D = ; D = 14 ; E = Comme en Seconde! Calculer et donner le résultat sous la forme d une fraction irréductible.

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1 1 Outils numériques Exercice n En détaillant vos calculs, calculer les expressions numériques suivantes : A = 5+2 [7 (4 5)] B = 2 4,2 0,2 ( 3+1) C = D = (2 3) 3 A = 11 ; B = 8,5 ; C = 21 et D = 6 Exercice n Soit les expressions U = 4a 3(5 b) et V = 3a 2b. Calculer ces expressions pour a = 2 et b = 3. ab Exercice n En détaillant vos calculs, calculer puis donner le résultat en fraction irréductible : A = B = C = D = E = F = G = Exercice n 4 et G = 1 5 ; F = 1 4 ; E = 9 28 ; D = 14 3 ; C = ; B = 6 55 A = Comme en Seconde! Calculer et donner le résultat sous la forme d une fraction irréductible. A = B = C = D = Exercice n 5 Pour calculer l arrondi au dixième de A = ; B = ; C = 23 7 et D = 19 2 A = à la calculatrice, Teiva a tapé : Quel résultat affiche alors sa calculatrice? 2. Quelle est l erreur commise par Teiva? exe 3. En utilisant convenablement votre calculatrice, déterminer l arrondi au dixième de A. Exercice n On considère A = En utilisant la calculatrice, déterminer la valeur exacte de A, puis son arrondi au dixième, son arrondi au centième et son arrondi au millième. Exercice n Écrire toutes les étapes pour calculer les expressions suivantes. Vous donnerez les résultats sous la forme d une puissance 10 puis sous la forme décimale. A = B = C = (10 3 ) D = (10 3 ) 2 N. SANS page 1 Lycée Français Jean Giono

2 Exercice n Voici les distances en kilomètres qui séparent le Soleil de trois planètes du système solaire : Venus : ; Mars : ; Terre : 1, Parmi ces trois planètes, laquelle est la plus éloignée du Soleil? Justifier! Exercice n Écrire en écriture scientifique. 2. Écrire 0,004 en écriture scientifique. 3. La superficie de la Terre est d environ km 2. Chaque année, il tombe sur la Terre environ 0,004 kg par kilomètre carré de matière du cosmos (appelée «poussières d étoiles»). Calculer, en kilogramme, la masse de poussières d étoiles qui tombe en une année sur la Terre. Écrire cette masse en notation scientifique. En donner la valeur décimale en tonne. Exercice n 10 La masse d un atome de carbone est d environ kg. Un diamant est composé d atomes de carbone. On considère un diamant de 3 carats. (1 carat représente 0,205 g). Calculer le nombre d atomes de carbone qui le constitue. Exercice n 11 Donner l écriture scientifique des nombres suivants. Exercice n 12 A = 72,4 0,00001 B = 0, C = On considère les nombres En précisant les différentes étapes du calcul : A = ( ) B = (10 3 ) 3 1. Ecrire A sous la forme d une fraction la plus simple possible. 2. Donner l écriture scientifique de B. Solution : 1. Ecrivons A sous la forme d une fraction la plus simple possible. A = 7 ( ) = 7 2 ( ) 2 = 2 1 ( ) = = = 1 4 = = A = Donnons l écriture scientifique de B. B = (10 3 ) 3 = (10 3 ) 3 = 1, = 1, = 1, B = 1, N. SANS page 2 Lycée Français Jean Giono

