DS N 2 - MP 1 & 2 - Durée : 4 h

DS N 2 - MP 1 & 2 - Durée : 4 h Mercredi 8 octobre 2014 Ce devoir comporte 12 pages et trois parties totalement indépendantes. Un soin particulier devra être apporté à la justication des armations ou des raisonnements utilisés. Les applications numériques devront obligatoirement correspondre à un résultat décimale accompagné d'une unité correcte (sauf pour une grandeur adimensionnée autre qu'un angle). Par exemple : Pour une longueur, L = 3, 33.10 3 m est un résultat acceptable mais L = 1 3 cm ne l'est pas. Pour la vitesse du son dans l'air, c = 340 m.s 1 est un résultat acceptable mais c = 340 m ne l'est pas. On prendra garde à fournir un nombre de chires signicatifs cohérent avec les données de l'énoncé. 1

1 Mesure du rayon de courbure d'une lentille CCP - MP - 2013 - Physique 2 - Extrait adapté Pour caractériser une lentille mince correctrice, un opticien lunetier utilise le dispositif de la gure 1 dit des anneaux de Newton. Figure 1 dispositif des anneaux de Newton (la gure n'est pas à l'échelle) Un collimateur fournit, à l'aide d'une source ponctuelle S située au foyer principal objet d'une lentille convergente de centre O C, un faisceau de lumière parallèle, monochromatique de longueur d'onde dans le vide λ 0. Ce faisceau tombe sur une lame semi-réechissante (LS) d'épaisseur négligeable, centrée en O et inclinée à 45 sur l'axe du collimateur (yy ). Une partie du faisceau se rééchit parallèlement à l'axe (xx ), axe du système centré formé de la lentille plan convexe étudiée (L L ) et de la face plane de la lame rééchissante (LR) qui sont en contact ponctuel au point S L. Ainsi, l'intervalle situé entre la face sphérique de rayon R C de centre C de (L L ) et la face plane rééchissante de (LR) forme une lame d'air d'épaisseur e qui varie en fonction de la distance r à l'axe du système (gure 2). 1. L'onde plane tombant sur la lentille (L L ) (rayon (0)) se divise en deux ondes de même amplitude à l'interface verre-air au point P. La première onde est rééchie à l'interface verre-air (rayon (1)) tandis que la seconde est totalement rééchie en J sur (LR) (rayon (2)). Les deux ondes interfèrent au point P. La gure d'interférences localisée au voisinage de la lentille est visualisée sur l'écran à l'aide de la lentille convergente de projection 2

Figure 2 Marche d'un rayon lumineux (0) rééchi soit en P par la face sphérique de (L L )(rayon (1)) soit en J par la surface plane de (LR) (rayon (2)). (L P ) de centre O P qui forme l'image de la lentille sur l'écran (E) placé perpendiculairement à l'axe (xx ) au point O P (gure 1). (a) Donner l'expression de l'épaisseur e de la lame d'air en fonction de r et R C. On se place pour la suite dans le cas où le rayon de courbure de la lentille est très grand devant le diamètre de celle-ci. (b) Montrer que l'épaisseur peut se mettre sous la forme : e α r2 R C où α est une constante quel l'on précisera. (c) Donner au point P l'expression de la diérence de chemin optique géométrique L = L 2 L 1 entre les rayons (2) et (1) en fonction de r et R C. (d) La théorie électromagnétique montre que lorsque l'indice du milieu sur lequel on se rééchit est plus grand que l'indice du milieu dans lequel se propage l'onde incidente, le coecient de réexion est négatif, c'est à dire qu'il y a un déphasage de π qui se produit juste au moment de la réexion. 3

Ce déphasage est nul si le milieu sur lequel on se rééchit est d'indice inférieur. Indiquer le(s) rayon(s) qui se déphase(nt) de π au moment de la réexion. (e) En tenant compte des déphasages introduits lors des diérentes réexions, donner l'expression de la diérence de phase Φ = Φ 2 Φ 1 entre les deux ondes qui interfèrent au point P. (f) En supposant que l'intensité I 0 de l'onde incidente se répartie à part égale entre les rayons (1) et (2), en déduire l'expression de l'intensité lumineuse au point P, en fonction de r, R C, λ 0 et de I 0. Justier l'aspect de la gure d'interférence observée sur l'écran (E) (gure 3). (g) Pour quelles valeurs de r, observe-t-on des franges sombres? 2. La gure d'interférence, localisée dans la zone très mince comprise entre (L L ) et (LR), est projetée sur l'écran (E) par l'intermédiaire de la lentille (L P ) de distance focale image f pi = +10 cm. On donne O P S L = 15 cm. La photographie de la gure d'interférence observée sur l'écran est donnée gure 3 alors que l'on opère avec une lumière monochromatique de longueur d'onde λ 0 = 546, 074 nm. Figure 3 photographie de la gure d'interférence On rappelle que si deux points A et A' disposés sur l'axe d'une lentille de centre O 4

