CLASSE DE TROISIÈME ACTIVITÉS NUMERIQUES.

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1 LES NOMBRES. Les nomres entiers. On a vu dans les classes précédentes : Les nomres entiers naturels, qui sont des entiers positifs. Leur symole est. Les nomres relatifs : ce sont des entiers qui peuvent être négatifs ou positifs. Leur symole est.. Les nomres décimaux. Définition. Un nomre décimal peut s écrire sous la forme d un quotient d un nomre entier relatif par une puissance de 0. a Le modèle est : A =, a est un entier relatif et n un entier naturel. 0 n Remarque : 7 0,7 0 = 5 = 5, qui est également un entier naturel = 7, qui est également un entier relatif. 0 Retenons que les entiers naturels et les entiers relatifs sont contenus dans les nomres décimaux. Mais attention la réciproque est fausse! C'est-à-dire que tous les nomres décimaux ne sont pas des nomres entiers naturels ou des nomres entiers relatifs. A CHERCHER. Exercice. Les nomres suivants sont-ils des nomres décimaux? 0,8 ; ; Page sur 0

2 . Les nomres rationnels.. Définition. Un nomre rationnel peut s écrire sous la forme d un quotient de deux entiers relatifs. Le modèle est : Exemples :, 7, 5, Cas particuliers. a A = avec a et nomres entiers relatifs et 0 a a Si =, alors = = a qui est un nomre entier relatif (ou un entier naturel s il est positif) Si divise a alors a = n qui est un entier relatif (ou un entier naturel s il est positif) Si =0 ou se décompose à l aide de ou de 5, alors Exemples : 0 5 a est un nomre décimal. = Ici, 0 se décompose en un produit de puissances de et de 5. Donc la division va tomer juste et on otiendra le nomre décimal,05. 6 = Qui est un entier naturel. 8. On retiendra que : Les nomres entiers (naturels et relatifs) sont contenus dans les nomres décimaux, qui sont contenus dans les nomres rationnels. Un nomre qui n est pas un nomre rationnel est appelé nomre irrationnel. Exemples : 5 ; π ; cos0... EXERCICE A chercher Les affirmations suivantes sont-elles vraies?. 0,5 est un nomre rationnel.. Tout nomre entier est un nomre décimal.. est un nomre décimal. Page sur 0

3 4. Tout nomre rationnel est un nomre décimal. 5. Tout nomre décimal est un nomre rationnel. 6. π est un nomre rationnel. 4. Diviseurs d un nomre entier relatif. 4. Définition. Soient a et deux entiers relatifs ( 0) On dit que est un diviseur de a s il existe un entier n tel que : a= n On dira que : divise a, ou encore que a est un multiple de. Exemple : 4 = 8 donc et 8 sont des diviseurs de 4 Mais aussi : 4 = donc et sont des diviseurs de 4 Ou : 4= ( 6) 4 ( ) donc 6 et 4 sont des diviseurs de 4 Ainsi, 4 possède donc plusieurs diviseurs (positifs ou négatifs). Remarque : est un diviseur de tous les nomres. Tout nomre entier non nul est un diviseur de Les critères de divisiilité. Il faut connaître les critères de divisiilité élémentaires. Un nomre est divisile par, s il se termine par : 0,, 4, 6 ou 8 (on dit qu il est pair). Un nomre est divisile par si la somme de ses chiffres se divise par (voir alors la tale de multiplication!). Un nomre est divisile par 5, s il se termine par 0 ou par 5. EXERCICE On considère deux nomres A et B composés de quatre chiffres qui s écrivent de la façon suivante : A= 74 5 ; B= 87. Déterminer le chiffre manquant dans le nomre A afin qu il soit divisile par 9 Page sur 0

4 . Déterminer le chiffre manquant dans le nomre B afin qu il soit divisile par et. Donner toutes les possiilités.. Simplifier alors la fraction A. Donner tous les cas possiles. B 4. Les nomres premiers. On dit qu un entier naturel est premier lorsqu il possède exactement deux diviseurs : et lui-même. Exemple : 5= 5 donc 5 se divise par et par 5 : c est un nomre premier. Mais : n est pas un nomre premier puisqu il n admet qu un seul diviseur! Remarque : = donc est un nomre premier et c est le seul nomre premier pair (les autres nomres premiers sont tous des nomres impairs) Pourquoi les nomres premiers différents de sont-ils tous impairs? EXERCICE 4 Le crile d Ératosthène. Dans le taleau ci-dessous, arrer tous les multiples de, sauf. Page 4 sur 0

5 Barrer ensuite tous les multiples de sauf. Faites de même avec tous les multiples de 5 sauf 5. Faites de même avec tous les multiples du nomre non arré suivant, sauf ce nomre. Recommencer pout tous les nomres non arrés Que peut-on dire des nomres non arrés? 4.4 Propriété des nomres entiers. a) Tout nomre entier peut s écrire sous la forme d un produit de puissances de nomres premiers. Exemples : = ; 5 = 5 7 ; 6 = ) Présentation et méthode pour trouver cette décomposition. On divise par son diviseur le plus petit et on recopie le quotient 6 de la division sous. On divise 6 par son diviseur le plus petit et on recopie le quotient sous 6 On continue ainsi jusqu à trouver comme quotient. 6 Page 5 sur 0 =

