Les différents ensembles de nombres Corrigés des exercices et synthèse de cours
|
|
- Hélène Garon
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Préparation accélérée CRPE Mathématiques Exercice 1 1. Les différents ensembles de nombres Corrigés des exercices et synthèse de cours ; ;,14 ; ; 0 sont des nombres rationnels décimaux. Un nombre décimal a deux écritures : une écriture fractionnaire et une écriture à virgule finie. 1 ; et sont des rationnels non décimaux. Un nombre rationnel a aussi deux écritures : une écriture fractionnaire et une écriture à virgule. Cette dernière est infinie et périodique. π et 5 sont des nombres irrationnels. Ces nombres ne peuvent pas s écrire sous la forme d une fraction. Ils ont une écriture à virgule infinie et non périodique.. a) VRAI. Un nombre rationnel est le quotient de deux entiers. Comme un nombre décimal peut toujours s'écrire sous forme d'une écriture fractionnaire dont le dénominateur est une puissance de 10, c est donc bien un nombre rationnel. Ou bien Un nombre décimal s'écrit sous forme d'une fraction irréductible dont le dénominateur s'écrit sous la forme n 5p (avec n et p entiers). Ou encore Un nombre décimal peut s écrire avec une écriture à virgule dont le nombre de chiffres après la virgule est fini ; il suffit alors de multiplier ce nombre par une puissance de 10 suffisamment grande (et de diviser par cette même puissance de 10) pour obtenir ce nombre sous forme d une écriture fractionnaire. Remarque : Il ne suffit pas de donner un exemple pour justifier que l affirmation est vraie. b) FAUX Remarque : Un contre-exemple suffit à prouver qu'une affirmation est fausse 1 est un nombre rationnel qui n'est pas un nombre décimal ( 1 est une fraction irréductible dont le dénominateur ne s'écrit pas sous la forme n 5p (avec n et p entiers) ou bien l écriture décimale de 1 est illimitée : ). 1 0, c) Faux La notion «consécutif» qui suppose qu aucun autre nombre n est situé entre des nombres dits «consécutifs» n a pas de sens avec les nombres décimaux. Il y a une infinité de nombres décimaux entre 1,6 et 1, (par exemple 1, 64 est un décimal compris entre 1,6 et 1,).. La valeur arrondie de au centième près d un réel est le nombre décimal le plus proche ayant une partie décimale composée de chiffres maximum. En utilisant une calculatrice, centième près est donc,14.,1485. Sa valeur arrondie au La valeur approchée par excès au dixième près de est le nombre décimal supérieur le plus proche ayant un chiffre après la virgule. C est,. La valeur approchée par défaut au millième près de inférieur le plus proche ayant trois chiffres après la virgule. C est,14. est le nombre décimal 1
2 La valeur arrondie de au centième près est 0,6. La valeur approchée au dixième près de par excès est 0,. La valeur approchée au millième près de par défaut est 0, En utilisant une calculatrice, 1, La valeur arrondie de au centième près est 1,09. 1 La valeur approchée au dixième près par excès de est 1,1. La valeur approchée au millième près par défaut de 1 est 1,09. En utilisant une calculatrice π,14159 La valeur arrondie de π au centième près est,14. La valeur approchée de π par excès au dixième près est,. La valeur approchée de π par défaut au millième près est,141. En utilisant une calculatrice 5,6069. La valeur arrondie de 5 au centième près est,4. La valeur approchée par excès de 5 au dixième près est,. La valeur approchée par défaut de 5 au millième près est,6. 4. Encadrement de à 10 - près :,14 < <,15 Encadrement de à 10 - près : 0,66 < < 0,6 1 Encadrement de à 10-1 près : 1,09 < < 1,1 Encadrement de π à 10 - près :,14 < π <,15 Encadrement de 5 à 10 - près :, < 5 <,4 5. Ces nombres sont 18,45 ; 18,46 ; 18,4 ; 18,48 ; 18,49 ; 18, 51 ; 18, 5 ; 18,5 ; 18, 54. Exercice r,00 D où 1000x r 0, x r r 0 (car les parties décimales de 1000xr et r sont les mêmes). 999x r 68 d où r Recherche de l écriture fractionnaire irréductible : 999 1x9 1x² xx ² x 68 n est pas divisible par puisque la somme de ses chiffres, 19, ne l est pas divisible par ) mais est divisible par. 68 x 64 x 6 x ainsi r x Exercice 1. Le point peut être remplacé par 8 et 9., 488 et,498 sont compris entre, 48 et,5. Pour les obtenir, il était possible d écrire tous les nombres compris entre,48 et,5 dont la partie décimale comporte trois chiffres.. Voici des nombres écrits avec 5 des chiffres 0, 1, 4, 5, 8, 9 et compris entre 18 et 19 : 18,045 ; 18,049 ; 18,054 ; 18,059 ; 18,094 ; 18,095 ; 18,405 ; 18,409 ; 18,459 ; 18,495 18,504 ; 18, 509 ; 18,549 ; 18,594 18,904 ; 18,905 ; 18,945 ; 18,954. On pouvait en choisir 8 parmi ces derniers dont les quatre premiers qui sont plus proches de 18 que de 19.
