RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX EN CONCEPTION MÉCANIQUE

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1 ÉCOLE D'INGÉNIEURS DE FRIBOURG (E.I.F.) SECTION DE MÉCANIQUE G.R. Nicolet, texte revu et augmenté en 007 RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX EN CONCEPTION MÉCANIQUE Traction et compression simples Cisaillement simple et état de contrainte plan Caractéristiques des surfaces planes Flexion simple : contraintes et déformations Torsion simple Stabilité des pièces élancées Méthodes énergétiques en résistance des matériaux Relations fondamentales de l élasticité Critères de résistance Effets d entaille. Comportement des matériaux Résistances des matériaux en conception mécanique Copyright Gaston Nicolet CH-1700 Fribourg, tout droit réservé

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3 I N T R O D U C T I O N En cette année, la ville de Bâle fête le 14 avril 007 avec honneur le troisième centenaire de la naissance du mathématicien universel Leonhard Euler ( ), scientifique qui démontra la solution du problème du flambement des pièces élancées sous l effet de forces compressives. La solution de l équation différentielle fait partie intégrante de tout cours sur la résistance des matériaux, voir le chapitre 9 dans le texte. Voici une description brève du document sur l application de la résistance des matériaux à la conception de machines. Chapitres 1 à 3 Les trois premiers chapitres traitent le calcul des pièces sollicitées par des efforts de traction, de compression et de cisaillement simples à partir des principes et hypothèses de base en calcul élastique. L état de contrainte plan peut alors se discuter dans les applications élémentaires. Chapitre 4 La résistance des matériaux élémentaire traite principalement la recherche des contraintes et des déformations dans les pièces longues appelées barres ou poutres. Les dimensions des surfaces transversales interviennent dans l étude et sont exposées en détail dans ce chapitre. Chapitre 5 La plupart des pièces longues sont sollicitées et déformées principalement par la flexion. Ce chapitre traite avec beaucoup de soin la répartition des efforts dans les poutres sollicitées par des forces concentrées ou réparties. La théorie de la répartition de la contrainte de flexion élastique à partir de l hypothèse de Bernoulli, autre scientifique bâlois célèbre, permet d exposer les relations classiques de la flexion. La présence simultanée de la flexion et du cisaillement, l importance de la flexion dite déviée et le comportement élasto-plastique des matériaux sont traités. Chapitre 6 La torsion des barres à sections circulaires, à sections annulaires fermées quelconques et à sections non circulaires quelconques est discutée dans ce chapitre. Chapitre 7 La recherche des déformations en flexion des poutres représente une grande partie du travail ingrat de l ingénieur en conception de machines ou en construction métalliques. Ces déformations peuvent se calculer : - en appliquant la relation différentielle tirée de l expression du rayon de courbure d une ligne plane. - par la méthode de la poutre conjuguée utilisant l analogie existante entre les relations différentielles des efforts et des déformations. - par l introduction de l équation dite des trois moments permettant de résoudre élégamment les problèmes statiquement déterminés et les problèmes hyperstatiques. - par la méthode de la matrice de transmission utilisant simultanément les propriétés des efforts et des déformations. Cette méthode représente une première approche dans la méthode des éléments finis. Chapitre 8 A partir des connaissances acquises dans les sept premiers chapitres, il est possible de discuter la répartition des efforts intérieurs dans les structures, de combiner les diverses contraintes, d examiner les divers cas particuliers, de rechercher les valeurs du cisaillement au moyen de diverses hypothèses simplificatrices

4 Introduction Chapitre 9 La stabilité des pièces élancées à section constante sous forces compressives utilise la solution proposée par Leonhard Euler et les compléments en comportement élasto-plastiques. Plusieurs problèmes de stabilité sont exposés, en particulier la méthode de Vianello sur la stabilité des pièces élancées à sections variables par tronçons. Chapitre 10 Le principe de la conservation des énergies est aussi applicable en résistances des matériaux. La conservation de l énergie potentielle élastique accumulée dans la structure et la somme des travaux des efforts extérieurs se font équilibre. Le théorème de réciprocité énoncé par Maxwell et complété par Betti, le théorème de Castigliano, les méthodes de Mohr et de la multiplication des diagrammes facilitent la recherche des déformations et des efforts inconnus dans les problèmes isostatiques et hyperstatiques. Chapitre 11 Les relations fondamentales de l élasticité : tenseur des contraintes et tenseur des déformations, la construction graphique du tricercle de Mohr, état de contraintes et de déformations plan et spatial sont présentés dans ce chapitre. La combinaison des contraintes de nature différente interviennent dans la définition des divers critères de résistance. Chapitre 1 Une structure mécanique peut être soumise à des charges exceptionnellement statiques, le plus souvent variables en fonction du temps. L effet de chocs, de la température ou de la présence de fissuration peut modifier le comportement des pièces. La plupart des pièces mécaniques sont à section variable ou sont équipées d appuis et d éléments de machines. La théorie élémentaire de la résistance des matériaux ne permet pas de trouver la répartition des contraintes dans les sections dites entaillées. L introduction des notions de coefficient de forme, de coefficients d effet d entaille, de gradient de contrainte, de chiffre de soutien cerne mieux la solution probable. Le comportement des matériaux métalliques dépend de nombreux facteurs en charges statique et dynamique : facteurs d échelle, facteur d anisotropie, facteur d effet de température, facteur de rugosité, facteur de contrainte moyenne, etc. Chapitre 13 La méthode générale de calcul en résistance des matériaux pour pièces mécaniques distingue trois types de structure : le modèle poutre (1D), le modèle plaque (D), le modèle spatial (3D). Cette méthode utilise en : 1. Contrôle en charge statique : la vérification de la structure s effectue soit à partir des contraintes nominales, calculées au moyen de la résistance des matériaux élémentaire, soit à partir des contraintes locales.. Contrôle en charge dynamique : la vérification de la structure s effectue soit à partir des contraintes nominale, soit à partir des contraintes locales. En charge dynamique, la vérification définit le type de collectif des amplitudes de contraintes dynamiques, le diagramme de Wöhler et essaie de prévoir la durée de vie des pièces. Annexes Le document est complété par les tables des profilés utilisés dans la construction métallique, une liste des notations utilisées, une bibliographie et un index des propriétés principales. - -

