Mécanique des fluides Rappels

Mécanique des fluides Rappels Jean-Martial Coard Jean-martial.coard@mg.inpg.fr Plan du cours I- GENERLITE II- RPPEL DE STTIUE 1- Principe fondamentale de la statique 2- efforts sur les parois immergées III- RPPEL D HYDRODYNMIUE 1- notion de flux conservation de la masse 2- équations intrinsèques 3- Relation de ernoulli 4- Téorème des quantités de mouvement 5- Cas des fluides réelles 6- Notion d nalse dimensionnelle IV- ECOULEMENT SURFCE LIRE REGIME PERMNENT 1- Introduction 2- Géométrie 3- Formule de Ce, V- ECOULEMENT GRDUELLEMENT VRIE 1- Carge spécifique 2- Ligne d eau 3- Le ressaut draulique 4- Passage d obstacle VI- INTRODUCTION UX ECOULEMENT EN MILIEUX POREUX 1- Loi de Darc les ga : Molécules libres (mouvement brownien) u est ce qu un fluide les fluides : État intermédiaire les solides : gencement cristalin des molécules Introduction Particule fluide Suffisamment grand pour contenir un grand nombre de molécules Suffisamment petit pour qu on ne puisse distinguer des étérogénéités.

Effort sur une particule fluide S : domaine matériel de masse m S : surface qui délimite S F = m f; avec f : densité massique d effort T = S t ; avec t : densité surfacique d effort T S S F P = m. g f = g Force de pesanteur L énergie potentielle massique associée e p est tel que : de p = -g dl = -g d e = g d Soit : e p = g. + cte Réciproquement : g = -grad e p = -grad(g.) S e P Vecteur contrainte Torseur des actions exercées sur : {df; dm} On défini le vecteur contrainte : t (M, e n ) = df/d Contrainte normale : σ n = t. e n Contrainte tangentielle : σ t e t = t - σ n e n df df e n dm d M σ n.e n e n d σ t.e t M Comportement des solides u est ce qu un fluide pplication d une force de cisaillement Comportement des liquides Déformation + état d équilibre Déformation

τ x τ 0 u est ce qu un fluide Comportement des fluides et autres. pente = μ Plastique de ingam Plastique Fluide solidifiant stable Fluide newtonien Fluide épaississant du/d Variables : ρ, P, T Compressibilité Pour un ga : Loi des ga parfaits : p/ ρ = R.T/M ; avec R = 8,32 J.K -1.kg 1 Ou équation de Van der Waals : p.m/(ρ.r.t) = 1+ ρ.c(t) + ρ 2.D(T) + L air est en général considéré comme un ga parfait incompressible si U 100 m.s -1 ρ = cte Compressibilité Pour un liquide : (ρ - ρ 0 )/ ρ 0 = - β.(t-t 0 ) + χ.(p - p 0 ) vec β est le coefficient de dilatation et χ, le coefficient de compressibilité - χ dp = dρ/ ρ 0 0 Pour l eau : β = 1/5000 K -1 ; χ = 1/22400 bar 1 (5. 10-10 Pa -1 ) Pourtant les ondes se propagent (coup de bélier, cant des baleines ) à la vitesse c tel que : c 2 = ( p/ ρ) T=cte Compressibilité Coef. De compressibilité Célérité du son c (m/s) ir 1,00E-05 330 eau 5E-10 1420 Nombre de Mac : Ma = U/c Fluide incompressible pour Ma << 1 Dans le cadre de ce cours on supposera l eau et l air comme des fluides incompressibles : ρ air = 1,3 kg/m 3 ρ eau = 10 3 kg/m 3

Notion de Pression Contrainte normale résultant des cocs des molécules sur les parois. L intensité de cette contrainte est caractérisée par un scalaire : la pression - Défini en caque point du fluide - C est une grandeur locale - Fluide en mouvement ou pas - esoin d une surface pour être révélée df = - p e n d σ n = - p e n est la normale sortante La pression s exprime en N. m -2 = kg.s -2.m 1 Force de Pression P e n dm d M df F = -p e n d Conversion des unités de Pression Pa bar mm CE mm Hg atm Pascal 1,00E+00 1,00E-05 1,02E-01 7,50E-03 9,87E-06 bar 1,00E+05 1,00E+00 1,02E+04 7,50E+02 9,87E-01 mm C.E. 9,81E+00 9,81E-05 1,00E+00 7,35E-02 9,68E-05 mmhg = torr 1,33E+02 1,33E-03 1,36E+01 1,00E+00 1,32E-03 tmospère 1,01E+05 1,01E+00 1,033.10 4 7,60E+02 1,00E+00 P abs est la pression absolue P eff est la pression effective mesurée par rapport à la pression atmospérique (P atm ) Fluide parfait u() de ga parfait Viscosité Fluide réel u() Pour un fluide réel en mouvement, il a glissement et frottement entre le fluide et les parois solides mais également glissement et frottement entre les couces de fluide

