Modéliser, résoudre et vérifier les performances des systèmes de solides déformables

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1 Modéliser, résoudre et vérifier les performances des systèmes de solides déformables Chapitre 1 : Introduction à la résistance des matériaux et torseur de cohésion 1 Contexte de l étude... 1 a Objectifs généraux... 1 b Restrictions de l étude Théorie des poutres et modèle géométrique associé... 3 a Hypothèses sur la géométrie... 3 b Liaisons possibles d une poutre avec l extérieur... 4 c Notion de repère local et global... 5 d Hypothèses sur le matériau... 5 e Principe de Barré de Saint-Venant... 5 f Hypothèses de Navier-Bernouilli... 6 g Hypothèse sur les déformations Torseur de cohésion ou des efforts intérieurs... 6 a Définition... 6 b Eléments de réduction du torseur de cohésion dans une section droite Relation entre effort tranchant et moment de flexion Continuité et discontinuité des éléments de réduction du torseur de cohésion Découpage d une poutre en tronçons Méthode de détermination du torseur de cohésion Diagramme des sollicitations dans une poutre a Objectif b Exemple de tracé Contexte de l étude a Objectifs généraux Les objectifs généraux liés à la Résistance des Matériaux sont de mettre en place des modèles et des méthodes de résolution, analytique ou numérique, permettant de prévoir et valider le comportement des structures mécaniques sous chargement. Dans le cadre de ce cours, on va présenter des modèles simples dits «poutres» pour dimensionner certaines pièces d un mécanisme ou éléments d une structure. Pour cela il faut prendre en compte la déformation des solides, contrairement à la mécanique générale, ce qui implique une définition plus précise du solide, en particulier sa forme, son mode de chargement et sa nature. Lycée Vauvenargues ix-en-provence Page 1 sur 10

2 b Restrictions de l étude Concernant la géométrie Le solide est déformable : pour déterminer sa résistance et sa déformation il faut non seulement connaître les caractéristiques géométriques de ses différentes sections mais aussi sa forme générale pour déterminer s il existe des zones de «concentration des contraintes» (sera vu plus loin dans le cours). Concernant le chargement En statique les modèles représentés ci-dessous sont équivalents, car ils conduisent aux mêmes efforts au niveau des appuis. Par contre la déformation du second est plus importante que celle du premier. Ils seront étudiés de manière différente dans l analyse qui suit. Modèles et simplifications La déformation d un solide sous les charges appliquées présente deux aspects : - la déformation des surfaces de contact, par application de la théorie de Hertz ; - la déformation de la pièce dans son volume, limitée ici à la théorie des poutres. Selon la forme de la pièce et le type de déformation étudiée on utilisera des théories différentes mais qui sont toutes basées sur la mécanique des milieux continus. Si la théorie des poutres permet de dimensionner assez simplement les pièces élancées (poutres), les choses se compliquent lorsqu on étudie les plaques ou les membranes par exemple. L élasticité, plus théorique, permet de calculer des pièces plus complexes : coques, pièces 3D. Cette théorie n est applicable, sans logiciel, que pour des solides de géométrie simple. Dès que les formes de pièces sont complexes on utilise des codes d éléments finis sur ordinateur. En conclusion Les pièces seront donc considérées comme déformables, et les systèmes étudiés composés de plusieurs poutres (que l on nommera alors structures). En RDM (Résistance Des Matériaux), le modèle et la résolution associée seront simples car elles reposent sur plusieurs hypothèses portant sur : - Le matériau utilisé ; - Les déplacements et déformations associées ; - La modélisation des actions mécaniques de contact et interne au matériau. Lycée Vauvenargues ix-en-provence Page 2 sur 10

