La maison Ecole d ' Baccalauréat blanc Classe de terminale ES. Exercice 1 - sur 4 points

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1 La maison Ecole d ' Baccalauréat blanc Classe de terminale ES Année scolaire Copyright c 004 J.- M. Boucart GNU Free Documentation Licence On veillera à détailler et à rédiger clairement les raisonnements, à soigner son écriture et sa présentation. Il en sera tenu largement compte. La calculette graphique est autorisée mais aucun document ni formulaire n est autorisé. Le sujet se compose de quatre eercices pour tous les candidats Énoncé Eercice - sur 4 points Au jeu télévisé de la fortune, le candidat, au téléphone, choisit et désigne deu boules parmi les 8 boules virtuelles qui lui sont présentées à l écran (chacune d elles est numérotée pour faciliter la désignation). Les boules choisies alors se retournent simultanément et une indication apparaît. Trois boules sont porteuses de l indication 000 AC, deu boules portent l indication 000 AC, une boule porte l indication AC, une boule porte le dessin d un trèfle à quatre feuilles et la boule restante porte le dessin d une tête grimaçante. La règle du jeu est la suivante : si les deu boules choisies portent des sommes, le candidat gagne ces sommes. si le candidat tombe sur le trèfle, et une boule portant une somme, il gagne le double de la somme indiquée. si le candidat tire la tête grimaçante parmi ses deu boules, il ne gagne rien. Dresser la liste des gains possibles pour un candidat et la loi de probabilité concernant ces gains (on utilisera un graphique, un tableau, ou un arbre pour présenter les méthodes de calcul et les résultats) Quelle est la probabilité d obtenir un gain supérieur à AC dans ce jeu? Quelle est celle de ne rien gagner?

2 Baccalauréat blanc Eercice - sur 7 points On considère la fonction f définie sur ] ; + [ par : f() = ln( + ). a) Calculer la limite de f en (à droite). Interpréter graphiquement le résultat. ln( + ) b) En admettant que lim = 0, calculer lim f().. Calculer f () et étudier les variations de f. Dresser le tableau de variation. Préciser la valeur eacte du maimum de f().. a) Montrer qu il eiste deu réels α et β tels que : α < 0 < β et f(α) = f(β) = 0 b) donner une valeur approchée à 0 près par défaut de α et β. c) en déduire le signe de f() sur ] ; + [. 4. Soit g la fonction définie sur ] ; + [ par : g() = ( + ) ln( + ) a) calculer g (). b) en déduire, l epression de la primitive F de f s annulant pour = 0. c) En admettant que lim F () = dresser le tableau de variation de F sur > l intervalle ] ; + [. D après le sujet du Bac ES Amérique du Nord - Juin 00 Eercice - Enseignement de spécialité - sur 5 points On considère la suite (u n ) définie par son premier terme u 0 = 5 et, pour tout entier naturel n par la relation de récurrence : où a désigne un nombre réel. u n+ = au n + 4 On pose v n = u n 6 pour tout entier naturel n.. Déterminer le réel a pour que la suite (v n ) soit une suite géométrique dont on déterminera le premier terme et la raison.. Calculer v n en fonction de n. La suite (v n ) est-elle convergente?. Déterminer la limite de la suite (u n ). 4. Calculer la somme S n = v 0 + v + v + + v n en fonction de n. Étudier la convergence de la suite de terme général S n. En déduire la limite de la suite ayant pour terme général la somme Σ n = u 0 + u + + u n. D après un eercice du Bac ES in TES Éditions Breal

3 Baccalauréat blanc Eercice - Candidats non spécialistes - sur 5 points La courbe (C) est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur [ ; ] dans un repère orthogonal (O ; i, j). La courbe (C) vérifie les quatre conditions suivantes : elle passe par l origine O du repère et par le point A( ; 9) ; elle admet au point B d abscisse une tangente horizontale et elle admet la droite (OA) pour tangente en O. A j O i B Fig. Courbe (C) représentative de f. Quel est le coefficient directeur de la droite (OA)? j O i Schéma j O i j O i Schéma Schéma

