3. En donner une interprétation graphique. 3 [ par f(x) = ln(-2x + 3) + 2x.

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1 T ES Mathématiques DS 5 le 18/01/01 Exercice 1 (5,5 POINTS ) On considère une fonction f définie et dérivable sur l intervalle [- ; 4]. On note f la fonction dérivée de la fonction f. La courbe C f, tracée ci-contre, représente la fonction f dans le plan muni d un repère orthonormal d unité graphique cm. La courbe C f passe par les points B(0 ; ) et A(-1 ; e). Elle admet au point A une tangente parallèle à l axe des abscisses. La tangente (T ) au point B à la courbe C f passe par le point D( ; 0). 1. En utilisant les données graphiques, donner sans justifier : (T) a. Le nombre de solutions sur l intervalle [- ; 4] de l équation f( =1 et un encadrement d amplitude 0,5 des solutions éventuelles. b. La valeur de f (-1). c. le signe de la dérivée de f de la fonction f sur l intervalle [- ; 4].. Donner en justifiant : a. Le coefficient directeur de la tangente (T ). b. Une équation de la tangente à la courbe C f au point A d abscisse -1. c. Celle des trois courbes C 1, C, C ci-après qui représente la fonction dérivée f de la fonction f. Exercice (9,5points ) Partie A On considère la fonction f définie sur l intervalle I = [0 ; [ par f( = ln(-x + ) + x. La fonction f est dérivable sur l intervalle I et on note f sa fonction dérivée. 1. Étudier la ite de f en. En donner une interprétation graphique. 4x 4. Montrer que la fonction f est définie sur l intervalle I par f ( =. x. Donner le tableau des variations de f. 4. a. Montrer que, sur l intervalle [0 ; 1], l équation f( =1,9 admet une unique solution α. b. Donner une valeur approchée à 10 près par défaut de α. Partie B Application de la partie A Une entreprise, fournisseur d énergie, envisage d installer un parc d éoliennes en pleine mer. L installation du parc en mer nécessite un câblage coûteux et délicat, mais le fait d éloigner les éoliennes des turbulences dues aux reliefs de la côte améliore leur rendement. On note x la distance en dizaines de kilomètres séparant le parc de la côte. Pour des raisons techniques, l installation doit se faire entre deux et douze kilomètres de la côte, c est-à-dire qu on a 0, x 1,. Un service spécialisé, au sein de l entreprise, arrive à la modélisation suivante : Si l installation se fait à x dizaines de kilomètres de la côte, le bénéfice en centaines de milliers d euros réalisé, par année de fonctionnement du parc, est donné par f(. 1. a. À combien de kilomètres de la côte le fournisseur d énergie doit-il placer le parc pour que son bénéfice soit maximal? b. Déterminer le bénéfice réalisé, en euros, en plaçant le parc à cette distance.. À partir de quelle distance x de la côte, exprimée en dizaines de kilomètres, le bénéfice dépasse-t-il euros?

2 Exercice (7 POINTS ) g est la fonction définie sur R -{1} par g( = x 1. C g est la courbe représentant g dans un repère orthonormal. 1. Etudier la ite de g en +, en - et en 1. En déduire une équation d une asymptote à la courbe C g.. Notons (d) la droite d équation y =x + 1. a. Montrer que (d) est asymptote oblique à la courbe C g en + et en -. b. Etudier la position de C g par rapport à (d).. Résoudre g( = 0. Interpréter graphiquement les résultats. Exercice 4 (8 POINTS ) Le tableau ci-dessous donne le montant en milliards d euros de l encours des crédits aux ménages (encours en fin d année). Année Rang x i Montant de l encours des crédits y i 48,5 508,9 541,8 580,5 69,5 71,9 79,7 877,1 940,1 (Source INSEE) 1. Calculer le pourcentage d évolution de l encours des crédits aux ménages entre les années 000 et 008. (On donnera une valeur arrondie au centième).. Représenter le nuage de points associé à la série (x i ; y i ) dans le repère du plan ci-dessous. Sur l axe des abscisses, on placera O à l origine et on choisira 1 cm pour représenter une année. Sur l axe des ordonnées, on placera 400 à l origine et on choisira 1 cm pour représenter 100 milliards d euros.. a. Pourquoi un ajustement affine du nuage de points est-il justifié? b. Déterminer une équation de la droite D d ajustement affine de y en x obtenue par méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au dixième près. c. Représenter la droite D dans le repère précédent. d. En admettant que le modèle précédent est valable pour les années suivantes, calculer le montant en milliards d euros de l encours des crédits aux ménages en On a constaté que le montant de l encours des crédits aux ménages a augmenté en moyenne de 5,6 % par an entre 008 et 010. Avec ce deuxième modèle, calculer le montant de l encours des crédits aux ménages en 010 (valeur arrondie au dixième). 5. Pour chacun des modèles précédents, déterminer à partir de quelle année le montant de l encours des crédits aux ménages dépassera 1 00 milliards d euros.