3 2 Théorie des poutres et modèle géométrique associé Elle permet d aboutir rapidement au dimensionnement de certains éléments de la construction mécanique et du génie civil. Pour éviter des erreurs grossières il est fondamental de bien connaître et respecter les hypothèses suivantes de modélisation. a Hypothèses sur la géométrie La poutre (ou milieu curviligne) est un solide dont la dimension longitudinale est importante devant les dimensions transversales (rapport supérieur à 5). Une poutre est le solide engendré par une surface plane (S) dont le centre de gravité G décrit une portion de courbe (ligne moyenne) orientée par exemple de vers B. (S) reste toujours orthogonale à la ligne moyenne - est l origine de la poutre, B son extrémité ; - Les points disposés de façon identique sur les sections droites constituent des lignes appelées fibres. - (S) est la section droite de la poutre en G ; - on note s l abscisse curviligne du point G. Il existe différents types de poutres qui sont classés selon leur forme : - selon la forme de fibre neutre (droite, plane ou gauche) ; - selon l évolution de la forme de la section : section constante ou variable. Une poutre est dite plane si sa ligne moyenne est comprise dans un plan. Si ce plan est plan de symétrie de la poutre, on dit qu elle est à plan médian ou moyen. Lorsque la ligne moyenne est une droite, alors la poutre est appelée poutre droite. Les hypothèses sur la géométrie des poutres à connaître sont que : - la longueur de la poutre est grande devant les dimensions transversales (rapport supérieur à 5) ; - le rayon de courbure de la ligne moyenne est grand par rapport aux dimensions de la section droite ; - le gradient de variation de la section droite (S) doit être faible (pas d épaulement par exemple). Plus ces hypothèses seront respectées, plus les résultats obtenus seront proches du réel. Très souvent, la théorie des poutres pourra être employée sur les systèmes suivants, moyennant quelques hypothèses simplificatrices sur la géométrie : Lycée Vauvenargues ix-en-provence Page 3 sur 10

4 b Liaisons possibles d une poutre avec l extérieur Liaisons conventionnelles Dans le cadre de sa modélisation, une poutre est généralement représentée par une ligne qui est sa fibre neutre. Le cas le plus souvent rencontré est le cas des poutres à plan moyen chargées dans ce plan. Ceci conduit à un problème de type plan. On définit ainsi les liaisons (appelés souvent en RdM «appuis») possibles comme cidessous, auxquelles on associe des conditions cinématiques qui serviront de conditions limites dans l étude des déformées de poutres. Type d appui Schéma Torseur statique Conditions cinématiques Encastrement Liaison pivot ou articulation Liaison glissière y y y x x x X xs Y ys Nzs X xs Y ys 0 Yys Nzs Pas de déplacement du point soit x( ) y( ) 0 Pas de rotation possible de la poutre en dy soit ( ) 0 dx Pas de déplacement du point soit x( ) y( ) 0 Pas de déplacement du point suivant y soit y ( ) 0 Pas de rotation possible de la poutre en dy soit ( ) 0 dx Liaison ponctuelle y x Yy s 0 Pas de déplacement du point suivant y soit y ( ) 0 Lycée Vauvenargues ix-en-provence Page 4 sur 10

5 c Notion de repère local et global Le repère général ( O, x, y, z) est un repère global fixe, lié au bâti du mécanisme par exemple. S il présente un intérêt en statique pour déterminer les efforts extérieurs et de liaisons appliqués à la pièce étudiée, il ne doit pas être confondu avec : le repère local qui permet d étudier les paramètres liés à la résistance des matériaux en tout point de la poutre. Le repère local ( G, xs, ys, zs) ligne moyenne de la poutre. - G est l origine du repère ; - s - y s, orthonormé, est défini en tout point G de la d OG x est le vecteur tangent à la ligne moyenne en G ; ds et z s sont les vecteurs unitaires portés par les axes principaux d inertie de la section (S) en G. Par exemple, on donne ci-dessous les poutres droite et plane en demi-cercle : d Hypothèses sur le matériau Les matériaux étudiés seront : - Continus : discontinuités microscopiques négligeables ; - Homogènes : même constitution en tout point ; - Isotrope : mêmes propriétés physiques dans les 3 directions de l espace. e Principe de Barré de Saint-Venant L état des contraintes et des déformations dans une section, loin des zones d application des efforts extérieurs, ne dépend que du torseur des efforts intérieurs. Lycée Vauvenargues ix-en-provence Page 5 sur 10

