : 10 P(110 X 130) = P(110 ( 10T ) ) P(110 X 130) = P T P(110 X 130) = P( 1 T 1) P(110 X 130) = 2Π(1) 1 P(110 X 130) = 2 0, , P(X 100) = P (10T ( ) ) P(X 100) = P T 10 P(X 100) = P(T 2) P(110 X 130) 0, 683 P(X 100) = P(T 2) (par symétrie de la courbe de Gauss) P(X 100) = 1 P(T 2) P(X 100) = 1 Π(2) P(X 100) = 1 0, , La probabilité que la pelle prélevée extraie moins de 100 m 2 pendant la première heure du chantier est de 0, 023. B. Loi de Poisson 1. P(A) = P(Y = 0) P(A) = e , ! La probabilité que, pendant une heure prise au hasard, il n entre aucun camion-benne sur la zone 1 du chantier est de P(A) = 0, P(B) = P(Y 4) P(B) = P(Y = 0) + P(Y = 1) + P(Y = 2) + P(Y = 3) + P(Y = 4) P(B) = 0, , , , 140+, 176 0, 441. La probabilité que, pendant une heure prise au hasard, il entre au plus quatre camions-benne sur la zone 1 du chantier est de P(A) = 0,

8 C. Loi binomiale 1. Chaque prélèvement est constitué de 10 épreuves élémentaires indépendantes puisque le prélèvement est assimilé à un tirage avec remise, chaque épreuve élémentaire n a que deux issues possibles : le camion-benne n a pas de panne ou de sinistre pendant le premier mois du chantier, de probabilité p = 0, 9, le camion-benne a eu une panne ou un sinistre pendant le premier mois du chantier, de probabilité q = 0, 1 ; la variable aléatoire Z mesure le nombre de camion-benne ayant eu aucun sinistre, donc : Z suit la loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0, 9 : Z N (10 ; 0, 9) 2. P(Z = 10) = C , 910 0, 1 0 0, 349. La probabilité qu aucun camion-benne n ait de panne ou de sinistre durant le premier mois de chantier est de 0, 349. D. Test d hypothèse 1. On prélève un échantillon aléatoire de 100 fers et on calcule la moyenne m des diamètres des fers : Si m [ 24, 964 ; 25, 039 ], on accepte l hypothèse H 0 au seuil de 5% et on rejette H 1, si m [ 24, 964 ; 25, 039 ], on rejette l hypothèse H 0 et on accepte H Ici, x = 24, 978 et x [ 24, 964 ; 25, 039 ] donc, on accepte H 0 au seuil de 5% soit : La livraison est conforme pour le diamètre, au seuil de 5%