Calcul Matriciel. Chapitre Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients Exemples de matrices carrées.

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1 Chapitre 10 Calcul Matriciel 101 Qu est-ce qu une matrice? Définition : Soit K un ensemble de nombres exemples, K = N, Z, Q, R, C, n, p N On appelle matrice à n lignes et p colonnes la données de np nombres appelés termes ou éléments ou coefficients de la matrice et rangés dans un tableau rectangulaire à n lignes et p colonnes L ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans K est noté M n,p K Si n = 1, on parle de matrice ligne à p colonnes Si p = 1, on parle de matrice colonne à n lignes Si n = p, on parle de matrice carrée On note simplement M n K au lieu de M n,n K Remarque : Si n = p = 1, on a simplement affaire à un nombre Exemples : i π 0 M 3,4 C M 1,3 Z π 1 0 M 4,1R M R 102 Indexation des coefficients Dans la matrice M M n,p K, le coefficient situé sur la i-ième ligne et la j-ième colonne 1 i n, 1 j p sera noté m ij m 11 m 12 m 1j m 1p m 21 m 22 m 2j m 2p M = m i1 m i2 m ij m ip m n1 m n2 m nj m np m11 m Toute matrice de M 2,4 K s écrit 12 m 13 m 14 Pour i, j indices génériques, on appelle m 21 m 22 m 23 m 24 m ij le terme général de M et on note M = m ij 1 i n 103 Exemples de matrices carrées On pose, pour tous i, j n, δ ij = 1 si i = j 0 si i j 67

2 68 CHAPITRE 10 CALCUL MATRICIEL La matrice I n = δ ij 1 i n est appelée matrice unité ou matrice identité d ordre n 1 j n I 3 = Définition : Pour M = m ij 1 i,j n M n K, on appelle termes diagonaux les termes m 11, m 22,,m nn, c est à dire m ii avec 1 i n Par exemple, la matrice identité a des termes diagonaux égaux à 1 et des termes non diagonaux égaux à 0 Définition : On dit qu une matrice carrée est diagonale si ses termes non diagonaux sont nuls π 0 M 4R est diagonale On dit qu une matrice est triangulaire supérieure si ses termes strictement sous la diagonale sont nuls Autrement dit, M = m ij 1 i,j n est triangulaire supérieure si m ij = 0 pour i > j On dit qu une matrice M = m ij 1 i,j n est triangulaire inférieure si m ij = 0 pour j > i 1 0 est triangulaire inférieure Structure vectorielle Définition : Pour A, B M n,p K deux matrices ayant le même nombre de lignes et de colonnes, notées A = a ij et B = b ij, on définit la matrice somme A+B comme étant la matrice à n lignes et p colonnes de terme général a ij + b ij π = π + 1 Définition : Pour A = a ij 1 i n général λa ij M n,p K avec K = R ou C et λ K, on définit λa comme la matrice de terme = Théorème : M n,p K, +, est un K-espace vectoriel K = R ou C La matrice nulle, élément neutre pour +, est ici la matrice dont tous les coefficients sont nuls Proposition : Pour 1 k n, 1 l p, notons E k,l M n,p K la matrice dont tous les termes sont nuls sauf celui sur la k-ième ligne et la l-ième colonne qui vaut 1 Alors E kl, 1 k n, 1 l p} est une base de M np K appelée base canonique de M np K M n,p K est un espace vectoriel de dimension np n = 2, p = E 11 = E 12 = E 13 = E 21 = E 22 = E 23 =

3 105 MULTIPLICATION DES MATRICES Multiplication des matrices Définition : Soit A M n,p K et B M p,q K, A = a ij, B = b ij On définit une matrice notée AB à n lignes et q colonnes comme la matrice de terme général c ij avec Illustration i 1,, n}, j 1,,q}, c ij = a i1 a ik a ip p a ik b kj k=1 b 1j b kj b pj c ij A = B = Alors et AB = Ici on peut aussi calculer BA ATTENTION On ne peut calculer AB que quand le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B Si AB est définie, BA n est pas toujours définie et même si elle l est, elle n est pas en général de même taille que AB Cas particulier important : Dans M n K, ensemble des matrices carrées d ordre n, on peut toujours multiplier deux matrices A, B quelconques AB et BA seront encore des matrices carrées de taille n mais en général AB BA Proposition : Pour A, B, C matrices telles que les produits soient définis, ABC = ABC AB + C = AB + AC A + BC = AC + BC AλB = λab

