ajustement affine 1 ajustement par les points extrême activité corrigé activité à retenir... 4
|
|
- Édouard Cloutier
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 ajustement affine Table des matières ajustement par les points extrême 2. activité corrigé activité à retenir ajustement par les points moyens 5 2. activité corrigé activité à retenir ajustement par les moindres carrés 9 3. activité corrigé activité à retenir exercices ajustement avec changement de variable 9 4. activités activité corrigé activité activité corrigé activité exercices exercice corrigé exercice exercice corrigé exercice exercice corrigé exercice
2 ajustement par les points extrême. activité a i = année ? = année ?? = part du budget consacré au logement (%) 4,4 5,2 4,3 3,2 3,3 2,8? 2. Construire le graphique associé à la série ( ; ) Déterminer l équation de la droite des points extrêmes (M M 6 ) où M et M 6 sont les premiers et derniers points associés du tableau ci dessus. Les coefficients seront donnés à 0,0 près 3. Donner une estimation graphique puis par calcul de la part du logement dans le budget en 200. les résultats obtenus sont-ils en accord? 4. Estimer graphiquement puis par calcul, l année à partir de laquelle la part du logement dans le budget passera sous 2%. les résultats obtenus sont-ils en accord? 5. A partir de quelle année le modèle d ajustement affine n est-il manifestement plus valable? à retenir : détermination de l équation de la droite (AB) avec x A x B A(x A ;y A ) et B(x B ;y B ) l équation de la droite (AB) est de la forme y = ax+b avec : a = y B y A et b = y x B x A A ax A
3 .2 corrigé activité a i = année = année = part du budget consacré au logement (%) 4,4 5,2 4,3 3,2 3,3 2,8. graphique associé à la série ( ; ). 6 yi 5 4 M 3 M équation de la droite des points extrême (M M 6 ) y = ax+b a = y M 6 y M = 2,8 4,4 0,06 à 0,0 près x M6 x M 34 8 y M6 = ax M6 +b = 2,8 = 0,06 34+b = b = 2,8+0,06 34 = 4,84 y = 0,06x+4,84 3. la part du logement dans le budget 200 est ainsi estimée graphiquement à 2,4% (voir tracés) la part du logement dans le budget 200 est ainsi estimée par calcul à 2,44% à 0,0 près calculs : x = = 40 y = 0, ,84 = 2,44 les résultats graphiques et algébriques sont en accord. 4. graphiquement, la part du logement dans le budget passera sous les 2% à partir de = 207 par calcul, la part du logement dans le budget passera sous les 2% à partir de = 207 calculs : 0,06 x+4,84 2 x 2 4,84 0,06 x 47,33 les résultats graphiques et algébriques sont en accord. 5. un pourcentage est positif ou nul le modèle d ajustement affine n est plus valable dès que : 0,06 x+4,84 0 c est à dire pour : x 4,84 80,66 soit : = 205 0,06
4 .3 à retenir détermination de l équation de la droite (AB) avec x A x B A(x A ;y A ) et B(x B ;y B ) l équation de la droite (AB) est de la forme y = ax+b avec : a = y B y A et b = y x B x A A ax A
5 2 ajustement par les points moyens 2. activité énoncé : a i = année = année = part du budget consacré au logement (%) 4,4 5,2 4,3 3,2 3,3 2,8. compléter la légende du graphique associé à la série ( ; ) Calcul des coordonnées des points moyens à 0,0 près. a. calculer les coordonnées du point moyen G( x ; y) de l ensemble des 6 points et placer G b. coordonnées du point moyen G ( x ; y ) de l ensemble des 3 premiers points puis placer G. c. coordonnées du point moyen G 2 ( x 2 ; y 2 ) de l ensemble des 3 derniers points puis placer G Déterminer une équation de la droite des points points moyens (G G 2 ) à 0, près. 4. Grâce à cette droite, estimer graphiquement et algébriquement la part du logement dans le budget 200. y a t-il cohérence entre les résultats trouvés graphiquement et algébriquement? 5. Estimer de même graphiquement et algébriquement l année pour laquelle la part du logement dans le budget passera sous 2%. y a t-il cohérence entre les résultats trouvés graphiquement et algébriquement? 6. A partir de quelle année le modèle d ajustement affine n est-il manifestement plus valable? à retenir le point moyen G d un ensemble de points, a pour coordonnées la moyenne des coordonnées des points de cet ensemble. L ensemble des p points M (x ;y ),M 2 (x 2 ;y 2 ),...,M p (x p ;y p ) a pour point moyen G( x ; y) avec : x = x +x x p et y = y +y y p p p
6 2.2 corrigé activité a i = année = année = part du budget consacré au logement (%) 4,4 5,2 4,3 3,2 3,3 2,8. graphique associé à la série ( ; ). 6 yi 5 4 M G 3 2 G G 2 M coordonnées de points moyens a. coordonnées du point moyen G( x ; y) de l ensemble des 6 points x = = 22 y = 4,4+5,2+4,3+3,2+3,3+2,8 6 donc G(22;3,87) = 23,2 6 3,87 à 0,0 près b. coordonnées du point moyen G ( x ; y ) de l ensemble des 3 premiers points x = = ,67 y = 4,4+5,2+4,3 = 3,9 4,63 à 0,0 près 3 3 donc G (4,67 ; 4,63) c. coordonnées du point moyen G 2 ( x 2 ; y 2 ) de l ensemble des 3 derniers points de même on trouve G 2 (29,33 ; 3,) 3. équation de la droite des points points moyens (G G 2 ) y = ax+b a = y G 2 y G x G2 x G 3, 4,63 29,33 4,67 0, à 0,0 près y G2 = ax G2 +b = 4,63 = 0, 4,67+b = b = 4,63+0, 4,67 = 6, y = 0,x+6,
7 4. la part du logement dans le budget 200 est estimée graphiquement à 2,% la part du logement dans le budget 200 est ainsi estimée par calcul à 2,% car : x = = 40 y = 0, 40+6, = 2, il y a bien cohérence pour les résultats trouvés. 5. graphiquement, la part du logement dans le budget passera sous les 2% à partir de = 20 par calcul, la part du logement dans le budget passera sous les 2% à partir de = 20 calculs : 0, x+6, 2 x 2 6, 0, x 4 les résultats graphiques et algébriques sont en accord.