4 Baccalauréat blanc 4. L un des trois schémas numérotés, et est la représentation graphique de la fonction dérivée f de la fonction f. Indiquer le numéro de cette figure en précisant les raisons de votre choi.. On suppose que f est définie sur [ ; ] par : où a, b, c, et d sont des réels. f() = a + b + c + d a) Montrer en utilisant les quatre conditions de départ que : a =, b =, c =, d = 0 b) On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f. Factoriser f () et en déduire le sens de variation de la fonction f sur [ ; ]. D après le sujet du Bac ES Polynésie - Juin 00 Eercice 4 - sur 4 points. L équation + b + c = 0 dans laquelle est une variable réelle, (b et c sont des réels inconnus) admet deu solutions et, telles que <. En déduire l eactitude ou l ineactitude des affirmations ci dessous. Une bonne réponse apporte des points, une mauvaises réponse en retire. Si la note globale est inférieure à 0 elle sera ramenée à 0. L absence de réponse ne retire ni n apporte de point. Il n est pas demandé de justifier les réponses : on se contentera d écrire : Affirmation n o... : VRAI ou Affirmation n o... : FAUX N o Affirmation Si < 0 <, le signe de +b+c sur l intervalle ] ; 0[, est indiqué par le tableau : 0 0 ln( + b + c) est défini sur [ ; ]. Sur ] ; [ on peut écrire : ln( + b + c) = ln[ ( )] + ln( ).. a) Résoudre l équation : ] ; [, ln( ) + ln( ) = 0 b) Résoudre l inéquation : ] ; [, ln( ) + ln( ) >

5 Baccalauréat blanc 5 Corrigé Eercice Considérons, dans un premier temps, qu un résultat est constitué par deu boules virtuelles que choisit le candidat, indépendemment des indications qu elles portent. On considère que toutes les paires de boules ont la même probabilité d être choisies. Considérons également que l ordre dans lequel le candidat choisit ses boules n a aucune importance dans l application de règles du jeu. Pour dresser la liste complète des résultats possibles on s aidera d un tableau dans lequel chaque boule est désignée par son numéro. Ces résultats constituent l univers des possibles Ω {,} {,} {,4} {,5} {,6} {,7} {,8} {,} {,4} {,5} {,6} {,7} {,8} {,4} {,5} {,6} {,7} {,8} 4 {4,5} {4,6} {4,7} {4,8} 5 {5,6} {5,7} {5,8} 6 {6,7} {6,8} 7 {7,8} 8 On dénombre donc 8 résultats équiprobables (les cases vides correspondent à des résultats impossibles ou à des résultats déjà indiqués mais écrits dans un ordre différent). Dans un deuième temps, faisons figurer dans ce tableau, les inscriptions portées sur les boules, et les sommes gagnées dans le respect de la règle du jeu Ainsi, l événement : E 4000 = { {, 4}, {, 5}, {, 4}, {, 5}, {, 4}, {, 5} } est l ensemble des résultats qui conduisent le joueur à gagner AC. Sa probabilité est la somme des probabilités des résultats élémentaires ou, ce qui revient au même puisque

6 Baccalauréat blanc 6 les résultats sont équiprobables : P (E 4000 ) = Card(E 4000) Card(Ω) = 6 8 = 4 On peut ainsi dresser la loi de probabilité des gains à ce jeu, en considérant l ensemble des gains possibles, Ω G, nouvel univers probabiliste : Gains Probabilité ,5 0, 0, 0, 0, 0,07 0,04 La probabilité de ne rien gagner à ce jeu est donc 0,. Celle de gagner plus de AC est la probabilité de l événement : E >0 000 = { 000, 000, 0 000} On l obtient en ajoutant les probabilité des résultats élémentaires qui le constituent : P (E >0 000 ) = = 4 0, Eercice Question Selon les propriétés des limites de sommes et de fonctions composées : } lim ( + ) = 0 donc lim ln( + ) = ln() = d où lim 0 et lim ( + 5) = 7 lim f() = Ce résultat montre que la représentation graphique de la fonction f, dans un repère orthogonal, admet une asymptote verticale d abscisse. D autre part, pour tout réel de l intervalle ] ; + [ distinct de 0, on peut écrire : ( f() = ln ( + ) = + 5 ) ln( + ) + Sachant que lim ln( + ) = 0 (admis), et que lim = 0, on a :

7 Baccalauréat blanc 7 lim et ( ) ln( + ) = 0 ( + 5 ) = lim donc ( lim + 5 ) ln( + ) + = Comme d autre part limites d un produit : lim = +, nous pouvons conclure, selon les propriétés des lim f() = Question Soit u la fonction, définie sur ] ; + [ par : u() = +. Soit v la fonction, définie sur ] ; + [ par : v() = + 5. On a f = v + ln u et par conséquent, f = v + u u Pour tout réel de l intervalle de définition, on a donc : f () = + + = + + Pour étudier le signe de f () sur ] ; + [, étudions le signe de son numérateur et celui de son dénominateur, d abord sur R : + = 0 équivaut à = + > 0 équivaut à > + < 0 équivaut à < Donc le signe de + se résume à : = 0 équivaut à = + > 0 équivaut à > + < 0 équivaut à < Donc le signe de + se résume à : + 0 Sur l intervalle ] ; + [ on a donc : f () 0