6 f Hypothèses de Navier-Bernouilli On fera l hypothèse que les sections droites d une poutre restent droites après déformation. Les sections droites normales à la fibre neutre restent donc perpendiculaires à la fibre neutre après déformation. Si l on connaît la déformée de la fibre neutre, on peut donc en déduire le déplacement de n importe quel point de la poutre. Dans la suite, on ne représentera donc que la fibre neutre pour représenter une poutre. g Hypothèse sur les déformations On fera l hypothèse que les déformations sont petites par rapport à toutes les dimensions de la poutre. insi on assimilera la géométrie en configuration déformée à la géométrie en configuration non déformée. Les efforts sont donc considérés invariants en dépit de la déformation des poutres. 3 Torseur de cohésion ou des efforts intérieurs a Définition La poutre étudiée (E) est en équilibre sous l effet d actions extérieures représentées par le torseur d actions mécaniques extérieures ; le PFS donne ext E 0 T. La section droite (S), de centre G et d abscisse curviligne s sépare la poutre en deux parties désignés par (E 1 ) et (E 2 ) : on a ainsi effectué une «coupure virtuelle» par le plan (P). On note : E E 1 E E 2 T.le torseur des actions appliquées par l extérieur de (E) sur (E1) ; T.le torseur des actions appliquées par l extérieur de (E) sur (E2) ; On isole la poutre (E) et on écrit son équilibre : T E E 0 T E E T E E1 T E E 2 0 On en déduit alors : T E E1 T E E 2 On isole la partie (E 1 ) de la poutre et on écrit son équilibre : T E E T E E 1 1 T E E1 T E2 E1 0 On en déduit alors : T E2 E1 T E E1 Lycée Vauvenargues ix-en-provence Page 6 sur 10

7 Définition : Le torseur T E2 E1 représente la somme des actions élémentaires exercées par la partie (E 2 ) sur la partie (E 1 ). Ce torseur, qui traduit la cohésion des deux parties dans la section (S), s appelle torseur des efforts intérieurs ou torseur de cohésion. Par convention, le torseur de cohésion traduira toujours les actions mécaniques de la partie «de droite» de la poutre (ici E2) sur la partie «de gauche» de la poutre (ici E1). Méthode de détermination : partir des équations précédentes on établit : Dans une section (S), cela se traduit par : Tcoh T E2 E1 TE E1 T T 1 E2 T 2 (on isole 1) (on isole 2) coh E E E - le torseur des efforts intérieurs ou de cohésion est égal à l opposé du torseur des actions extérieures appliquées à la partie de la poutre dont l abscisse curviligne est inférieure à s (partie à «gauche» de la coupure) ; - il est aussi égal au torseur des actions extérieures appliquées à la partie de la poutre dont l abscisse curviligne est supérieure à s (partie à «droite» de la coupure). Selon les cas de figure, on utilisera l une ou l autre des deux relations pour simplifier les calculs. b Eléments de réduction du torseur de cohésion dans une section droite Forme générale du torseur Dans une section droite (S) d abscisse s, les éléments de réduction du torseur des efforts intérieurs T E E 2 1 s expriment en G, centre d inertie de la section, en projection dans la base locale ( G,x s, y s,z s ). C est la forme générale du torseur des efforts intérieurs ou de cohésion. N M t R( 2 1) N xst T int T E2 E1 T cohésion Ty M fy M G, 2 1 Mt xsm f G T G z M fz xs,ys,zs avec y s z s T T y T z et M Mfy ys Mfzzs f Les éléments de réduction de ce torseur en projection dans le repère local ( G,x s, y s,z s ) permettent de définir les différentes sollicitations appliquées dans la section (S), de centre G. Lycée Vauvenargues ix-en-provence Page 7 sur 10

8 Sollicitations élémentaires On définit les sollicitations élémentaires apparaissant lors de la projection de l action mécanique de cohésion dans le repère local : - N : composante représentant l effort «normal» à la section. Elle induit un allongement ou un raccourcissement de la poutre ; - Ty : composante représentant l effort tranchant suivant ys les unes par rapport aux autres dans la direction - Tz : composante représentant l effort tranchant suivant zs dans la direction s ys ;. Elle induit un «glissement» des sections. Elle induit un «glissement» des sections z ; - Mt : cette composante est le moment de torsion. Elle induit une rotation relative (glissement) des sections autour de l axe xs - Mfy : cette composante est le moment de flexion autour de ys. Elle induit un allongement ou un raccourcissement des «fibres» de la poutre selon leur position par rapport au plan neutre, ce qui entraîne une modification de la courbure de la poutre. z. Elle entraîne aussi une modification de la courbure de la poutre. - Mfz: cette composante est le moment de flexion autour de s On définit alors les sollicitations simples qui seront étudiées dans la suite du cours : Torseur de cohésion N.x s 0 G Ty. ys Tz.z s ou 0 0 G G 0 M Tz.z M 0 Mt xs ou fy. ys G s ou fy. ys G G 0 M.z fz s G Ty. ys M.z fz s G Nom de la sollicitation Traction (N>0) ou compression (N<0) Cisaillement pur suivant Torsion Flexion pure suivant Flexion simple suivant ys ys ys ou zs ou zs ou zs Lycée Vauvenargues ix-en-provence Page 8 sur 10

