BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE Blanc CORRIGÉ Série S.T.I.D Mardi 3 février 016 Épreuve de mathématiques Durée heures Coefficient Le candidat traitera obligatoirement les quatre exercices ****** Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. L'utilisation des calculatrices électroniques, programmables, alphanumériques ou à écran graphique est autorisée, à condition que leur fonctionnement soit autonome et qu'il ne soit fait usage d'aucune imprimante. Chaque candidat ne peut utiliser qu'une seule machine sur sa table. En cas de défaillance, elle pourra cependant être remplacée. Les échanges de machines entre candidats, la consultation des notices fournies par les constructeurs ainsi que l'échange d'informations par l'intermédiaire des fonctions de transmission des calculatrices sont interdits (circulaire n 99-186 du 16 novembre 1999). Ce corrigé comporte 6 pages page 1 sur 6
Exercice 1 : (7 points) Nouvelle Calédonie novembre 013 PARTIE A : f est une fonction définie et dérivable sur l intervalle ]0 ; + [. f désigne la fonction dérivée de f. c est la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormal. t est la tangente à c au point de coordonnées (1 ; 1). t passe par le point de coordonnées (0 ; 1). 1.Par lecture graphique : a. Déterminer f (1). f (1) = 1 b. Déterminer f (1). C'est le coefficient directeur de la tangente, donc f ' (1) =. c. Donner une équation de t. Son ordonnées à l'origine est 1, t a donc pour équation y = x + 1..On sait que f (x) est de la forme f (x) = ln x + a x + b où a et b sont des nombres réels. a. Calculer f (x). f ' (x) = x a x. b. Déterminer alors les valeurs de a et b. On sait que f ' (1) = = 1 a 1 a, d'où a =. f (1) = ln 1 + a 1 + b = a + b = + b = 1 donc b = 5. PARTIE B : Soit la fonction f définie et dérivable sur ]0 ; + [ par 1.a. Déterminer lim f ( x). f (x) = ln x + x 5. page sur 6
lim ln x = + ; lim x b. On admet que lim x 0 = 0 et lim 5 = 5 donc lim f ( x) = +. f ( x) = +. Que peut-on en déduire graphiquement? On peut en déduire que c admet la droite d'équation x = 0 (l'axe des ordonnées) comme asymptote verticale..a. Pour tout nombre réel x appartenant à ]0 ; + [, vérifier que f ' (x) = x a x = x x = x x. b. Étudier le signe de f (x) sur ]0 ; + [. f ' (x) = x x f ' est du signe x : x > 0 x >. Donc f ' est négative sur ]0 ; [ et positive sur [ ; + [. 3.Établir le tableau de variations de f sur ]0 ; + [. f () = ln + / 5 = ln 3. x 0 + f ' (x) 0 + f (x) + ln 3 +. En précisant votre démarche, donner le nombre de solution(s) de l équation f (x) = 0, pour x appartenant à ]0 ; + [. ln 3 1,61 < 0. D'après le tableau de variation ou la calculatrice, la courbe coupe fois l'axe des abscisses, l équation f (x) = 0 a donc solutions. 5.a. Donner le signe de f (x) pour x appartenant à [1 ; 3]. f (1) = 5 = 1 et f (3) 1,3, donc f (x) est négative sur [1 ; 3]. b. Démontrer que la fonction F définie pour x appartenant à ]0 ; + [ par F (x) = (x + ) ln x 7x est une primitive de f. F (x) = u (x)v (x) 7x avec u (x) = x + et v (x) = ln x, donc u' (x) = et v' (x) = 1 x. Donc F' (x) = u'v + uv' 7 = ln x + x+ x Donc F est une primitive de f. 7 = ln x + + x 7 = ln x + x 5 = f (x). page 3 sur 6
Exercice : (5 points) Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chacune des questions suivantes, une seule réponse est correcte. Inscrivez sur votre copie le numéro de la question et la lettre (a, b, c ou d) correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n est demandée. Chaque bonne réponse rapporte un point. Une absence de réponse ou une mauvaise réponse n enlève ni ne rapporte aucun point. 1. a. ;. c. ; 3. c. ;. c. ; 5. a. 11 1. ( 3) k est égale à : k=0 a. 13 860 b. 65 70 c. 87 d. 6 1.f est la fonction définie sur R par f (x) = a. f ' (x) = 1 x (x +5) b. f ' (x) = 3 (x +5). La dérivée de f est donnée par : 1 x (x +5) 3 c. f ' (x) = 3.Soit une fonction définie sur [0 ; 1[. On sait que lim x 1 ϕ(x ) = +. 1 x (x +5) 3. a. est obligatoirement b. peut être décroissante c. ne peut être croissante sur [0 ; 1[ sur [0 ; 1[ décroissante sur [0 ; 1[.f est la fonction définie sur ] ; [ par f (x) = a. F (x) = 3 ( x ) b. G (x) = 5.Une primitive de la fonction f définie sur [1 ; + [ par f (x) = a. F (x) = ln(6x + x ) b. G (x) = 3 x (x ) 3. Une primitive de f est : 3 ( x ) c. H (x) = 6 x+ 3x + x 1 est : 3 ( x ) 6 x ( 3 x c. H (x) = ln(6x + ) + x 1) page sur 6