3 Exercice 1 (5,5 POINTS ) Corrigé 1. a. Les solutions de l équation f( =1 sont les abscisses des points de C f qui ont une ordonnée égale à 1. Il y a solutions α et γ. Les encadrements sont : -< α < -1,75 et 1< γ <1,5 b. f (-1) = 0. c. Si x [- ; -1[, f ( > 0 ; si x = -1, f ( = 0 et si x ]-1 ; 4], f ( < 0 yb yd 0. a. La tangente (T ) passe par B(0 ; ) et D( ; 0), son coefficient directeur est alors égal à 1 xb xd 0 b. Une équation de la tangente à la courbe C f au point A d abscisse -1 est : y = f (-1)(x (-1)) + f(-1) = 0 x (x + 1) + e soit y = e. c. D après ce qui précède, la fonction dérivée vérifie les propriétés suivantes : Si x [- ; -1[, f ( > 0 ; si x ]-1 ; 4], f ( < 0 ; f (-1) = 0 et f (0 )= -1. C représente alors la fonction dérivée f Exercice ( 8 points ) Partie A On considère la fonction f définie sur l intervalle I = [0 ; [ par f( = ln(-x + ) + x. La fonction f est dérivable sur l intervalle I et on note f sa fonction dérivée. 1. Pour tout réel x de [0 ; [, f( = g( + h( avec g( = ln(-x + ) et h( = x. Posons pour tout réel x de I, u( = -x +. Pour tout réel x de [0 ; [, u( > 0 d où ln(u() existe. x x u( = 0 et x = Donc par somme, ln(x) = - donc par composée, X 0 x ln (u()= - x f( =-. La droite d équation x = 1,5 est une asymptote verticale à la courbe.. f est une somme de fonctions dérivables sur [0 ; [, donc f est dérivable sur [0 ; [ et pour tout réel x de I u'( ( x ) 4x 4 f ( =. u( x x x. Etudions le signe de f ( : Pour tout réel x de [0 ; [, -x + >0 donc f ( est du même signe que -4x + 4. Si x [0 ; 1[,-4x + 4> 0 et si x [1 ; [, -4x + 4< 0. Le tableau de variation de f sur [0 ; [ est x 0 1 f ( + 0 f ( ln - 4. a. La fonction f est continue et strictement croissante sur l intervalle [0 ; 1] et ln < 1,9 < donc 1,9 [f(0) ; f(1)], d après le théorème des valeurs intermédiaires l équation f( =1,9 admet une unique solution α appartenant à l intervalle [0 ; 1]. b. Une valeur approchée à 10 près par défaut de α est 0,74. Partie B Application de la partie A 1. a. D après la partie A, la fonction f admet un maximum lorsque x =1. Le bénéfice est alors maximal lorsque le parc est situé à 10 kilomètres de la côte. b. f(1) =. Le bénéfice réalisé, en euros, en plaçant le parc à cette distance est euros.. On a montré dans la question de la partie A que, sur [0 ; 1], l équation f( =1,9 admet une unique solution α avec 0,74< α < 0,75. On montre de la même façon que sur [1 ; 1,] l équation f( =1,9 admet une unique solution γ avec 1,19< γ < 1,0. La fonction f étant strictement croissante sur [0 ; 1] et strictement décroissante sur [1 ; 1,] : f( 1,9 x. Le bénéfice dépasse euros lorsque la distance est comprise entre 7,5 et 11,9 km.

4 Exercice (7 POINTS ) g est la fonction définie sur R -{1} par g( = x 1. C g est la courbe représentant g dans un repère orthonormal. 1. Pour tout réel x de R -{1}, g( = f( + h( avec f( et h( = f( = x 1 et h( = 0 donc par somme g( = +. x x x x x f( = x 1 et h( = 0 donc par somme g( = -. x x x x x Pour tout réel x >1, x 1> 0 et 0 donc par quotient et règle des signes. x1 f( = x 1 et h( x1 x1 x1 = - donc par somme g( = -. Pour tout réel x <1, x 1< 0 et 0 donc par quotient et règle des signes. x1 x1 f( = x 1 et h( x1 = + donc par somme La droite d équation x =1 est une asymptote verticale à la courbe C g.. a. g( (x + 1) = h( = 0 et g( (x + 1) = x x x x La droite (d) est alors asymptote oblique à la courbe C g en + et en -. g( = +. h( x x = 0 b. Pour tout réel x de R -{1}, g( (x + 1) = h( = Pour tout réel x <1, x 1< 0 et >0. Pour tout réel x >1, x 1> 0 et <0. Donc sur ]- ; 1[, la courbe C g est au dessus de la droite (d) et sur ]1 ; + [, la courbe C g est en dessous de la droite (d). (x 1)( ) x x. g ( 0 x Cherchons les racines du trinôme du second degré x x. On a Δ = (-1) 4xx(-) = Comme Δ>0 alors il y a deux racines x 1 1 et x 1, Les solutions de l équation g( = 0 sont -1 et 1,5. La courbe C g coupe l axe des abscisses en deux points dont les coordonnées respectives sont (-1 ; 0) et (1,5 ; 0)

5 Exercice 4 (POINTS )