ENONCE : La formule de Black et Scholes sur les marchés financiers (Niveau terminale S ou ES)

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Cyril Vincent
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1 ENONCE : La formule de Black et Scholes sur les marchés financiers (Niveau terminale S ou ES) Depuis sa publication en 1973, la formule de Black et Scholes s est imposée comme la référence pour la valorisation des options. Elle repose sur un modèle et des calculs probabilistes faisant intervenir une loi normale centrée réduite. Une option donne le droit (et non l obligation) d acheter ou de vendre un actif à une date future donnée et à un prix convenu. Cette option doit avoir un coût pour que la banque accepte de la proposer. La formule de Black-Scholes permet, par exemple, d évaluer le coût d une option d achat (call) d une action européenne à l échéance (maturité) de T années ; pour un «prix d exercice» (ou «strike») fixé à K euros sachant que l action côte au départ S euros et qu elle ne distribue aucune dividende durant la vie de l option : Coût de l option d achat = avec : X étant une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite. = et! = = " # r : le taux d intérêt sans risque du marché supposé invariant (1 placé durant T années rapporte $ ) " : la volatilité de l action soit l écart-type du rendement instantané de l action (considéré comme constant). On veut calculer le coût d une option pour une entreprise dont l action est côté S= 80 euros avec un strike de K = 90 euros au bout T années, le taux d intérêt étant r = 5 % et la volatilité (implicite) de l action "=0,35. 1) A l aide d un tableur, estimer le coût de l option pour des valeurs de T comprises entre 0,05 et 1 ans avec un pas de 0,05. Tracer la courbe d évolution du coût en fonction du temps avec ces données. Que constatez-vous? 2) En supposant, qu à l échéance d un trimestre (T = 0,25), l action soit cotée sur le marché S =100 quel est alors le gain net par action que va faire un acheteur qui choisit d exercer son option? Correction avec la calculatrice fx CG-20 Nous proposons ici une correction avec la calculatrice fx CG-20 qui est également applicable pour les modèles graphiques Graph 75 et Graph 95. La compréhension de l élaboration de la formule de Black et Scholes dépasse largement le cadre du programme de Terminale S ou ES. Il s agit ici de voir une application aux marchés financiers de la loi normale. 1

Une option donne le droit (et non l obligation) d acheter ou de vendre un actif à une date future donnée et à un prix convenu.

Avec les données du problème =! = = *+,+ -,-.+.01 -,2. = " # = *+,+ -,-.+.01 -,2. et Pour T = 1 an alors 0,019 on en déduit que <0 sur l intervalle [0,05 ; 1] car la fonction affine ft =ln ;- <- +0,05+-.

> 1) Pour résoudre ce problème nous allons utiliser la fonctionnalité Tableur de la fx CG-20 Sélectionner MENU puis se déplacer à l aide du bouton directionnel sur l icône Tableur puis faire EXE ou

2 Avec les données du problème =! = = *+,+ -, ,2. = " # = *+,+ -, ,2. et Pour T = 1 an alors 0,019 on en déduit que <0 sur l intervalle [0,05 ; 1] car la fonction affine ft =ln ;- <- +0, # est croissante (coefficient directeur positif)! De même! = " #<0 sur l intervalle [0,05 ; 1]. Ainsi, on peut écrire : = > > =>,? > et =>,? > 1) Pour résoudre ce problème nous allons utiliser la fonctionnalité Tableur de la fx CG-20 Sélectionner MENU puis se déplacer à l aide du bouton directionnel sur l icône Tableur puis faire EXE ou alors taper 4. Sélectionner F3 (DELETE) puis F3 (ALL) et confirmer F1 (oui) pour effacer le contenu de toutes les cellules. Nous allons saisir dans la colonne A le temps puis dans la colonne B la formule donnant d 1 dans C la formule donnant d 2 puis dans D la formule donnant le prix de l option Entrer 0.05 puis EXE dans la colonne A. Puis entrer la formule de d 1 dans la colonne B, pour cela sélectionner F2 (EDIT) puis F3 (CELL) =ln ;- < ! 2 B B1 2

Puis entrer la formule de d 2 dans la colonne C, pour cela sélectionner F2 (EDIT) puis F3 (CELL) et : =C1 0.35 B1 Remarque : Pour avoir = B1 taper SHIFT.