3 Exercice n 13 Enoncé A = 8 ( ) 5 Démontrer que A = B. B = Solution A = 8 ( ) = 8 ( ) = = = = 8+25 = = 11 B = = = = = = 11 On a bien A = B = 11. Exercice n 14 On donne les expressions numériques : A = B = ( ) Calculer A et B. On écrira les résultats sous la forme de fractions aussi simples que possible. Exercice n 15 Calculer et donner la valeur exacte la plus simple possible des nombres suivants : Exercice n 16 A = B = Ecrire chacun des nombres suivants sous la forme d une fraction la plus simple possible : A = ( ) B = C = , Exercice n 17 Calculer A et B (faire apparaître les étapes de chaque calcul et donner les résultats sous forme d une fraction la plus simple possible) : A = ( ) 2 1 B = Exercice n 18 Calculer, en donnant le résultat d abord en écriture décimale, puis en écriture scientifique : Exercice n 19 M = Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque expression numérique, un seul résultat est exact. Entourer la bonne réponse. N. SANS page 3 Lycée Français Jean Giono

4 a b c (10 5 ) Exercice n Un propriétaire terrien a vendu le quart de sa propriété en 2010, puis le tiers du reste en Quelle fraction de sa propriété lui reste-t-il aujourd hui? 2. Quelle était la superficie au départ de sa propriété sachant qu elle est de 20 hectares aujourd hui? Exercice n 21 Quelle est la somme des chiffres su nombre ? Exercice n 22 Soit A = Calculer A astucieusement sans calculatrice et en détaillant vos calculs. Donner l écriture scientifique de A. Exercice n 23 On donne A = et B = ,6 0, Pour les deux questions suivantes, vous détaillerez et présenterez correctement vos calculs. 1. Écrire A sous la forme d une fraction irréductible. 2. Donner l écriture scientifique de B. Exercice n 24 Compléter les égalités suivantes : a) = 10 9 b) = 103 c) (10 2 )... = 10 6 d) = 10 9 Exercice n 25 Avec des puissances de nombres entiers! Écrire sous la forme d une seule puissance en détaillant vos calculs. A = B = C = (5 3 ) 6 D = E = F = ( 27) 5. Exercice n 26 Un classique Soit les expressions A = a 2 2 et B = a Calculer les expressions A et B pour a = Calculer les expressions A et B pour a = Que pouvez-vous en conclure? N. SANS page 4 Lycée Français Jean Giono

5 2 Arithmétique Activité n QCM : Entourer la (ou les) bonne(s) réponse(s). Numéro Question Réponse A Réponse B Réponse C 1 14 est divisible par a pour diviseur Un multiple de 5 est est divisible par est un multiple de = 322, on peut affirmer que 7 Il y a 82 fraises à partager parmi 16 invités. Pour les répartir de façon équitable, sans les couper, il y aura au maximum par assiette 46 est divisible par divise est un diviseur de fraises 5 fraises 6 fraises 8 Et il restera 18 fraises 2 fraises Aucune fraise 9 Quand on effectue la division euclidienne de 41 par 3 : 10 En écrivant 136 = , on peut affirmer que 13, ,7 13 et il reste 2 La division euclidienne de 136 par 13 a pour reste 6 La division euclidienne de 136 par 13 a pour reste 10 La division euclidienne de 136 par 10 a quotient 13 Activité n Du vocabulaire! Compléter les phrases suivantes avec le bon vocabulaire est un...de 24 et 6 est un...de La est composée de deux est le...des...5 et 7. Activité n La division euclidienne 1. Agnès veut partager équitablement un lot de 357 CD entre 12 personnes. Combien de CD aura chaque personne? Combien de CD restera-t-il après le partage? 2. a) Effectuer la division de 247 par 22 à la calculatrice. Quelle est la nature du résultat? b) La calculatrice vous donne un résultat approché sous forme d un seul nombre. Et pourtant, il existe une autre manière de présenter le résultat de cette division, c est la division euclidienne. On a posé la division de 247 par 22. Exprimez le résultat en une phrase. c) Complétez avec les signes =, + et Soit le nombre a un multiple de 7. Quel est le reste de la division euclidienne de a par 7? Écrire tous les multiples de 7! 4. Soit deux nombres entiers a et b tels que la division euclidienne de a par b ait pour reste zéro. Que pouvez-vous dire des nombres a et b? N. SANS page 5 Lycée Français Jean Giono