6 EXERCICE5 Décomposer les entiers naturels suivants en produit de puissances de nomres premiers = 9 = 56 = 4.5 Nomres premiers entre eux. Définition : Deux nomres sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est. EXERCICE 6 Dire si les nomres suivants sont premiers entre eux. 6 et 40 4 et Trouver la liste complète des diviseurs positifs d un entier naturel. Exemple : trouver la liste des diviseurs de Méthode : on utilise un arre. Étape : on décompose le nomre en produit de facteurs premiers. Ainsi : = Étape : on construit un arre dont les ranches sont constituées des puissances de 0 à n des facteurs premiers de la décomposition précédente. Étape : on fait le produit des nomres otenus à l extrémité de chaque ranche. Page 6 sur 0

7 4.6. Réalisation de l arre avec = La liste des diviseurs de est :,,, 4, 6 et Les «diviseurs propres de», c'est-à-dire les diviseurs autres que sont :,,, 4 et Plus grand diviseur commun à deux entiers naturels (PGCD). 5. Définition : Soient deux entiers a et strictement positifs. En s intéressant à la liste de leurs diviseurs, on cherche quel est le diviseur commun le plus grand de tous. Ce nomre sera noté PGCD (a ; ) EXERCICE 7 Par la méthode de l arre, rechercher PGCD ( ; 8). Page 7 sur 0

8 5. Propriétés du PGCD. Soient a et deux nomres entiers strictement positifs ( a> ) et soit r le reste de la division euclidienne de a par. On retiendra que :. PGCD( a; ) = PGCD ( a ; a ) (voir plus loin la méthode des soustractions successives). PGCD ( a ; ) = PGCD ( ; r) r étant le reste de la division euclidienne de a par (voir plus loin la méthode de l algorithme d Euclide). Remarque : si PGCD (a ; ) = alors a et sont premiers entre eux. 5. Recherche d un PGCD. La méthode de l arre n est pas forcément la méthode la plus rapide. En classe de troisième, on demande de connaître deux autres méthodes plus efficaces lorsque les nomres sont grands. 5.. Méthode de l algorithme des différences. Propriété utilisée : PGCD (a ; ) = PGCD (a ; a ) avec a> Méthode : On soustrait le plus petit nomre du plus grand. Si le résultat trouvé est égal au plus petit des deux nomres : c est le PGCD. Sinon, on recommence en retranchant le résultat trouvé au plus petit des deux nomres précédents (ou le contraire si nécessaire). Exemple : Par l algorithme des différences, chercher PGCD (8 ; 7). On dispose les calculs de la manière suivante : 8 7 = = = 5 = 9 9 = 6 6 = Le dernier résultat trouvé :, étant égal au plus petit des deux nomres, c est lui le PGCD. On écrira : PGCD (8 ; 7) = EXERCICE 8 A chercher Rechercher par la méthode des soustractions successives PGCD (6 ; 7) Page 8 sur 0

9 5.. Méthode par l algorithme d Euclide. Propriété utilisée : PGCD (a ; ) = PGCD ( ; r) r étant le reste de la division de a par. Étapes de la méthode : Étape : on fait la division euclidienne du plus grand des deux nomres par le plus petit. Étape : on examine le reste de cette division. o Si le reste est nul alors le PGCD est le diviseur de la division. o Sinon, on recommence l Étape entre le diviseur et le reste de la division. Exemple : disposition des calculs pour rechercher PGCD (8 ; 7) D d r Le dernier reste étant nul lors de la division par, ainsi : PGCD (8 ; 7) = EXERCICE 9 A chercher Rechercher par la méthode de l algorithme d Euclide PGCD (56 ; 9) 5.4 Utilisation du PGCD : rendre une fraction irréductile Définition : Soient a et deux entiers naturels ( 0) On dira que la fraction a est irréductile lorsque les nomres a et sont premiers entre eux Méthode : Pour otenir la fraction irréductile égale à la fraction a, il suffit de diviser a et par leur PGCD. Exemple : PGCD (8 ; 7) = = = Qui est irréductile puisque 9 et 4 sont premiers entre eux Page 9 sur 0

10 5.5 Utilisation du PGCD pour résoudre un prolème de partage équitale. Un pâtissier dispose de 4 framoises et de 685 fraises. Afin de préparer des tartelettes, il désire répartir ces fruits en les utilisant tous et en otenant le maximum de tartelettes identiques.. Calculer le nomre de tartelettes. Chaque tartelette contenant le même nomre de fruits, le nomre de tartelette divise exactement 4 et 685. Le nomre de tartelettes est donc le PGCD (4 ; 685), que l on calcule ici. D d r Calculer le nomre de framoises et de fraises dans chaque tartelette. EXERCICE 0 Dans une salle de ain, on veut recouvrir le mur situé au-dessus de la aignoire avec un nomre entier de carreaux de faïence de forme carrée dont le côté est un nomre entier de centimètres le plus grand possile.. Déterminer la longueur du côté d un carreau sachant que le mur mesure 0 cm de hauteur et 5 cm de largeur.. Comien faudra-t-il alors de carreaux? Page 0 sur 0