8 2.3 à retenir le point moyen G d un ensemble de points, a pour coordonnées la moyenne des coordonnées des points de cet ensemble. L ensemble des p points M (x ;y ),M 2 (x 2 ;y 2 ),...,M p (x p ;y p ) a pour point moyen G( x ; y) avec : x = x +x x p et y = y +y y p p p
9 3 ajustement par les moindres carrés 3. activité a i = année = année = part du budget consacré au logement (%) 4,4 5,2 4,3 3,2 3,3 2,8. compléter la légende du graphique associé à la série ( ; ) Déterminer l équation de la droite de régression (des moindres carrés) (AB) grâce à la calculatrice à 0,0 près. 3. Construire la droite (AB) dans le repère précédent en précisant les points A et B utilisés. 4. Estimer graphiquement et algébriquement la part du logement dans le budget 200. y a t-il cohérence entre les résultats trouvés graphiquement et algébriquement? 5. Estimer de même, graphiquement et algébriquement l année pour laquelle la part du logement dans le budget passera sous 2%. y a t-il cohérence entre les résultats trouvés graphiquement et algébriquement? 6. Estimer l année de fin de validité du modèle à retenir pour l ensemble des n points M (x ;y ),M 2 (x 2 ;y 2 ),...,M n (x n ;y n ) il existe une unique droite d ajustement affine qui minimise la somme des carrés des résidus S = M P 2 +M 2P M npn 2 où P i est le projeté de M i sur la droite d ajustement parallèlement à l axe (Oy) cette droite est appelée la droite de régression linéaire de y en x ou droite des moindres carrés l équation de cette droite est donnée par les calculatrices scientifiques ou encore par : y = ax+b i=n x y n i= avec a = et b = y ax i=n x 2 i n x2 i=
10 3.2 corrigé activité a i = année = année = part du budget consacré au logement (%) 4,4 5,2 4,3 3,2 3,3 2,8. graphique associé à la série ( ; ). 6 A B équation de la droite des moindres carrés (AB) y = ax+b la calculatrice donne : a 0,08 et b 5,58 à 0,0 près y = 0,08x+5,58 3. construction de la droite (AB) y = 0,08x+5,58 par exemple A(0; 0,08 0+5,58 = 5,58) et B(40; 0, ,58 = 2,38) soit : point A B x 0 40 y 5,58 2,38 4. la part du logement dans le budget 200 est ainsi estimée graphiquement à 2,3% la part du logement dans le budget 200 est ainsi estimée par calcul à 2,38% : calculs : x = = 40 y = 0, ,58 = 2,38 5. graphiquement, la part du logement dans le budget passera sous les 2% à partir de = 204 par calcul, la part du logement dans le budget passera sous les 2% à partir de = 204 calculs : 0,08 x+5,58 2 x 2 5,58 0,08 x 44,75 les résultats graphiques et algébriques sont en accord.
11 remarque : pour un même tableau de données a i = année = année = part du budget consacré au logement (%) 4,4 5,2 4,3 3,2 3,3 2,8 selon la droite utilisée : droite des points extrême droite de points moyens droite des moindres carrés on obtient des prévisions différentes droite points extrême points moyens moindres carrés part du logement dans le budget 200 2,44% 2,% 2,38% année pour passer sous les 2% quelle est la prévision la plus acceptable? selon quel critère?
12 activité 2 ( moindres carrés et résidus ) Enoncé Soient trois points : M (0;0), M 2 (0,5;0,8), M 3 (;). M i M M 2 M 3 0 0,5 0 0,8 cherchons la droite qui passe au plus près des points au sens des moindres carrés parmi : _ droite des points extrême _ droite des points moyens _ droite de régression donnée par la calculatrice.. Construire les 3 points dans trois repères différents. Déterminer pour le premier repère, l équation de la droite (M M 3 ) et construire cette droite. Déterminer pour le second repère, l équation de la droite (G G 2 ) et construire cette droite. ( G est le point moyen de M et M 2, G 2 est le point moyen de M 2 et M 3 ) Déterminer pour le troisième repère, l équation de la droite de régression (D) donnée par la calculatrice et construire (D) points extrême points moyens régression droite (M M 3 ) droite (G G 2 ) droite (D) avec avec avec M (0;0), M 3 (;) G (0,25;0,4), G 2 (0,75;0,9) M (0;0), M 2 (0,5;0,8), M 3 (;) le calcul de a et b donne le calcul de a et b donne la calculatrice donne 2. Représenter graphiquent les résidus sachant que : les longueurs M P, M 2 P 2, et M 3 P 3 sont appelées les RESIDUS de l ajustement où, P, P 2, P 3 sont les projetés respectifs de M, M 2, M 3 sur la droite d ajustement parallèlement à (Oy). On cherche, parmi les trois droites ci dessus, celle qui minimise la somme des carrés des résidus S = M P 2 +M 2P 2 2 +M 3P Calculer S pour les trois droites et déterminer la droite des moindres carrés à partir du tableau suivant. droites carrés des résidus M (0,0) M 2 (0,5;0,8) M 3 (;) (M M 3 ) [ ] (G G 2 ) [ ( +0,5)] 2 0,0225 0,675 (D) [ ( +0,)] 2