8 Baccalauréat blanc 8 La fonction f est donc strictement croissante sur ] ; [, strictement décroissante sur ] ; + [. Elle admet une image maimale pour la valeur : f ( ) = ( ) ( ) + ln = 4 + ln 5, Ces résultats, avec ceu de la question, sont regroupés dans le tableau de variations ci-dessous : + f 4 + ln( ) Question Calculons : f ( + e ) = ( + e ) ln (e ) = 7 e 9 = ( + e ) f(0) = 5 + ln() = 5 On constate que le réel + e a une image négative alors que 0 a une image positive. Comme la fonction f est continue (puisqu elle est dérivable), elle ne peut passer d une image négative à une image positive sans avoir une image nulle. Il eiste donc au moins un réel, noté α, dans l intervalle ] + e ; 0[, tel que f(α) = 0. Comme ( + e ) et 0 appartiennent à ] ; [, α appartient aussi à cet intervalle. De plus, on a démontré que f est strictement croissante sur l intervalle ], [. Il n est donc pas possible que sur cet intervalle deu réels distincts aient la même image. Cela montre qu un seul réel de cet intervalle a pour image 0. Conclusion : Il eiste un et un seul réel de l intervalle ], [ ayant pour image 0. Ce réel, noté α est inférieur à 0. De même, calculons : f() = + ln () = ( + ln()) f(e ) = (e ) ln(e ) = e = (e 8) = (e )(e + e + 4) On constate que a une image positive et e a une image négative. Comme précédement, on en déduit (dans l ordre) : Dans ces calculs, on a pris des valeurs qui permettent de se passer de calculette (qui peut ne pas être autorisée à l eamen). On aurait pu prendre des réels décimau pour réaliser les mêmes calculs, et aboutir au même conclusioons à condition d utiliser la calculette. On aurait pu aussi utiliser les limites trouvées plus haut. On utilise ici l identité : a b = (a b)(a + ab + b )

9 Baccalauréat blanc 9 qu il eiste au moins un réel β de [ ; e ] ayant une image nulle puisque f est continue. que ce réel appartient à l intervalle ] ; + [. que c est le seul de l intervalle ] ; + [ à avoir une image nulle puisque sur cet intervalle f est décroissante. qu il est supérieur à 0. Conclusion : Il eiste un et un seul réel de l intervalle ] ; + [ ayant pour image 0. Ce réel, noté β est supérieur à 0. Approimations : La calculette indique : f( 0, 9) = 0, 07 f( 0, 89) = 0, 588 On en conclut : que α < 0, 89 car le contraire (α 0, 89) entrainerait, avec la croissance de f, f(α) f( 0.89), c est à dire 0 0, 588. que α > 0, 9 car le contraire (α 0, 9) entrainerait, avec la croissance de f, f(α) f( 0.9), c est à dire 0 0, 07. On a donc : α ] 0, 9 ; 0, 89[ et par conséquent 0, 9 est une valeur approchée de α à 0 près, par défaut. De même, la calculette donne : f(5, 4) = 0, 94 f(5, 5) = 0, 00 On en conclut que β > 5, 4 et β < 5.5. En effet, avec la décroissance de f, les propositions contraires conduisent à l absurde. Le réel 5, 4 est donc une approimation de β à 0 près, par défaut. Signe de f() On a vu que f est croissante sur ] ; [. Elle conserve donc l ordre, ce qui signifie que : si α < <, alors f(α) < f() et donc 0 < f() si < < α, alors f() < f(α) et donc f() < 0 Résumons par un tableau : α f() 0 On a vu également que f est décroissante sur ] ; + [. Elle change donc l ordre :

