Exercice 2 du cours Gestion de patrimoine : «Analyse d un produit à capital garanti»

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1 Exercice du cours Gestion de patrimoine : «Analyse d un produit à capital garanti» Les produits structurés sont des produits financiers proposés dans le cadre de la gestion privée. Avant d investir dans ce type de produits, les conseillers en gestion de fortune devront prendre en considération les caractéristiques suivantes de ces produits de placement : la rentabilité anticipée, la liquidité et le risque. Dans le cadre du mandat qu il leur est confié par leurs clients, il est en général indiqué que les investissements financiers ne doivent pas conduire à une perte de capital. Conscient de ce type de contraintes d investissement, les banques privées proposent des produits structurés à capital garanti. Différents aspects de l investissement dans un produit structuré avec une garantie en capital sont étudiés dans cet exercice : construction du produit, analyse des caractéristiques du produit et analyse des risques du produit pour le client. I. Présentation du produit Suite à la cession de son entreprise, un client dispose d importantes liquidités à investir. Pour se donner le temps de la réflexion, il souhaite placer ces liquidités à court terme. Mi juillet, il étudie une des propositions de son banquier conseil qui concerne un produit structuré à capital garanti. Le produit proposé par la banque a les caractéristiques suivantes : Investissement initial : Sous jacent : l indice CAC 40 Période d investissement : du 1 er août (date d émission) au 31 janvier (date d échéance) Structure de rémunération : en cas de hausse de l indice CAC 40 sur la période d investissement, la rentabilité du produit est égale à la rentabilité de l indice sur cette même période multipliée par un coefficient appelé «taux de participation» égal à 40% pour ce produit. En cas de baisse de l indice CAC 40, la rentabilité du produit est égale à 0%. II. Informations financières Afin d étudier le produit, vous disposez d informations financières. Le taux d un placement en titres sans risque est de 5% (taux annuel). La volatilité historique de l indice CAC 40 est de 1% (écart type annualisé des rentabilités logarithmiques journalières de l indice estimé sur les 1 derniers mois). 1 1 On pourra aussi estimer la volatilité historique à partir du fichier de données sur le site. Ces données pourront être actualisées à partir du site Internet d Euronext pour l indice CAC 40 ou d un site de courtage en ligne pour la volatilité d options.

2 La volatilité implicite des options sur l indice CAC 40 cotées sur le marché, fonction de la maturité et du prix d exercice par rapport au cours du sous jacent, est donnée ci dessous : Maturité des options 3 mois 6 mois 9 mois 1 an En dehors de la monnaie 10,1% 10,65% 10,86% 11,0% A la monnaie 9,71% 10,00% 10,3% 10,4% Dans la monnaie 9,47% 9,60% 9,83% 10,11% D après un trader contacté dans une salle de marché, les informations ci dessus (le niveau du taux d intérêt et de la volatilité) ne devraient pas évoluer de façon significative d ici la date de l investissement le 1 er août. Seule la valeur de l indice CAC 40 pourrait fluctuer de manière significative d ici là. D après le trader, le marché s attend à une hausse moyenne de 0,5% par mois de l indice CAC 40 sur les prochains mois. Vous disposez aussi d un pricer développé en interne. Cet outil utilisant la formule de Black Scholes Merton permet de calculer le prix de calls et de puts. Les résultats obtenus sont donnés en Annexe 1. L annexe donne la distribution d une loi normale centrée réduite. III. Questions A. Analyse du produit Question 1 : représenter graphiquement la rentabilité du produit à capital garanti en fonction de la rentabilité de l indice CAC 40 sur la période d investissement. En déduire la décomposition du produit à capital garanti en produits simples (achat/vente de titres sans risque, achat/vente de l indice CAC 40, achat/vente de calls, achat/vente de puts, etc.). Question : expliquer comment la banque «fabrique» un produit à capital garanti. On décrira les opérations financières réalisées par la banque aux différentes dates pertinentes. Expliquer comment la banque se rémunère sur ce type de produit. Calculer la marge de la banque en euros et en pourcentage du nominal du produit. Question 3 : étudier la sensibilité du taux de participation du produit à capital garanti. Identifier les variables de marché pertinentes, indiquer l impact de ces variables sur le taux de participation (signe) et quantifier cet impact (taille) à l aide d exemples numériques. Dans quelles configurations de marché le taux de participation du produit à capital garanti est il particulièrement élevé? B. Analyse de la rentabilité et du risque du produit Question 4 : représenter graphiquement la distribution statistique de la rentabilité du produit à capital garanti. On considérera deux approches : une approche paramétrique fondée sur l hypothèse de normalité pour la distribution statistique des rentabilités de l indice CAC 40 et une approche historique fondée sur la distribution historique des rentabilités de l indice CAC 40. Indiquer les informations pertinentes sur le graphique.