5 TABLE DES MATIÈRES INTRODUCTION 1 Table des matières Chapitre 1 TRACTION SIMPLE Efforts et contraintes Hypothèses initiales Réduction d un système des forces extérieures Contraintes normales et tangentielles 5 1. Contrainte de traction Equilibre et forces intérieures Contrainte normale Déformations Déformation axiale Loi de Hooke et module d élasticité Déformations transversales Energie élastique accumulée dans la barre Variation relative de volume Essai de traction Machine de traction Caractéristiques mécaniques relevées Eprouvette de traction Domaine des déformations élastiques Domaine des grands glissements Domaine des grands allongements permanents Diagramme de traction idéalisé Caractéristiques mécaniques des matières Caractéristiques mécaniques des aciers 15 Chapitre COMPRESSION SIMPLE 17.1 Contraintes et déformations Contraintes Déformations en compression Déformation axiale Déformation transversale Essai de compression 18. Contrôle des pièces Méthode de résolution Diagrammes des efforts normaux Diagramme des contraintes normales 1.. Sécurités Coefficients de sécurité 1... Déformation limite.3 Déformation des poutres triangulées.3.1 Déplacement du nœud d un système élémentaire.3. Plan de Williot Calcul analytique des efforts normaux Déplacement de déformation et forces terminales 4 Page - Matières : 1 -

6 Résistance des matériaux Page.3.3. Equilibre analytique des nœuds Ecriture de la matrice carrée et des vecteurs colonne Déformation des barres et déplacement des nœuds 6.4 Problèmes statiquement déterminés Anneau mince Anneau mince sous pression intérieure Anneau mince en rotation uniforme 9.4. Effet du poids propre Pièce à section constante en traction Poutre d égale résistance en traction Pièce à section progressivement variable Exemple de solution analytique Solution numérique 3.5 Problèmes hyperstatiques Méthodes de résolution Barres en traction et / ou en compression Contraintes et déformations thermiques Problèmes mixtes Applications Emmanchement de deux tubes minces Système à trois barres concourantes 35 Chapitre 3 CISAILLEMENT SIMPLE, ETAT DE CONTRAINTE PLAN Cisaillement simple Equilibre et effort tranchant Contrainte tangentielle Déformation Loi de la déformation en cisaillement simple Analogie Etat de contrainte plan Principe de la réciprocité des contraintes tau Equilibre Déformation Contraintes dans une coupe quelconque Hypothèses initiales et conventions Valeurs des contraintes Contraintes principales Définition des contraintes principales Contrainte tangentielle Cercle de Mohr des contraintes Equation du cercle Construction du cercle Contraintes dans une coupe quelconque Contraintes principales Déformations suivant les contraintes principales Etats de contrainte plans particuliers Etat de contrainte monoaxial Etat de cisaillement pur Relation entre le module de glissement et le module d élasticité 47 - Matières : -

7 Table des matières Chapitre 4 CARACTÉRISTIQUES DES SURFACES PLANES Définitions et propriétés Moments statiques de surface Définitions Propriétés Moments quadratiques de surfaces planes Moment quadratique polaire Moments quadratiques axiaux Rayons de giration Théorème de Huygens ou de Steiner Moment produit Propriétés Translation du système d axes Calcul des moments quadratiques Rectangle, cercle et triangle Rectangle Cercle Couronne circulaire Triangle Surfaces décomposables en surfaces simples Surfaces composantes symétriques Surfaces décomposables en rectangles Surfaces demi circulaires Recherche graphique par la méthode de Mohr Justification de la méthode Moment quadratique axial de gravité Recherche numérique des moments quadratiques Rotation du système d axes de gravité Relations analytiques Moments quadratiques axiaux Moment quadratique produit Axes principaux de gravité Recherche graphique par le cercle de Mohr-Land Recherche des moments quadratiques Recherche des axes principaux de gravité Justification de la construction graphique Axes conjugués quelconques Application 67 Tableau 4.1 : Moments quadratiques de surfaces simples 70 Chapitre 5 FLEXION SIMPLE Efforts dans les poutres Poutres sollicitées par des forces coplanaires Convention des signes des efforts Fonction des appuis Poutre soumise aux forces parallèles Construction graphique des moments fléchissants Poutre soumise aux forces coplanaires Poutre sollicitée par des couples de forces 77 Page - Matières : 3 -