3 Exercice 4 1. Entre 0 et 0,1 il y a 9 nombres qui s écrivent avec deux chiffres après la virgule. On peut les représenter par des points situés sur une droite graduée : 0 0,01 0,0 0,0 0,04 0,05 0,06 0,0 0,08 0,09 0,1 Il est possible de graduer plus finement ce morceau de droite en considérant chaque segment compris entre deux graduations successives et en agrandissant l échelle pour le partager en 10 parties égales. Par exemple, si on procède de cette manière avec l intervalle [0 ; 0,01], le segment d extrémité 0 et 0,01 de 1 1 longueur sera partagé en 10 segments de mesure de longueur dix fois plus petite soit Les extrémités de ces segments situées entre 0 et 0,01 représentent des nombres décimaux qui s écrivent avec chiffres après la virgule 0,001 ; 0,00 ;. ; 0,009. Il y en a 9. On pourrait faire le même raisonnement pour chacun des 9 intervalles suivants : [0,01 ; 0,0] ;.. ; [0,09 ; 0 ;1]. Il y a donc 90 nombres ayant chiffres après la virgule compris entre 0 et 0,1. Si on considère que les nombres 0,01.0,09 peuvent s écrire 0,010..0,090, il y a 99 nombres à trois chiffres dans cet intervalle.. Il n est pas possible d écrire un tel nombre puisque entre deux nombres décimaux, il y en a une infinité d autres. Exercice 5 A , et 8 sont des nombres premiers entre eux et donc 8 est irréductible. B , x5 4X et 10 sont des nombres premiers entre eux donc est irréductible. 10 Exercice 6 64 xx est irréductible et son dénominateur ne s écrit pas sous la forme d un produit 1001 xx 1 de puissances de et/ou de 5. Ce n est donc pas un nombre décimal. 84 x Il en est de même de : 5 5 x x 4x5 x x x x5 5 x x5 5 x 5 x 5 x 5 Cette fraction est irréductible et son dénominateur s écrit sous la forme d un produit de puissances de et/ou de 5. C est donc un nombre décimal. La somme de deux nombres rationnels non décimaux peut être un nombre décimal. La somme d un nombre rationnel non décimal et d un nombre décimal est toujours un nombre rationnel non décimal. Exercice 1. 9 désigne un nombre décimal si on peut la transformer en écriture fractionnaire irréductible dont le dénominateur s écrit sous la forme d un produit de puissances de et/ou de 5. 5 x or ni, ni 5 ne divisent 9. 9 est donc irréductible. ne s écrit pas sous la forme d un produit de puissances de et/ou de 5. 9 L écriture fractionnaire ne désigne donc pas un nombre décimal.
4 9 5 X1 1 X et 5 sont premiers entre eux, est donc irréductible Le dénominateur est une puissance de 5. est un nombre décimal. 5 5 L écriture fractionnaire 9 5 désigne donc un nombre décimal Pour comparer ces deux nombres, on peut réduire les fractions et 5 1 au même dénominateur. Le 5 dénominateur commun à ces deux fractions est x5 x x et x Comme 145 > 14, > et donc > X1 5 0,5 5 4X est un nombre rationnel non décimal dont l écriture à virgule est infinie périodique : 0,5. 0,55 est un nombre décimal inférieur à 0,5 et supérieur à 0,5. Il est donc compris entre 9 5 et 9 4. La moyenne arithmétique des deux nombres 9 5 et 9 n est pas un nombre décimal (car l un des deux nombres n est pas un nombre décimal) et elle est nécessairement comprise entre ces deux nombres 59 9 Cette moyenne est égale à : X est un nombre rationnel non décimal compris entre 5 5 et 9. Exercice 8 Il suffit de commencer la division effective de 1 par 1, on trouve 0,9069 À partir du moment où l on trouve comme reste un reste déjà apparu (ici le 1), on retrouve la suite de restes (ici 1,, 4, 1, 10, 9), et la suite des chiffres du quotient correspondant sera répétée (ici 9,,, 0,, 6). Ici, par exemple, le 9 se trouve être le premier chiffre après la virgule, le septième, le treizième, le dix-neuvième, etc. (de 6 en 6). De même, le est le deuxième chiffre après la virgule, le huitième, le quatorzième, le vingtième etc. (de 6 en 6). Et ainsi de suite. Pour déterminer la nième décimale de 11, il suffit donc de connaître le reste dans la division euclidienne de n par 6. On a : et , donc, dans la division euclidienne par 6, 148 et 548 ont le même reste (4). On en déduit que la 148ième décimale et la 548ième décimale du nombre sont les mêmes (il s agit du chiffre «0»). Exercice 9 Procédure algébrique : Soit x l effectif total de l entreprise. L effectif total est égal à la somme des effectifs de chaque catégorie de personnel : x L effectif des cadres est égal à. 60 L effectif des techniciens est égal à 1 x. 4
