y i = αx i + β + u i,

I.1 ) TD1 L3 Econométrie Rappel : L estimateur ˆα (resp. ˆβ)estaussinotéa (resp. b). 160 150 consommation Y 140 130 10 (x i, ŷ i ) e i 110 100 110 10 130 140 150 160 170 180 )a). Sous forme exacte y i = αx i + β. b) Sous forme aléatoire revenu X y i = αx i + β + u i, où u i est une famille de variables aléatoire vérifiant E(u i )=0et (u i ) i n deux à deux indépendantes, et la variance V (u i ) est une constante qui ne dépend pas de i. c) On cherche à minimiser le résidu mais il n est pas nul i.e. les points ne sont apriorijamaissurladroite. 3 ) On calcule les moyennes empiriques x = 1 n i=1 x i = 145 et ȳ = 1 n n i=1 y i =17. Par définition, l estimateur de α est i=1 ˆα = (y i ȳ)(x i x) i=1 (x =0.861. i x) On retrouve l ordonnée à l origine ˆβ en écrivant que la moyenne ( x, ȳ) est sur la droite de régression : ˆβ =ȳ α x =.188. 1

Les résidus entre les observations y i et la prédiction ŷ i s écrivent e i =ŷ i y i. SCR = n e i =115.685 i=1 4 ) (ˆα, ˆβ) sont des estimateurs de α, β. Lesvaleurse i sont des instances des variables aléatoires u i.d unecertainemanièree i est un estimateur de u i. 5 ) α est le taux marginal de substitution. Pour obtenir l élasticité il faut se ramener à des pourcentages, dx/x dy/y = αx i y i =0.98 6 ) On a calculé la somme des carrés des résidus (SCR) et on obtient donc ˆσ u = i=1 e i n = 115.685 =11.568. 10 Puis σ ˆα = ˆσ u i=1 (x i x) =0.004 et σ ˆβ = x ˆσ a + ˆσ u n =51.347 7 ) On teste si α et β sont significativement non nuls. On sait que T = ˆα α ˆσ α suit une loi de Student St(n ). Pour effectuer le test { H 0 : α =0, H 1 : α 0 on construit t obs = ˆα 0 ˆσ α =17.59. Pour p = 0.05 on lit dans la table t p =.8. Larégiond acceptation (R.ACC) est [.8,.8]. Finalementt obs R.ACC, donc on rejette H 0 et on conclut que H 1 est significativement vraie. Le test pour β est le même, t obs = ˆβ σ ˆβ =0.97 R.ACC donc la valeur de ˆβ n est pas significative. Remarque : la relation linéaire entre x et y est significative si α est significativement non nul. 8 ) Avec la même valeur de t p que pour la question précédente on construit IC(α) =[ˆα ± t p σˆα] = [0.75, 0.97] IC(β) =[ˆβ ± t p σ ˆβ] =[ 13.83, 18.09].

9 ) Par définition R = R = R = cov(x,y ) V (X)V (Y ).Laformuledecalculusuelest i=1 x iy i n xȳ) i=1 x i n x ) i=1 y i nȳ ) =0.9687 Remarque : pour établir cette égalité on utilise i=1 (x i x) = i=1 x i ) n x, formule à comparer avec l égalité V (X) =E(X ) E(X).Onaégalement i=1 (x i x)(y i ȳ) = i=1 x iy i ) n xȳ. 10 ) II.A. ŷ =0.86x +.13 R =0.97 (1) : 51.3 500 450 surface Y (cm ) 400 350 300 e i 50 00 150 00 50 300 350 prix X (euros) On calcule pour les estimateurs des coefficients des deux régressions ˆα = 1.1, ˆβ =51.08 et pour la relation inverse, ˆα =0.8147 et β = 37.845. II.B. 1 ) La formule de calcul donne R = R = 0.985.Onpeutaussivérifier i=1 x iy i n xȳ) i=1 x i n x )( = n i=1 y i nȳ ) R =ˆαˆα =1.1 0.8147. 3