13 activité 2 ( moindres carrés et résidus ) Corrigé Soient trois points : M (0;0), M 2 (0,5;0,8), M 3 (;). M i M M 2 M 3 0 0,5 0 0,8 cherchons la droite qui passe au plus près des points au sens des moindres carrés parmi : _ droite des points extrême _ droite des points moyens _ droite de régression donnée par la calculatrice.. détermination des équations des trois droites et représentation graphique des points et des droites. y 2 points extrême points moyens régression droite (M M 3 ) droite (G G 2 ) droite (D) avec avec avec M (0;0), M 3 (;) G (0,25;0,4), G 2 (0,75;0,9) M (0;0), M 2 (0,5;0,8), M 3 (;) le calcul de a et b donne le calcul de a et b donne la calculatrice donne y = x+0 y = x+0,5 y = x+0, M 2 (x 2 ;y 2 ) P 3 M 3 M 2 M 3 P 3 M 2 M 3 P 3 ax 2 +b P 2 (x 2 ;ax 2 +b) P 2 P 2 P P M P x 2 M 2 P 2 = y 2 (ax 2 +b) M M 2. représentation graphique des résidus : les longueurs M P, M 2 P 2, et M 3 P 3 sont appelées les RESIDUS de l ajustement où, P, P 2, P 3 sont les projetés respectifs de M, M 2, M 3 sur la droite d ajustement parallèlement à (Oy). on cherche, parmi les trois droites ci dessus, celle qui minimise la somme des carrés des résidus S = M P 2 +M 2P 2 2 +M 3P calcul de S pour les trois droites et détermination de la droite des moindres carrés. droites carrés des résidus M (0,0) M 2 (0,5;0,8) M 3 (;) (M M 3 ) [ ] 2 0 0,09 0 0,09 (G G 2 ) [ ( +0,5)] 2 0,0225 0,0225 0,225 0,675 (D) [ ( +0,)] 2 0,0 0,04 0,0 0,06 on constate que la droite de régression (D) donnée par la calculatrice est celle qui dans ce cas minimise la somme des carrés des résidus ( 0,06 < 0,09 < 0,675 ) c est cette droite (D) qui réalise le meilleur ajustement de y en x au sens des moindres carrés.
14 3.3 à retenir pour l ensemble des n points M (x ;y ),M 2 (x 2 ;y 2 ),...,M n (x n ;y n ) il existe une unique droite d ajustement affine qui minimise la somme des carrés des résidus S = M P 2 +M 2P M npn 2 où P i est le projeté de M i sur la droite d ajustement parallèlement à l axe (Oy) cette droite est appelée la droite de régression linéaire de y en x ou droite des moindres carrés l équation de cette droite est donnée par les calculatrices scientifiques ou encore par : y = ax+b i=n x y n i= avec a = et b = y ax i=n x 2 i n x2 i=
15 3.4 exercices exercice ( utilisation de la calculatrice pour la droite de régression ) Enoncé : (38p55) a i = année = année = taux d activité des femmes de 30 à 54 ans (%) 55,7 62, 67,7 7, ,9. Construire le graphique associé à la série ( ; ) dans un repère d origine O (0;55) avec cm pour 2 en abscisses et cm pour 2% en ordonnées puis justifier si on peut envisager un ajustement affine. 2. Calculer les coordonnées du point moyen G de l ensemble des points et représenter G sur le graphique. 3. Déterminer à la calculatrice l équation de la droite des moindres carrés (AB) puis construire cette droite sur le graphique en précisant les points utilisés. 4. Estimer le taux d activité des femmes de ans en 200 puis en Justifier si l ajustement affine reste approprié pour toutes les années ultérieures à 2020?
16 Corrigé : (38p55) a i = année = année = taux d activité des femmes de 30 à 54 ans (%) 55,7 62, 67,7 7, ,9. graphique associé à la série ( ; ) B G A on peut envisager un ajustement affine car les points sont relativement alignés 2. coordonnées du point moyen G et représentation graphique : la calculatrice donne G(2, 5; 68, 85) ( voir graphique pour la représentation ) 3. équation de la droite des moindres carrés (AB) ( voir graphique pour la représentation ) la calculatrice donne : a 0,94 et b 57,086 à 0,00 près donc y = 0,94x +57,086 construction de la droite (AB) : par exemple A(0;0, ,086 = 57,086) et B(20;0, ,086 75,906) 4. le taux d activité des femmes de ans est ainsi estimée à 90% en 200 car : x = = 35 y = 0, , le taux d activité des femmes de ans est ainsi estimée à 99,4% en 2020 car : x = = 45 y = 0, ,086 99,4 l ajustement affine n est plus approprié passé une certaine date car le taux dépasseraît 00%, ce qui est absurde
17 exercice 2 ( 29p52 ) ( utilisation de la calculatrice pour la droite de régression ) Enoncé = année = nombre d écoles en milliers 74,5 67,6 6,8 57,.a. Construire le graphique associé à la série ( ; ) avec pour origine O (970;50), 2cm pour 5 ans en abscisses et 2cm pour 5 milliers en ordonnées..b. Peut-on envisager un ajustement affine? justifier. 2. Déterminer l équation de la droite des moindres carrés (AB) puis construire cette droite dans le repère. Peut-on placer b dans ce repère? justifier. 3. Estimer le nombre d écoles en 2005 puis en En quelle année le nombre d écoles passe t-il en dessous de 45 milliers?