Paroi mobile u 0 Paroi fixe Viscosité F Pour maintenir la vitesse u 0, il faut exercer sur la paroi mobile une force F tel que F = μ u 0 / μ est la viscosité dnamique Elle s exprime kg.m -1. s -1, l unité SI est le poiseuille (Pl) ou le Pa.s Le travail F*Δl fourni est dissipé en caleur Le fluide est soumis à une contrainte de cisaillement σ t e t = df / d σ t = μ u/ Viscosité; fluide Newtonien Les fluides qui vérifient cette relation linéaire entre la contrainte et le gradient de vitesse sont des fluides newtonien x df u + du u d df Viscosité On définit également la viscosité cinématique ν = μ / ρ [poise] Masse volumique (kg/m 3 ) Ordre de grandeur Viscosité dnamique (kg/(m.s)) Viscosité dnamique (m 2 /s) ir 1,29E+00 1,85E-05 1,43E-05 eau 1,00E+03 1,00E-03 1,00E-06 Statique des fluides Equation fondamentale de la statique Etude des fluides au repos; pas de mouvement relatif entre les particules fluide σ t = 0 p.dx.d - (p + dp).dx.d + ρ.f.dx.d.d = 0 dp/d - ρ.f = 0 p/ - ρ.f = 0 De même dans les autres directions, il vient grad p - ρ.f = 0 (p+dp).dx.d d x dx ρf.dv d p.dx.d

Si il a équilibre alors : Statique des fluides Propriété du PFS rot grad p - rot ρ.f = 0 = rot f lors il existe une fonction e p tel que : -grad e p = f e p est l énergie potentielle grad p + ρ.grad e p = 0 Les équipotentielles et les isobares sont confondues Les isobares sont des surfaces d égale masse volumique Les isobares sont aussi des surfaces isotermes Statique des fluides Cas de la pesanteur : loi de l drostatique Le fluide a une masse volumique uniforme Le seul camp de force est le camp de pesanteur f = g = - grad(g.) Léquation de la statique devient grad(p + ρ.g.) = 0 L équation de l drostatique s écrit p + ρ.g. = cte = p g p g est la pression motrice p + ρ.g. = cte = p g Statique des fluides loi de l drostatique * La différence de pression Δp entre 2 points et ne dépend que de la différence d altitude Δ = Δp = - ρ.g. Δ * Principe de Pascal : les fluides transmettent la pression = p = p F S f s F/S = f/s p + ρ.g. = cte = p g Statique des fluides loi de l drostatique * La pression augmente linéairement avec l altitude P atm P() * Pour une surface libre p = p atm. C est une surface isobare àg et plus généralement à l accélération locale P atm g Fluide au repos P atm a g U Fluide en écoulement : U = cte

df = - p e n d avec p( ) + ρ.g. = p atm +ρ.g. Statique des fluides p( ) = p atm +ρ.g.( ) = cte F = -p e n d = - p ( ) d = - p ( ) Force de pression df = - p e n d avec p() + ρ.g. = p atm ; vrai pour <0 p() = p atm - ρ.g. F = -p e n d = - x p () d = - (.p atm 0,5.ρ.g.l.( 2-2 )).x =0 =0 P() x P() F P atm F P atm Statique des fluides Pression effective On défini la pression effective : p eff = p p atm Elle est plus simple à mesurer On peut quasiment toujours travailler avec la pression effective plutôt qu avec la pression réelle p car la pression atmospérique est quasiment toujours présente =0 x P atm df due à p atm df due à p eff M c = CM ^ df = 0 M c = CM ^ - p e n d = 0 Statique des fluides Centre de poussée Le centre de poussé est le point C tel que le moment des forces de pression en C est nul CM ^ df = (- C ) ^ -p.x.d = -p.(- C )..d p eff () = - ρ.g. M c = -(-ρ.g. ).(- C )..d = 0 ( 2 -. C ).d = 0 [ 3 /3 c. 2 /2] = 0 C = +2.( - )/3 =0 C x P() P atm F C Hdrodnamique Notion de flux La quantité convectée pendant dt par l écoulement à travers la surface d est contenue dans un clindre dv de base d et de auteur : u.dt.cos(u.e n ) = u.e n dt Soit dv = u.e n dt.d La quantité transportée par unité de temps est appelée flux de à travers d dφ = ρ.b. u.e n dt.d u d M e n où b est la densité massique de