8 Résistance des matériaux Page 5.1. Charges réparties Définition de la charge linéique et propriétés Charge linéique constante Charges réparties quelconques Charges réparties par tronçons Charges mixtes Flexion simple élastique Hypothèses initiales et moment fléchissant Contrainte de flexion Position des fibres neutres Valeur des contraintes normales Contraintes maximale et minimale 88 Tableau 5.1 : Modules de résistance à la flexion élastique de surfaces simples Poutres d égale contrainte en flexion Flexion accompagnée de cisaillement Répartition de la contrainte de cisaillement Contrainte longitudinale de cisaillement Contrainte transversale de cisaillement Cisaillement dans les sections symétriques Influence du cisaillement sur la flexion Effet du cisaillement dans les sections dissymétriques Centre de cisaillement Profilé U NP Contraintes principales dans une poutre fléchie Valeur des contraintes principales Flexion déviée Répartition des contraintes Application du principe de superposition Direction de l axe neutre Contrainte normale maximale ou minimale Recherche graphique de l axe neutre Expression générale de la contrainte de flexion Utilisation du cercle de Mohr-Land Flexion élasto plastique Etude des déformations élasto-plastiques Déformations élastiques Déformations élasto-plastiques Déformations plastiques Calculs en construction de machines Comportement des aciers Chiffre de soutien Calculs en construction métallique Hypothèses de calcul Section symétrique : moments élastique et plastique Variation du moment fléchissant Section avec un seul axe de symétrie Vérifications 110 Chapitre 6 TORSION SIMPLE Efforts et contrainte de torsion Moment de torsion et diagramme Détermination du couple de torsion dans les arbres Matières : 4 -

9 Table des matières Page Diagramme des moments de torsion Contrainte de torsion Hypothèses initiales Efforts intérieurs et contrainte de torsion Etat de contrainte en torsion simple Contraintes tangentielles et normales Pièces à section variable Déformation en torsion cylindrique simple Angle de rotation Déformation angulaire Relation générale Energie de déformation en torsion Torsion des barres à sections non circulaires Torsion des profilés minces fermés Contrainte de torsion Déformation Torsion des profilés pleins Constante de St. Venant Analogie de Prandtl Calcul pratique 10 Tableau 6.1 : Modules de résistance et moments quadratiques à la torsion 11 Chapitre 7 DÉFORMATION EN FLEXION DES POUTRES ISOSTATIQUES ET HYPERSTATIQUES Déformation par intégration analytique Equation de la ligne élastique Equation différentielle Poutres sollicitées par une force concentrée Poutres sollicitées par une charge répartie constante Poutres sollicitées par un couple Superposition des déformations Application du principe de superposition Méthode de la poutre conjuguée Exposé de la méthode Principe Appuis de la poutre conjuguée Centre de gravité des surfaces Poutres à section constante Poutres encastrées avec porte-à-faux Poutres sur deux appuis sans porte-à-faux Poutres sur deux appuis avec porte-à-faux Pièces à section variable Méthode de Mohr numérique Exemple numérique Poutres continues hyperstatiques Poutre rectiligne sur deux ou trois appuis Poutre encastrée sur deux appuis Poutre encastrée aux deux extrémités Poutre sur trois appuis articulés Equation des trois moments Conventions et substitutions Mise en équation Matières : 5 -

10 Résistance des matériaux Page Equilibre et efforts Exemple de calcul d une poutre continue Méthode de la matrice de transmission Mise en équation Conventions Matrice de tronçon Vecteur final Discontinuités Application de la méthode en isostatique Effet des appuis et des forces concentrées Exemples de calcul de poutres isostatiques Poutre continue hyperstatique à section variable Application de la matrice de transmission Application numérique 155 Chapitre 8 RÉPARTITION DES CONTRAINTES COMPOSANTES DANS LES SECTIONS PLANES Efforts intérieurs Pièces rectilignes Equilibre des projections des efforts Equilibre par réduction Exemple de recherche des efforts dans un arbre Poutres planes curvilignes Géométrie de la ligne moyenne Transformations Pièces composées de tronçons rectilignes Pièces composées de tronçons curvilignes Poutres spatiales Contraintes normales et tangentielles Contraintes simples Calcul des contraintes simples Somme des contraintes Contraintes normales Axe neutre de flexion Traction ou compression excentrée Noyau central de la section Contraintes tangentielles Contraintes de cisaillement Contraintes de torsion Contrainte tangentielle résultante Flexion des pièces à forte courbure Contrainte de flexion Conventions des signes Répartition des contraintes Répartition de la contrainte normale Calcul du facteur de section Cadres et portiques hyperstatiques Cadre sur deux appuis articulés Solution par décomposition en tronçons Solution par recherche directe des réactions Cadre fermé soumis à une charge répartie 18 - Matières : 6 -

11 Table des matières Chapitre 9 STABILITÉ DES PIÈCES ÉLANCÉES OU MINCES Flambement des pièces comprimées Relation d Euler Hypothèses initiales Equation différentielle Solution de l équation différentielle Force critique Domaine de validité de la solution d Euler Contrainte critique Sveltesse minimale Effet des attaches Remarques sur l équation d Euler Domaines élastoplastique et plastique Domaine élastoplastique Domaine plastique Calcul d une barre comprimée Barre à géométrie connue Barre à géométrie inconnue Stabilité globale et stabilité locale Autres problèmes de stabilité Pièces en compression excentrée Déformation transversale Stabilité de la pièce comprimée Pièces avec charges axiales et radiales Equation différentielle générale Pièce avec charge répartie uniformément Stabilité d une enveloppe cylindrique à paroi mince sous pression extérieure Mise en équation Solution de l équation différentielle Pièce comprimée à section variable Conditions critiques pour une poutre comprimée Méthode de Vianello Intégration numérique par tronçons Application pratique de la méthode de Vianello Exemples numériques 03 Chapitre 10 MÉTHODES ÉNERGÉTIQUES APPLIQUÉES EN RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX Energie potentielle élastique Traction simple Cisaillement simple Flexion simple Torsion simple Influence du cisaillement en flexion usuelle Recherche de l énergie accumulée Valeur du facteur de correction k c Energie potentielle élastique totale Somme des travaux des efforts extérieurs Déformation des systèmes isostatiques Théorème de réciprocité de Maxwell Betti 1 Page - Matières : 7 -