Exercice 3 : ( points) Exo 3 métropole 1 septembre 013 suites avec algo Depuis 000, l Union Européenne cherche à diminuer les émissions de polluants (hydrocarbures et oxydes d azote) sur les moteurs diesel des véhicules roulants. En 000, la norme tolérée était fixée à 635 milligrammes par kilomètre en conduite normalisée. L objectif de l Union Européenne est d atteindre une émission de polluants inférieure à 100 milligrammes par kilomètre. La norme est réactualisée chaque année à la baisse et depuis 000, sa baisse est de 11,7 % par an. 1. a. Justifier que la norme tolérée était d environ 561 milligrammes par kilomètre en 001. Baisser de 11,7 % revient à multiplier par 1 0,117 = 0,883. 635 0,883 = 560,705 561. b. Un véhicule émettait 500 milligrammes par kilomètre en 00. Indiquer, en justifiant, s il respectait ou non la norme tolérée cette année-là. La norme en 00 était de 561 0,883 = 95,363 ou 635 0,883 = 95,1 96. Le véhicule ne respectait donc pas la norme.. Dans le cadre d une recherche, Louise veut déterminer à partir de quelle année l Union Européenne atteindra son objectif. Louise a amorcé l algorithme suivant : Variables n : un nombre entier naturel p : un nombre réel Initialisation Affecter à n la valeur 0 Affecter à p la valeur 635 Traitement Tant que...... Affecter à n la valeur n + 1 Affecter à p la valeur 0,883 p Fin Tant que Sortie Afficher...... a. Expliquer l instruction «Affecter à p la valeur 0,883 p». Comme on l'a expliqué au 1. a., baisser de 11,7 % revient à multiplier par 1 0,117 = 0,883. b. Deux lignes de l algorithme comportent des pointillés. Recopier ces lignes et les compléter afin de permettre à Louise de déterminer l année recherchée. Tant que p > 100 Afficher n + 000. 3. Pour tout entier naturel n, on note u n la norme tolérée, exprimée en milligrammes l année (000 + n). On a ainsi u 0 = 635. a. Établir que la suite (u n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison. Pour passer du terme au suivant, on doit multiplier par 0,883, il s'agit donc bien d'une suite géométrique de raison q = 0,883. b. Pour tout entier naturel n, exprimer u n en fonction de n. u n = u 0 q n = 635 0,883 n.. Déterminer à partir de quelle année l Union Européenne atteindra son objectif. On cherche n tel que 635 0,883 n < 100, c'est-à-dire 0,883 n < 100/635 ln (0,883 n ) < ln (100/635) n ln (0,883) < ln (100/635) n > ln (100/635)/ln (0,883) n > 1,85 C'est donc au bout de la 15ème année que l'objectif sera atteint. page 5 sur 6
Exercice ( points) Complexes : Nouvelle-Calédonie 7 mars 01 ex 1 On note i le nombre complexe de module 1 et d argument π. On considère les nombres complexes z 1, z et z 3 définis par : 1.Déterminer l écriture exponentielle de z 1. z 1 = 1 + 3 = = Soit = arg (z 1 ), alors cos = Donc z 1 = e i π 3..Déterminer l écriture algébrique de z. z = cos ( π ) +i sin ( π ) = i. 3.Démontrer que z 1 z = z 3. z 1 =1+i 3, z =e i π, z 3 =e i π 1. z 1 z = e i π 3 e i π = ei ( π 3 π ) = e i π 1 = z 3. a z 1 = 0,5. Comme b = 3 > 0, alors = π 3..En déduire l écriture algébrique de z 3. z 3 = z 1 z = (1+i 3) ( i ) 5.En déduire que cos ( π 1 ) = + 6 Donc z 3 = e i π que sin ( π 1 ) = + 6 = i +i 6 + 6 et que sin ( π 1 ) = + 6. 1 = cos ( π 1 ) +isin ( π 1 ) = + 6. +i + 6 = + 6 +i + 6.. On en déduit que cos ( π 1 ) = + 6 et page 6 sur 6