Débit masse : b = 1 dq m = ρ. u.e n.d Si u = cte sur et à alors q m = ρ. U. Flux de quantité de mouvement b = u dφ qdm Hdrodnamique = ρ.u. u.e n.d = u.dq m Notion de flux u d M e n dφ qdm s exprime en N/m 2 Ecoulement permanent non-uniforme : accélération convective ds = u.dt u u+du t M N u u+du t+dt Hdrodnamique Vitesse particulaire Ecoulement uniforme non-permanent : accélération locale u t M u+du t+dt du = u/ t. dt + u/ s. ds ds = u.dt a s = du/dt = u/ t + u/ s.ds/dt = u/ t + u. u/ s N u u+du dq m (x) = ρ. u(x).d.d dq m (x+dx) = ρ. u(x+dx).d.d Dans la direction x la variation de masse pendant le temps dt est : m/ t Hdrodnamique Conservation de la masse = (ρ.dv)/ t =dv. ρ/ t = - (ρ.u )/ x.dx.d.d = - (ρ.u)/ x.dv De même dans les autres directions u(x) d x dx ρ.dv d u(x+dx) ρ/ t = - div (ρ.u) Pour un écoulement permanent : ρ/ t = 0 = div (ρ.u) Pour un fluide incompressible : ρ = cte div u = 0 Cas d un tube de courant Hdrodnamique Conservation de la masse 1 ρ.u 1.e 1 d = 2 ρ.u 2.e 2 d = cte u 2 e 2 2 u 1 e 1 x 1

Hdrodnamique Dnamique des fluides parfaits Fluide parfait u() Pas de viscosité ν = μ = 0 Fluide réel u() C est une bonne approximation tant que l on ne s intéresse pas à ce qui se passe à proximité d une paroi, d un sillage, d une one de mélange Hdrodnamique Équation d Euler Le principe fondamentale de la dnamique pour un fluide parfait s écrit : ρ du/dt= -gradp + ρ.f ρ ( u/ t + u.grad u) = - grad p + ρ.f Pour f = - grad (g) ρ du/dt = - grad p g (p+dp).dx.d d x u x (t) L équation d'euler est une équation différentielle du premier ordre une seule condition à la limite est nécessaire : la condition d imperméabilité aux frontières de l écoulement. dx ρf.dv d p.dx.d Hdrodnamique Equations dnamiques intrinsèques R : raon de courbure C : centre de courbure u = u e t et du/dt = du/dt e t + u 2 /R e n = -ρ -1 grad p g = u/ t + u.grad u Il vient u/ t + u. u/ s = -ρ -1 p g / s trajectoire s 0 e n e b s e t u(s) équation tangentielle u 2 /R = -ρ -1 p g / r équation normale p g rivière u(s) R Hdrodnamique Conséquence de l équation normale + + + p g --- ρ.u 2 /R = - p g / r arracement, creusement R = p g / r = 0 pas de variation de pression p atm p atm

Hdrodnamique Relation de ernoulli u u/ x + v u/ + w u/ u.grad u = u v/ x + v v/ + w v/ = grad(u 2 /2) (rot u)^u u w/ x + v w/ + w w/ ρ ( u/ t + grad(u 2 /2) (rot u)^u) + grad (p + ρ.g.) = 0 Pour un écoulement irrotationnel : rot u = 0 Sur une ligne de courant : (rot u)^u).ds = (u^ds).rot u = 0 Il vient alors : ρ. u/ t + grad(ρ u 2 /2 + p + ρ.g.) = 0 Hdrodnamique Relation de ernoulli Pour un écoulement permanent : u/ t = 0 En intégrant l équation précédente : ρ u 2 /2 + p + ρ.g. = Cte Ec Ep Ec + Ep = Et = Cte M 2 M 1 ρ u 12 /2 + p 1 + ρ.g. 1 = ρ u 22 /2 + p 2 + ρ.g. 2 Conservation de l énergie totale Hdrodnamique Hpotèse de la relation de ernoulli ρ u 2 /2 + p + ρ.g. = Cte Fluide parfait Fluide incompressible écoulement permanent Écoulement irrotationnel ou sur une ligne de courant Écoulement dans le camps de pesanteur f = ρ.g H Hdrodnamique Ligne de carge, ligne pieométrique Plan de carge U 2 /2.g Ligne piéométrique p/ρ.g