5 x x Le reste (x - - ) comprend les ouvriers et les employés x x L effectif des ouvriers correspond à du reste soit à (x - - ) et il reste 0 employés x x 5 x x x 5 x 5 x 5 x On a donc x + + (x - - ) + 0 x + + (x - - ) ) En multipliant les deux membres de l égalité par 60 et soit par 160, on obtient l égalité suivante : 160x x +15x + 5 (60x x 5x) x x +15x x 5x 15x x x -15x -1500x +5x +15x x 400 x 00 L entreprise compte 00 personnes. Autre procédure Les ouvriers et les employés représentent la fraction 1-( + ) de l effectif total soit 1-( + ) de l effectif total. 5 9 Les ouvriers représentent les de ce reste et les employés représentent les de ce reste, soit x de 10 l effectif total, c est à-dire 15 1 personnes soit 15x0 00. de l effectif total. Comme il y a 0 employés, l entreprise compte 15 fois plus de Synthèse L ensemble des nombres entiers naturels : N {0, 1,,,...} C est un ensemble infini : après un nombre quelconque, on peut toujours en trouver au moins un autre : tout nombre entier naturel a un successeur. C est un ensemble discret : les nombres entiers naturels ne permettent que de graduer une demi-droite et entre deux graduations successives, il n en existe pas d autre qui puisse représenter un nombre entier. Dans cet ensemble, il existe des équations qui n ont pas de solution : par exemple 4 +? n a pas de solution dans N. Plus généralement, l équation a +? b avec a > b n a pas de solution. L ensemble Z des entiers relatifs Z complète l ensemble des entiers naturels : il est composé des nombres entiers naturels et de leurs opposés : Z {..., -, -, -1, 0, 1,,,...} N Z Ces nombres ne sont étudiés qu au collège. Ils sont utilisés dans différents contextes. Ils permettent de graduer la droite de manière plus complète que les nombres entiers naturels, mais l ensemble Z est un ensemble discret : entre deux graduations successives représentant deux nombres relatifs, il n en existe pas d autre qui puisse représenter un nombre entier relatif. Dans cet ensemble, l équation a +? b a toujours une solution même si a > b, mais certaines équations comme x? 5 n a pas de solution dans Z. L ensemble Q des nombres rationnels Cet ensemble est composé des nombres solutions d équations du type a x? b avec a et b entiers relatifs et b 0. C est donc l ensemble des nombres écrits sous forme de fractions b a (b 0). Ce sont des nombres qui sont quotients de deux entiers relatifs. N Z Q Entre deux nombres rationnels, on peut toujours en trouver un autre ; autrement dit, l intervalle [q 1, q ] où q 1 et q sont deux nombres rationnels comporte une infinité de nombres. 5
6 4 Par exemple, entre les nombres et, on peut placer le nombre 14 : l amplitude de l intervalle [,4 ] est égale à Le milieu de l intervalle est situé à 14 de, c est le nombre soit 14. Parmi les nombres rationnels, il en existe des particuliers : les nombres décimaux que l on désigne par la lettre D. On peut approcher un nombre rationnel par un nombre décimal avec une précision aussi grande que l on veut. Les nombres décimaux permettent de graduer la droite numérique de manière plus fine que les nombres entiers relatifs mais moins fine que les nombres rationnels. N Z D Q Les nombres rationnels permettent de compléter la graduation de la droite numérique, mais ils ne la remplissent pas. Il existe encore de nombreux trous : π et 5 ne sont pas des nombres rationnels mais ils désignent une graduation de la droite numérique. Ce sont des nombres irrationnels L ensemble R des nombres réels: L ensemble R des nombres réels est la réunion de l ensemble des nombres rationnels et de celui des nombres irrationnels N Z D Q R L ensemble des nombres réels remplit la droite : il est continu. Tout nombre réel peut être approché d aussi près que l on veut par un nombre décimal. Un ordinateur aussi puissant qu il soit ne gère des calculs que sur des valeurs approchées de nombres réels. L ensemble des nombres décimaux est dense dans l ensemble des nombres réels : entre deux nombres réels, on peut trouver une infinité de nombres décimaux. Les différentes écritures des nombres : Un nombre rationnel a deux écritures : - une écriture fractionnaire, - une écriture décimale ou à virgule. Un nombre rationnel décimal a une écriture décimale ou à virgule finie. Un nombre rationnel non décimal a une écriture décimale ou à virgule infinie et périodique. Un nombre décimal est un nombre rationnel particulier. Il peut s écrire sous la forme d une fraction décimale, c est-à-dire une fraction dont le dénominateur est une puissance de dix, par exemple Il peut aussi s écrire sous la forme d une fraction irréductible dont le dénominateur s écrit sous la forme d un produit de puissances de et/ou de 5. Par exemple, n est pas une fraction irréductible mais si on divise le numérateur et le dénominateur par, on trouve une fraction irréductible qui lui est égale et qui est un nombre décimal. est un nombre décimal. 