3 Puis entrer la formule de d 2 dans la colonne C, pour cela sélectionner F2 (EDIT) puis F3 (CELL) et : =C B1 Remarque : Pour avoir = B1 taper SHIFT. (=) ALPHA log (B) 1 Pour la dernière colonne entrer la formule : =80 E0.5 FGHIJKC1,0,1,0 L 90 $ -.-. M 0.5 FGHIJKJ1,0,1,0 Pour faire apparaître NormCD sélectionner OPTN Puis F6 ( ) F6 ( ) F1 (STAT) F1 (DIST) F1 (NORM) Enfin F2 (Ncd) On va sélectionner la ligne 1 en déplaçant le curseur sur la cellule en noire numéroté 1 puis faire une copie F2 (EDIT) et F2 (COPY) Puis on va se déplacer vers la ligne 2 pour faire F1 (PASTE) pour copier les formules de la ligne 1 On va modifier le contenu de la cellule A2 avec F2 (EDIT) et F3 (CELL) =B

5 FGHIJKJ1,0,1,0 Pour faire apparaître NormCD sélectionner OPTN Puis F6 ( ) F6 ( ) F1 (STAT) F1 (DIST) F1 (NORM) Enfin F2 (Ncd) On va sélectionner la ligne 1 en déplaçant le

4 On va sélectionner la ligne 2 en déplaçant le curseur sur la cellule en noire numéroté 2 puis faire une copie F2 (EDIT) et F2 (COPY) Puis on va se déplacer vers la ligne 3 pour faire F1 (PASTE) pour copier les formules de la ligne 2 et continuer ainsi jusqu à la ligne 20. On constate que dans les colonnes B et C les chiffres affichés sont bien négatifs. On obtient en résumé sur les quatre trimestres de l année le tableau donnant le coût de l option : Echéance en année T 0, ,75 1 Echéance en trimestre 1 er trimestre 2 e trimestre 3 e trimestre 4 e trimestre Prix de l option d achat 2,48 4,94 7,04 8,91 On va tracer la courbe en sélectionnant F6 ( ) et F1 (GRAPH) puis F6 (SET) Il faut se déplacer sur la ligne XCellRange et sélectionner F1 (CELL) puis modifier A1 : A20 EXE Faire de même avec la ligne YCellRange : D1 : D20 Les points de la suite seront affichés avec des carrés (voir Mark Type). Terminer par EXIT et taper F1 (Graph1). La courbe obtenue du coût en fonction du temps, sur un horizon d un an, correspond à celle d une fonction croissante. Plus l échéance est lointaine, plus le coût de l option est élevé. Sur une échéance courte de l ordre de la quinzaine de jours (T=0,1) le coût est faible (0,2 ). 4

On obtient en résumé sur les quatre trimestres de l année le tableau donnant le coût de l option : Echéance en année T 0,25 0.

5 2) Pour une échéance d un trimestre le coût de l option est de C = 2,48 d après le tableau du 1), s il on suppose que l acheteur exerce son option d achat et que l action achetée à K= 90 est immédiatement revendue à S = 100 (sans frais) alors le gain par action correspond à : O=P Q R J= ,48=T,? Le gain par action est de 7,52. On peut également mentionner que dans le cas où le niveau de l action S à l échéance est plus faible que la valeur du strike : S < K, on peut décider de ne pas exercer l option pour éviter de perdre trop d argent. On perd alors au plus le coût de l option par action. 5

2,48=T,? Le gain par action est de 7,52.

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