4 70 CHAPITRE 10 CALCUL MATRICIEL 106 Matrices inversibles Dans ce paragraphe, on ne considère que des matrices carrées Définition : On dit que A M n K est inversible si il existe B M n K telle que AB = BA = I et dans ce cas on note B = A 1 appelée matrice inverse de A Remarque : Si B existe, elle est la seule à vérifier cette propriété En effet, si AB = BA = I et AC = CA = I, on écrit CAB = CI = C = CAB = IB = B et donc B = C Théorème Admis : Soient A et B deux matrices de M n K Alors AB = I BA = I Ce qui implique que, pour A fixée, s il existe B telle que AB = I respectivement BA = I alors A est inversible et A 1 = B Notation On note GL n K l ensemble des matrices inversibles de M n K Proposition : Si A GL n K, alors A 1 GL n K et A 1 1 = A Si en plus B GL n K, alors AB GL n K et AB 1 = B 1 A Systèmes linéaires Définition : Soit n et p deux entiers naturels non nuls On appelle système linéaire de n équations à p inconnues x 1, x 2,,x p tout système S du type : a 11 x 1 + a 12 x a 1j x j + + a 1p x p = b 1 a i1 x 1 + a i2 x a ij x j + + a ip x p = b i a n1 x 1 + a n2 x a nj x j + + a np x p = b n où les a ij 1 i n, 1 j p et les b k 1 k n sont des éléments de K fixés Vocabulaire : La matrice A = a ij 1 i n s appelle la matrice du système Le n-uplet b 1, b 2,, b n s appelle le second membre du système Lorsque b 1 = b 2 = = b n = 0, le système est dit homogène ou sans second membre On appelle système homogène associé à S le système S 0 obtenu en remplaçant tous les b i par 0 a 11 x 1 + a 12 x a 1j x j + + a 1p x p = 0 a i1 x 1 + a i2 x a ij x j + + a ip x p = 0 a n1 x 1 + a n2 x a nj x j + + a np x p = 0 Ecriture matricielle : Si A est la matrice de S, et si on note x 1 b 1 x 2 X = et B = b 2 x p le système S s écrit AX = B On considère le système S de deux équations à trois inconnues : x 1 x 2 = 1 S x 2 x 3 = 1 b n Le système homogène associé est La matrice A de ce système est x 1 x 2 = 0 x 2 x 3 = 0 S 0

5 108 ENSEMBLE DES SOLUTIONS D UN SYSTÈMES LINÉAIRES 71 A = et l écriture matricielle est donc x 1 x 2 x 3 1 = 1 Remarque : Si la matrice dusystème linéaire est diagonale ou triangulaire, on obtient très facilement les solutions : considèrons par exemple A = et B = 1 1 le système s écrit alors x 1 x 2 = 1 x 1 = 1 + x 2 x 1 = 0 2x 2 + 3x 3 = 1 2x 2 = 1 3x 3 = 2 x 2 = 1 2x 3 = 2 x 3 = 1 x 3 = Ensemble des solutions d un systèmes linéaires Proposition : Si n = p et si A est inversible, alors le système homogène AX = 0 a une solution unique : X = 0 et le système AX = B a une solution unique : X = A 1 B Proposition : Soit S 0 un système linéaire homogène de matrice A Notons F 0 l ensemble des solutions de ce système Alors F 0 est un sous-espace vectoriel de K p Proposition : Soit S un système linéaire admettant une solution x 0 Notons F 0 l ensemble des solutions du système homogène associé Alors l ensemble F des solutions du système S est F = x 0 + x } x F 0 On considère le système S de deux équations à trois inconnues : x 1 x 2 = 1 S x 2 x 3 = 1 Une solution de ce système est 1, 0, 1 Le système homogène associé est x 1 x 2 = 0 S 0 x 2 x 3 = 0 dont l ensemble des solutions est F 0 = λ, λ, λ λ R } Les solutions de S sont donc les vecteurs de la forme avec λ réel quelconque 109 Matrice de passage 1 + λ, λ, 1 + λ Soit E un espace de dimension n et de base b 1,, b n, et x un vecteur de E Le vecteur x admet une unique décomposition x = x 1 b x n x n avec x 1,,x n K On appelle matrice des composantes de x dans la base b 1,, b n la matrice colonne x 1 x 2 X = x n

6 72 CHAPITRE 10 CALCUL MATRICIEL Soit alors une autre base de E : f 1,, f n On peut se demander comment s exprime x dans cette nouvelle base Tout vecteur f j, 1 j n dans la base b i, 1 i n : f j = p ij bi Définition : La matrice P = p ij 1 i,j n est appelée matrice de passage de la base b 1,, b n à la base f 1,, f n et est notée dans ce cours P bi f i Théorème : Soit un vecteur x de matrice des composantes X b dans la base b 1,, b n et X f dans la base f 1,, f n Cela signifie que, si alors Alors, X b = x = x 1 x n X f = x i b i = y 1 y n y i f i X b = P bi f i X f Corollaire : Toute matrice de passage P bi f i est inversible et 1 P bi f i = P fi b i On se place dans un espace vectoriel E de base b 1, b 2, b 3 On pourra vérifier que les vecteurs f 1 = b 1 + b 3, f2 = 2 b 1 f3 = b 1 + b b 3 forment une base de E On trouve alors b1 = 1 2 f 2, b2 = 2 f f 2 + f 3, b3 = f f 2 On a donc et P bi f = i P fi b = i Ces matrices sont inverses l une de l autre Soit maintenant x = 6 b 1 + b b 3 = f f 2 + f 3 On a : = et que =