6 Bilan à compléter : Effectuer la division euclidienne d un dividende par un diviseur, c est trouver deux nombres appelés quotient et reste tels que : Le dividende, le diviseur, le quotient et le reste sont des = diviseur Le reste est...au quotient. Attention! Dans toute division, euclidienne comme classique, il est impossible de ! Exercice n 27 Critères de divisibilité Parmi les nombres : 12 ; 30 ; 27 ; 246 ; 325 ; 4238 et 6139, indiquer ceux qui sont divisibles : a) par 2 b) par 3 c) par 5 par 9. Exercice n 28 On s intéresse aux nombres de trois chiffres de la forme 65u où u représente le chiffre des unités. Quelles sont les valeurs possibles de u pour obtenir : 1. un multiple de 2? 2. un multiple de 9? Exercice n 29 Écrire la liste des tous les diviseurs de : a) 32 b) 67 c) 144. Exercice n 30 Donner le quotient et le reste de la division euclidienne de 63 par 4. Écrire l égalité euclidienne. Faire de même avec la division euclidienne de 3245 par 135. Exercice n 31 Dans la division euclidienne de 2654 par 12, le quotient est 221. Sans effectuer la division, déterminer le reste. Exercice n 32 Dans une bibliothèque, il y a 360 livres qu il faut ranger sur des étagères contenant 22 livres chacune. Combien faut-il d étagères pour ranger tous ces livres? Activité n Une fleuriste bien organisée Une fleuriste souhaite répartir 84 grandes marguerites et 48 roses dans des bouquets identiques. Elle veut utiliser toutes les fleurs. 1. Vérifier que cette fleuriste peut faire 4 bouquets. Quelle est la composition de chaque bouquet? 2. La fleuriste peut-elle faire 14 bouquets? Expliquer. 3. Quel rôle doit avoir le nombre de bouquets pour les nombres 84 et 48? 4. Écrire par ordre croissant la liste des diviseurs de 84, puis celle de La fleuriste souhaite utiliser toutes les fleurs et réaliser le nombre maximal de bouquets. Quel est ce nombre? Quelle est la composition de chaque bouquet? Bilan : Les diviseurs communs à 84 et 48 sont ceux qui divisent à la fois 84 et 48. Le Plus Grand Commun Diviseur à 84 et 48 s appelle PGCD(48 ; 48) N. SANS page 6 Lycée Français Jean Giono

7 Exercice n 33 Dans chaque cas, déterminer le PGCD des nombres suivants en utilisant, éventuellement, la liste des diviseurs. a) 24 et 36 b) 72 et 1 c) 42 et 168 d) 20 et 63. Exercice n 34 Louise invite des amis à venir manger une assiette de fruits de mer. Elle dispose de 36 huitres et 60 crevettes. Elle veut utiliser tous ses fruits de mer et ne faire que des assiettes identiques. 1. Peut-elle servir 6 assiettes de fruits de mer? Justifier! 2. Peut-elle servir 9 assiettes de fruits de mer? Justifier! 3. Combien Louise peut-elle servir d assiettes au maximum? Exercice n 35 Soit a un nombre entier naturel non nul. Déterminer PGCD(a; a) PGCD(a; 1) PGCD(a; 0). Activité n Méthode par soustraction successive PARTIE A : Somme et différence de multiples 1. Sans faire de division, expliquer pourquoi est un multiple de 7 et pourquoi 13 est un diviseur de 12987? 2. Démontrer la propriété suivante : Bilan : Si d est un diviseur de commun à deux entiers naturelsaetb, aveca > b alorsd est également un diviseur de a+b et de a b. PARTIE B : Vers une méthode pour calculer le PGCD. On cherche à déterminer le PGCD des nombres 1404 et Que peut-on penser de la méthode des diviseurs communs? 2. Que pouvez-vous dire des diviseurs commun à 1404 et 416 pour le nombre ? 3. Nous allons démontrer que pour deux entiers naturels a et b avec a b, PGCD(a; b) = PGCD(b; a b). a) On nomme d = PGCD(a; b) et d = PGCD(b; a b). Expliquer pourquoi d d. b) De même, prouver que d d. c) Que pouvez-vous en conclure? 4. En déduire une méthode pour calculer le PGCD de 1404 et Cet technique est appelé un algorithme (suite d instructions permettant de résoudre un problème). Compléter le tableau suivant avec a b : a b a-b Avec cet algorithme des soustractions successives, montrer que PGCD ( 270 ; 105) = 15. N. SANS page 7 Lycée Français Jean Giono

