L enseignement des probabilités à Telecom Paristech

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1 Enjeux 2 Difficultés 3 Modèle de Cox-Ross-Rubinstein Modèle à 1 période Modèle à plusieurs périodes Espace de Rademacher et calcul de Malliavin L. Decreusefond (TPT) L enseignement des probabilités à Telecom Paristech 2 / 39

Enjeux Le contexte Pas de résistance des matériaux, pas de mécanique, pas de thermodynamique, etc Mais, du traitement du signal et de l image des communications numériques des réseaux et de l informatique L. Decreusefond (TPT) L enseignement des probabilités à Telecom Paristech 4 / 39

Enjeux Le cours de probabilités En tronc commun, 40 heures de cours/td en petites classes L. Decreusefond (TPT) L enseignement des probabilités à Telecom Paristech 5 / 39

Enjeux Compétences Formaliser mathématiquement un phénomène aléatoire Résoudre un problème formalisé en termes relevant de la théorie des probabilités Document du groupe CTI L. Decreusefond (TPT) L enseignement des probabilités à Telecom Paristech 6 / 39

Difficultés Ce qui n est pas difficile (pédagogiquement) Dénombrements (ce n est pas le cœur de l enseignement) Les calculs de loi image par difféomorphisme Théorèmes abstraits admis (existence de la mesure de Lebesgue, classe monotone,...) : existence d un espace de probas qui rende compte d une suite infinie de pile/face. L. Decreusefond (TPT) L enseignement des probabilités à Telecom Paristech 8 / 39

Difficultés Hétérogénéité Des origines différentes : environ 150 étudiants, 50% MP, 16% PC, 16% PSI, 2% TSI, 16% AST-L Des attendus différents : 15 % vont se lancer dans le parcours «Finances» L. Decreusefond (TPT) L enseignement des probabilités à Telecom Paristech 9 / 39

Difficultés Qu est-ce qui se caractérise par... une fonction positive d intégrale 1 une fonction croissante, nulle en, qui vaut 1 en + une fonction holomorphe sur le disque unité suites de nombres positifs de somme 1 une transformée de Fourier? Une mesure L. Decreusefond (TPT) L enseignement des probabilités à Telecom Paristech 10 / 39

Difficultés Indépendance et conditionnement La modélisation = variables aléatoires Les calculs = lois Calculs uni-dimensionnel : application des outils d analyse (séries, intégrales) Somme de 2 v.a. indépendantes convolution des 2 lois Dès que plus de 2 v.a. : représentation de la dépendance L. Decreusefond (TPT) L enseignement des probabilités à Telecom Paristech 11 / 39

Difficultés Les probas en CPGE : une bonne idée? Dans la continuité des enseignements de Terminale Un rafraîchissement des programmes Un autre mode de raisonnement Des mises en perspective du cours de maths : théorie des ensembles, séries génératrices, matrices Une réelle ouverture à la modélisation Se limiter aux probas sur un espace dénombrable L. Decreusefond (TPT) L enseignement des probabilités à Telecom Paristech 12 / 39

Modèle binomial Modèle de Cox-Ross-Rubinstein Modèle à 1 période Actif sûr Actif risqué X 0 (1 + r) p S u = S 0 u X 0 S 0 1 p S d = S 0 d Valeur du contrat : { V u si S 1 = S u V d si S 1 = S d. L. Decreusefond (TPT) L enseignement des probabilités à Telecom Paristech 14 / 39

Modèle à 1 période Call européen V u = (S 0 u K) + et V d = (S 0 d K) +. C est la valeur d une option d achat (call) sur l actif. Une option d achat de prix d exercice K est le droit d acheter l actif sous-jacent au prix K à l instant T. Si le prix réel S 0 u est supérieur à K, le détenteur du call exerce son droit d achat et revend aussitôt. Il gagne donc S 0 u K. Sinon, le détenteur du call ne fait rien et donc ne gagne, ni ne perd. L. Decreusefond (TPT) L enseignement des probabilités à Telecom Paristech 15 / 39

Modèle à 1 période Question 3 paramètres S 0 prix initial K prix d exercice T maturité 2 questions Prix du contrat Stratégie de couverture L. Decreusefond (TPT) L enseignement des probabilités à Telecom Paristech 16 / 39

Modèle à 1 période Principe X 0 : prix de vente du contrat α 0 : nombre de parts de l actif S achetées à l instant 0. Fortune finale X 1 = α 0 S 1 + (1 + r)(x 0 α 0 S 0 ). On veut que X 1 = V 1. L. Decreusefond (TPT) L enseignement des probabilités à Telecom Paristech 17 / 39

