CONCOURS DE RECRUTEMENT AU PROFESSORAT DE L'ENSEIGNEMENT DU SECOND DEGRÉ AGRICOLE DEUXIÈME ÉPREUVE ÉCRITE D ADMISSIBILITÉ.
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- Jean-Pascal Paquin
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1 CONCOURS DE RECRUTEMENT AU PROFESSORAT DE L'ENSEIGNEMENT DU SECOND DEGRÉ AGRICOLE CAPESA CONCOURS D ACCÈS à la 2 e catégorie des emplois de professeurs des établissements d enseignement agricole privés SESSION 2013 Concours : Section : EXTERNE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ÉPREUVE ÉCRITE D ADMISSIBILITÉ Étude de thème Coefficient 2 : - Durée : 5 heures) La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l appréciation des copies L usage des calculatrices de poche est autorisé, à condition qu elles soient à fonctionnement autonome et qu il ne soit pas fait usage d imprimante Le sujet comporte six pages Il est composé de deux exercices indépendants l un de l autre 1/6
2 Exercice 1 Thème d étude : suites de nombres réels et complexes, convergence, suites adjacentes, vitesse de convergence, algorithme, approximation d une solution d équations Partie I : préliminaires Soient a n ) n N une suite strictement croissante et b n ) n N une suite strictement décroissante telles que : lim a n b n ) = 0 n + On dit alors que les suites a n ) n N et b n ) n N sont adjacentes 1 Montrer que la suite b n a n ) n N est strictement décroissante 2 Montrer que, pour tout entier naturel n : b n a n 0 3 Montrer que les suites a n ) n N et b n ) n N convergent et ont la même limite notée l 4 Montrer que, pour tout entier naturel n : a n < l < b n Partie II On considère les suites a n ) n N et b n ) n N définies, pour tout entier naturel n non nul, par : 1 a n = et b n = a n + 1 k! nn! 1 Montrer que les suites a n ) n N et b n ) n N sont adjacentes k=0 2 L objectif de cette question est de montrer que la limite commune de ces deux suites, notée l, est un nombre irrationnel On suppose qu il existe deux entiers naturels non nuls p et q tels que l = p q a) Montrer que, pour tout entier naturel n non nul : a n n! est un entier b) Montrer que : 0 < pq! a q qq! < 1 c) En déduire que l est un nombre irrationnel Partie III On se propose de déterminer cette limite l Dans cette partie, a désigne un nombre réel strictement positif On considère les suites f a n)) n N et ϕ a n)) n N définies par : f a n) = 1 Soit n un entier naturel a a) Calculer f a 0) et ϕ a 0) b) Exprimer f a n + 1) en fonction de f a n) 0 t n e t dt et ϕ a n) = e a [ 1 f an) n! c) En déduire une expression de ϕ a n + 1) en fonction de ϕ a n) a k d) Montrer que : ϕ a n) = k! k=0 ] 2/6
3 2 Montrer que, pour tout entier naturel n non nul : a n+1 e a n + 1) f an) an+1 n On considère la suite u a n)) n N définie, pour tout entier naturel n, par : u a n) = an n! a) Calculer, pour tout entier naturel n : u an + 1) u a n) b) Montrer qu il existe un entier naturel n 1 et une suite géométrique t a n)) n N dépendant de a et de raison 1 tels que, pour tout entier n supérieur ou égal à n 2 1 : u a n) t a n) c) En déduire que la suite u a n)) n N est convergente et déterminer sa limite 4 Montrer que la suite ϕ a n)) n N est convergente et préciser sa limite 5 Rédiger une synthèse des résultats obtenus Partie IV 1 a) Montrer que, pour tout nombre réel x : e x 1 + x b) En déduire que, pour tout entier naturel n non nul : n) n e 2 a) Montrer que, pour tout nombre réel x strictement inférieur à 1 : e x 1 1 x b) En déduire que, pour tout entier naturel n non nul : e [ 3 a) Montrer que : lim ) n ) ] n = 0 n + n n Partie V b) En déduire que : lim n n) n = e k= n) n+1 L objectif de cette partie est de comparer les vitesses de convergence vers e des suites a n ) n N et c n ) n N respectivement définies, pour tout entier naturel n non nul, par : 1 a n = et c n = n k! n) u n+1 l 1 Soit u n ) n N une suite réelle convergeant vers l telle que lim n + u n l Montrer que k appartient à l intervalle [0; 1] 2 La convergence de u n ) n N vers l est dite : lente si k = 1 ; de type géométrique si 0 < k < 1 ; rapide si k = 0 a) En utilisant des résultats des parties I et II, étudier la vitesse de convergence vers e de la suite a n ) n N b) Etudier la vitesse de convergence vers e de la suite c n ) n N = k 3/6