8 Exercice n 36 Avec l algorithme des soustractions successives, déterminer le PGCD de 189 et de 693. Puis de 693 et de 154. PGCD (189 ; 693) = 63 et PGCD (693 ; 154) = 77. Activité n Algorithme d Euclide On cherche le PGCD des nombres 2154 et Effectuer les cinq premières étapes en utilisant la méthode des soustractions successives pour obtenir PGCD( 2154 ; 414). 2. Loïc fait la division euclidienne de 2154 par 414 et il se dit : «On aurait pu trouver PGCD ( 2154 ; 414) = PGCD ( 84; 414) plus rapidement!» Explique son raisonnement. 3. En utilisant le raisonnement de Loïc, compléter : 414 = Donc, PGCD ( 414 ; 84) = PGCD (...; 84). 84 = Donc, PGCD ( 84 ; 78) = PGCD (...; 78). 78 = Donc, PGCD ( 78 ; 6) = PGCD (...; 6). Donner le PGCD des nombres 0 et 6. a) b) En déduire le PGCD de 2154 et Faire une recherche rapide sur Euclide. Bilan 1 ( A compléter) a et b sont des entiers positifs avec b 0. PGCD ( a ; b) = PGCD ( b,...) où r est... Application directe : En complétant le tableau suivant, déterminer le PGCD de 204 et 84 en utilisant l algorithme d Euclide. Exercice n 37 Dividende Quotient Diviseur Reste Donc, le PGCD de 204 et 84 est... En utilisant l algorithme d Euclide, déterminer PGCD de 782 et de 136. Puis de 560 et de 126. PGCD (782 ; 136) = 34 et PGCD (560 ; 126) = 14. Activité n Utilisations PARTIE A : Résoudre des problèmes d arithmétiques (Brevet 2013 AN). Flavien veut répartir la totalité de 760 dragées au chocolat et 1045 dragées aux amandes dans des sachets dans des sachets ayant la même répartition de dragées au chocolat et aux amendes. 1. Peut-il faire 76 sachets? Justifier la réponse. 2. a) Quel nombre maximal de sachets peut-il réaliser? b) Combien de dragées de chaque sorte y aura-t-il dans chaque sachet? PARTIE B : Nombres premiers entre eux et fractions irréductibles. 1. a) Calculer le PGCD des nombres 754 et 231. b) Calculer le PGCD des nombres 108 et 210. N. SANS page 8 Lycée Français Jean Giono