10 Baccalauréat blanc 0 si < < β alors f() > f(β) et donc f() > 0 si β < alors f(β) > f() et donc 0 > f() d où le tableau : β + f() 0 Le signe de f() sur l ensemble de définition de f est donc indiqué par le tableau : α β + f() 0 0 Question 4 Dérivée de g Soit Id la fonction définie sur ] ; + [ par : Id() =. En reprenant la fonction u définie dans la question, on a : g = u ln u Id La dérivée de ln u est u donc, selon les propriétés de dérivation des produits et des u sommes : g = u ln u + u u u Id = u ln u + u + Id On en déduit : g () = ln ( + ) + = ln ( + ) Primitive de f Puisque g () = ln ( + ), on peut conclure que g est une primitive de la fonction ln ( + ). En conséquence, les primitives de la fonction f sont de la forme : F : g() + K K étant une constante réelle On a alors : F () = ( + ) ln( + ) + K = + + ( + ) ln( + ) + K Dans ces conditions, F (0) = K et, pour que F s annule en 0, il suffit de prendre K = 0. La primitive F 0 de f qui s annule pour = 0 est donc définie sur l intervalle ] ; + [ par : F 0 : + + ( + ) ln( + )

11 Baccalauréat blanc Tableau de variation de F La dérivée de la fonction F est connue : c est f. Le signe de cette dérivée a été déterminé dans la question 4. Le sens des variations de F s en déduisent. La limite de F au voisinage de est, par hypothèse,. Calculons les images etremales et la limite de F à l infini. F (α) = α + α + α(α + ) ln(α + ), F (β) = β + β + β(β + ) ln(β + ) 7, Pour tout réel non nul de l intervalle ] ; + [, on peut écrire : On sait (admis) que Comme lim ( + ( F () = + ( + ) ln( + ) + lim ) lim Finalement,il apparaît que ( = + ( + ) + ( = = [ + + ( + ln( + ) = 0. =, et que lim [ + + ( + lim F () =. ) ) ln( + ) ) ln( + ) ) ] ln( + ) ( + ) =, on a : ) ] ln( + ) = Tous les éléments permettant d établir le tableau de variation de F sont établis. α β + F (β) F F (α)

12 Baccalauréat blanc Eercice - Enseignement de spécialité Question Pour que la suite (v n ) soit géométrique, il faut et il suffit qu il eiste un réel r (la raison) tel que pour tout entier n on ait : v n+ = rv n Cette condition peut s eprimer, compte tenu de la définition de la suite (v n ) : u n + 6 = r(u n 6) On peut aussi l eprimer en utilisant la relation de récurrence qui définit u n : au n = r(u n 6) au n ru n = 6r (a r)u n = 6r Cette dernière condition, ne peut être vérifiée, indépendemment de l entier n, et donc indépendemment de u n, que dans l un ou l autre de ces cas : On en déduit alors { a r = 0 6r = 0 r = a = La suite (v n ) est alors une suite géométrique de raison et de premier terme. { a r 0 u n = 6r a r Dans ce cas, la suite (u n ) sera constante et chaque terme sera 5. Comme v n = u n 6, la suite (v n ) sera également constante et chaque terme sera. (v n ) sera donc une suite géométrique de raison et de premier terme. C est un cas très particulier! D après l égalité : u n = 6r a r en prenant u n = 5 et r =, on obtient : a = 5 Question Dans la suite de l eercice, nous éliminerons le cas où la suite (v n ) est constante, les réponses étant alors évidentes.

13 Baccalauréat blanc ( ) n Le terme général de la suite (v n ) est : v n = puisque le terme général (de rang n) d une suite géométrique de premier terme p et de raison r est pr n. La raison étant comprise entre 0 et cette suite géométrique converge vers 0. Question D après la définition du terme général de la suite (v n ), on peut écrire : u n = v n + 6 En utilisant le résultat de la question précédente, on en déduit : ( ) n u n = + 6 La suite (v n ) convergeant vers 0, la suite (u n ) converge vers 6. Question 4 Comme la suite (v n ) est géométrique, de raison et de premier terme, la somme S n est connue : S n = ( ) ( )n+ = ( ) ( )n+ = ( ) ] n+ [ = + ( ) n La suite géométrique de terme initial et de raison converge vers 0, donc la suite (S n ) converge vers. Pour tout entier n, on a : Σ n = u 0 + u + + u n Comme par définition u n = v n + 6, on peut eprimer Σ n en fonction des termes de la suite (v n ) : Σ n = v v v v n + 6 = v 0 + v + v + + v n + (n + ) 6 = S n + 6(n + ) = S n + 6n + 6 La suite (S n ) converge vers 0 mais 6n + 6 ne peut être majoré. La suite (Σ n ) diverge donc vers l infini.