18 Corrigé = année = nombre d écoles en milliers 74,5 67,6 6,8 57,.a. graphique associé à la série ( ; ) A B b on peut envisager un ajustement affine car les points sont relativement alignés 2. équation de la droite des moindres carrés (AB) ( voir graphique pour la représentation ) la calculatrice donne : a à 0,00 près et b 066,9 à 0, près donc y = 0.504x+066,9 construction de la droite (AB) : par exemple A(970; ,9 = 74,02) et B(2000; ,9 = 58,9) On ne peut pas placer b car le point de coordonnées (0; 066,9) est en dehors de ce graphique 3. le nombre d écoles en 2005 est estimé à 56,38 milliers car : x = 2005 y = ,9 = 56,38 le nombre d écoles en 2020 est estimé à 48,82 milliers car : y = ,9 = 48,82 4. le nombre d écoles passe en dessous de 45 milliers pendant l année 2027 car : 45 = 0.504x+066,9 x = ,9 0,
19 4 ajustement avec changement de variable 4. activités 4.. activité = vitesse en km/h d i = distance de freinage en m Graphique associé à la série ( ; d i ). d i Pourquoi la forme du nuage de point ne permet-elle pas d envisager un ajustement affine? les points ne sont pas relativement alignés selon une droite. 3. On procède à un changement de variable, soit : = d i a. Compléter le tableau de valeurs ci dessous à 0, près = vitesse en km/h d i = distance de freinage en m = d i b. Déterminer l équation de la droite de régression de y en fonction de x à 0,0 près c. Estimer par calcul la distance de freinage pour une vitesse de 50 km/h et vérifier la cohérence sur le graphique. d. Estimer par calcul la vitesse qui correspond à une distance de 50 mètres vérifier la cohérence sur le graphique. e. Déduire de b. l expression de d en fonction de x ( d(x) =...) compléter le tableau suivant à m près = vitesse en km/h d i = distance de freinage en m d( ) La formule trouvée pour d(x) est-elle une relativement bonne approximation à de la distance réelle de freinage?
20 4..2 corrigé activité = vitesse en km/h d i = distance de freinage en m Graphique associé à la série ( ; d i ). d i B A Pourquoi la forme du nuage de point ne permet-elle pas d envisager un ajustement affine? Parce que les points ne sont pas relativement alignés selon une droite. 3. On procède à un changement de variable, soit : = d i a. Compléter le tableau de valeurs ci dessous à 0, près = vitesse en km/h d i = distance de freinage en m = d i 0 4,2 7,6 4,6 6,9 b. Equation de la droite de régression de y en fonction de x à 0,0 près la calculatrice donne y = 0,2x+0,3 c. la distance de freinage pour une vitesse de 50 km/h est de 39,8 m à m près car x = 50 y = 0, ,3 6,3 d = 6,3 d = 6,3 2 39,8 m le point A(50;39,8) obtenu sur le graphique est cohérent avec l allure du nuage d. la vitesse qui correspond à une distance de 50 mètres est de 99 km/h à km/h près car d =50 y = d = = 0,2x+0,3 50 0,3 x = 99 à près 0,2 le point B(99;50) obtenu sur le graphique est cohérent avec l allure du nuage e. On déduit de b. que d(x) = (0,2x+0,3) 2 car d = 0,2x+0,3 donc d(x) = (0,2x+0,3) 2 d ou le tableau suivant à m près = vitesse en km/h d i = distance de freinage en m d( ) = (0,2 +0,3) On constate que la formule trouvée pour d(x) est une relativement bonne approximation à de la distance réelle de freinage
21 4..3 activité 2 = prix au kg en euros 0, ,7 5 6,5 8,8 20 = quantité demandée en centaines de tonnes 4,7 4, 4 3,7 3,5 3,2 2,9 2,6 2,4.a. Construire le graphique associé à la série ( ; ) avec cm pour euro en abscisses et 2cm pour 00 tonnes en ordonnées. Un ajustement affine est-il justifié?.b. Donner l équation de la droite de régression de y en x à 0,0 près grâce à la calculatrice Construction cette droite (AB) sur le graphique en présisant les points utilisés. Calculer la quantité demandée pour un prix de 24,5 euros. 2. On procède à un changement de variable, soit : z = 00 y a. Construire un tableau de tableau pour z à 0, près. b. Déterminer la droite de régression de z en fonction de x à l unité près c. En déduire la formule de la fonction f qui au prix x associe la quantité demandée y = f(x). Montrer que f(24,5) = 2 3. Pour un prix de 24,5 euros, on sait que la demande est de 20 tonnes. Quel ajustement est le plus judicieux? le premier ou le second? justifier.