Calculs Modèle de Cox-Ross-Rubinstein Modèle à 1 période S 1 = S 0 u S 1 = S 0 d V u = α 0 S 0 u + (1 + r)(x 0 α 0 S 0 ). V d = α 0 S 0 d + (1 + r)(x 0 α 0 S 0 ). { S0 (u 1 r)α 0 + (1 + r)x 0 = V u S 0 (d 1 r)α 0 + (1 + r)x 0 = V d L. Decreusefond (TPT) L enseignement des probabilités à Telecom Paristech 18 / 39

Modèle à 1 période Résultats α 0 = V u V d S 0 (u d) = V u V d S u S d X 0 = 1 ( 1 + r d V u + u 1 r ) V d 1 + r u d u d = 1 1 + r E p [V 1 ]. L. Decreusefond (TPT) L enseignement des probabilités à Telecom Paristech 19 / 39

Modèle à 1 période Commentaires Le prix et la stratégie de couverture ne dépendent pas de la probabilité a priori. Seuls deux paramètres comptent : u et d. Risque uniquement lié au modèle. Comment estimer u et d? On ne peut pas envisager un modèle où l actif peut prendre plus de 2 valeurs. L. Decreusefond (TPT) L enseignement des probabilités à Telecom Paristech 20 / 39

Modèle à plusieurs périodes Modèle à 3 périodes S 0 = 4 ; r = 0, 4 u = 2, d = 1/2 donc p = 1/2. Contrat = call européen maturité 3, prix d exercice 6. L. Decreusefond (TPT) L enseignement des probabilités à Telecom Paristech 21 / 39

Modèle à plusieurs périodes S 0 = 4X 0 = 4 X 0 = 4/(1,25) 3 = 2, 05 S 1 = 8X 1 = 7,5S 1 = 2X 1 = 0,5 S 2 = 16X 2 = 14S 2 = S 2 4X = 2 4= 1 S 2 = 1X 2 = 0 S 3 = 32X 3 = 26S 3 = S 3 8X = 3 8= 2 S 3 = S 3 2X = 3 2= 0 S 3 = 0,5X 3 = 0 Figure: Evolution à 3 pas L. Decreusefond (TPT) L enseignement des probabilités à Telecom Paristech 22 / 39

Formules Modèle de Cox-Ross-Rubinstein Modèle à plusieurs périodes Prix Stratégie de couverture Prix = 1 (1 + r) N E p [V N ]. α k = E 1/2 [D k V N F k ] D k S k L. Decreusefond (TPT) L enseignement des probabilités à Telecom Paristech 23 / 39

Modèle à plusieurs périodes Méthode Remonter l arbre : trop long! Être malin! On suppose r = 0 (juste pour simplifier la présentation) L. Decreusefond (TPT) L enseignement des probabilités à Telecom Paristech 24 / 39

Modèle à plusieurs périodes Objectif Il suffit de trouver γ 0,, γ N tels que N 1 V N = E 1/2 [V N ] X 0 + γ j (S j+1 S j ). j=0 L. Decreusefond (TPT) L enseignement des probabilités à Telecom Paristech 25 / 39

Espace de Rademacher et calcul de Malliavin Espace de Rademacher Aléa contenu dans Ω = { 1, 1} N { 1, 1} N =espace de rademacher U j (ω) = ω j Sous P p, les (U j, j 1) sont iid de loi P p (U j = 1) = p = 1 P p (U j = 1) L. Decreusefond (TPT) L enseignement des probabilités à Telecom Paristech 26 / 39

Prix Modèle de Cox-Ross-Rubinstein Espace de Rademacher et calcul de Malliavin Si U j = 1 alors S j = S j 1 u Si U j = 1 alors S J = S j 1 d par conséquent ( ) u + d k k S k = (1 + u d 2 u + d U j) j=1 L. Decreusefond (TPT) L enseignement des probabilités à Telecom Paristech 27 / 39

Espace de Rademacher et calcul de Malliavin Objectif Il suffit de trouver γ 0,, γ N tels que N 1 V N = E 1/2 [V N ] U 0 + γ j (S j+1 S j ). j=0 L. Decreusefond (TPT) L enseignement des probabilités à Telecom Paristech 28 / 39

Espace de Rademacher et calcul de Malliavin Opérateur de différence D k F (U 1,, U N ) = 1 2 (F (U+ k ) F (U k )) = E 1/2 [U k F U l, l k] où U k + = (U 1,, U k 1, 1, U k+1, ) Uk = (U 1,, U k 1, 1, U k+1, ) Exemple D k (1 + p k U k ) = 1 2 (1 + p k (1 p k )) = p k L. Decreusefond (TPT) L enseignement des probabilités à Telecom Paristech 29 / 39