12 Résistance des matériaux Page 10.. Application de la conservation de l énergie Poutre avec une force dans le porte-à-faux Poutre sous l action de la chute d une masse Théorème de Castigliano Enoncé du théorème de Castigliano Application du théorème de Castigliano Utilisation du théorème de Castigliano Poutre triangulée sollicitée par une force Potence sollicitée par une force concentrée Intégrales de Mohr Expression générale des intégrales de Mohr Méthode de la multiplication des diagrammes Intégrales de Mohr dans les tronçons rectilignes Méthode de résolution Poutre sur deux appuis avec force en porte-à-faux Poutre sollicitée par deux forces équipollentes Poutre coudée sollicitée par une force concentrée Intégrales de Mohr dans les tronçons curvilignes Intégration des fonctions trigonométriques Déformation d un anneau ouvert Pièce cintrée sur deux appuis avec un porte-à-faux Déformation des systèmes hyperstatiques Principe de Menabrea ou de l énergie minimale Méthode directe Structure à quatre barres parallèles Poutre rectiligne hyperstatique Solution par les intégrales de Mohr Principe de la solution Calcul des dérivées partielles Charpente triangulée simple Cadre sur deux appuis Méthode des forces Principe de la méthode des forces Remarques complémentaires Méthode de résolution Cadre à appuis encastrés Considérations sur les anneaux à parois minces Maillon de chaîne Poutre cintrée encastrée aux deux extrémités 47 Chapitre 11 RELATIONS FONDAMENTALES DE L ÉLASTICITÉ CRITÈRES DE RÉSISTANCE Etat de contrainte spatial Tenseur de contrainte Contraintes sur les faces Contraintes sur une face oblique Contraintes normale et tangentielle Contraintes principales Tricercle de Mohr Construction du tricercle de Mohr Contraintes sur une face oblique 55 - Matières : 8 -

13 Table des matières Variation des contraintes dans le corps Etat de contrainte plan Etat de contrainte spatial Représentation matricielle de l état d équilibre Conditions particulières aux limites du corps Etat de déformation spatiale Expression des déformations dans le plan Déformations linéaires Déformations angulaires Expressions des déformations spatiales Déformations axiales Déformations angulaires Etat de déformation spatiale Déformations selon le système de référence O x y z Déformation de distorsion du parallélépipède Tenseur de déformation Tricercle de Mohr des déformations Déformations spatiales Déformations planes Recherche des déformations et contraintes principales Energie de déformation Ecriture des déformations + contraintes Considérations générales Contraintes et déformations spatiales Etat de contrainte plan Etat de déformation plane Critères de résistance Exposé des critères de résistance Anciens critères de résistance Critère de la plus grande contrainte tangentielle Critère de la constance de l énergie de distorsion Critère de Mohr et courbe intrinsèque Rapport des contraintes selon Bach Notions élémentaires sur les éléments finis Mode des déplacements Expression de la matrice de rigidité Recherche des déplacements Elément : Poutre rectiligne élastique Déplacements linéaires et angulaires Déformations et contraintes Matrice de rigidité Elément : Plaque quadrilatérale à quatre nœuds Fonctions d interpolation Relations déformations déplacements Relations contraintes déformations Recherche de la matrice de rigidité Plaque quadrilatérale isoparamétrique Intégration et valeur des contraintes 93 Page - Matières : 9 -

14 Résistance des matériaux Chapitre 1 TYPES DE CHARGE, EFFET D ENTAILLE COMPORTEMENT DES MATÉRIAUX MÉTALLIQUES Types de charges Charges statiques Charges dynamiques Variation harmonique simple Variation harmonique composée Variation asynchrone des contraintes composantes Charge par des chocs Charge à haute ou basse température Effet d entaille Coefficients de forme Définition du coefficient de forme Coefficients de forme dans les plaques entaillées Coefficients de forme dans les pièces cylindriques Combinaison des coefficients de forme Coefficients d effet d entaille Premières propositions de liaison Gradient relatif de contrainte Chiffre de soutien Coefficients d effet d entaille (au moyen du chiffre de soutien) Exemple : Coefficients d effet d entaille Coefficients d effet d entaille arbre / moyeu Comportement des matériaux métalliques Comportement en charge statique Facteur d échelle statique Facteur d anisotropie Facteur de résistance en compression Facteur d effet de la température Comportement en élasto-plastique Modules plastiques de résistance Limite élastoplastique dans une pièce entaillée Comportement dans une section à un axe de symétrie Comportement plastique sous charges combinées Comportement en charge dynamique Diagramme de Wöhler Valeurs de résistance des matériaux Diagrammes de résistance dynamique 36 Tableau 1.8 : Résistances statiques et dynamiques des aciers Facteur dynamique d échelle Facteur dynamique de contrainte moyenne Facteur dynamique de rugosité Facteur dynamique d effet de la température Facteur dynamique de traitement superficiel 334 Chapitre 13 RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX EN CONCEPTION DE MACHINES Méthode générale de solution Structures fondamentales de contrôle Structure en poutre (1D) 335 Page - Matières : 10 -