22 4..4 corrigé activité 2 = prix au kg en euros 0, ,7 5 6,5 8,8 20 = quantité demandée en centaines de tonnes 4,7 4, 4 3,7 3,5 3,2 2,9 2,6 2,4.a. Graphique associé à la série ( ; ). 4 A 3 2 B Les points sont relativement alignés selon une droite, donc un ajustement affine est justifié..b. La calculatrice donne l équation de la droite de régression de y en x suivante : y = 0,22x+6,63 Construction de la droite = (AB) : par exemple A(; 0,22 +6,63 = 4,2) et B(20; 0, ,63 = 2,23) La quantité demandée pour un prix de 24,5 euros est alors estimée à 24 centaines car : ,5+6,63,24 2. On procède à un changement de variable, soit : z = 00 y a. Nous obtenons le tableau de valeurs ci dessous à 0, près 0, ,7 5 6,5 8,8 20 4,7 4, 4 3,7 3,5 3,2 2,9 2,6 2,4 z i = 00 2,3 24, ,6 3,3 34,5 38,5 4,7 b. Pour la droite de régression de z en fonction de x à l unité près la calculatrice donne : z = 2x+ c. La fonction f qui au prix x associe la quantité demandée y est donc f(x) = 00 2x+ car : z = 2x+ et z = x+ = y = f(x) = y y 2x+ 2x+ 00 On a alors f(24,5) = 2 24,5+ = 2 3. Pour un prix de 24,5 euros, l ajustement le plus judicieux est le second car : Le second donne une estimation de 200 centaines contre 27 centaines pour le premier ( 20 est plus proche de 200 que de 27 )
23 5 exercices 5. exercice Exercice : ( ajustement par les moindres carrés et validité ) Le tableau ci-dessous donne le taux d équipement en magnétoscope des couples avec enfant(s) d une certaine région française de 980 à 2000 tous les quatre ans. Dans ce tableau, représente l expression : a i Année a i Rang de l année Taux en % Par exemple, 2% des couples avec enfant(s) de cette région possède un magnétoscope en 980. Le plan est rapporté à un repère orthogonal (units graphiques : 2 cm par rang d année sur l axe des abscisses et cm pour 0% sur l axe des ordonnées).. Représenter le nuage de points correspondant la série statistique ( ; ). 2. Calculer les coordonnées du point moyen G de cette série statistique et placer celui-ci sur le graphique 3. Dans la question a., aucun détail des calculs n est demandé, les résultats pourront être obtenus à l aide de la calculatrice; ils seront arrondis à 0 2. (a) Donner une équation de la droite d ajustement affine de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés. (b) Représenter cette droite sur le graphique précédent en donnant les coordonnées de deux points (c) On suppose que le modèle obtenu à la question 3.a. resta valable pour les années suivantes. i. déterminer, par le calcul, le taux d équipement en 20 à % près ii. déterminer, par le calcul, en quelle année le taux d équipement dépassera 95% iii. à partir de quelle année cet ajustement n est-il plus valable? justifier pourquoi
24 5.2 corrigé exercice Corrigé exercice : ( ajustement par les moindres carrés et validité ) Le tableau ci-dessous donne le taux d équipement en magnétoscope des couples avec enfant(s) d une certaine région française de 980 à 2000 tous les quatre ans. Dans ce tableau, représente l expression : a i Année a i Rang de l année Taux en % Par exemple, 2% des couples avec enfant(s) de cette région possède un magnétoscope en 980. Le plan est rapporté à un repère orthogonal (units graphiques : 2 cm par rang d année sur l axe des abscisses et cm pour 0% sur l axe des ordonnées).. graphique 40 B G 0 0 A G( x ; y) le point moyen de l ensemble des 6 points x = = 2,5 y = donc G(2,5;2) = 26 6 = 2 3. Dans la question a., aucun détail des calculs n est demandé, les résultats pourront être obtenus à l aide de la calculatrice; ils seront arrondis à 0 2. (a) la calculatrice donne y = 9,37x 2,43 à 0 point A B (b) x 0 5 y -2,43 44,42 (c) On suppose que le modèle obtenu à la question 3.a. resta valable pour les années suivantes. i. en 20 à % près : x = = 7,75 donc y = 9,37 7,75 2, % en 20 ii. dépassement de 95% : 9,37x 2,43 95 x 95+2,43 x 0,39 9,37 donc 0, = 202,56 soit pendant l année 202 iii. l ajustement n est plus valable dès que le pourcentage dépasse 00 % : 9,37x 2,43 > 00 x > 00+2,43 x > 0,93 donc 0, = 2023,72 9,37 soit pendant l année 2023
25 5.3 exercice 2 Exercice 2 : (Ajustement Affine avec changement de variables et étude de fonction) Un négociant en vins a fait mener une étude visant à déterminer quel prix maximal ses clients sont prêts à acheter une bouteille de vin. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant : Prix maximal en euros Pourcentage d acheteurs potentiels On voit dans ce tableau, par exemple, que 58% des clients de ce négociant sont prêts à payer jusqu à 0 euros une bouteille de vin.. représenter le nuage de points correspondant à la série statistique ( ; ) dans un repère orthogonal du plan ( unités : 2cm pour 5 euros en abscisses et cm pour 0 % en ordonnées) 2. Calculer les coordonnées du point moyen G de cette série statistique et placer celui-ci sur le graphique 3. Déterminer à la calculatrice une équation de la droite de régression de y en fonction de x sous la forme y = ax+b où a et b sont arrondis à 0 2 près. 4. Représenter cette droite sur le graphique précédent en donnant les coordonnées de deux points 5. Chez ce négociant, le prix moyen d une bouteille est de 3e.En utilisant l ajustement précédent, calculer le pourcentage des clients prêts à acheter une bouteille à ce prix. On arrondira le résultat à l entier le plus proche 6. On considère que la recette relative des ventes égale au produit du prix maximal par le pourcentage d acheteurs. a. montrer que cette recette est donnée en fonction de x par R(x) = 3,22x 2 +90,07x b. déterminer par une étude de variations, le prix qui rend maximale cette recette relative à e près