7 1010 APPLICATIONS LINÉAIRES ET MATRICES Applications linéaires et matrices Soient E un espace vectoriel sur K de base e 1,, e p et F un espace vectoriel sur K de base f 1,, f n Soit A M n,p K, on considère une application u de E dans F définie par : p p x E, si x = x i e i alors ux = x i u e i avec j 1,, p}, u e j = a ijfi Définition U : ne application u ainsi définie est appelée une application linéaire de E dans F On note LE, F l ensemble des applications linéaires de E dans F et on montre que c est un espace vectoriel Définition : La matrice A = a ij 1 i n mat ei, f u j est appelée matrice de u relativement aux bases e j et f i et notée Théorème : Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie de bases respectives E et F Soit x E, u LE, F, y = u x Notons X la matrice colonne des composantes de x sur E et Y la matrice colonne des composantes de y sur F Alors Y = mat E,F ux Remarques : Si u est un endomorphisme de l espace vectoriel E, et E une base de E, on note mat E u au lieu de mat E,E u mat B Id = I n E = R 2 [X], F = R 3 [X], up = X 2 P u est clairement une application linéaire On munit E et F de leurs bases canoniques On a La matrice de u dans les bases canoniques est donc u1 = 0 ux = X 2 ux 2 = 2X 3 u = Théorème : Soit E, F deux K-espaces vectoriels de dimensions respectives p et n, et de bases respectives E et F Alors l application : est un isomorphisme d espaces vectoriels LE, F u M n,p K mat E,F u Théorème : Soit E, F, G trois espaces vectoriels de dimension finie et de bases respectives E, F, G Soit u LE, F, v LF, G Alors 1011 Changement de base mat E,G v u = mat F,G v mat E,F u Nature du problème : Soit E, F deux espaces vectoriels de dimension finie, u LE, F E est muni de deux bases E 1 et E 2 F est muni de deux bases F 1 et F 2 But : quel est le lien entre mat E1,F 1 u et mat E2,F 2 u? Théorème : mat E2,F 2 u = P F2 F 1 mat E1,F 1 up E1 E 2 Soit E un espace vectoriel muni de deux bases E 1 et E 2 et u LE Soit P la matrice de passage de E 1 à E 2 Alors mat E2 u = P 1 mat E1 up Définition : On dit que deux matrices carrées A, B M n K sont semblables si il existe P GL n K telle que B = P 1 AP Proposition : Deux matrices sont semblables si et seulement si ce sont deux matrices d un même endomorphisme sur deux bases différentes

8 74 CHAPITRE 10 CALCUL MATRICIEL 1012 Rang d une matrice On a déjà défini le rang d une famille de vecteurs f 1,, f p } d un espace vectoriel E comme étant dim Vect f 1,, f p Définition : Le rang d une application linéaire u de E dans F espaces vectoriels de dimensions finies est défini par rgu = dim Imu Remarque : Soit e 1,, e p une base de E On sait que donc le rang de u est égal au rang de la famille Imu = Vect u e 1,, u e p u e1,, u e p } Définition : Soit M M n,p K On appelle rang de la matrice M le rang de l application linéaire de K p dans K n qui a M pour matrice sur les bases canoniques Proposition : Le rang de la matrice M est égal au rang de toute application linéaire ayant M pour matrice Remarque : On notera que le rang de M est avec les notations ci-dessus le rang de la famille w c j, 1 j p} De manière équivalente, le rang de M est le rang de la famille des colonnes M 1,, M p de M dans l espace M n,1 K Méthode pratique de détermination du rang : méthode de Gauss Voir TD 1013 Transposition Définition : On appelle transposée de la matrice A = a ij 1 i n de terme général b ij = a ji On la note t A Proposition : Pour A, B M n,p K, α K, 1 t αa + B = α t A + t B 2 t t A = A 3 t AB = t B t A t Si A GL n K, alors t A GL n K et t A 1 = t A Trace d une matrice = M n,p K la matrice B = b ij 1 i p M p,n K 1 j n Définition : Soit A m athcalm n K une matrice carrée La trace de A, notée TrA est, pour A = a ij 1 i n 1 j n Tr A = a ii Tr n π = π + 1 Proposition : 1 Tr αa + βb = αtra + βtr B pour A, B M n K, α, β K 2 TrAB = TrBA pour A, B M n K 3 Deux matrices semblables ont même trace