9 4 Relation entre effort tranchant et moment de flexion. On isole un élément de poutre de longueur dx : Pour simplifier la mise en équation, on suppose que le tronçon est soumis à l action mécanique : du morceau d abscisse inférieure à x modélisé par le torseur de cohésion noté - T (x) int R( x ) T y.y s M( x ) M z G( x ) fz s G( x ) (signe «-» lié à la convention) ; du morceau d abscisse supérieure à x+dx modélisé par le torseur de cohésion noté T (x+dx) int R( x dx ) Ty dt y.y s M( x dx ) M dm.z G( xdx ) fz fz s G( xdx ) Le théorème du moment statique en G(x+dx) en projection sur zs donne donc : M fz T y.dx M fz dm fz 0 On en déduit alors : dm fz Ty dx En reprenant la même méthode que précédemment mais en prenant le cas d une flexion simple suivant obtient de même : T z dm dx fy, y s, on 5 Continuité et discontinuité des éléments de réduction du torseur de cohésion En étudiant 2 sections, d abscisse x et x+dx, en cas de chargement réparti, on montre que : En un point où une densité linéique d effort est appliquée, il y a continuité de la résultante et du moment. En étudiant 2 sections, d abscisse x et x+dx, en cas de chargement concentré, on montre que : En un point où un effort concentré est appliqué, il y a discontinuité de la résultante. En un point où un couple est appliqué, il y a discontinuité du moment. 6 Découpage d une poutre en tronçons En conclusion, le torseur de cohésion présentera des discontinuités lors de l application de forces ou de moments concentrés. Les lieux d application de ces efforts et moments concentrés seront donc des lieux de découpage des poutres en différents tronçons. Plus généralement, les découpages de poutres en tronçons auront lieu : - aux points d application d efforts concentrés et de couples ; - aux points où les conditions aux limites changent : application d un effort linéique etc. - aux lieux ou la géométrie de la ligne moyenne de la poutre change, il y aura ici aussi discontinuité d éléments de réduction du torseur de cohésion ; - aux lieux où la géométrie de la section change ; - aux lieux où le matériau change. Lycée Vauvenargues ix-en-provence Page 9 sur 10

10 Remarque : En cas de variations de géométrie, penser à exprimer les torseurs de cohésion en fonction de l abscisse curviligne s (bien se placer dans le repère local). 7 Méthode de détermination du torseur de cohésion La démarche de détermination du torseur de cohésion est simple et doit être menée comme suit : - Isoler la poutre - Faire le bilan des actions mécaniques extérieures ; - ppliquer le PFS à la poutre et déterminer les actions mécaniques de liaison inconnues (le cas hyperstatique h>0 sera vu en fin de cours) ; - Identifier les différents tronçons de la poutre et les numéroter sur le schéma. Remarque : Si la géométrie est simple, il peut être intéressant de représenter la poutre et ses actions extérieures graphiquement en prenant garde aux signes et sens des vecteurs. Sur le schéma de la poutre complète avec les actions mécaniques extérieures, pour chaque tronçon : - - positionner un point M de coupe virtuelle d abscisse x entre les points extrêmes du tronçon ; - - Identifier les parties (E1) et (E2) ; - - Choisir la partie à isoler pour déterminer le plus simplement possible le torseur de cohésion ; - - Déterminer le torseur de cohésion 8 Diagramme des sollicitations dans une poutre a Objectif Ils ont pour objet de représenter graphiquement l évolution des sollicitations élémentaires du torseur de cohésion le long d une poutre. Ils sont donc construits à partir des éléments de réduction du torseur des efforts intérieurs. Ils permettront notamment de définir la section la plus chargée de la poutre. b Exemple de tracé Lycée Vauvenargues ix-en-provence Page 10 sur 10