Formule de Clark Modèle de Cox-Ross-Rubinstein Espace de Rademacher et calcul de Malliavin Théorème N F = E 1/2 [F ] + β k U k. k=1 ] β k = E 1/2 [D k F U 1,, U k 1 L. Decreusefond (TPT) L enseignement des probabilités à Telecom Paristech 30 / 39

Espace de Rademacher et calcul de Malliavin Définition Les fonctions cylindriques sont les fonctions de la forme ρ j déterministe. N F = (1 + ρ j U j ), j=1 L espace vectoriel engendré par les fonctions cylindriques est dense dans L 2. L. Decreusefond (TPT) L enseignement des probabilités à Telecom Paristech 31 / 39

Espace de Rademacher et calcul de Malliavin Preuve F N = σ(u 1,, U N ), F L 2 = L 2 lim N E 1/2 [F F N ] E 1/2 [F F N ] = F N (U 1,, U N ) N = 1 0 = E 1/2 [F 1 (U 1 )(1 + ρ 1 U 1 )] ρ 1 = 1 2 [ρ 1 (F 1 (1) F 1 ( 1)) + F 1 (1) + F 1 ( 1)] Donc F 1 (1) F 1 ( 1) = 0 et F 1 (1) + F 1 ( 1) = 0 donc F 1 0 L. Decreusefond (TPT) L enseignement des probabilités à Telecom Paristech 32 / 39

Espace de Rademacher et calcul de Malliavin N quelconque F N ± (U 1,, U N 1 ) = F N (U 1,, U N 1, ±1) En notant Z N = N j=1 (1 + ρ j U j ), pour tout ρ N on a 0 = E 1/2 F N N j=1 On conclut par récurrence ] (1 + ρ j U j ) = ρ N E 1/2 [(F N + F N )Z N 1 ] + E 1/2 [(F N + + F N )Z N 1 L. Decreusefond (TPT) L enseignement des probabilités à Telecom Paristech 33 / 39

Itô-Clark Modèle de Cox-Ross-Rubinstein Espace de Rademacher et calcul de Malliavin Pour F L 2, on a F = E 1/2 [F ] + k E 1/2 [D k F U 1,, U k 1 ] U k. (1) L. Decreusefond (TPT) L enseignement des probabilités à Telecom Paristech 34 / 39

Espace de Rademacher et calcul de Malliavin Preuve Par récurrence Z k = j k (1 + ρ ju j ). Z k = 1 + k j=1 Z j 1 ρ j U j Vrai pour k = 0 et k = 1. Si c est vrai au rang k, on a k Z k+1 = Z k (1 + ρ k+1 U k+1 ) = (1 + Z j 1 ρ j U j ) + Z k ρ k+1 U k+1 j=1 k+1 = 1 + Z j 1 ρ j U j. j=1 L. Decreusefond (TPT) L enseignement des probabilités à Telecom Paristech 35 / 39

Espace de Rademacher et calcul de Malliavin Donc c est vrai pour F E. Il suffit de montrer que l application Θ : E L 2 L 2 (Ω; l 2 (N)) est prolongeable par continuité sur L 2. Or pour F E, F (k E 1/2 [D k F F k 1 ]) F = E 1/2 [F ] + k E 1/2 [D k F F k 1 ] U k donc E 1/2 [ (F E 1/2 [F ]) 2] = E 1/2 [ k E 1/2 [D k F F k 1 ] 2 ] = ΘF 2 L 2 (Ω; l 2 (N)). L. Decreusefond (TPT) L enseignement des probabilités à Telecom Paristech 36 / 39

Conséquence Modèle de Cox-Ross-Rubinstein Espace de Rademacher et calcul de Malliavin S j = S j 1 (1 + u d u + d U j) u d S j S j 1 = S j 1 u + d U j D j S j = 1 [ 2 S j 1 1 + u d u + d (1 u d ] u + d ) u d = S j 1 u + d S j S j 1 = D j S j U j L. Decreusefond (TPT) L enseignement des probabilités à Telecom Paristech 37 / 39

Espace de Rademacher et calcul de Malliavin Application à V N N V N = U 0 + E 1/2 [D j V N F j ] U j j=1 N E 1/2 [D j V N F j ] = U 0 + (S j S j 1 ) D j=1 j S j L. Decreusefond (TPT) L enseignement des probabilités à Telecom Paristech 38 / 39

Espace de Rademacher et calcul de Malliavin Références On trouvera l étude complète de l espace de Rademacher à travers les chaos dans N. Privault, Stochastic analysis in discrete and continuous settings with normal martingales, volume 1982 of Lecture Notes in Mathematics, Springer, 2009. L. Decreusefond (TPT) L enseignement des probabilités à Telecom Paristech 39 / 39