et de distance focale f sont conjugués par cette lentille, alors : 1 OA' 1 OA = 1 f (a) Calculer la distance O P O E à laquelle on doit positionner l'écran par rapport à la lentille de projection. (b) Calculer le grandissement transversal G tp du système de projection. (c) Calculer à partir des informations fournies par la photographie de la gure 3 le rayon R C de la lentille (L L ). Fin de la première partie 5

2 Fibre optique à saut d'indice Mines Ponts - PC - 2011 - Physique 2 - Extrait adapté Une bre optique à saut d'indice, représentée sur la gure 4 est d'un c ur cylindrique en verre d'axe (Ox), de diamètre 2a et d'indice n entoure d'une gaine optique d'indice n 1 légèrement inférieur à n. Les deux milieux sont supposés homogènes, isotropes et transparents. Un rayon situé dans le plan (Oxy) entre dans la bre au point O avec un angle d'incidence θ. An de ne pas confondre l'angle i d'incidence sur la gaine avec le nombre complexe imaginaire pur de module 1, on notera ce dernier j tel que j 2 = 1. Quelques constantes sont données à la n de cette partie. Les rayons lumineux sont supposés issus d'une radiation monochromatique de fréquence f, de pulsation ω et de longueur d'onde λ dans le milieu constituant le c ur. Figure 4 Fibre optique en coupe 1. Rappeler rapidement en quoi consiste le phénomène de réexion totale. 2. Les diérents angles utiles sont représentés sur la gure 4. À quelle condition sur i, angle d'incidence à l'interface c ur/gaine, le rayon reste-t-il conné à l'intérieur du c ur? On note i l l'angle d'incidence limite. 3. Montrer que la condition précédente est vériée si l'angle d'incidence θ est inférieur à un angle limite θ l. Donner l'expression de l'ouverture numérique ON = sin θ l de la bre en fonction de n et n 1 uniquement. 4. Donner la valeur numérique de ON pour n = 1, 50 et n 1 = 1, 47. On considère une bre optique de longueur L. Le rayon entre dans la bre avec un angle d'incidence θ variable compris entre 0 et θ l. On note c la vitesse de la lumière dans le vide. 6

5. Pour quelle valeur de l'angle θ, le temps de parcours de la lumière dans la bre est-il minimal? maximal? Exprimer alors l'intervalle de temps δt entre le temps de parcours minimal et maximal en fonction de L, c, n et n 1. 6. On pose 2 = 1 ( ) n 1 2 n. On admet que pour les bres optiques 1. Montrer que, dans ce cas, on a : δt = nl c On conservera cette expression de δt pour la suite de cette deuxième partie. Figure 5 Impulsion lumineuse On injecte à l'entrée de la bre une impulsion lumineuse d'une durée caractéristique t 0 = t 2 t 1 formée par un faisceau de rayons ayant un angle d'incidence compris entre 0 et θ l. La gure 5 représente l'allure de l'amplitude A du signal lumineux en fonction du temps t. 7. Reproduire la gure 5 en ajoutant à la suite l'allure du signal lumineux à la sortie de la bre. Quelle est la durée caractéristique t 0 de l'impulsion lumineuse en sortie de bre? Le codage binaire de l'information consiste à envoyer des impulsions lumineuses (appelées bits ) périodiquement avec une fréquence d'émission F. 8. En supposant t 0 négligeable devant δt, quelle condition portant sur la fréquence d'émission F exprime le non-recouvrement des impulsions à la sortie de la bre optique? Pour une fréquence F donnée, on dénit la longueur maximale L max de la bre optique permettant d'éviter le phénomène de recouvrement des impulsions. On appelle bande passante de la bre le produit B = L max F. 9. Exprimer la bande passante B en fonction de c, n et. 7