26 5.4 corrigé exercice 2 Exercice 2 : (Ajustement Affine avec changement de variables et étude de fonction) Un négociant en vins a fait mener une étude visant à déterminer quel prix maximal ses clients sont prêts à acheter une bouteille de vin. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant : Prix maximal en euros Pourcentage d acheteurs potentiels On voit dans ce tableau, par exemple, que 58% des clients de ce négociant sont prêts à payer jusqu à 0 euros une bouteille de vin.. graphique 90 A G G( x ; y) le point moyen de l ensemble des 6 points B x = y = donc G(7,5;33,6 = 7,5 = ,7 3. la calculatrice donne y = 3,22x+90,07 à 0 point A B 4. x 0 30 y 90,07-6,53 5. pour x = 3 à % près : y = 3, ,07 48% 6. On considère que la recette relative des ventes égale au produit du prix maximal par le pourcentage d acheteurs. a. R(x) = x ( 3,22x+90,07) = 3,22x 2 +90,07x b. déterminer par une étude de variations, le prix qui rend maximale cette recette relative à e près R (x) = 6,44x+90,07 Annulation de R (x) : 6,44x+90,07 x = 90,07 6,44 4 variations de R et signe de R (x) : on utilise la règle du signe du binôme ax+b (signe de "a" à droite et de a à gauche) x R (x) (a = 6,44) 630 R(x) ր ց i. la recette maximale est 630e et il faut fixer le prix à 4e pour maximiser la recette
27 5.5 exercice 3 Exercice 3 : (Ajustement Affine avec changement de variables et étude de fonction) Un artiste a fait mener une étude visant à déterminer quel prix maximal ses clients sont prêts à acheter un certain modèle d une de ses créations. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant : Prix maximal en euros Nombre d acheteurs potentiels On voit dans ce tableau, par exemple, que 40 des clients sont prêts à payer jusqu a 0 euros la création en question.. On considère que le nuage de points représenté dans un repère suggère de faire le changement de variable suivant : z = y a. Compléter le tableau de valeurs suivant à 0, près z i 25 b. Déterminer à la calculatrice une équation de la droite de régression de z en fonction de x sous la forme z = ax+b où a et b sont arrondis à l unité près. c. Déduire du b. le nombre de clients prêts à acheter la création jusqu a 28 euros. d. Déduire des questions précédentes que y est donné en fonction de x par y = (30 x) 2 et vérifier que pour un prix de 5 euros, le nombre d acheteurs potentiels est cohérent avec l effectif du tableau ci dessus. 2. On considère dans cette question que le nombre d acheteurs potentiels correspondant à un prix de x euros est donné par n(x) = (30 x) 2 a. Montrer que la recette des ventes est donnée en fonction de x par f(x) = x 3 60x x (Rappel : recette = nombre de ventes prix de vente) b. Etudier les variations de f pour x [ 0 ; 30 ] après avoir montré que f (x) = 3(x 0)(30 x) c. Quel doit être le prix de vente pour que la recette soit maximale et quelle est cette recette maximale?
28 5.6 corrigé exercice 3 Exercice 3 : (Ajustement Affine avec changement de variables et étude de fonction) Un artiste a fait mener une étude visant à déterminer quel prix maximal ses clients sont prêts à acheter un certain modèle d une de ses créations. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant : Prix maximal en euros Nombre d acheteurs potentiels On voit dans ce tableau, par exemple, que 40 des clients sont prêts à payer jusqu a 0 euros la création en question.. On considère que le nuage de point représenté dans un repère suggère de faire le changement de variable suivant : z = y a. Complétons le tableau de valeurs suivant à 0, près z i , 4,9 b. Déterminons à la calculatrice une équation de la droite de régression de z en fonction de x sous la forme z = ax+b où a et b sont arrondis à l unité près : z = x+30 c. On déduit du b. le nombre de clients prêts à acheter une bouteille jusqu a 28 euros ainsi : x = 28 = z = = 2 = y = 2 = y = 2 2 = 4 donc 4 clients. d. On déduit des questions précédentes que y est donné en fonction de x par y = (30 x) 2 ainsi : z = x+30 = y = x+30 = y = ( x+30) 2 = y = (30 x) 2 On vérifie que pour un prix de 5 euros, le nombre d acheteurs potentiels est : y = (30 5) 2 = 25 2 = 625 ce qui est cohérent avec l effectif 626 du tableau ci dessus. 2. On considère dans cette question que le nombre d acheteurs potentiels correspondant à un prix de x euros est donné par n(x) = (30 x) 2 a. Montrons que la recette des ventes est donnée en fonction de x par f(x) = x 3 60x x En effet : recette = nombre de ventes prix de vente Donc : f(x) = (30 x) 2 x = ( x+x 2 ) x = (900 60x+x 2 ) x = x 3 60x x b. Etudions les variations de f pour x [ 0 ; 30 ] f (x) = 3x 2 20x+900 en développant : 3(x 0)(30 x) = ( 3x+30)(30 x) = 90x+3x x = 3x 2 20x+900 = f (x) donc f (x) = 3(x 0)(30 x) x x x f (x) f(0) = f(x) ր ց 0 0 c. Le prix de vente est donc de 0 euros pour que la recette soit maximale et cette recette maximale est de 4000 euros
Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire
CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image
Plus en détailLeçon N 4 : Statistiques à deux variables
Leçon N 4 : Statistiques à deux variables En premier lieu, il te faut relire les cours de première sur les statistiques à une variable, il y a tout un langage à se remémorer : étude d un échantillon d
Plus en détailFonctions linéaires et affines. 1 Fonctions linéaires. 1.1 Vocabulaire. 1.2 Représentation graphique. 3eme
Fonctions linéaires et affines 3eme 1 Fonctions linéaires 1.1 Vocabulaire Définition 1 Soit a un nombre quelconque «fixe». Une fonction linéaire associe à un nombre x quelconque le nombre a x. a s appelle
Plus en détailBac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Plus en détailCorrection du bac blanc CFE Mercatique
Correction du bac blanc CFE Mercatique Exercice 1 (4,5 points) Le tableau suivant donne l évolution du nombre de bénéficiaires de minima sociaux en milliers : Année 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailTerminale STMG Lycée Jean Vilar 2014/2015. Terminale STMG. O. Lader
Terminale STMG O. Lader Table des matières Interrogation 1 : Indice et taux d évolution........................... 2 Devoir maison 1 : Taux d évolution................................ 4 Devoir maison 1
Plus en détailLogistique, Transports
Baccalauréat Professionnel Logistique, Transports 1. France, juin 2006 1 2. Transport, France, juin 2005 2 3. Transport, France, juin 2004 4 4. Transport eploitation, France, juin 2003 6 5. Transport,
Plus en détailBaccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Plus en détaila et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b
I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe
Plus en détailSeconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction.