9 Définition 1 Deux nombres dont le PGCD est égal à 1 s appellent des nombres premiers entre eux. c) 754 et 231 sont-ils premiers entre eux? 108 et 210 sont-ils premiers entre eux? d) Trouver deux nombres premiers entre eux. e) Si deux nombres sont premiers alors ils sont premiers entre eux. Cette affirmation est-elle vraie ou fausse. Justifier! f ) La réciproque est-elle vraie? 2. Trois élèves cherchent à simplifier la fraction Pierre trouve ; Théo et Papo a) Par combien chaque élève a-t-il simplifié? b) Qui a simplifié la fraction 108 au maximum? Justifier! 210 Définition 2 Une fraction simplifiée au maximum s appelle une fraction irréductible. c) Dans le cas d une fraction irréductible, que peut-on dire du numérateur et du dénominateur? d) La fraction 754 est-elle irréductible? Justifier! 231 Bilan 2 (À compléter) Pour obtenir une fraction irréductible, il suffit de... Bilan 3 (À compléter) Si le numérateur et le dénominateur d une fraction sont... alors la fraction est... Exercice n Calculer le PGCD de 110 et Un ouvrier dispose de plaques de métal de 110cm de longueur et de 88cm de largeur ; il a reçu la consigne suivante : Découper dans ces plaques des carrés tous identiques, les plus grands possibles, de façon à ne pas avoir de perte. Quelle sera la longueur du côté d un carré? 3. Combien obtiendra-t-il de carrés par plaque? Solution 1. Calculons le PGCD de 110 et 88 par l algorithme d Euclide. a b r = = 22 4 D où, P GCD(110; 88) = 22. Vérifions : 110 = = 22 4 N. SANS page 9 Lycée Français Jean Giono

10 2. Calculons la longueur du côté d un carré. D après la question précédente, PGCD(110;88) = 22. On peut alors obtenir découper des carrés de côté 22cm. 3. Calculons le nombre de carrés par plaque. 110 = = 22 4 La découpe donne cinq rangées de 4 carrés. On obtient donc 20 carrés par plaque. Exercice n Les nombres 682 et 496 sont-ils premiers entre eux? Justifier. 2. Calculer le PGCD de 682 et de Simplifier la fraction 682 pour la rendre irréductible, en indiquant la méthode. 496 Solution 1. Montrons que les nombres 682 et 496 ne sont pas premiers entre eux. 682 et 496 étant deux nombres pairs, ils possèdent au moins 2 comme diviseur commun. 682 et 496 ne sont pas premiers entre eux. 2. Calculons le PGCD de 682 et de 496 par l algorithme d Euclide. a b r = = = = Simplifions la fraction = = 11 8 D où, P GCD(682; 496) = 62. Vérifions : 682 = = 62 8 Exercice n Calculer le PGCD de et Expliquer comment, sans utiliser une calculatrice, rendre irréductible la fraction Donner l écriture simplifiée de Exercice n Démontrer que les nombres 65 et 42 sont premiers entre eux. 2. Démontrer que : = Exercice n 42 Un philatéliste possède timbres français et 932 timbres étrangers. Il souhaite vendre toute sa collection en réalisant des lots identiques, c est-à-dire comportant le même nombre de timbres et la même répartition de timbres français et étrangers. 1. Calculer le nombre maximum de lots qu il pourra réaliser? 2. Combien y aura-t-il, dans ce cas, de timbres français et étrangers par lots? N. SANS page 10 Lycée Français Jean Giono