10. Calculer la valeur numérique de et de la bande passante B (exprimée en MHz km) avec les valeurs de n et n 1 données dans la question 4. Pour un débit d'information de F = 100 Mbits.s 1 = 100 MHz, quelle longueur maximale de bre optique peut-on utiliser pour transmettre le signal? Commenter la valeur de L max obtenue. Fin de la deuxième partie 8

O Ressort x eq x eq + ξ(t) Masse m x Figure 6 Oscillations non amorties 3 Oscillations libres et forcées On dispose d'une masse m = 50 g et d'un ressort à spires non jointives. La masse du ressort est négligeable, sa constante de raideur est k = 12, 5 N.m 1 et sa longueur à vide l 0 = 30 cm. La masse est constituée par un cylindre homgène en laiton de hauteur h = 2 cm et de rayon R = 1 cm. L'accélération de la pesanteur a pour intensité g = 10 m.s 2. Le référentiel d'étude est celui du laboratoire et est supposé galiléen. 1. Le ressort est accroché par son extrémité supérieure O à un point xe. La masse est suspendue à l'autre extrémité du ressort (gure 6). (a) Déterminer leq, la longueur du ressort à l'équilibre. AN. (b) En déduire l'abscisse xeq du centre de masse du cylindre à l'équilibre. AN. (c) Déterminer l'équation diérentielle qui régit le déplacement ξ(t) du cylindre par rapport à sa position d'équilibre. Un dispositif non représenté permet d'enregistrer les variations de ξ en fonction du temps. La gure 7 fournit trois courbes obtenues pour diverses conditions initiales. (d) Ces courbes sont-elles en accord avec le mouvement attendu? (e) Préciser avec le minimum de calcul, les conditions initiales (à t = 0) pour les trois cas envisagés. 2. An d'étudier l'inuence d'un frottement uide, la masse est plongée dans un liquide visqueux de masse volumique µ = 1130 kg.m 3. La masse est constamment immergée. 9

Courbe 3 Courbe 2 Courbe 1 4 2 ξ (cm) 0 2 4 0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 t (s) Figure 7 Enregistrements des oscillations non amorties Le liquide visqueux exerce sur la masse une force de frottement, proportionnelle à la vitesse de la masse (gure 8). O x eq x eq + ξ(t) x Figure 8 Oscillations amorties (a) Déterminer la nouvelle valeur de la position x eq d'équilibre. 10

On montre que l'équation diérentielle du mouvement est donnée par : m d2 ξ dt 2 + β dξ dt + kξ = 0 (b) On souhaite obtenir un régime pseudo-périodique. Comment faut-il choisir β? On suppose qu'on écarte la masse de "A" par rapport à la position d'équilibre et qu'on la lâche sans vitesse initiale. La solution ξ(t) est de la forme : ξ(t) = A exp ( λt) [cos ωt + b sin ωt] (c) Donner l'expression de la pseudo-période T et de λ en fonction de β, m et k ω 0 = m. On enregistre le mouvement de la masse avec le même système que précédemment. On obtient ainsi le portrait de phase de la gure 9. dξ dt (cm.s 1 ) 60 40 20 0 20 40 60 6 4 2 0 ξ (cm) 2 4 6 Figure 9 Portrait de phase des oscillations amorties (d) Déterminer le décrément logarithmique δ à partir du portrait de phase et en déduire la valeur de β. On rappelle que : δ = 1 n ln ξ(t) ξ(t + nt ) 3. Oscillations forcées, analogie électromécanique. Pour étudier le régime sinusoïdal forcé du système masse ressort précédent, on peut forcer le mouvement de l'extrémité O à l'aide d'un système bielle manivelle. 11

(a) Montrer que si le mouvement de O correspond à : x O (t) = a cos ωt alors le mouvement de la masse est régit par l'équation diérentielle : Pour la suite, on prendra β = 0, 5 S.I. m d2 ξ dt 2 + β dξ + kξ = ka cos ωt dt Plutôt que l'étude mécanique, on étudie un analogue électrique formé par un circuit RLC série alimenté par un générateur de tension sinusoïdal e(t) = E 0 cos ωt. On considère donc le schéma électrique ci-dessous : i(t) R L e(t) = E 0 cos ωt C q(t) u c (t) (b) Déterminer l'équation diérentielle suivie par q. (c) Préciser l'analogie électromécanique à l'aide d'un tableau de correspondance. On xe R = 10 Ω. (d) Quelles valeurs faut-il imposer à L et C pour que le système électrique ait les mêmes caractéristiques que le système mécanique? Fin de la troisième partie Fin du problème 12