0 ²x5. Attention : Il faut être prudent : en effet, une calculatrice ou un ordinateur aussi puissants soient ils ne donnent qu une approximation d un nombre rationnel non décimal, si bien que la plupart du temps, il est impossible de caractériser un nombre à l aide de son écriture à virgule. Il est alors préférable d utiliser les écritures fractionnaires pour déterminer si un nombre est rationnel décimal ou non. Un nombre irrationnel a une écriture décimale infinie non périodique Valeur arrondie La valeur arrondie à 10 n 1 ( n ) d un réel est le nombre décimal le plus proche ayant une partie décimale 10 composée de n chiffres maximum. Cas particulier où la décimale à supprimer est un 5 : la valeur arrondie au dixième de 1,5 est 1,. Valeur approchée par défaut, par excès 6
7 La valeur approchée à 10 n par défaut d un nombre réel est le nombre décimal inférieur le plus proche ayant une partie décimale composée de n chiffres maximum. La valeur approchée à 10 n par excès d un nombre réel est le nombre décimal supérieur le plus proche ayant une partie décimale composée de n chiffres maximum. Encadrement Encadrer à 10 n un nombre réel r consiste à déterminer deux nombres décimaux, l un inférieur à r et l autre supérieur à r tels que leur différence soit égale à 10 n Exemple : Un encadrement à 10 - de 5 est,6< 5 <,, car,,6 0, Comparaison des nombres décimaux Les relations inférieur ou égal à ( ) ; supérieur ou égal à ( ) ; inférieur à (<) ; supérieur à (>) sont des relations d ordre. Dans N, tout nombre a un successeur et un prédécesseur (sauf 0). Ce n est plus vrai dans D, Q et R. Exemples : dans N, a un successeur à savoir 4. Dans D, n a pas de successeur. Ce n est pas 4 puisqu il y une infinité de nombres décimaux entre et 4 (,1 ;,01 ;,001...). Entre deux décimaux, on peut toujours intercaler un décimal : ainsi entre,1 et,, on peut intercaler,. Entre deux entiers, on ne peut pas toujours intercaler un entier. Ainsi, entre et 4, on ne peut pas intercaler d entier. Pour comparer des nombres décimaux, on compare leur partie entière. Si les parties entières sont les mêmes, on compare les parties décimales de même rang. 45,68 est plus petit que 45,69 parce que dixièmes est plus petit que 6 dixièmes. Les nombres entiers ne permettent pas de graduer la droite numérique : entre deux graduations successives, il n en existe pas d autres qui puissent représenter un nombre entier. Les nombres décimaux et plus généralement, les nombres rationnels permettent de compléter la graduation de la droite numérique, mais ils ne la remplissent pas. L ensemble des nombres réels remplit la droite : à tout point de la droite on peut associer un nombre réel et un seul et réciproquement.
Glossaire des nombres
Glossaire des nombres Numérisation et sens du nombre (4-6) Imprimeur de la Reine pour l'ontario, 008 Nombre : Objet mathématique qui représente une valeur numérique. Le chiffre est le symbole utilisé pour
Plus en détailPetit lexique de calcul à l usage des élèves de sixième et de cinquième par M. PARCABE, professeur au collège Alain FOURNIER de BORDEAUX, mars 2007
Petit lexique de calcul à l usage des élèves de sixième et de cinquième par M. PARCABE, professeur au collège Alain FOURNIER de BORDEAUX, mars 2007 page 1 / 10 abscisse addition additionner ajouter appliquer
Plus en détailLES NOMBRES DECIMAUX. I. Les programmes
LES NOMBRES DECIMAUX I. Les programmes Au cycle des approfondissements (Cours Moyen), une toute première approche des fractions est entreprise, dans le but d aider à la compréhension des nombres décimaux.
Plus en détailDéfinition 0,752 = 0,7 + 0,05 + 0,002 SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS = 7 10 1 + 5 10 2 + 2 10 3
8 Systèmes de numération INTRODUCTION SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS Dans un système positionnel, le nombre de symboles est fixe On représente par un symbole chaque chiffre inférieur à la base, incluant
Plus en détailEXERCICES DE REVISIONS MATHEMATIQUES CM2
EXERCICES DE REVISIONS MATHEMATIQUES CM2 NOMBRES ET CALCUL Exercices FRACTIONS Nommer les fractions simples et décimales en utilisant le vocabulaire : 3 R1 demi, tiers, quart, dixième, centième. Utiliser
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailDéfinition : On obtient les nombres entiers en ajoutant ou retranchant des unités à zéro.