Hdrodnamique Cas des écoulements en conduite de fluides réelles Ecoulement laminaire r - Les lignes de courant sont rectilignes - Vitesse relative nulle à la paroi - u ne dépend que de r - u(r) = 2.U d.(1-(r/r) 2 ) - = S u.e n.ds - U d = /S = /πr 2 -U d est la vitesse débitante -U max = 2.U d 4U d 2U d u(r) U d D=2R Hdrodnamique Cas des écoulements en conduite de fluides réelles Ecoulement turbulent r - Les lignes de courant se mélangent - Vitesse relative nulle à la paroi - U d = /S = /πr 2 -U d est la vitesse débitante -U max = α.u d ; avec α 1,05 - En pratique, les écoulements en conduite sont turbulents, on prendra α = 1 U d u mo (r) D=2R Hdrodnamique ue devient la relation de ernoulli ρ grad(u 2 /2) = - grad p + ρ.f + force de frottement Profil de vitesse non uniforme dans la section viscosité ρ.α.u 2 /2 + p + ρ.g. + Δp perte = Cte S 2 S 1 Pour un écoulement turbulent : ρ u 12 /2 + p 1 + ρ.g. 1 = ρ u 22 /2 + p 2 + ρ.g. 2 + Δp perte Re = ρ V D μ Convection Termique Nombre de REYNOLDS Rapport entre les force d inertie et les force de frottement : Re petit : frottement prépondérant Re grand : inertie prépondérante ρ : masse volumique du fluide [kg/m 3 ], v : vitesse moenne du fluide [m/s], D : plus petite dimension géométrique du problème [m], μ : viscosité dnamique du fluide [Pa.s]. laminaire critique turbulent laminaire

D Hdrodnamique Conservation de la quantité de mouvement D e n Pour un écoulement permanent : d(m.u)/dt = d ( D ρ.u.dv) /dt = ( D (ρ.u)/ t dv + D ρ.u.grad u.dv = ( D (ρ.u)/ t dv+ D ρ.u.u.e n.ds = Σ F ext D D ρ.u.u.e n.ds = Σ F ext D D ρ.u.u.e n.ds est le flux de quantité de mouvement à travers dd Hdrodnamique Conservation de la quantité de mouvement Ex : écoulement à débit constant dans un tuau oriontal u d = u d.s e 1 P 1 S e 3 D P 2 D ρ.u.u.e n.ds = Σ F ext D e 2 u d Hdrodnamique nalse dimensionnelle Soit un sstème psique Φ décrit par n paramètres psique g i dimensionnels (grandeurs psiques) Φ(g 1,g 2,...,g n ) = 0 Soit p le nombre de grandeurs fondamentales (m, t, T, L) lors le problème peut s exprimer en fonction de n-p variables sans dimension G j de la forme : F(G 1,G 2,...,G n-p ) avec Gj = g 1 α1. g 2 α2... g n αn U Hdrodnamique nalse dimensionnelle Ex : traînée d une pile de pont D F = g( 0 = Φ (F, n = p = F

Hdrodnamique Cf = f(re) U = 1m/s; D = 2m; μ = 10-3 Pl Re = Cf = F= P Écoulement en carge La section de l écoulement est celle de la conduite Définition P atm Écoulement à surface libre Il existe une surface de séparation entre le liquide et l air La section de passage dépend du débit exemples doc.p.ois Distribution des vitesses u() Frottement au fond du canal Frottement à la surface u() u() Frottement sur les parois