11 Exercice n 43 Un collège décide d organiser une épreuve sportive pour tous les élèves. Les professeurs constituent le plus grand nombre possible d équipes. Chaque équipe doit comprendre le même nombre de filles et le même nombre de garçons. Sachant qu il y a 294 garçons et 210 filles, quel est le plus grand nombre d équipes que l on peut composer? Combien y a-t-il de filles et de garçons dans chaque équipe? Exercice n Déterminer le pgcd des nombres 108 et Marc a 108 billes rouges et 135 billes noires. Il veut faire des paquets de sorte que : tous les paquets contiennent le même nombre de billes rouges, tous les paquets contiennent le même nombre de billes noires, toutes les billes rouges et toutes les billes noires soient utilisées. a) Quel nombre maximal de paquets pourra-t-il réaliser? b) Combien y aura-t-il alors de billes rouges et de billes noires dans chaque paquet? Exercice n Les nombres 756 et 441 sont-ils premiers entre eux? Justifier. 2. La fraction 756 est-elle irréductible? Sinon, l écrire sous forme irréductible en justifiant, sur la copie, par 441 des calculs. 3. Calculer la somme : D = Exercice n 46 On considère la fraction Montrer que cette fraction n est pas irréductible. 2. Déterminer le PGCD des nombres 170 et 578 (faire apparaître les différentes étapes). 3. Ecire la fraction 170 sous forme irréductible. 578 Exercice n 47 Un philatéliste possède timbres français et 1183 timbres étrangers. Il souhaite vendre toute sa collection en réalisant des lots identiques, comportant le même nombre de timbres français et le même nombre de timbres étrangers. Calculer le nombre maximum de lots qu il pourra réaliser et dans ce cas, le nombre de timbres de chaque sorte par lot. Exercice n 48 Une piscine rectangulaire mesure 3,36 m par 7,80 m et a une profondeur de 1,44 m. On désire la carreler avec des carreaux carrés tous identiques. Le carreleur ne veut pas faire de découpes de carreaux et préfère les grands carreaux, puisqu ils sont plus faciles à poser. Son fournisseur a toute les tailles de carreaux en nombre entier de centimètres. 1. Quelle taille de carreaux doit-il commander? 2. Son fournisseur vend les carreaux par lot de 100. Combien de lots doit-il commander? Exercice n Calculer le PGCD de 34 et de 35, puis celui de 456 et de Quelle conjecture peux-tu faire? 3. Est-elle vraie? Justifier! N. SANS page 11 Lycée Français Jean Giono

12 3 TP1 - Algorithmes pour le calcul du PGCD Pour cet exercice, vous utiliserez le tableur TP1 fourni dans Classroom. Toutes vos réponses doivent être écrites soit sur le tableur soit sur votre feuille de prise de note. Une fois le TP1 terminé, vous devez remettre votre tableur dans le classroom. 1. Algorithme des soustractions successives On veut calculer le PGCD de 273 et de 663 avec l algorithme des soustractions successives. 1. Dans votre feuille de calcul, placer les deux nombres. 2. En cellule C2, faites calculer la différence des deux nombres choisis. 3. Quels nombre doivent être utilisés pour poursuivre l algorithme? Programmer les cellules A3 et B3 de façon à obtenir le placement des nombres voulus. 4. Par recopie de formule, déterminer le PGCD cherché. 5. Utiliser ce tableur pour obtenir les PGCD de l exercice Algorithme d Euclide On veut calculer le PGCD de 273 et de 663 avec l algorithme des divisions successives. 1. Cliquer sur la page Euclide de votre fichier tableur. 2. Dans votre feuille de calcul, placer les deux nombres. 3. En cellule C2, trouver une formule permettant d obtenir le quotient de la division euclidienne de a par b. 4. En cellule D2, trouver une formule permettant d obtenir le reste de la division euclidienne de a par b. 5. Quels nombre doivent être utilisés pour poursuivre l algorithme? Programmer les cellules A3 et B3 de façon à obtenir le placement des nombres voulus. 6. Par recopie de formule, déterminer le PGCD cherché. 7. Utiliser ce tableur pour obtenir les PGCD de l exercice Compétitivité entre deux algorithmes On veut savoir si un algorithme est plus rapide qu un autre à notre niveau. 1. Tester les deux algorithmes avec les nombres 2154 et Combien le premier algorithme comporte-t-il d étapes dans ce cas? 3. Combien le deuxième algorithme comporte-t-il d étapes dans ce cas? 4. Recommencer ce travail avec les nombres 1275 et Est-il exact de dire que l algorithme d Euclide comporte toujours moins d étapes que l algorithme des soustractions successives? Justifier! Pour les plus rapides Le crible d Eratosthène Après une petite recherche sur internet, déterminer rapidement les nombres premiers inférieurs à 100. Vous expliquerez votre démarche sur la feuille Eratosthène de votre fichier tableur. N. SANS page 12 Lycée Français Jean Giono