Chapitre : Les nombres rationnels Programme officiel BO du 8/08/08 Connaissances : Diviseurs communs à deux entiers, PGCD. Fractions irréductibles. Opérations sur les nombres relatifs en écriture fractionnaire.
Plus en détailLa question est : dans 450 combien de fois 23. L opération est donc la division. Le diviseur. Le quotient
par un nombre entier I La division euclidienne : le quotient est entier Faire l activité division. Exemple Sur une étagère de 4mm de large, combien peut on ranger de livres de mm d épaisseur? La question
Plus en détailavec des nombres entiers
Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détailPriorités de calcul :
EXERCICES DE REVISION POUR LE PASSAGE EN QUATRIEME : Priorités de calcul : Exercice 1 : Calcule en détaillant : A = 4 + 5 6 + 7 B = 6 3 + 5 C = 35 5 3 D = 6 7 + 8 E = 38 6 3 + 7 Exercice : Calcule en détaillant
Plus en détailEVALUATION Nombres CM1
IEN HAUTE VALLEE DE L OISE EVALUATION Nombres CM1 PRESENTATION CONSIGNES DE PASSATION CONSIGNES DE CODAGE Livret du maître Nombres évaluation CM1 2011/2012 Page 1 CM1 MATHÉMATIQUES Champs Compétences Composantes
Plus en détailUEO11 COURS/TD 1. nombres entiers et réels codés en mémoire centrale. Caractères alphabétiques et caractères spéciaux.
UEO11 COURS/TD 1 Contenu du semestre Cours et TDs sont intégrés L objectif de ce cours équivalent a 6h de cours, 10h de TD et 8h de TP est le suivant : - initiation à l algorithmique - notions de bases
Plus en détailChapitre 10 Arithmétique réelle
Chapitre 10 Arithmétique réelle Jean Privat Université du Québec à Montréal INF2170 Organisation des ordinateurs et assembleur Automne 2013 Jean Privat (UQAM) 10 Arithmétique réelle INF2170 Automne 2013
Plus en détailReprésentation des Nombres
Chapitre 5 Représentation des Nombres 5. Representation des entiers 5.. Principe des représentations en base b Base L entier écrit 344 correspond a 3 mille + 4 cent + dix + 4. Plus généralement a n a n...
Plus en détailLe chiffre est le signe, le nombre est la valeur.
Extrait de cours de maths de 6e Chapitre 1 : Les nombres et les opérations I) Chiffre et nombre 1.1 La numération décimale En mathématique, un chiffre est un signe utilisé pour l'écriture des nombres.
Plus en détailPuissances d un nombre relatif
Puissances d un nombre relatif Activités 1. Puissances d un entier relatif 1. Diffusion d information (Activité avec un tableur) Stéphane vient d apprendre à 10h, la sortie d une nouvelle console de jeu.
Plus en détailCours d arithmétique Première partie
Cours d arithmétique Première partie Pierre Bornsztein Xavier Caruso Pierre Nolin Mehdi Tibouchi Décembre 2004 Ce document est la première partie d un cours d arithmétique écrit pour les élèves préparant
Plus en détailReprésentation d un entier en base b
Représentation d un entier en base b 13 octobre 2012 1 Prérequis Les bases de la programmation en langage sont supposées avoir été travaillées L écriture en base b d un entier est ainsi défini à partir
Plus en détailAC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =
LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste
Plus en détailV- Manipulations de nombres en binaire
1 V- Manipulations de nombres en binaire L ordinateur est constitué de milliards de transistors qui travaillent comme des interrupteurs électriques, soit ouverts soit fermés. Soit la ligne est activée,
Plus en détailEVALUATIONS MI-PARCOURS CM2
Les enseignants de CM2 de la circonscription de METZ-SUD proposent EVALUATIONS MI-PARCOURS CM2 Mathématiques Livret enseignant NOMBRES ET CALCUL Circonscription de METZ-SUD Page 1 Séquence 1 : Exercice
Plus en détailCompétence 2 : Comparer, ranger, encadrer des nombres, les placer sur une droite graduée
1/5 Compétence 2 : Comparer, ranger, encadrer des nombres, les placer sur une droite graduée Étape 1 : associer la droite graduée à deux objets du quotidien : la règle graduée ici, celle de l'enseignant
Plus en détailPour monter un escalier, on peut, à chaque pas, choisir de monter une marche ou de monter deux marches. Combien y a-t-il de façons de monter un
Pour monter un escalier, on peut, à chaque pas, choisir de monter une marche ou de monter deux marches Combien y a-t-il de façons de monter un escalier de marche? De marches? De marches? De marches? De
Plus en détailCM2B Ste Marthe NOMBRES CROISES
CMB Ste Marthe NOMBRES CROISES Règles Les nombres croisés sont des grilles à remplir en suivant les instructions. Les consignes ne sont données que pour les nombres à plus de deux chiffres. Si plusieurs
Plus en détailTHEME : CLES DE CONTROLE. Division euclidienne
THEME : CLES DE CONTROLE Division euclidienne Soit à diviser 12 par 3. Nous pouvons écrire : 12 12 : 3 = 4 ou 12 3 = 4 ou = 4 3 Si par contre, il est demandé de calculer le quotient de 12 par 7, la division
Plus en détailPour monter un escalier, on peut, à chaque pas, choisir de monter une marche ou de monter deux marches. Combien y a-t-il de façons de monter un
Pour monter un escalier, on peut, à chaque pas, choisir de monter une marche ou de monter deux marches. Combien y a-t-il de façons de monter un escalier de 1 marche? De 2 marches? De 3 marches? De 4 marches?