χ Raon draulique : S Géométrie R H = section mouillée / périmètre mouillé = S/χ Section mouillée S : section de l écoulement moen limitée par les parois et la surface libre Périmètre mouillé χ : Contour mouillé (sans la surface libre) ; one de frottement solide D H = 4 * R H S = Χ = R H = D H = Géométrie cas du canal rectangulaire ue devient R i << b b Géométrie u() Pente de fond : i = sinθ θ θ Nombre de Froude Paramètre adimensionnel caractéristique des écoulement à surface libre Fr = U/ (g) Rapport entre énergie cinétique et énergie potentielle Ec / Ep = 0,5*m*U 2 / ρg dv = 0,5.ρ.V.U 2 /0,5.ρ.g. 2.S = Fr 2 Si Fr > 1 Ec > Ep Régime torentiel Si Fr < 1 Ec < Ep Régime fluvial Si Fr = 1 Régime critique

Les ronds dans l eau Propagation des ondes V = 0 V< g point d impact V V=0 + C =+ g point d impact X 0 - C =- g V> g V Les ondes peuvent remonter le courant Les ondes ne peuvent pas remonter le courant Ecoulement Uniforme et permanent Ecoulement uniforme : la section mouillée reste constante le long de l écoulement. Ecoulement permanent :./ t = 0. Exemple : pour un canal prismatique de grande longueur. S(x) = Cte = Cte Ligne de carge u() La surface libre est alors un plan parallèle au fond de pente i, U = Cte la ligne de carge // au fond θ l U g.sinθ g Formule de CHEZY (1775) θ τ paroi b S Force motrice : ρ.v.g.sinθ = ρ.l.s.g.sinθ Force résistante : - τ paroi.χ.l = 0,5.ρ.C f.u 2.χ.l (frottement) - τ air.b.l = 0,5.ρ.C f.u 2.b.l τ air Formule de CHEZY U = Cte ΣF = 0 ρ.l.s.g.sinθ = 0,5.ρ.C f.u 2.χ.l + 0,5.ρ.C f.u 2.b.l U 2 = 2.g/(C f +C f.b/χ).s/χ.i On appelle C, coefficient de Ce : 2g C= [C] = m 1/2.T -1 C +C' b χ f f lors : U=C RHi

Formule de CHEZY U=C RHi En général C f.b/χ << C f 30 < C < 100 (MKS) C f grand frottement grand C petit 2g C= C f C f grand frottement petit C grand Débitance d un canal U=C RHi =U.S=S.C R i H = ( S.C R ) i Par définition la débitance K d un canal est : K = S.C. R H lors : = K. i K dépend de la géométrie par S et RH et par la nature des parois par Cf K ne dépend pas de la profondeur d eau!!! H u() Coefficient de frottement En général Re est grand régime turbulent rugueux C f = Cte Profil externe : U = α Profil logartmique : U = a.ln + b a 1/κ 2,5; b 5 Sous couce visqueuse, Profil linéaire : U =.τ paroi /μ ain, Manning, Dans la littérature les formules empiriques abondent 87 Formule de ain C= γ caractérise la nature des 1+ γ R parois (cf table) Formule de Manning (Strickler) η ou K s caractérise la nature des parois (cf table) H 1 C= R =K R η 1/6 1/6 H

l = 4m erge revétu de béton Pente de fond : i = 0,3m/km = 1,6 m Exemple : canal trapéoïdal Calculer la débitance du canal, la vitesse et le débit pour un écoulement uniforme S = χ = R H = ain : γ = 0,16 C = K = = U = l 45 Tracer la courbe de tarage () de ce canal m3/s Exemple : canal trapéoïdal 40,00 35,00 30,00 25,00 20,00 15,00 10,00 5,00 0,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 (m) Ecoulement graduellement varié Hpotèses : les lignes de courant sont rectilignes (localement) la auteur d eau n est pas constante répartition drostatique de la pression dans une section les profils de vitesse sont identique à ceux de l écoulement uniforme U P() θ x U Ligne de carge Ligne de carge, ligne d eau, U 2 /2g (x) (x) j P atm = 0 d/dx =? θ = i En x la carge est définie par : H = p/ρg + + U 2 /2g = (x) + (x) + U 2 /2g

Carge Spécifique La cote du fond étant donnée, il est plus simple d étudier la carge comptée à partir du fond, c est ce qu on appelle la carge spécifique : H = + = (x) + U 2 /2g = (x) + 2 /(2gS 2 ) Ep d /d = 1 + d( 2 /(2gS 2 ) )/d = 1-2 /(gs 3 ) ds/d = 1 - Fr 2 Ec Carge Spécifique d /d = 0 = 1 + 2 /(gs 3 )ds/d L =[ 2 /(gl 2 )] 1/3 = m S ( ) = 3. /2 m = S/L ds = L.d 2 L/(gS 3 ) = U 2 /g = Fr 2 = 1 () atteint un minimum pour = est appelée auteur critique Fonction du débit, de la section = (x) + 2 /(2gS 2 ) L n n Exemple : Passage d un seuil n + f = H 0 = Cte f C Régime fluvial : diminue Régime torrentiel : augmente D C D