Seconde Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par = x + x. a) Calculer les images de, 0 et
Plus en détailÉquations non linéaires
Équations non linéaires Objectif : trouver les zéros de fonctions (ou systèmes) non linéaires, c-à-d les valeurs α R telles que f(α) = 0. y f(x) α 1 α 2 α 3 x Equations non lineaires p. 1/49 Exemples et
Plus en détailStatistiques à deux variables
Statistiques à deux variables Table des matières I Position du problème. Vocabulaire 2 I.1 Nuage de points........................................... 2 I.2 Le problème de l ajustement.....................................
Plus en détailBaccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008
Baccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats f est une fonction définie sur ] 2 ; + [ par : 4 points f (x)=3+ 1 x+ 2. On note f sa fonction dérivée et (C ) la représentation
Plus en détailCorrection du baccalauréat STMG Polynésie 17 juin 2014
Correction du baccalauréat STMG Polynésie 17 juin 2014 EXERCICE 1 Cet exercice est un Q.C.M. 4 points 1. La valeur d une action cotée en Bourse a baissé de 37,5 %. Le coefficient multiplicateur associé
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailExercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010
Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =
Plus en détailDÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )
DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailEnoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Plus en détailLes fonction affines
Les fonction affines EXERCICE 1 : Voir le cours EXERCICE 2 : Optimisation 1) Traduire, pour une semaine de location, chaque formule par une écriture de la forme (où x désigne le nombre de kilomètres parcourus
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailActivités numériques [13 Points]
N du candidat L emploi de la calculatrice est autorisé. Le soin, la qualité de la présentation entrent pour 2 points dans l appréciation des copies. Les résultats seront soulignés. La correction est disponible
Plus en détailt 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :
Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailC f tracée ci- contre est la représentation graphique d une
TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailLe théorème de Thalès et sa réciproque
Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre
Plus en détailTOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET
TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détailBACCALAURÉAT PROFESSIONNEL SUJET
SESSION 203 Métropole - Réunion - Mayotte BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL ÉPREUVE E4 CULTURE SCIENTIFIQUE ET TECHNOLOGIQUE : MATHÉMATIQUES Toutes options Durée : 2 heures Matériel(s) et document(s) autorisé(s)
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailChapitre 3. Les distributions à deux variables
Chapitre 3. Les distributions à deux variables Jean-François Coeurjolly http://www-ljk.imag.fr/membres/jean-francois.coeurjolly/ Laboratoire Jean Kuntzmann (LJK), Grenoble University 1 Distributions conditionnelles
Plus en détailFonctions de deux variables. Mai 2011
Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailLes devoirs en Première STMG
Les devoirs en Première STMG O. Lader Table des matières Devoir sur table 1 : Proportions et inclusions....................... 2 Devoir sur table 1 : Proportions et inclusions (corrigé)..................
Plus en détailL ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ
L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ INTRODUCTION Données : n individus observés sur p variables quantitatives. L A.C.P. permet d eplorer les liaisons entre variables et
Plus en détailExprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %
23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une
Plus en détailSoit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.
ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailExo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailExercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA
75. Un plombier connaît la disposition de trois tuyaux sous des dalles ( voir figure ci dessous ) et il lui suffit de découvrir une partie de chacun d eux pour pouvoir y poser les robinets. Il cherche
Plus en détailBACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailLes Angles. I) Angles complémentaires, angles supplémentaires. 1) Angles complémentaires. 2 Angles supplémentaires. a) Définition.
Les Angles I) Angles complémentaires, angles supplémentaires 1) Angles complémentaires Deux angles complémentaires sont deux angles dont la somme des mesures est égale à 90 41 et 49 41 49 90 donc Les angles
Plus en détailProgrammation linéaire
Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détail4 Statistiques. Les notions abordées dans ce chapitre CHAPITRE
CHAPITRE Statistiques Population (en milliers) 63 6 6 6 Évolution de la population en France 9 998 999 3 Année Le graphique ci-contre indique l évolution de la population française de 998 à. On constate
Plus en détailExercice 6 Associer chaque expression de gauche à sa forme réduite (à droite) :
Eercice a Développer les epressions suivantes : A-(-) - + B-0(3 ²+3-0) -0 3²+-0 3+00 B -30²-30+00 C-3(-) -3 + 3-3²+6 D-(-) + ² Eerciceb Parmi les epressions suivantes, lesquelles sont sous forme réduite?
Plus en détailBaccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013
Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 5 points Une entreprise informatique produit et vend des clés USB. La vente de ces clés est réalisée
Plus en détailf n (x) = x n e x. T k
EXERCICE 3 (7 points) Commun à tous ls candidats Pour tout ntir naturl n supériur ou égal à, on désign par f n la fonction défini sur R par : f n (x) = x n x. On not C n sa courb rprésntativ dans un rpèr
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailNotion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine.
TABLE DES MATIÈRES 1 Notion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine. Paul Milan LMA Seconde le 12 décembre 2011 Table des matières 1 Fonction numérique 2 1.1 Introduction.................................
Plus en détailFonction inverse Fonctions homographiques
Fonction inverse Fonctions homographiques Année scolaire 203/204 Table des matières Fonction inverse 2. Définition Parité............................................ 2.2 Variations Courbe représentative...................................