15 Table des matières Structure en plaque (D) Structure spatiale (3D) Types de contraintes Contraintes cycliques proportionnelles Contraintes cycliques synchrones Contraintes cycliques non proportionnelles Mécanique de rupture pas fissuration Modes de sollicitation Facteurs d intensité des contraintes Application numérique Contrôles en charge statique Méthode de travail Contrôle à partir des contraintes nominales Valeur des contraintes nominales Caractéristiques mécaniques des matériaux Valeurs constructives Résistances ultimes Facteurs de sécurité Vérification Exemple simple de contrôle en contraintes nominales Contrôle à partir des contraintes locales Valeur des contraintes locales Caractéristiques mécaniques des matériaux Valeurs constructives Résistances ultimes Facteurs de sécurité Vérification Application dans l exemple numérique Contrôles en charge dynamique Considérations sur les contraintes dynamiques Domaines d investigation Valeur des contraintes dynamiques Amplitude de la contrainte dynamique Collectif des contraintes et diagramme de Wöhler Construction du collectif des contraintes Caractéristiques du collectif des contraintes Ajustement du collectif des contraintes Collectifs normés Amplitude équivalente Construction simplifiée du diagramme de Wöhler Facteur de service en sollicitation dynamique Méthode de travail Contrôle à partir des contraintes nominales Caractéristiques des contraintes d après la structure Facteur de conception Amplitude de la contrainte dynamique limite Facteurs de sécurité en charge dynamique Vérifications Exemple d un contrôle en durée de vie Contrôle à partir des contraintes locales Caractéristiques des contraintes d après la structure Facteur de conception Amplitude de la contrainte dynamique limite 381 Page - Matières : 11 -

16 Résistance des matériaux Page Facteurs de sécurité en charge dynamique Vérifications Exemple de vérification en contraintes locales 385 Annexes 391 Tables des profilés 393 Notations 405 Bibliographie 411 Index Matières : 1 -

17 CHAPITRE 1 TRACTION SIMPLE 1.1 EFFORTS ET CONTRAINTES La résistance des matériaux poursuit essentiellement deux buts : 1. Connaissant les caractéristiques mécaniques des matériaux et les efforts extérieurs en présence dans une pièce, elle sert à trouver ou à justifier les dimensions transversales des pièces de telle sorte que les contraintes et les déformations restent admissibles.. Toutes les dimensions de la pièce étant connues et les efforts extérieurs déterminés, elle permet la recherche des contraintes et des déformations subies par la pièce en étude. La résistance des matériaux élémentaire permet de calculer, à partir d un certain nombre d hypothèses souvent fortement simplificatrices, les dimensions des pièces de machines afin qu'elles supportent sans dommage les efforts auxquels elles sont sollicitées HYPOTHÈSES INITIALES La résistances des matériaux utilise les hypothèses simplificatrices suivantes : 1. La matière est homogène c est-à-dire de même constitution physique et de même structure dans tout le volume de la pièce.. La matière est isotrope c est-à-dire ses propriétés mécaniques sont les mêmes en tout point du corps et en tout sens. Il s agit là d une des premières approximations mise en défaut par les matières fortement anisotropes comme la fonte grise ou par les profilés laminés. 3. La matière est parfaitement élastique c est-à-dire qu après élimination des efforts extérieurs, la pièce reprend immédiatement ses dimensions primitives. 4. Les sections transversales dans la pièce, initialement planes et perpendiculaires aux «fibres» longitudinales avant déformation, demeurent planes après déformation. Cette hypothèse a été énoncée par Bernoulli et Navier. 5. Dans le domaine dit élastique, la matière obéit à la loi de proportionnalité : les contraintes sont proportionnelles aux déformations. Les contraintes et les déformations sont liées par la loi de Hooke. Cette loi linéaire permet d appliquer le principe de superposition des forces et des déformations à la résistance des matériaux RÉDUCTION D UN SYSTÈME DE FORCES EXTÉRIEURES La résistance des matériaux élémentaire étudie la répartition des efforts intérieurs dans les corps de forme très simple, essentiellement les barres et poutres rectilignes, coudées ou curvilignes. Ces pièces présentent généralement une ligne moyenne, lieu des centres gravité des différentes sections. Cette ligne moyenne définit la dimension longitudinale. Les épaisseurs sont alors les dimensions transversales. Les points disposés identiquement sur des sections planes, normales à la dimension principale, jouissent de propriétés semblables. On suppose que ces points appartiennent à des «fibres» parallèles à l axe longitudinal de la pièce. La ligne moyenne est dénommée «ligne moyenne» ou «fibre moyenne», figure