= 3 /2 Fonction du débit, de la section = (x) + 2 /(2gS 2 ) = S.[2.g.( - (x))] 1/2 Régime fluvial Régime torrentiel Pour une section donnée, le débit est maximum pour = max Ligne de carge U 2 /2g U (x) (x) Pente de fond : i = - d/dx Perte de carge : j = - dh/dx ligne d eau j i H = + p/ρg + U 2 /2g = (x) + (x) + U 2 /2g On à donc entre 2 sections : dh/dx = d/dx + d/dx + d(u 2 /2g)/dx -j = -i + dhs/dx Or d /dx = d /d. d/dx = (1 - Fr 2 ).d/dx d/dx = (i - j)/(1 - Fr 2 ) ligne d eau d/dx = (i - j)/(1 - Fr 2 ) Profil de vitesse identique à ceux de l écoulement uniforme j = 2 /(S 2.C 2.R H ) = 2 /(S 2.K s2.r 4/3 H ) S d/dx = (i - 2 /(S 2.K s2.r H 4/3 ))/(1 - Fr 2 ) Pour la section rectangulaire : d/dx = (i - 2 /(L 2. 2.K s2. 4/3 ))/(1 - Fr 2 ) Équation différentielle en L S Profondeur normale, pente critique, d/dx = (i - j)/(1 - Fr 2 ) Si =cte = n d/dx = 0 i = j ( n est la profondeur normale) Pente critique i c : i tel que = i c = 2 /(S 2.K s2.r 4/3 H ) Fr 2 = 1 = 2 L/(gS 3 ) i < ic ( n > ) : canal de pente faible Ligne de carge U (x) i on retrouve le cas de l écoulement uniforme i = 2 /(S 2.K s2.r H 4/3 ) i > ic ( n < ) : canal de pente forte i c = gs/(l.k s2.r H 4/3 ) Ligne de carge U (x) i

Cas fluvial Ligne de carge U U (x) (x) Ligne de carge (x) j j i ligne d eau d/dx = (i - j)/(1 - Fr 2 ) Il faut traiter les cas Fr < 1 et Fr > 1 Cas fluvial et torrentiel Mais aussi i < j et i > j Cas torrentiel Ligne de carge j U (x) i (x) Ligne de carge U (x) j (x) i (x) i ligne d eau : canal de faible pente d/dx = (i - j)/(1 - Fr 2 ) 0 n i - j - - 0 + i 1 - F 2-0 + + 1 d/dx + - 0 + i n > M 3 M 2 M 1 n θ = i ligne d eau : canal de faible pente Exemples θ = i M 2 n M 1 n M 3 S 2 n θ = i ligne d eau : canal de forte pente d/dx = (i - j)/(1 - Fr 2 ) 0 n n < i - j - 0 + + i 1 - F 2 - - 0 + 1 d/dx + 0 - + i S 2 S 1 S 3 n θ = i

ligne d eau : canal de forte pente Exemples S 3 n S 2 θ = i S 1 n θ = i Le ressaut Le régime fluvial ou torrentiel ne dépend que d une seule condition à la limite (éq. diff. Du 1er ordre). Si au 2 extrémités d un canal les conditions sont incompatibles alors il aura un cangement de régime. Le ressaut : passage fluvial torrentiel Exemple : cas d un cangement de pente c n M 2 S 2 n La profondeur (x) diminue. L écoulement étant convergent, il n à pas de perte de carge. Le ressaut : passage torrentiel fluvial ΔH n La profondeur (x) augmente. L écoulement diverge, apparition d une très grande de perte de carge. Le ressaut est un écoulement très fortement varié M 3 n