) Il faut calculer σu,l estimateurdelavariancedeu.vuqu onadéjàcalculé R on peut utiliser l égalité ( n n ) ˆσ u = i=1 e i n = 1 R yi n nȳ =88.81. On en déduit les variance des estimateurs de α et β, σ ˆα =0.0044 et σˆβ =69.39. On construit les tests à partir de la variable T T = ˆα α St(n ) σˆα { H 0 : α =0 H 1 : α 0, t obs = ˆαˆσ α =408.065 On lit dans la table t p =.365,larégiond acceptationdeh 0 est i=1 [ t p,tp ]=[.365,.365] t obs, donc on peut rejeter H 0, α est significativement non nul. 3 ) On construit à partir de R la variable F F = R /1 F(1,n ). (1 R )/(n ) Ici F obs =33.48.Onlitpourn =7et p =0.05,lavaleurcritiquet p =6.61 donc F obs t p la régression est bonne dans son ensemble. Remarque : le test de Student pour α et β est bilatéral, le test de Fisher pour R est unilatéral. 4 ) On prédit à partir des estimations de α et β 0.81 510 37.84 = 377.65 euros 5 ) De même à partir de ˆα et ˆβ, 1. 400 + 51 = 534.8 cm. 4

III. 1 ) 550 500 Nombre de salariés Y 450 400 350 300 (x i, ŷ i ) ei 50 600 700 800 900 1000 1100 100 1300 1400 Chiffre d affaires X ) On trouve a =ˆα =0.31 et b = ˆβ =98.68. 3 ) ˆσ u = n i=1 e i =389.47, n i=1 x iy i n xȳ) R = i=1 x i n x )( =0.937, n i=1 y i nȳ ) σˆα = ˆσ u n =7.3 10 3. i=1 (x i x) 4 ) Ce test vérifie que α est significativement non nul. On teste ainsi l existence d une relation linéaire entre x et y. On construit t obs = ˆαˆσ α =11.54. Lavaleurcritiquepourn =11observations est t p =.6,donct obs [ t p ] et α est significativement non nul.,tp 5 ) 0.31 177 + 98.68 = 65.031.Onprédit65031 salariés. 6 ) On utilise les intervalles de confiance de α et β à p =0.05. Onreprend dans la table de Student le même t p que pour le 4 ) et on obtient les intervalles En réutilisant ces intervalles il vient IC(α) =[ˆα ± t p σˆα] = [0.5, 0.37] IC(β) =[ˆβ ± t p σ ˆβ] = [40.8, 156.5]. IC(α) 177 + IC(β) = [485.79, 818.7]. Donc la valeur fournie ne contredit pas le modèle, elle est dans l intervalle de confiance. 5

IV. 1 ) On retrouve dans le tableau ˆα = 0.0589, ˆβ = 36.4, SCT = 1150, SCE =97.3 et SCR =177.7.OnpeutvérifierSCT= SCE+SCR. Par définition { H 0 : α =0 R = SCE SCT =1 SCR SCT =0.8455. ), t obs = ˆαˆσ H 1 : α 0 α =5.3 La valeur critique pour n =7observations est t p =.571, donct obs [ t p ] et α est significativement non nul.,tp On peut commenter que t obs n est pas très loin de la région d acceptation. 3 ) On construit à partir de R la variable F F = R /1 F(1,n ). (1 R )/(n ) On obtient F obs = 7.36. Onlitpourn = 7 et p = 0.05, lavaleurcritique t p =6.61 donc F obs t p la régression est bonne dans son ensemble. En fait il y aplusieursvaleursdei pour une même valeur de V dans le tableau, on pouvait s attendre à ce que la régression soit mauvaise. 80 75 70 Ventes V 65 60 55 50 (x i, ŷ i ) e i 45 40 100 00 300 400 500 600 700 Investissement I 6