18 Contraintes fondamentales Figure 1.1 Ligne moyenne dans une pièce à section variable Soit une barre prismatique en équilibre statique soumise à l action d un ensemble d efforts extérieurs. Coupons en pensée cette pièce par une section perpendiculaire à la fibre moyenne. Isolons par exemple le tronçon droit soumis : 1. A l action des efforts extérieurs, forces ou couples de forces, appliqués initialement à cette partir isolée.. A l action des efforts intérieurs, dus à la cohésion de la matière constituant la pièce. Ces efforts représentent l'action du tronçon gauche supprimé sur la section d aire A. La réduction des efforts extérieurs, exercés sur le tronçon de gauche, au centre de gravité C de la section normale, donne dans le cas général, figure 1. : 1. Une résultante générale : R = Σ F i gauche, décomposable en : - un effort normal F N suivant la normale à la section ; - un effort tranchant F T placé dans le plan de la section droite.. Un couple principal de moment : M (C) = Σ a i F i gauche, décomposable en : - un moment de torsion M t suivant la normale à la section, - un moment fléchissant M f situé dans le plan de la section droite. Figure 1. Réduction des efforts extérieurs au centre de gravité C de la section d aire A Cette réduction des efforts extérieurs au centre de gravité C de la section fait apparaître les définitions suivantes : 1. Effort normal : somme algébrique des projections sur la normale à la section plane de toutes les forces extérieures situées d un même côté de cette section.. Effort tranchant : somme vectorielle des projections sur le plan de la section droite de toutes les forces extérieures situées d un même côté de cette section

19 1. Traction simple 3. Moment fléchissant : somme vectorielle des projections sur le plan de la section droite des moments de forces et des couples de forces extérieurs situés d un même côté de cette section, la réduction s effectuant au centre de gravité C. 4. Moment de torsion : somme algébrique des moments par rapport à la normale à la section droite passant par le centre de gravité C, de toutes les forces et couples extérieurs situés d un même côté de cette section. L effort tranchant et le moment fléchissant sont à leur tour décomposés en composantes rectangulaires suivant les axes principaux de gravité de la section plane. L étude générale de la réduction des efforts extérieurs permet de mettre en évidence six composantes rectangulaires. Souvent, les problèmes à résoudre sont plus simples et les cas suivants pour les pièces rectiligne peuvent intervenir : 1. Les forces extérieures sont toutes situées dans un plan de symétrie de la pièce : seuls les efforts normaux et tranchants, les moments fléchissants peuvent exister.. Les forces extérieures sont situées dans un plan de symétrie de la pièce et sont toutes perpendiculaires à l axe rectiligne de la poutre : seuls les efforts tranchants et les moments fléchissants peuvent exister CONTRAINTES NORMALES ET TANGENTIELLES La résistance des matériaux utilise fréquemment des coupes imaginaires planes dans les pièces en étude. Les forces appliquées dans la coupe proviennent de l action du tronçon supprimé sur la partie restante. Ces forces, exprimant la continuité et la cohésion de la matière, sont réparties sur toute l étendue de la section. L effet résultant correspond aux efforts extérieurs et satisfait aux conditions d équilibre statique du tronçon isolé. Figure 1.3 Forces élémentaires sur une surface élémentaire da Découpons une surface élémentaire da repérée par rapport à un systèmes de coordonnées trirectangle C x y z. La force élémentaire df, décomposable en deux composantes rectangulaires, est appliquée sur cette surface élémentaire da. Les composantes sont : 1. une composante normale à la coupe df n ;. une composante tangentielle df t située dans le plan de la coupe. Ces deux composantes rectangulaires sont reliées à la force élémentaire totale par la somme vectorielle : df = df n + df t. La contrainte normale, désignées par la lettre grecque sigma, est définie par le quotient de la composante normale par l aire de la surface élémentaire : - 5 -

20 Contraintes fondamentales σ = d F n da. La contrainte tangentielle, désignée par la lettre grecque tau, est définie par le quotient de la composante tangentielle par l aire de la surface élémentaire : τ = d F t da. 1. CONTRAINTE DE TRACTION Soit une pièce prismatique à fibre moyenne rectiligne et section constante. La pièce reste en équilibre statique sous l action de deux forces extérieures égales et directement opposées : F 1 = - F ou F 1 + F = 0. Ces deux forces sont appliquées aux centres de gravité des sections terminales de la barre ÉQUILIBRE ET FORCES INTÉRIEURES Coupons la pièce en un endroit quelconque, perpendiculairement à la fibre moyenne, et isolons soit le tronçon gauche, soit le tronçon droit. En supposant la partie droite supprimée en pensée, il faut appliquer dans la coupe imaginaire un effort normal F N de façon à maintenir l équilibre du tronçon gauche. L équilibre de translation de cette partie s écrit : Σ X = 0 : F N F 1 = 0 ou F N = F 1. La force F N est appliquée au centre de gravité C de la section droite, figure 1.4. L équilibre du tronçon de droite s exprime par : Σ X = 0 : F F N = 0 ou F N = F. Figure 1.4 Pièce rectiligne sollicitée en traction simple La pièce est en traction simple ou en extension simple. Les efforts dans la section droite, placés au centre de la surface, sont les suivants : - Effort normal : F N 0. - Effort tranchant : F T = 0. - Moment fléchissant : M f = 0. - Moment de torsion : M t = CONTRAINTE NORMALE L effort normal F N étant placé au centre de gravité C de la section droite, nous pouvons admettre que cette force est la résultante de forces élémentaires df N, parallèles à F N, et proportionnelles à l étendue de la surface. L effort normal est donc réparti uniformément sur toute l aire de la surface. La contrainte de traction se trouve par : - 6 -