Equation du ressaut n M 3 n S 1 S 2 pplication de la conservation de la quantité de mouvement entre les sections S1 et S2 forces de pesanteur négligeables potèse de fluide parfait (frottements au fond négligés) Equation du ressaut n n M 3 S 1 S 2 ρ../s 2 - ρ../s 1 = ρ.g. 1.S 1 /2 - ρ.g. 2.S 2 /2 pour une section rectangulaire S = L. 2 /g.l 2 ( 2-1 1-1 ) = 0,5.( 1 2 ) près calcul, en notant que 3 = 2 /g.l 2 : Perte de carge du ressaut n M 3 n S 1 S 2 pplication de la conservation de l énergie (relation de bernoulli) entre les sections S1 et S2 forces de pesanteur négligeables prise en compte d une perte de carge singulière pas de perte de carge régulière pente de fond négligeable entre S 1 et S 2 Perte de carge du ressaut n n M 3 S 1 S 2 ρ.g. 1 + 0,5.ρ.(/S 1 ) 2 = ρ.g. 2 + 0,5.ρ.(/S 2 ) 2 + ΔH pour une section rectangulaire S = L. ΔH = ( 1 2 ).[1 ( 2 /2.g.L 2 ).( 2 + 1 ).( 1. 2 ) -2 ] près calcul, en notant que 2.3 = 1. 2.( 1 + 2 ):

Conjuguée de la torrentielle Localisation du ressaut Le ressaut se fixe de telle sorte que 1 (amont) et 2 (aval) soient conjuguées, c.a.d. qu ils vérifient tous les deux l équation du ressaut. Si on suppose que le ressaut a une longueur nulle (idéal), alors il se place à l intersection de : - la courbe fluviale et de la conjuguée torrentielle - la courbe torrentielle et de la conjuguée fluviale n M 3 n Conjuguée de la fluviale S 1 S 2 Le ressaut le jet du robinet dans l'évier divergent: le débit par u. de largeur diminue Transition réservoir canal S 2 n = 3 /2 n Régime fluvial Régime torrentiel max Régime permanent C Transition réservoir canal n M 1 M 2 n

Francissement d un ouvrage : section contractée En régime fluvial - abaissement de la ligne d eau entre et - accélération - érosion! En régime torentiel - élèvation de la ligne d eau entre et Section contractée Section naturelle Francissement d un ouvrage : section contractée C Il faut prendre en carge les pertes de carge singulières D u niveau du convergent : (en C) u niveau du divergent : (en D) ( Vcon Vam ) Δ Hconvergent = Kcon Kcon 0 2g ( Vcon Vav ) Section contractée Δ Hdivergent = Kdiv Kdiv 1 2g 2 Section naturelle 2 Francissement d un ouvrage : section contractée, endiguement Tracer les position relative de n et c c Placer les points,, C, D sur le grape Hs, et tracer les lignes de remous C C n Section naturelle Francissement d un ouvrage : section contractée, étranglement C c C M 3 D D n Section naturelle

H Les seuils ou déversoir Les seuils servent à mesurer ou à réguler le débit ou encore à contrôler les niveaux d eau Canal = = 2/3 H Le débit dépend de l excès de auteur par rapport au niveau du seuil H assin En régime dénoé : Les seuils ou déversoir = gc α c 2 c = H 3 H = = 2/3 H En régime noé : ΔH 2 V ( ) = K amont aval 2 g noé 1 = K 2 g α ( ) amont aval ( noé amont ) seuil 2 H En régime dénoé : En régime noé : Les seuils ou déversoir ( ) ( amont seuil ) = K L 2 g dénoé s s amont seuil Ks = 0, 4 + 0,05 L = L 0, 2 s seuil ( ) amont seuil Pour un déversoir triangulaire à 90 : = 2,50( ) 2,5 dénoé amont seuil 3 2 ( )( ) 1 2 = K L 2g s s noé amont seuil amont aval Les seuils ou déversoir n 1 - Calculer la auteur de seuil maximal Z fmax en dessous de laquelle on retrouvera un écoulement fluvial à la sortie du seuil. 2 - ue se passe t il si Z fmax est supérieur à H 0 - Hs(c)? montrer que l écoulement passe d un régime fluvial à un régime torrentiel en dérivant 2 fois H 0 par rapport à x. 3 - Le canal précédent rencontre un seuil de auteur 0,5 m. Calculer la auteur 0 nécessaire à l amont pour que l écoulement francissent le seuil ainsi que la auteur 1 à la sortie du seuil. 4 - La pente du canal étant identique à l amont et à l aval l écoulement va donc retrouver la auteur n = 2 m. Pour cela un ressaut draulique va apparaître en aval du ressaut. Faire un scéma représentant la ligne d eau de cet écoulement au passage du seuil et du ressaut. 5 - Calculer la perte de carge au passage du ressaut.