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détailStatistique : Résumé de cours et méthodes
Statistique : Résumé de cours et méthodes 1 Vocabulaire : Population : c est l ensemble étudié. Individu : c est un élément de la population. Effectif total : c est le nombre total d individus. Caractère
Plus en détailSéquence 2. Repérage dans le plan Équations de droites. Sommaire
Séquence Repérage dans le plan Équations de droites Sommaire 1 Prérequis Repérage dans le plan 3 Équations de droites 4 Synthèse de la séquence 5 Exercices d approfondissement Séquence MA0 1 1 Prérequis
Plus en détail8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2
Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R
Plus en détailChapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique :
Chapitre Chapitre. Séries de Fourier Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction - périodique : c c a0 f x dx c an f xcosnxdx c c bn f xsinn x dx c L objet de
Plus en détailCours 7 : Utilisation de modules sous python
Cours 7 : Utilisation de modules sous python 2013/2014 Utilisation d un module Importer un module Exemple : le module random Importer un module Exemple : le module random Importer un module Un module est
Plus en détailIII- Raisonnement par récurrence
III- Raisonnement par récurrence Les raisonnements en mathématiques se font en général par une suite de déductions, du style : si alors, ou mieux encore si c est possible, par une suite d équivalences,
Plus en détailEquations cartésiennes d une droite
Equations cartésiennes d une droite I) Vecteur directeur d une droite : 1) Définition Soit (d) une droite du plan. Un vecteur directeur d une droite (d) est un vecteur non nul la même direction que la
Plus en détailLE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )
LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation
Plus en détailBaccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé
Baccalauréat S/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé A. P. M.. P. XRCIC 1 Commun à tous les candidats Partie A 1. L arbre de probabilité correspondant aux données du problème est : 0,3 0,6 H
Plus en détailSOCLE COMMUN - La Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique
SOCLE COMMUN - La Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique DOMAINE P3.C3.D1. Pratiquer une démarche scientifique et technologique, résoudre des
Plus en détailNotion de fonction. Série 1 : Tableaux de données. Série 2 : Graphiques. Série 3 : Formules. Série 4 : Synthèse
N7 Notion de fonction Série : Tableaux de données Série 2 : Graphiques Série 3 : Formules Série 4 : Synthèse 57 SÉRIE : TABLEAUX DE DONNÉES Le cours avec les aides animées Q. Si f désigne une fonction,
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détail1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Plus en détail3. Caractéristiques et fonctions d une v.a.
3. Caractéristiques et fonctions d une v.a. MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2015 (v2) MTH2302D: fonctions d une v.a. 1/32 Plan 1. Caractéristiques d une distribution 2. Fonctions
Plus en détail315 et 495 sont dans la table de 5. 5 est un diviseur commun. Leur PGCD n est pas 1. Il ne sont pas premiers entre eux
Exercice 1 : (3 points) Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes. Chacune des boules a la même probabilité d'être tirée. On tire une boule au hasard. 1. Calculer la probabilité
Plus en détailEtude de fonctions: procédure et exemple
Etude de fonctions: procédure et exemple Yves Delhaye 8 juillet 2007 Résumé Dans ce court travail, nous présentons les différentes étapes d une étude de fonction à travers un exemple. Nous nous limitons
Plus en détailNOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :
Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1
Plus en détailSuites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites
Suites numériques 4 1 Autres recettes pour calculer les limites La propriété suivante permet de calculer certaines limites comme on verra dans les exemples qui suivent. Propriété 1. Si u n l et fx) est
Plus en détailFonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailTest : principe fondamental de la dynamique et aspect énergétique
Durée : 45 minutes Objectifs Test : principe fondamental de la dynamique et aspect énergétique Projection de forces. Calcul de durée d'accélération / décélération ou d'accélération / décélération ou de
Plus en détailPlus courts chemins, programmation dynamique
1 Plus courts chemins, programmation dynamique 1. Plus courts chemins à partir d un sommet 2. Plus courts chemins entre tous les sommets 3. Semi-anneau 4. Programmation dynamique 5. Applications à la bio-informatique
Plus en détailBACCALAUREAT GENERAL MATHÉMATIQUES
BACCALAUREAT GENERAL FEVRIER 2014 MATHÉMATIQUES SERIE : ES Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L) 7(spe ES) Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformement à la
Plus en détailTSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1
TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailCalcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Plus en détailProgrammation linéaire et Optimisation. Didier Smets
Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des
Plus en détailLE PROCESSUS ( la machine) la fonction f. ( On lit : «fonction f qui à x associe f (x)» )
SYNTHESE ( THEME ) FONCTIONS () : NOTIONS de FONCTIONS FONCTION LINEAIRE () : REPRESENTATIONS GRAPHIQUES * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailDurée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point
03 Mai 2013 Collège Oasis Durée de L épreuve : 2 heures. apple Le sujet comporte 4 pages et est présenté en livret ; apple La calculatrice est autorisée ; apple 4 points sont attribués à la qualité de
Plus en détailChapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence
Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée
Plus en détailCHOIX OPTIMAL DU CONSOMMATEUR. A - Propriétés et détermination du choix optimal
III CHOIX OPTIMAL DU CONSOMMATEUR A - Propriétés et détermination du choix optimal La demande du consommateur sur la droite de budget Résolution graphique Règle (d or) pour déterminer la demande quand
Plus en détailFORMATION CONTINUE SUR L UTILISATION D EXCEL DANS L ENSEIGNEMENT Expérience de l E.N.S de Tétouan (Maroc)
87 FORMATION CONTINUE SUR L UTILISATION D EXCEL DANS L ENSEIGNEMENT Expérience de l E.N.S de Tétouan (Maroc) Dans le cadre de la réforme pédagogique et de l intérêt que porte le Ministère de l Éducation
Plus en détailChapitre 2 : Vecteurs
1 Chapitre 2 : Vecteurs Nous allons définir ce qu'est un vecteur grâce à une figure (le parallélogramme), mais au préalable nous allons aussi définir une nouvelle transformation (la translation). Nous
Plus en détail