21 1. Traction simple d σ = = da F N N F A. (1.1) Divisons l aire de la surface plane en surfaces élémentaires d aire da = dy. dz. Chaque surface élémentaire est soumise à l action d une force normale élémentaire df N. Comme la répartition de la force normale totale est supposée uniforme sur toute l étendue de la section, le quotient de la force par l aire correspondante est constant pour toute aire élémentaire. Ce quotient vaut ainsi F N /A, figure 1.5. Figure 1.5 Répartition des forces normales élémentaires et valeur de la contrainte Remarques : 1. Chaque fois que la force normale F N est la résultante unique au centre de gravité de toutes les forces extérieures appliquées sur le tronçon éliminé en pensée de la poutre rectiligne, nous pouvons admettre une répartition uniforme de la contrainte normale sur toute l étendue de la section.. La forme géométrique de la section, plane ou creuse, ne joue aucun rôle sur la répartition de la contrainte normale dans la section. 3. Si la pièce est à section progressivement variable, nous pouvons encore admettre que la relation fondamentale reste valable. 4. Si la section transversale varie brusquement, la contrainte normale réelle peut devenir plusieurs fois celle calculée par la relation fondamentale en traction simple. Il y a concentration d efforts et une répartition non uniforme de la contrainte dans la section droite. Cette remarque est aussi valable aux extrémités de la pièce là où les forces de traction extérieures sont appliquées DÉFORMATIONS Sous l effet des forces extérieures F 1 et F, la barre, de longueur initiale l 0 et de section droite d aire A, subit des déformations : un allongement dans le sens axial, une contraction dans le sens transversal DÉFORMATION AXIALE En traction simple, la déformation axiale est la principale déformation de la pièce. L allongement de la barre l est la différence entre la longueur actuelle de la barre l, sous l action de l effort normal F N, et la longueur initiale l 0 : l = l l

22 Contraintes fondamentales Pour caractériser le comportement de la matière et pour comparer les résultats d essai, on préfère toutefois indiquer l allongement relatif ou l allongement spécifique ε par le rapport suivant : l ε = l0 l =. (1.) l0 l0 L allongement spécifique ε est la fraction de longueur déformée de la barre. Il s exprime en pour-cent ou en pour-mille LOI DE HOOKE ET MODULE D ÉLASTICITÉ En chargeant progressivement une barre de dimensions déterminées par deux forces axiales directement opposées, nous pouvons constater que la déformation axiale dépend de la nature de la matière utilisée, de la longueur initiale l 0, de l aire de la section transversale A et de l effort normal F N. Ces grandeurs sont reliées entre elles par la loi de Hooke. L allongement se trouve par l expression : FN l0 1 FN l0 σ l0 l = α = =. (1.3) A E A E Avec : α coefficient d élasticité en traction. Ce coefficient est très peu utilisé en pratique. E module d élasticité en traction, nommé parfois module de Young. Les valeurs du coefficient d élasticité ou du module d élasticité sont des grandeurs relevées expérimentalement, lors de l essai de traction. Par exemple, les aciers ordinaires au carbone utilisés dans la construction de machines présentent des modules d élasticité compris entre 0 et N/mm, soit en moyenne N/mm. En combinant les relations de la déformation et de définition de la contrainte normale de traction, nous pouvons écrire successivement : l 1 ε = = σ, l0 E ou encore : σ = ε. E. (1.4) La contrainte de traction est proportionnelle à l allongement spécifique et au module d élasticité. Cette relation fait ressortir le fait que dès qu il y a contrainte, il y a allongement proportionnel et vice versa. La loi de proportionnalité, énoncée par Hooke, est le point de base de toute la théorie élastique de la résistance des matériaux. Dans les calculs pratiques de pièces métalliques, nous pouvons généralement confondre les longueurs de référence l 0 et actuelle l, car les déformations axiales restent toujours très faibles vis à vis des dimensions primitives des pièces DÉFORMATIONS TRANSVERSALES La déformation transversale peut se définir simplement sur une barre à section circulaire de diamètre initial d 0. Sous l action de l effort normal F N, le diamètre de la pièce diminue à la valeur d. Définissons : 1. La contraction transversale par la variation de diamètre : d = d - d 0.. La contraction transversale spécifique ou relative par : d ε t = d0 d =. d d

23 1. Traction simple La contraction transversale ε t s exprime généralement en pour-cent ou en pour-mille. Elle est négative. Le coefficient de contraction est égal au rapport de la contraction transversale à la déformation longitudinale, changée de signe : 1 ε ν = = t. m ε L inverse du coefficient de contraction est le coefficient de Poisson m. Il y a souvent confusion dans l appellation de ces deux coefficients. Par exemple, les aciers au carbone de construction présentent un coefficient de Poisson m = 10/3 ou un coefficient de contraction ν = 0,3. La déformation transversale de la pièce est habituellement négligée quant à sa grandeur dans les applications courantes. Par contre, elle ne peut pas être oubliée lorsqu il s agit de trouver la répartition des contraintes à partir d une mesure extensométrique. Si la pièce n est pas circulaire, les relations proposées restent encore valables. Pour une pièce à section rectangulaire de dimensions transversales b et h, nous pouvons définir la contraction transversale spécifique par : ε t = b b = 0 h h0. b0 h0 Le coefficient de contraction se définit comme précédemment pour la section circulaire ÉNERGIE ÉLASTIQUE ACCUMULÉE DANS LA BARRE Le travail élémentaire d une force F est égal au produit scalaire de cette force par le déplacement élémentaire ds du point d application de cette force. En traction simple, force et déplacement sont alignés. Le travail élémentaire est alors donné par le produit algébrique des deux grandeurs. Le travail total est égal à la somme des travaux élémentaires. Dans le domaine d application de la loi de Hooke, c est-à-dire dans le domaine dit élastique, la force axiale est proportionnelle à la déformation, le facteur de proportionnalité étant la raideur de la barre définie par l expression : dfn FN AE k = = =. d l l l Le travail élémentaire se calcule alors par dw = F. d l = k l d l. Le travail total pour déformer la barre de l produit par la force axiale variant de zéro à la valeur maximale F N se trouve par : z FN ln FN l W0, N = k l d l = k =. 0 Si le travail produit par la force extérieure est entièrement accumulée dans la pièce parfaitement élastique, sans pertes, ce travail est à l état latent sous forme d énergie élastique. Représentons par W u cette énergie interne. Nous pouvons donc écrire : W W F l N F N = u =. Calculons l énergie interne par unité de volume w u en divisant cette dernière expression par le volume de la barre V = A. l et en remplaçant F N par σ. A et l par σ l/e : w u Wu σ Aσ l σ = = =. V AlE E Cette dernière expression est la relation générale de l énergie élastique interne d une pièce soumise à une contrainte normale de traction