3 Question 5 : quel est le principal avantage et le principal inconvénient d un produit à capital garanti pour un placement de trésorerie? Suggérer une modification du produit proposé par la banque pour augmenter le taux de participation si le client est prêt à prendre un petit risque sur le capital investi ou si le client est prêt à renoncer à la performance de l indice au delà d un certain niveau. C. Produits structurés alternatifs Question 6 : présenter trois produits structurés récemment commercialisés par des banques. On s intéressera en particulier aux caractéristiques suivantes : actif(s) sous jacent(s), nature de la garantie, formule d indexation pour la performance, intérêt pour l investisseur, etc. IV. Références A. Livres Cox J. C. et M. Rubinstein (1985) Options Markets Prentice Hall. Hull J. C. (005) Options, Futures and Other Derivatives Prentice Hall, Sixième édition. B. Articles Black F. et M. Scholes (1973) The Pricing of Options and Corporate Liabilities, Journal of Political Economy, 81, Lacoste V. et Longin F. (003) Term guaranteed fund management: the option method and the cushion method, Proceeding of the French Finance Association, Lyon, France. Merton R. (1974) On the Pricing of Corporate Debt, Journal of Finance, 9, C. Sites Internet : site de la Bourse Euronext d où l on peut télécharger les données historiques de cours de l indice CAC 40 (rubrique «Cours»). : site de courtage en ligne où l on peut consulter des prix d options sur le l indice CAC 40 (rubrique «Dérivés»). : aller dans la rubrique Ressources où des pricers sont disponibles en ligne. Ces pricers vous permettent de calculer numériquement la valeur d options standards (calls et puts) d après la formule de Black Scholes Merton.

4 Annexe 1 Prix de calls et de puts Les tableaux ci dessous donnent le prix de calls et de puts de maturité de 6 mois sur un sousjacent de valeur initiale 1 et ne versant pas de dividendes. Les prix sont obtenus à partir de la formule de Black Scholes Merton. Prix en fonction de la volatilité (Prix d exercice : 1 Taux d intérêt : 5%) Volatilité de l'actif sous jacent 8% 9% 10% 11% 1% Prix du call 0, , , , ,04708 Prix du put 0,0108 0, , , ,0518 Prix des options en fonction du taux d intérêt (Prix d exercice : 1 Volatilité : 10%) Taux d'intérêt sans risque 3,0% 4,0% 5,0% 6,0% 7,0% Prix du call 0, , , , ,0484 Prix du put 0, , , , , Prix des options en fonction du prix d exercice (Taux d intérêt : 5% Volatilité : 10%) Prix d'exercice 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 Prix du call 0, ,0783 0, , , Prix du put 0, , , , ,079007

5 Annexe Distribution de la loi normale centrée réduite La probabilité N(x) pour qu une variable aléatoire normale X centrée réduite (moyenne égale à 0 et écart type égal à 1) soit inférieure à une valeur x fixée est donnée par la formule suivante: u 1 x N ( x ) = e du. Cette probabilité correspond à l aire grisée sous la courbe de la π densité de probabilité de la loi normale: N (x ) La table ci dessous donne les valeurs d une loi normale standard. La première colonne contient la valeur x avec la première décimale, et la première ligne contient la deuxième décimale de la valeur x. Par exemple, la probabilité pour qu une variable normale centrée réduite soit inférieure à 1,15 est égale à 87,49%. x x 0,00 0,01 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,510 0,5160 0,5199 0,539 0,579 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0, 0,5793 0,583 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,606 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,617 0,655 0,693 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,668 0,6664 0,6700 0,6736 0,677 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,713 0,7157 0,7190 0,74 0,6 0,757 0,791 0,734 0,7357 0,7389 0,74 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,764 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,783 0,785 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,803 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,81 0,838 0,864 0,889 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,861 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,879 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1, 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,895 0,8944 0,896 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,903 0,9049 0,9066 0,908 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,916 0,9177 1,4 0,919 0,907 0,9 0,936 0,951 0,965 0,979 0,99 0,9306 0,9319 1,5 0,933 0,9345 0,9357 0,9370 0,938 0,9394 0,9406 0,9418 0,949 0,9441 1,6 0,945 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,955 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,958 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,965 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,976 0,973 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767,0 0,977 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,981 0,9817,1 0,981 0,986 0,9830 0,9834 0,9838 0,984 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857, 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916,4 0,9918 0,990 0,99 0,995 0,997 0,999 0,9931 0,993 0,9934 0,9936,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,995,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,996 0,9963 0,9964,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,997 0,9973 0,9974,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981,9 0,9981 0,998 0,998 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 Pour une valeur x négative, la probabilité N(x) est obtenue à partir de la relation suivante: N(x) = 1 N( x).