Plus en détailChapitre 1 : Évolution COURS
Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir
Plus en détailTechnique opératoire de la division (1)
Unité 17 Technique opératoire de la division (1) Effectuer un calcul posé : division euclidienne de deux entiers. 1 Trois camarades jouent aux cartes. Manu fait la distribution en donnant à chaque joueur
Plus en détailSOCLE COMMUN - La Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique
SOCLE COMMUN - La Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique DOMAINE P3.C3.D1. Pratiquer une démarche scientifique et technologique, résoudre des
Plus en détaila)390 + 520 + 150 b)702 + 159 +100
Ex 1 : Calcule un ordre de grandeur du résultat et indique s il sera supérieur à 1 000 L addition est une opération qui permet de calculer la somme de plusieurs nombres. On peut changer l ordre de ses
Plus en détailTOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET
TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par
Plus en détailPrésentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau
i Présentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau Bonjour, bienvenue dans votre début d étude du cours de mathématiques de l année de remise à niveau en vue du D.A.E.U. B Au cours
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailFonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
Plus en détailNombres, mesures et incertitudes en sciences physiques et chimiques. Groupe des Sciences physiques et chimiques de l IGEN
Nombres, mesures et incertitudes en sciences physiques et chimiques. Groupe des Sciences physiques et chimiques de l IGEN Table des matières. Introduction....3 Mesures et incertitudes en sciences physiques
Plus en détailLicence Sciences et Technologies Examen janvier 2010
Université de Provence Introduction à l Informatique Licence Sciences et Technologies Examen janvier 2010 Année 2009-10 Aucun document n est autorisé Les exercices peuvent être traités dans le désordre.
Plus en détailProposition de programmes de calculs en mise en train
Proposition de programmes de calculs en mise en train Programme 1 : Je choisis un nombre, je lui ajoute 1, je calcule le carré du résultat, je retranche le carré du nombre de départ. Essai-conjecture-preuve.
Plus en détail108y= 1 où x et y sont des entiers
Polynésie Juin 202 Série S Exercice Partie A On considère l équation ( ) relatifs E :x y= où x et y sont des entiers Vérifier que le couple ( ;3 ) est solution de cette équation 2 Déterminer l ensemble
Plus en détail1 Définition et premières propriétés des congruences
Université Paris 13, Institut Galilée Département de Mathématiques Licence 2ème année Informatique 2013-2014 Cours de Mathématiques pour l Informatique Des nombres aux structures Sylviane R. Schwer Leçon
Plus en détailFONCTION EXPONENTIELLE ( ) 2 = 0.
FONCTION EXPONENTIELLE I. Définition Théorème : Il eiste une unique fonction f dérivable sur R telle que f ' = f et f (0) =. Démonstration de l'unicité (eigible BAC) : L'eistence est admise - Démontrons
Plus en détailLa construction du nombre en petite section
La construction du nombre en petite section Éléments d analyse d Pistes pédagogiquesp 1 La résolution de problèmes, premier domaine de difficultés des élèves. Le calcul mental, deuxième domaine des difficultés
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailMaple: premiers calculs et premières applications
TP Maple: premiers calculs et premières applications Maple: un logiciel de calcul formel Le logiciel Maple est un système de calcul formel. Alors que la plupart des logiciels de mathématiques utilisent
Plus en détailSituations pédagogiques Outils pour les différents profils
La numération au C1, C2, C3 Cycle 2 Cycle 3 La perception du nombre, de la pluralité Situations pédagogiques Outils pour les différents profils Les «flash cards» avec les différentes représentations d
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détailDEVOIR MAISON : THEME : LES CLES DE CONTROLE. I. La clé des codes barres
DEVOIR MAISON : THEME : LES CLES DE CONTROLE I. La clé des codes barres Le code U.P.C. (Universal Product Code) utilise des nombres de treize chiffres pour désigner un produit de consommation. Les douze
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailArithmétique binaire. Chapitre. 5.1 Notions. 5.1.1 Bit. 5.1.2 Mot
Chapitre 5 Arithmétique binaire L es codes sont manipulés au quotidien sans qu on s en rende compte, et leur compréhension est quasi instinctive. Le seul fait de lire fait appel au codage alphabétique,
Plus en détailIII- Raisonnement par récurrence
III- Raisonnement par récurrence Les raisonnements en mathématiques se font en général par une suite de déductions, du style : si alors, ou mieux encore si c est possible, par une suite d équivalences,
Plus en détailChapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé
Chapitre 2 Eléments pour comprendre un énoncé Ce chapitre est consacré à la compréhension d un énoncé. Pour démontrer un énoncé donné, il faut se reporter au chapitre suivant. Les tables de vérité données
Plus en détailIndications pour une progression au CM1 et au CM2
Indications pour une progression au CM1 et au CM2 Objectif 1 Construire et utiliser de nouveaux nombres, plus précis que les entiers naturels pour mesurer les grandeurs continues. Introduction : Découvrir
Plus en détailNombres premiers. Comment reconnaître un nombre premier? Mais...
