TD 11 : Fonctions Continues et le Théorème des Valeurs Intermédiaires

Transcription

1 Université Paris Est Créteil DAEU TD : Fonctions Continues et le Théorème des Valeurs Intermédiaires Dans cette fiche on définie une propriété très importante qui est vérifiée par un très grand nombre de fonctions : la continuité. On énonce et on utilise un théorème sacrément intuitif. Representation graphique Eercice On se donne la fonction f définie sur l intervalle [,8] dont la représentation graphique est donnée ci dessous Déterminer les images de,,, et 6 par f.. Déterminer l epression de f() pour [, 8].. Par lecture graphique, déterminer (a) lim > f() (b) lim f() (c) lim f() < (d) lim f() > (e) lim f() 6 <6 (f) lim f() 6 >6. Que peut-on dire de lim < Les fonctions continues. Définitions et eemples f() et de lim f()? 8 >8 Dans toute cette section (" Les fonctions continues") on travail sur un intervalle quelconque qui contient au moins deu éléments, cette intervalle sera noté I. C est à dire : I est un intervalle borné : pour a,b R tels que a < b I = [a,b] ou bien I =]a,b] ou bien I = [a,b[ ou bien I =]a,b[

2 ou bien I est un intervalle non-borné (avec c R) : I =]c,+ [ ou bien I = [c,+ [ ou bien I =],c] ou bien I =],c[ ou bien I = R. On dit qu une fonction f définie sur un intervalle I est continue lorsque pour tout I on a lim f() = f( ), c est à dire lim f() eiste cette limite vaut f( ) Cette définition peut sembler bien étrange à première vu... Par contre une interprétation graphique simple peut-être faite : Une fonction f définie sur un intervalle I est continue lorsque l on peut tracer sa représentation graphique sans lever le stylo. Si une fonction n est pas continue, on dit qu elle est discontinue; moralement on peut visualiser une telle fonction comme présentant des sauts (voir le graphe de l eercice au points = et = 6). Eercice. Soit f : [,] { R si [,]. si ],] a. Dans le graphique ci-contre tracer la courbe représentative de la fonction f sur l intervalle [, ]. b. La continuité par le graphique. En observant la représentation graphique de la fonction f, selon vous, f est-elle continue? > c. La continuité par le calcul. Calculer lim f(). La fonction f estelle continue dans [, ]? Eemple. Les fonctions usuelles sont continues sur tout intervalle inclus dans leur domaine de définition : f() = est continue sur R - - f() = est continue sur R f() = est continue sur ],[ et ], [ - - f() = e est continue sur R

3 Remarques. Le fait que les fonctions usuelles soient continue sur leur ensemble de définition permet de justifier les calculs du type lim 5 = ou bien lim 57 = Par contre cela ne dit rien pour des limites intéressantes, i.e. pour des limites sur le bord du domaine de définition. Eemple. On peut facilement construire des fonctions qui sont discontinues : si [,[ f() = si = est discontinue si ],] On observe un saut en = La fonction partie entière définie par f() où f() est l entier qui est immédiatement inférieur ou égal à Cette fonction est définie sur R et est discontinue : on observe des sauts en chaque valeures entières de On peut montrer la proposition suivante [voir Eercice ] Proposition. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Si f est dérivable sur I alors f est continue sur I. Eercice Démontrer la proposition précédente. Remarque. Attention la réciproque à la proposition précédente est fausse : il eiste des fonctions continues qui ne sont pas dérivables. [Voir Eercice ] Eercice On a déjà rencontrer la fonction valeur absolue qui a R associe la valeur absolue de notée " " où { si = si.. Tracer le graphe de la fonction valeur absolue pour [ 5,5].. Pourquoi la fonction valeur absolue est-elle continue sur [ 5,5]? [Utiliser le graphique]. Montrer que n est pas dérivable en.