4 Exercice 2 Thème d étude : problème des moindres carrés en statistique, approche matricielle Notations Pour tous entiers naturels non nuls n et p, on note M n,p R) l ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients réels On identifie toute matrice à 1 seule ligne et 1 seule colonne au seul réel qu elle contient La transposée d une matrice M de M n,p R) est notée t M Pour tout entier naturel n non nul, on désigne par E n l espace vectoriel des matrices à n lignes et 1 colonne Pour tous vecteurs Y et Z de E n, on note : Y, Z = t Z Y le produit scalaire de Y et Z Pour tout vecteur Y de E n, on note : Y = Y, Y = t Y Y la norme de Y On désigne par 0 le vecteur nul de E n Pour toute matrice A de M n,p R) on note : Ker A = / } {X E p AX = 0 et Im A = / } {Y E n X E p tel que Y = AX Partie I 1 Soit A une matrice quelconque de M n,p R) Montrer que : Ker A est un sous-espace vectoriel de E p et Im A un sous-espace vectoriel de E n 2 Soient M une matrice de M n,p R) et N une matrice de M p,n R) Montrer que : Im MN Im M et Ker N Ker MN 3 Soit Y un vecteur de E n Montrer que : Y = 0 si et seulement si Y = 0 4 Montrer que, pour tout couple Y, Z) de vecteurs de E n et tout réel λ : Y + λz 2 = Y 2 + 2λ t Z Y + λ 2 Z 2 Dans les parties II et III, A désigne une matrice de M n,p R) et B un vecteur de E n Partie II 1 Montrer que tout vecteur X de Ker t A A vérifie : AX = 0 2 Montrer l égalité des deux espaces vectoriels Ker t A A et Ker A 3 En déduire que les matrices t A A et A ont même rang puis que Im t A A = Im t A 4 Montrer qu il existe un vecteur X de E p tel que : t AAX = t AB Partie III On note E) l équation matricielle AX = B d inconnue X appartenant à E p X est dite solution de E) si AX = B X élément de E p est dite pseudo-solution de E) si : Z E p, AX B AZ B 4/6
5 1 On suppose que E) admet au moins une solution Montrer que : X est une pseudo-solution de E) si et seulement si X est solution de E) 2 Dans cette question, on suppose que X est une pseudo-solution de E) a) Montrer que : λ R, U E p, AX B AX B λau b) En déduire que : λ R, U E p, λ 2 AU 2 2λ t U t A AX B) 0 c) Montrer que : U E p, t U t A AX B) 0 d) En déduire que : t AAX = t AB 3 On suppose que : t AAX = t AB Montrer que X est pseudo-solution de E) 4 Dans cette question, on suppose que le rang de la matrice A est égal à p a) Montrer que la matrice t AA est inversible b) En déduire que E) admet une unique pseudo-solution X Partie IV : application On munit le plan P d un repère orthonormal O ; i, ) j n désigne un entier supérieur ou égal à 2 On considère n points M 1, M 2,, M n d abscisses respectives x 1, x 2,, x n non toutes égales et d ordonnées respectives y 1, y 2,, y n non toutes égales Pour toute droite D) non parallèle à l axe des ordonnées et, pour tout entier i compris entre 1 et n, on note Ni D le projeté du point M i sur la droite D) parallèlement à l axe des ordonnées Dans cette partie, on se propose de démontrer la proposition suivante : H : Parmi ces droites, il existe une unique droite D) telle que Ni D 2 M i soit minimale i=1 1 Montrer que la proposition H est équivalente à la proposition : K : il existe un unique couple a 0, b 0 ) de R 2 tel que, pour tout couple a, b) de R 2 : a 0 x i + b 0 y i ) 2 ax i + b y i ) 2 1) i=1 2 On considère le système d équations ax 1 + b = y 1 ax 2 + b = y 2 ax n + b = y n i=1 d inconnue θ = a) Montrer que le système précédent est équivalent à une équation matricielle de la forme Aθ = Y S 1 ) où l on précisera la matrice A et la matrice Y b) Montrer que : a 0, b 0 ) vérifie l inégalité 1) de la proposition K si et seulement si ) a0 est pseudo-solution de S 1 ) b 0 a b ) 5/6
6 c) Justifier que l équation matricielle S 1 ) admet une unique pseudo-solution notée θ â = b d) En déduire que la proposition H est vérifiée 3 a) Déterminer la matrice t AA puis son inverse t AA) 1 b) Déterminer t AY et en déduire θ c) Que représentent d un point de vue statistique les coordonnées de θ? ) 6/6
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