14 Baccalauréat blanc 4 Eercice - non spécialistes Question Les points M et N ayant pour coordonnées respectives M directeur de la droite (MN) est : Le coefficient de (OA) est donc : m = y = y M y N M N m = = M y M et N N y N, le coefficient Question Selon sa représentation graphique, la fonction f est croissante sur [ ; ]. En particulier, elle est croissante sur [ ;, 5]. Sa dérivée f est donc positive sur cet intervalle. Cela eclut le schéma, puisque sur l intervalle [ ;, 5], la fonction représentée donne des images négatives. Selon le résultat de la question, le coefficient directeur de (OA) (tangente en A à la courbe (C)), est. Le nombre dérivé de f en 0 est donc, ce qui s écrit : f (0) =. Cela eclut le schéma, puisque pour la valeur 0, la fonction représentée donne pour image. Par élimination, c est donc le schéma qui représente la fonction f. Question La fonction f étant de la forme f : a + b + c + d, sa dérivée f est de la forme f : a + b + c. Traduisons les conditions données : Condition de départ Traduction Epression algébrique O (C) f(0) = 0 d = 0 A (C) f( ) = 9 8a + 7b c = 9 Tangente horizontale en B f () = 0 a + b = 0 (OA) est tangente en O f (0) = (question ) c = Nous disposons donc de quatre égalités impliquant les réels a, b, c et d :

15 Baccalauréat blanc 5 d = 0 () 8a + 7b c + d = 9 () a + b + c = 0 () c = (4) De (4), () et (), on déduit : 8a + 7b + 9 = 9 et donc, en ajoutant 9 puis en divisant les deu membres par 7 : a + b = 0 (5) Par ailleurs, les égalités () et (4) entrainent : a + b = (6) et donc, en ajoutant membre à membre (5) et (6), on obtient : b = dont on tire : b = (7) Avec (5) et (7), on obtient : d où l on tire : a + = a = (8) Les égalités (), (4), (7) et (8) constituent le résultat attendu. Nous avons donc : f() = + et f () =. Le polynome a pour discriminant 6, il a donc deu racines et ; il se factorise sous la forme : f () = ( + )( + ) L étude du signe de ce produit sur R, permet de trouver le signe de f () et les variations de f sur l intervalle [ ; ] : (+)( ) 0 0 On pourrait utiliser les propriétés concernant le signe d un polynôme du second degré, mais nous préférons suivre la demande de l énoncé.

16 Baccalauréat blanc 6 f () f 5 9 Eercice 4 Q.C.M. Affirmation n o : VRAIE Le polynôme du second degré est du signe du coefficient de sauf pour les valeurs de la variable comprises entre les racines (et pour les racines). Affirmation n o : FAUSSE Pour les valeurs et, le polynôme +b+c s annule et par conséquent, ln( + b + c) n est pas défini. Affirmation n o : FAUSSE Sur l intervalle ] ; [, le poslynôme + b + c est positif. Par contre, est négatif puisque est supérieur à tous les réels de l intervalle. L écriture ln( ) n a donc pas de sens. Équation est positif lorsque ] ; + [. est positif lorsque ] ; [. Sur l intervalle ] ; [, et sont donc tous les deu positifs, ce qui permet au epressions ln( ) et ln( ) d être des réels définis. Les équations suivantes sont équivalentes : ln( ) + ln( ) = 0 ln[( )( )] = 0 car ln(ab) = ln(a) + ln(b) lorsque a R + et b R + ( )( ) = car seul ln() = = + 7 = 0 Le polynôme du second degré + 7 a pour discriminant. Il admet donc, dans R deu racines : = 7 6, 76 et = , 56 Dans l intervalle ] ; [ les équations ont donc une seule solution : 7 6 Inéquation Comme l équation précédente, et pour les mêmes raisons, l inéquation proposée a bien du sens sur l intervalle ] ; [. Sur cet intervalle, elle est équivalente au inéquations

17 Baccalauréat blanc 7 suivantes : ln[( )( )] > car ln(ab) = ln(a) + ln(b) lorsque a R + et b R + ln[( )( )] > ln(e) car ln(e) = + 7 > e car la fonction logarithme est croissante + 7 e > 0 Le polynôme du second degré + 7 e a pour discriminant : = 49 ( + e) 7, 6 Il n admet donc dans R aucune racine et est négatif pour toute valeur de. Sur ] ; [ les inéquations n ont donc pas de solution. Vous êtes autorisé(e) à copier, distribuer et/ou modifier ce document selon les termes de la licence GNU Free Documentation License Version. ou ultérieure, publiée par la Free Software Foundation. Le source LATEX, ainsi que des copies au format pdf, ps, et html de ce document sont accessibles sur le site classe.maisondecole.net. La version originale de la licence, accompagnée d une traduction en français, est également disponible sur ce site.