Introduction Nombres premiers Nombres premiers Rutger Noot IRMA Université de Strasbourg et CNRS Le 19 janvier 2011 IREM Strasbourg Definition Un nombre premier est un entier naturel p > 1 ayant exactement
Plus en détailDérivation : cours. Dérivation dans R
TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition
Plus en détailSOMMAIRE... SOMMAIRE... SOMMAIRE... SOMMAIRE... SOMMAIRE... SOMMAIRE... LES MESURES
SOMMAIRE... SOMMAIRE... SOMMAIRE... SOMMAIRE... SOMMAIRE... SOMMAIRE... LES MESURES MES 1 Les mesures de longueurs MES 2 Lecture de l heure MES 3 Les mesures de masse MES 4 Comparer des longueurs, périmètres.
Plus en détailLa persistance des nombres
regards logique & calcul La persistance des nombres Quand on multiplie les chiffres d un nombre entier, on trouve un autre nombre entier, et l on peut recommencer. Combien de fois? Onze fois au plus...
Plus en détailCours 7 : Utilisation de modules sous python
Cours 7 : Utilisation de modules sous python 2013/2014 Utilisation d un module Importer un module Exemple : le module random Importer un module Exemple : le module random Importer un module Un module est
Plus en détailCodage d information. Codage d information : -Définition-
Introduction Plan Systèmes de numération et Représentation des nombres Systèmes de numération Système de numération décimale Représentation dans une base b Représentation binaire, Octale et Hexadécimale
Plus en détailCM 1 Numération NU 01 Distinguer chiffre et nombre Question b. Question c. Objectifs S entraîner Mots clés Exercice 1. Activité préparatoire
2Préalables CM NU 0 La fiche Objectifs Indiquer la valeur d un chiffre selon sa position dans un nombre. Utiliser à bon escient les termes chiffre et nombre. Mots clés Chiffre, nombre, centaine, dizaine,
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailInitiation à la programmation en Python
I-Conventions Initiation à la programmation en Python Nom : Prénom : Une commande Python sera écrite en caractère gras. Exemples : print 'Bonjour' max=input("nombre maximum autorisé :") Le résultat de
Plus en détail1/24. I passer d un problème exprimé en français à la réalisation d un. I expressions arithmétiques. I structures de contrôle (tests, boucles)
1/4 Objectif de ce cours /4 Objectifs de ce cours Introduction au langage C - Cours Girardot/Roelens Septembre 013 Du problème au programme I passer d un problème exprimé en français à la réalisation d
Plus en détailPlan. 5 Actualisation. 7 Investissement. 2 Calcul du taux d intérêt 3 Taux équivalent 4 Placement à versements fixes.
Plan Intérêts 1 Intérêts 2 3 4 5 6 7 Retour au menu général Intérêts On place un capital C 0 à intérêts simples de t% par an : chaque année une somme fixe s ajoute au capital ; cette somme est calculée
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailEnoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Plus en détailConversion d un entier. Méthode par soustraction
Conversion entre bases Pour passer d un nombre en base b à un nombre en base 10, on utilise l écriture polynomiale décrite précédemment. Pour passer d un nombre en base 10 à un nombre en base b, on peut
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailVous revisiterez tous les nombres rencontrés au collège, en commençant par les nombres entiers pour finir par les nombres réels.
Cette partie est consacrée aux nombres. Vous revisiterez tous les nombres rencontrés au collège, en commençant par les nombres entiers pour finir par les nombres réels. L aperçu historique vous permettra
Plus en détailChapitre 14. La diagonale du carré
Chapitre 4 La diagonale du carré Préambule Examinons un puzzle tout simple : on se donne deux carrés de même aire et on demande, au moyen de quelques découpages, de construire un nouveau carré qui aurait
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailO, i, ) ln x. (ln x)2
EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailFractions. Pour s y remettre. 66 5 Division 67. Dans ce chapitre, on apprendra à :
Dans ce chapitre, on apprendra à : Fractions Repérer des fractions sur une demi-droite graduée. Identifier une fraction comme le quotient de deux nombres entiers. Reconnaître que deux fractions peuvent
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailt 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :
Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant
Plus en détailCompter à Babylone. L écriture des nombres
Compter à Babylone d après l article de Christine Proust «Le calcul sexagésimal en Mésopotamie : enseignement dans les écoles de scribes» disponible sur http://www.dma.ens.fr/culturemath/ Les mathématiciens
Plus en détailPrécision d un résultat et calculs d incertitudes
Précision d un résultat et calculs d incertitudes PSI* 2012-2013 Lycée Chaptal 3 Table des matières Table des matières 1. Présentation d un résultat numérique................................ 4 1.1 Notations.........................................................