4 . Le Théorème des Valeurs Intermédiaires On travail dans cette section sur un intervalle fermée et bornée : I = [a,b] où a,b R et a < b. On se donne une fonction f définie et continue sur [a,b]. Définition. On dit que l R est une valeur comprise entre f(a) et f(b) lorsque f(a) l f(b) si f(a) f(b) ou bien. f(a) l f(b) si f(a) > f(b) Le Théorème des Valeurs Intermédiaires (abrégé par TVI et énoncé ci-dessous) eprime un fait presque évident : on fie une valeur l comprise entre f(a) et f(b) Le but du TVI est de prouver l eistence d une solution à l équation f() = l où l inconnue est et parcourt l intervalle [a, b]. L eistence d une telle solution est affreusement évidente sur un graphique, cela se fait en étapes : ) On trace la courbe C de la fonction f C f(a) ) On place l sur les ordonnées On trace la droite y = l (ici en pointillés) C f(a) ) Le théorème dit : il eiste [a,b] tel que le point (,l) soit sur la courbe C f(a) [ a ] b [ a l - ] b [ a l - ] b f(b) f(b) f(b) Plus précisément, le théorème peut s énoncer de la manière suivante : Théorème des Valeurs Intermédiaires [TVI]. Soit f une fonction continue sur un intervalle [a,b] et soit l une valeur comprise entre f(a) et f(b), alors il eiste [a,b] tel que f( ) = l. Remarque.. Ce théorème peut se reformuler de la manière suivante : Toutes les valeurs comprises entre f(a) et f(b) sont atteintes au moins une fois par f.. Le TVI ne donne aucune information sur la localisation de la solution outre le fait que [a,b]. Généralement, si on désire une valeur approché de cette solution, alors on procède par dichotomie en divisant l intervalle [a, b] en sous intervalle et on essaie alors de localiser quel sous intervalle contient une solution en réitérant l utilisation du TVI.. Le TVI ne donne aucune information sur le nombre de solution outre le fait que l on sait qu il en eiste au moins une. Par contre, si on sait que la fonction f est strictement monotone (strictement croissante ou bien strictement décroissante) alors, il est clair que l équation f() = l possède au plus une solution. Ainsi si est une solution, alors est unique.. L hypothèse "f est continue sur [a,b]" est fondamentale. Par eemple avec a = et b = 8, la fonction de l eercice est définie sur [,8] mais n est pas continue. On a f( ) = 5 et f(8) = par contre, on peut facilement voir qu il n eiste pas de [,8] tel que f() = 5/ et pourtant 5/ 5...

5 5. Une variante très utilisée du TVI est : Si f(a) et f(b) sont de signes contraires [donc la valeur est comprise entre f(a) et f(b)], alors il eiste [a,b] tel que f( ) =. Eercice 5 Soit f() = +5.. Justifier très rapidement que f est continue sur R.. Calculer f() et f().. En utilisant le TVI montrer qu il eiste [,] tel que f( ) =. Eercice 6 Pour on considère le domaine hachuré ci-contre obtenu à partir d un carré de coté auquel on a ôté un carré de coté.. Déterminer l epression f() de la surface de la partie hachurée.. Montrer qu il eiste tel que la surface hachurée mesure eactement unités d aire.. Montrer que f est strictement croissante dans [,+ [.. Montrer que est unique, i.e, si et alors f() 5. Donner la partie entière de. Encore de eercices... Eercice 7 [Bac ES (metropole) ] Le bénéfice en milliers d euros que réalise une entreprise lorsqu elle fabrique et vend centaines d objets (pour compris entre et 6) est donné par f() = ( )e + Ali a affiché sur l écran de sa calculatrice la courbe représentative de la fonction f sur l intervalle [ ; 6]. Partie A : objectif «réaliser un bénéfice maimal» L écran ne permet pas à Ali de déterminer le bénéfice maimal. Il décide donc d étudier la fonction f sur l intervalle [ ; 6]. On admet que cette fonction est dérivable sur l intervalle [ ; 6]. On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f.. Établir que, pour tout nombre réel de l intervalle [ ; 6], f () = (5 )e. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l intervalle [ ; 6].. En déduire le nombre d objets à vendre pour réaliser un bénéfice maimal. Quel est ce bénéfice maimal en euros? (Donner la réponse arrondie à l euro). 5

6 . Proposer un réglage de la fenêtre graphique permettant de visualiser le maimum de la fonction f. Partie B : objectif «ne pas vendre à perte». Au vu du graphique obtenu par Ali, à partir de combien d objets l entreprise ne vend-elle pas à perte?. Démontrer que sur l intervalle [ ; ] l équation f() = admet une unique solution notée α.. Donner une valeur approchée de α à près.. Préciser le nombre d objets à partir duquel l entreprise ne vend pas à perte. Eercice 8 [Bac ES (metropole) ] Partie A On considère la fonction f définie sur [ ; + [ par :. (a) Déterminer la limite de f en +. f() = ( +)e. (b) Étudier les variations de f sur [; + [.. Montrer que l équation f() = admet une solution unique appartenant à ] ; [. Donner une valeur arrondie à de.. Déduire des résultats précédents le signe de f() sur [; + [. Partie B Une entreprise fabrique un produit, en quantité eprimée en tonnes, sa capacité de production ne pouvant dépasser tonnes. Le coût total de fabrication de ce produit, en centaines de milliers d euros, est donné par : C T () = ( )e ++. Le coût moyen est défini sur ]; ] par la formule suivante : C m () = C T().. Pour tout de ]; ] calculer C m () et vérifier que l égalité suivante est vraie : f() C m () =. En déduire le sens de variation de C m sur ]; ].. Pour quelle production l entreprise a-t-elle un coût moyen minimum? Quel est le coût moyen minimum (arrondi au millier d euros) d une tonne de ce produit? Eercice 9 Soit f une fonction définies et continue sur [,] tel que pour tout [,] on a f() [,]. Montrer qu il eiste un point fie de f dans [,], i.e. il eiste [,] tel que f( ) =. 6