24 Contraintes fondamentales VARIATION RELATIVE DE VOLUME Sous l effet de la force de traction, la barre s allonge dans le sens axial et se contracte dans le sens transversal. Proposons-nous de trouver la variation relative de volume de la barre après déformation. Soit une barre de longueur initiale l 0, section rectangulaire de largeur b 0 et de hauteur h 0. Le volume initial de cette pièce simple se trouve par : V 0 = b 0 h 0 l 0. Après application de la force normale F N, les déformations sont : l = l l 0 = ε l 0, b = b b 0 = ε t b 0. h = h h 0 = ε t h 0. En introduisant ε t = - ν ε, le volume de la barre après déformation se trouve par les produits : V = b h l = b 0 (1 - ν ε). h 0 (1 - ν ε). l 0 (1 + ε) = b 0 h 0 l 0 (1 + ε) (1 ν ε ). La variation de volume vaut V = V V 0 = V 0 [(1 + ε) (1 - ν ε ) 1]. Développons cette expression et déterminons la variation relative de volume : V 3 = 1 νε+ ν ε + ε νε + ν ε 1. V 0 En négligeant les termes au carré et au cube, la variation relative de volume vaut : b g. V = 1 ν ε V 0 L expérience montre que le double produit du coefficient de contraction est inférieur à 1. La valeur entre parenthèses reste toujours positive. Une barre en traction simple subit donc toujours une augmentation de volume sous l effet de l effort normal positif. 1.3 ESSAI DE TRACTION La résistances des matériaux est une science essentiellement pratique. Elle utilise constamment les caractéristiques mécaniques des matières afin de pouvoir décider si la sécurité d une construction est suffisante ou non. Parmi tous les essais, l essai de traction simple sur éprouvette normalisée permet d obtenir les valeurs fondamentales de résistance MACHINE DE TRACTION Les résultats obtenus dépendent non seulement de l éprouvette, mais également de l équipement et du mode opératoire. La machine d essai oléohydraulique verticale est constituée le plus souvent par les composants suivants. 1. Un bâti comprenant un socle sur lequel est fixé un cadre composé de deux ou quatre colonnes et d une traverse supérieure supportant un vérin hydraulique à frottement des plus réduits.. Un cadre mobile, guidé sans frottement à l intérieur du cadre fixe, déplacé par l action du piston du vérin hydraulique. Cette disposition particulière des deux cadres permet d opérer dans diverses conditions et d effectuer des essais de traction, de compression, de cisaillement, de flexion et de dureté superficielle. 3. Un groupe générateur de pression comportant une pompe volumétrique produisant une pression comprise habituellement entre 00 et 500 bars, un régulateur de débit, un limiteur de pression maximale et un robinet de décharge

25 1. Traction simple 4. Un dispositif de mesure de la force produite par le vérin. Cet équipement est généralement composé d une conduite de mesure, séparée de la conduite d alimentation afin de tenir compte de la perte de charge due à l écoulement du fluide, d un mécanisme manométrique. 5. Un dispositif de mesure de la déformation axiale de l éprouvette de traction constitué par un mécanisme appelé extensomètre. La déformation est généralement transmise au pupitre de mesure, soit amplifiée mécaniquement, soit le plus souvent sous forme d un signal électrique. Figure 1.6 Représentation schématique d une machine d essai oléohydraulique Composants : machine à deux cadres, générateur de pression et poste de mesure (Amsler). Dans la machine d essai oléohydraulique, le régulateur de débit assure une alimentation à débit constant quelle que soit la pression à l intérieur du cylindre. La grandeur d entrée de cette machine d essai est donc le déplacement du cadre mobile par rapport au cadre fixe et non la valeur de la force produite. Le relevé graphique de la force axiale dans l éprouvette en fonction de la déformation mesurée sur une distance déterminée porte le nom de diagramme de traction. Pour pouvoir comparer les diverses matières et des éprouvettes de formes différentes, ce diagramme est modifié en portant en abscisses l allongement spécifique ε et en ordonnées la contrainte normale σ CARACTÉRISTIQUES MÉCANIQUES RELEVÉES L essai de traction a pour but de déterminer les grandeurs mécaniques définies ci-après. A cet effet, l éprouvette est soumise à l action d une traction croissante, uniaxiale et si possible homogène, sur toute la longueur de mesure. Généralement, l essai est poursuivi jusqu à la rupture de l éprouvette, la température d essai étant la température ambiante