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailIntensité sonore et niveau d intensité sonore
ntensité sonore et niveau d intensité sonore Dans le programme figure la compétence suivante : Connaître et exploiter la relation liant le niveau d intensité sonore à l intensité sonore. Cette fiche se
Plus en détailPROBLEME(12) Première partie : Peinture des murs et du plafond.
PROBLEME(12) Une entreprise doit rénover un local. Ce local a la forme d'un parallélépipède rectangle. La longueur est 6,40m, la largeur est 5,20m et la hauteur est 2,80m. Il comporte une porte de 2m de
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailExprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %
23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une
Plus en détailIntroduction. Mathématiques Quantiques Discrètes
Mathématiques Quantiques Discrètes Didier Robert Facultés des Sciences et Techniques Laboratoire de Mathématiques Jean Leray, Université de Nantes email: v-nantes.fr Commençons par expliquer le titre.
Plus en détailComplément d information concernant la fiche de concordance
Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours
Plus en détailCORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!»
Corrigé Cours de Mr JULES v3.3 Classe de Quatrième Contrat 1 Page 1 sur 13 CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!» «Correction en rouge et italique.» I. Les nombres décimaux relatifs.
Plus en détailPROPORTIONNALITÉ LES ÉCHELLES. Dossier n 2 Juin 2005. Conçu et réalisé par : Marie-Christine LIEFOOGHE Bruno VANBAELINGHEM Annie VANDERSTRAELE
PROPORTIONNALITÉ LES ÉCHELLES 0 000 000 Dossier n 2 Juin 2005 Tous droits réservés au réseau AGRIMÉDIA Conçu et réalisé par : Marie-Christine LIEFOOGHE Bruno VANBAELINGHEM Annie VANDERSTRAELE C.D.R. AGRIMEDIA
Plus en détailChapitre VI - Méthodes de factorisation
Université Pierre et Marie Curie Cours de cryptographie MM067-2012/13 Alain Kraus Chapitre VI - Méthodes de factorisation Le problème de la factorisation des grands entiers est a priori très difficile.
Plus en détailPréparation à l épreuve de Mathématiques du concours d entrée en première année d IUFM. Responsable : Nathalie Villa villa@univ-tlse2
Préparation à l épreuve de Mathématiques du concours d entrée en première année d IUFM Responsable : Nathalie Villa villa@univ-tlse2 Arithmétique et numération : Exercices Nombres entiers naturels et
Plus en détailRappels sur les suites - Algorithme
DERNIÈRE IMPRESSION LE 14 septembre 2015 à 12:36 Rappels sur les suites - Algorithme Table des matières 1 Suite : généralités 2 1.1 Déition................................. 2 1.2 Exemples de suites............................
Plus en détailSTAGE IREM 0- Premiers pas en Python
Université de Bordeaux 16-18 Février 2014/2015 STAGE IREM 0- Premiers pas en Python IREM de Bordeaux Affectation et expressions Le langage python permet tout d abord de faire des calculs. On peut évaluer
Plus en détailLes emprunts indivis. Administration Économique et Sociale. Mathématiques XA100M
Les emprunts indivis Administration Économique et Sociale Mathématiques XA100M Les emprunts indivis sont les emprunts faits auprès d un seul prêteur. On va étudier le cas où le prêteur met à disposition
Plus en détailCours 1 : Introduction Ordinateurs - Langages de haut niveau - Application
Université de Provence Licence Math-Info Première Année V. Phan Luong Algorithmique et Programmation en Python Cours 1 : Introduction Ordinateurs - Langages de haut niveau - Application 1 Ordinateur Un
Plus en détail6. Les différents types de démonstrations
LES DIFFÉRENTS TYPES DE DÉMONSTRATIONS 33 6. Les différents types de démonstrations 6.1. Un peu de logique En mathématiques, une démonstration est un raisonnement qui permet, à partir de certains axiomes,
Plus en détailLA PHYSIQUE DES MATERIAUX. Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE
LA PHYSIQUE DES MATERIAUX Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE Pr. A. Belayachi Université Mohammed V Agdal Faculté des Sciences Rabat Département de Physique - L.P.M belayach@fsr.ac.ma 1 1.Le réseau
Plus en détailBases de programmation. Cours 5. Structurer les données
Bases de programmation. Cours 5. Structurer les données Pierre Boudes 1 er décembre 2014 This work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License. Types char et
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détailLe produit semi-direct
Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.
Plus en détail